专题03 全等三角形10大经典模型专项训练 -2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 以10大几何模型为核心，系统整合全等三角形判定与性质，通过模型化分类实现解题方法的精准提炼与知识逻辑的递进构建。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平移模型|6题|平移作图与性质应用|从基础图形变换到动态几何问题| |轴对称模型|6题|轴对称性质与全等构造|结合角平分线、垂直平分线性质| |旋转模型|6题|旋转全等与对应关系分析|围绕旋转中心与旋转角构建全等| |一线三等角模型|6题|K字模型与线段关系推导|利用等角条件转化边的数量关系| |垂直模型|6题|垂直条件下的全等证明|通过垂直构造直角三角形全等| |手拉手模型|6题|共顶点等腰三角形全等|基于SAS判定的模型化证明| |半角模型|6题|旋转/截长补短法|将半角转化为等角构建全等| |倍长中线模型|6题|中线加倍构造全等|利用中点条件转移线段与角| |对角互补模型|6题|互补条件下的边等证明|结合角平分线与全等性质| |角平分线模型|6题|角平分线性质与判定|从距离相等到角平分线证明|

专题03 全等三角形常考几何模型专训（10大题型） 经典模型一 平移模型 经典模型二 轴对称模型 经典模型三 旋转模型 经典模型四 一线三等角模型 经典模型五 垂直模型 经典模型六 手拉手模型 经典模型七 半角模型 经典模型八 倍长中线模型 经典模型九 对角互补模型 经典模型十 角平分线模型 【经典例题一 平移模型】 1．（25-26七年级下·湖南湘西·期末）平移△ABC，使点A移动到点A′，画出平移后的△A′B′C′（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】 如图，△A′B′C′为所作． 【分析】连接AA′，以A′点为圆心，AB为半径画弧，再以B点为圆心，AA′为半径画弧，两弧相交于点B′，用同样方法作出点C′即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了作图-平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． 2．（2026·安徽滁州·模拟预测）如图，在小正方形的边长为1个单位长度的网格中，已知各顶点都在格点（网格线的交点）上．仅用直尺在网格中完成下列画图． (1)画出向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到的； (2)画出的高． 【答案】(1)如图所示： (2)如图所示： 【分析】（1）结合平移的性质，分别找出点，然后依次连接，即可作答． （2）根据网格特征，得，证明，得，又因为，故，即，得，即可作答． 【详解】（1）略 （2）略 3．（25-26八年级上·吉林四平·阶段检测）如图，在中，，，点E在边上，点D在的延长线上，将沿射线方向平移得到，使点E对应点落在边上，与边交于点F． (1)若，求的大小； (2)求证：． 【答案】(1) (2) 证明：由平移，得， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查三角形全等的性质，平移的性质，三角形内角和定理． （1）根据，得到，再根据平移的性质得到，即可解答； （2）根据平移的性质及全等三角形的性质得到，根据三角形内角和定理即可得到，即可证明． 【详解】（1）解：∵，， ∴． 由平移，得， ∴； （2）略． 4．（25-26七年级下·天津宁河·阶段检测）按要求作图： （1）如图，过点C画交AB于点E，过点C画交的延长线于F． （2）如图，在方格纸中平移，使点A移到点M，点B和点C应移到什么位置？再将点A由点M移到点N，分别画出两次平移后的； 【答案】 （1）如图所示，，即为所求； （2）如图所示， 【分析】此题考查了尺规作平行线，平移作图， （1）利用尺规作，，进而得到，； （2）根据平移的性质画图即可． 【详解】略． 5．（25-26七年级下·北京顺义·期末）王兴同学在完成“平移三角形，使点移动到点，作出平移后的”时弄乱了步骤： ①连接； ②在，上分别截取，，使得点，在直线的上方； ③分别过点与点作的平行线，； ④连接，，． (1)请按照正确的作图步骤排序：________，并在下图中画出平移后的图形； (2)平移后测得四边形的面积是，四边形的面积是，则四边形的面积是________． 【答案】(1)①③②④，如图所示： (2) 【分析】（1）根据平移作图的步骤得出排序，并作图即可； （2）根据平移的性质得出，进而可得，即可得出答案． 【详解】（1）解：作平移后的时，应先连接，再作平行线，然后截取，，最后连接各对应点， ∴正确的作图步骤排序为：①③②④， 如图所示：略 （2）解：如图，设交于， ∵由平移所得， ∴， ∵四边形的面积是，四边形的面积是， ∴，， ∴， ∴． 6．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段检测）已知，且B、C、D三点共线，，连接．    (1)一般说来，全等三角形可以通过轴对称、平移、旋转得到．请填空：绕点B逆时针旋转_______度，再向右平移_______（填“”、 “”或“”）的距离，可得； (2)若，周长为22， ①求线段的长， ②并直接写出四边形的面积_______． 【答案】(1)90， (2)①；② 【分析】（1）根据旋转以及平移的性质即可作答； （2）①根据平移的性质得出，可得，即可作答； ②先得出是等腰直角三角形，再根据全等三角形的性质得出，最后根据四边形的面积代入计算即可． 【详解】（1）解：如图，   绕点B逆时针旋转度，再向右平移的距离，可得， 故答案为：，． （2）解：①∵，周长为22， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴． ∴是等腰直角三角形， ∵，， ∴， 即 ∴， ∴四边形的面积 ， 【点睛】本题主要考查了旋转和平移的性质，全等三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，以及完全平方公式的应用等知识，掌握这些性质是解题的关键． 【经典例题二 轴对称模型】 7．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）小明在学习轴对称一章时，发现一个很有意思的问题，很多真命题将一个已知条件和结论互换后仍然成立，如图，已知△ABC中，点D在△ABC的边BC上．小明提出如下猜想：如果AD平分∠BAC，BD＝CD，那么AB＝AC．你同意小明的猜想吗？如果同意，请给出证明；如果不同意，请说明理由． 【答案】同意， 证明：如果AD平分∠BAC，BD＝CD，那么AB＝AC． 过点D作DM⊥AB于点M，过点D作DN⊥AC于点N， ∵AD平分∠BAC， ∴DM=DN， 在Rt△BDM和Rt△CDN中， ∵， ∴Rt△BDM≌Rt△CDN（HL）， ∴∠B=∠C， ∴AB=AC． 【分析】先过点D作DM⊥AB于点M，过点D作DN⊥AB于点N，然后证出Rt△BDM≌Rt△CDN，得出∠B=∠C，从而证出最后结论． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理，在解题时要能够根据题意作出辅助线是本题的关键． 8．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，∠，D为边上一动点，E为外一点，且E、A在线段的两侧，，． (1)如图2，当时，在线段上取一点F，使． ①求证：； ②若，，，求的面积； (2)若点A与点E关于线段成轴对称，且与其中的一条直角边垂直，求的度数． 【答案】(1) ①证明：∵，， ∴， 又， ∴， 又，， ∴， ∴； ②16 (2)或 【分析】（1）①利用余角的性质可得出，然后利用证明，再利用全等三角形的性质即可得证； ②利用三角形面积公式求出的面积，然后利用全等三角形的性质求解即可； （2）分、两种情况讨论即可． 【详解】（1）①略 ②解：∵，，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵点与点关于线段成轴对称， ∴，， 又， ∴， ∵， ∴， 当时，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上，的度数为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，余角的性质，平行线的判定与性质，折叠的性质，三角形的内角和定理等知识，灵活运用这些知识是解题的关键． 9．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图1，在中，，为边上一动点，为外一点，且，在线段所在直线的两侧，，． (1)如图2，当时，在线段上取一点，使． ①求证：； ②若的面积是，，求的长； (2)若点与点关于所在直线成轴对称，且与其中的一条直角边垂直，求的度数． 【答案】(1) ①证明：，， ， 又， ， ，， ， ， ② (2)或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，余角的性质，平行线的判定与性质，折叠的性质，三角形的内角和定理等知识，灵活运用这些知识是解题的关键． （1）①利用余角的性质可得出，然后利用证明，再利用全等三角形的性质即可得证； ②利用三角形面积公式求出的面积，然后利用全等三角形的性质求解即可； （2）分、两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：证明：①略 ② 的面积是， 则的面积是， ， 解得：， （2）解：点与点关于线段成轴对称， ，， ， ， ， ， 当时，则， ， ， ， ， ， 当时，则， ， ， ， ， 综上，的度数为或； 10．（25-26八年级上·北京·期中）我们学习过：“如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线”，请按要求完成下面三道小题： (1)如图，，这两条线段一定关于某条直线对称，请作出对称轴a（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)如图，已知线段和点C．求作线段（不要求尺规作图），使它与成轴对称，且A与C是对称点，请作出线段并标明对称轴b．    (3)如图，任意位置的两条线段，，你能通过对其中一条线段作有限次的轴对称使它们重合吗？如果能，请描述操作方法；如果不能，请说明理由．    【答案】(1) 如图1，作的平分线所在直线．（答案不唯一） (2) 如图2所示：    (3) 如图3所示，连接；作线段的垂直平分线，即为对称轴；作点关于直线的对称点；连接；作的角平分线所在直线即为对称轴， 故其中一条线段作2次的轴对称即可使它们重合．    【分析】（1）作的平分线所在直线即可； （2）先连接；作线段的垂直平分线，即为对称轴；作点关于直线的对称点；连接即为所求． （3）先类比（2）的步骤画图，通过一次轴对称，把问题转化为（1）的情况，再做一次轴对称即可满足条件． 【详解】（1）略 （2）①连接； ②作线段的垂直平分线，即为对称轴； ③作点关于直线的对称点； ④连接即为所求． （3）略 【点睛】本题主要考查了利用轴对称变换进行作图，几何图形都可看作是有点组成，在画一个图形的轴对称图形时，是先从确定一些特殊的对称点开始． 11．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）在学习《生活中的轴对称》时，我们探究了两个重要结论： 结论1：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 如图，当，时，则有：． 结论2：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 如图，当平分，，时，则有：． 请利用上述结论，解决下列问题： 如图，在中，，，是的平分线，，垂足为点E，点P为线段上一动点． (1)试说明：； (2)若点P为线段的垂直平分线与的交点，求的度数． 【答案】(1) 证明：是的平分线，，， ∴， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ； (2) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理和三角形外角的性质，正确理解题意是解题的关键． （1）由结论2可得，则可证明得到，再证明，则可证明； （2）由三角形内角和定理和角平分线的定义可得，由结论1可得，则，则可得到，再由全等三角形额性质得到，据此可得． 【详解】（1）略 （2）解：在中，，， ， 是的平分线， ， 点P为线段的垂直平分线与的交点， ∴， ， 是的外角， ， ， ， ． 12．（24-25七年级下·广东深圳·期末）折纸中的数学 【知识背景】我们在第五章《图形的轴对称》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线． 如图，将纸片折叠使与重合，得到折痕，此时与重合，即，所以射线是的平分线． 【知识初探】 （1）如图1．小明发现通过折纸的方法可以得到两条互相垂直的线段（长方形自有的直角的两边除外），他的做法是指长方形纸片分别沿射线，折叠成如图所示的样子，此时点B，C，D分别落在点，，处，且和在同一条直线上，这样就得到了两条相互垂直的线段，请你写出这两条互相垂直的线段，并说明理由； 【类比再探】 （2）如图2，在四边形的纸片中，，，，连接，小亮将四边形的纸片进行折叠，首先折出了的角平分线，又将沿折叠，点的对应点恰好落在射线上，求线段的长度． 【答案】 （1），理由如下： ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴； （2）10 【分析】本题考查折叠的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握折叠的性质，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键： （1）根据折叠的性质和平角的定义，推出，即可得出结论； （2）延长交于点，根据翻折的性质，角平分线的定义，推出，进而得到，推出，再证明，得到，即可得出结果． 【详解】解：（1）略 （2）延长交于点，如图， ∵翻折， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【经典例题三 旋转模型】 13．（24-25八年级上·广东珠海·期中）如图，正方形和正方形全等，与交于点O，正方形绕点O旋转，交于点E，交于F，如果正方形的边长为3． (1)在上述旋转过程中，判断与有怎样的数量关系，并证明； (2)请直接写出四边形的面积为__________，周长最小值为___________． 【答案】(1) ， 证明：四边形是正方形， ， ，， ， 在和中， ， ，； (2)，6 【分析】本题考查了图形的旋转，正方形的性质及全等三角形的判定与性质，求解时需抓住正方形的特征，找出与在旋转过程中的对称性，获得四边形的面积与正方形面积的关系，关键是将四边形的面积转化为的面积． （1）根据正方形的性质，利用即可证明，从而可得结论； （2）由可得．当时，四边形的周长最小，再求解即可． 【详解】（1） 略 （2） 解：， ． ， 即， ， ． 当时，四边形的周长最小，最小值为6， 故答案为：，6 14．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，，都是等腰直角三角形，． (1)与有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？ (2)连接，试判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) ，．理由： 和都是等腰直角三角形， ． ， ， 即， 将绕点A顺时针旋转后会与完全重合，即， ． 又， ， ，即． (2) ．理由： 如图，作于点M，于点N． ， ， ． 又， ． ， 是的角平分线， ． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质推出，根据全等三角形的性质以及三角形内角和求解即可． （2）作于点M，于点N．证明，推出是的角平分线即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 15．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，与的顶点重合，，，，连接、，将绕点旋转． (1)如图，和的关系为___________． (2)如图，将绕点转动至如图所示示位置时，探究（）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程：若不成立，请说明理由． 【答案】(1)，； (2) 结论仍然成立，理由如下： 如图，设相交于， ∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用证明可得，，延长交于， 由，即可得出，进而得出结论； （）与 （）同理可证明结论成立． 【详解】（1）解：∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 延长交于，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）略 16．（25-26八年级上·重庆渝北·阶段检测）如图，在中，，，，把绕点C旋转，在整个旋转过程中，过点A作，垂足为D，直线交于E．    (1)①如图①，当在内部时，求证：； ②如图②当在外部时，探究线段和的数量关系，并证明你的结论； (2)在如图①的条件下，若，，求的长．(直接写结果) 【答案】(1) ①如图，延长到F，使，    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即； ②，证明如下： 如图，在上截取，    同理可证明， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即； (2)24 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定： （1）①延长到F，使，证明得到，，再求出，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形的即可证明，从而得证；②在上截取，证明，得到，，再求出，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形的即可证明，从而得到； （3）根据等腰直角三角形的性质求出，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出，然后求出的长，再根据代入数据进行计算即可得解． 【详解】（1）证明：①略 ②略 （2）解：如图，由（1）可得， ∴，，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴． 17．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图1，在和中，，，，且点，，在一条直线上，连接，，点，分别为，的中点． (1)求证：； (2)求证：是等腰三角形； (3)在图1的基础上，将绕点按顺时针方向旋转，使点落在线段上，其他条件不变，得到图2所示的图形，（1）（2）中的两个结论是否仍然成立？请你直接写出你的结论． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． (2) 证明：∵， ∴，， ∵M，N分别是，的中点， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即为等腰三角形． (3)仍然成立 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质，等腰三角形的定义，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）证明，根据全等三角形的性质得到； （2）根据全等三角形的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明； （3）仿照（1）（2）的解法证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：（1）（2）中的两个结论仍然成立，理由如下： 在和中， ， ∴， ∴，， ∵M、N分别为、的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∴是等腰三角形． 18．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）在等腰中，，点是线段上一动点，连结，将线段绕点按逆时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接． [问题初探] （1）如图1，连接，若，求证． [探究迁移] （2）如图2，连接，若，求的度数（用含的代数式表示），并说明理由． [拓展应用] （3）如图3，若，，当在线段上运动时，点也随之运动，连结，请直接写出线段的最小值． 【答案】 （1）证明：由旋转可知：， ∴ ∴ 在和中 ∵ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴； （2）；（3） 【分析】（1）由旋转可知，，进而证明，得，由，得，即可证明； （2）由旋转可知，，进而证明，类比（1）得，即可求解； （3）连接，由（2）可知，，可知点在上方且与其夹角为的射线上，由垂线段最短可知，当时有最小值，此时，结合含的直角三角形的性质与勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）由旋转可知：， ∵ ∴ 在和中 ∵ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴； （3）连接，由（2）可知，， 即：点在上方且与其夹角为的射线上， 由垂线段最短可知，当时有最小值， 此时，则，， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定及性质，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 【经典例题四 一线三等角模型】 19．（25-26八年级上·河南信阳·阶段检测）（1）发现：如图1，，过点作于点，过点作于点，由，得，又，可以推理得到进而得到____________，_______________．我们把这个数学模型称为“字模型”或“一线三等角”模型； （2）应用：如图2，在中，是上一点，，，，请求出的面积． 【答案】（1）；；（2）9 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三线合一定理，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质即可得到答案； （2）过点C作交延长线于E，过点D作于F，同理证明，得到；由三线合一定理可得，据此可得答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）如图所示，过点C作交延长线于E，过点D作于F， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 20．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的角的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形．   　　   根据对材料的理解解决以下问题： (1)如图，，． ①求证：； ②猜想，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，在中，点为上一点，，，四边形的周长为，的周长为，请求出的长． 【答案】(1) ①， ，， ， 在与中， ， ； ②猜想：， 理由：由（1）得：， ，， ； (2) 【分析】（1）①根据已知可求得，，得到，证明；②由（1）可知，得到，从而得出； （2）首先证明，得到，，结合已知可得到，根据的周长为得到，得到，即可得出最后结果． 【详解】（1）解：略． （2），且， ， 在和中， ， ， ，， 四边形的周长为， ， ， 又的周长为， ， ，， ， ， 即． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是正确寻找全等三角形． 21．（25-26八年级上·河南安阳·期中）“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形． 根据对材料的理解解决以下问题： (1)如图1，，．猜想，，之间的关系：________； (2)如图2，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)如图3，在中，点为上一点，，，，，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3)8 【分析】（1）证明，得到，利用，即可得到； （2）证明：，得到，利用，即可得到； （3）证明，推出即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴（）， ∴， ∴； 故答案为：； （2）成立． 理由如下：∵， ，， ∴． 在和中， ， ∴（）． ∴，． ∴． （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等，是解题的关键． 22．（24-25七年级下·山东济南·期末）（1）【问题初探】 某兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2所示的“一线三等角”型． 已知，，，请在图1和图2中选择一个模型证明． （2）【内化迁移】 在中，，，点D为射线上一动点（点D不与点B重合），连接，以为直角边，在的右侧作三角形，使，． ①如图3，当点D在线段上时，过点E作于F，求的长度； ②如图4，连接，交直线于点M，点D在运动过程中，若，请直接写出的长． 【答案】（1）证明：选择图1： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； 选择图2：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， （2）①；②或18 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，证明三角形全等、分类讨论是解题的关键． （1）由，得，利用即可证明； （2）①证明，则； ②过点E作交的延长线于点F，由①得，有；由面积关系得，设；分两种情况：当点M在线段上时；当点M在线段反向延长线上时；证明，则，从而利用建立关于x的方程，即可求解． 【详解】（1） 略 （2）①∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； ②过点E作交的延长线于点F，如图； 由①得， ∴； ∴， ∴， ∴； 设； 当点M在线段上时，如图， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∴， ∴，， ∵，， ∴， 解得：， ∴； 当点M在线段反向延长线上时，如图， 同理得：， ∴； ∴，， ； ∵，， ∴， 解得：， ∴， 当点D在线段上的情况不存在． 综上，或18． 23．（24-25八年级上·广东湛江·期末）通过对下图数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】（1）如图1，，．过点B作于点C．过点D作于点E．求证：，． 我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； 请运用图1的模型解决下列问题： 【模型应用】（2）如图2，且．且．请按图中所标注的数据（于点P，于点G，与点H．，，）．计算图中实线所围成的图形的面积为______． 【深入探究】（3）如图3，，，，连接，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点． 【拓展延伸】（4）如图4，在平面直角坐标系中．点A的坐标为．点B的坐标为，第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形?如果存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】 （1）证明：∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 在和中， ∵， ∴； ∴，． （2）50 （3）证明：根据题意知，，且于点F，与直线交于点G，如图，作于M，于N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴点G是的中点． （4）第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 【分析】本题考查了全等三角形的平与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质、平行线的性质以及分类讨论等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据证明； （2）利用（1）中的结论，，利用面积差求S的值； （3）作于M，于N，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，同理，由此可得，再由此证明，由全等三角形的性质得到，于是得到点G是的中点． （4）分三种情况，①当时，；②当时，，③当时，；分别构造全等三角形，由全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：（1）略 （2）∵， 由（1）得：， ∴， ∴ ， 故答案为：50； （3）略 （4）第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，理由如下： 分三种情况： ①当时，， 如图，分别过点B、点P作y轴的垂线交过点A作y轴的平行线于点E、点F， 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P的横坐标为：，纵坐标为：， ∴； ②当时，， 如图，分别过点A、点P作x轴的垂线交过点B作x轴的平行线于点E、点F， 同（1）得：， ∴， ∵、， ∴， ∴点P的横坐标为：，纵坐标为：， ∴； ③当时，， 如图⑤，分别过点A、点B作x轴的垂线交过点P作x轴的平行线于点E、点F， 同（1）得：， ∴， 设， ∵、， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 24．（25-26七年级下·陕西西安·期中）综合与实践 央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到：“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”，几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． 【模型感知】 一线三等角模型是初中数学三角形全等知识点考察的经典模型，在同一条直线上，依次分布三个相等的角，两角外侧各有一个三角形，由此构成的几何图形叫做一线三等角模型． (1)如图1，，射线在这个角的内部，点在的边上，且于点，于．则___________；线段、、之间的数量关系为___________． 【模型应用】 (2)如图2．点在的边、上，点在内部的射线上．已知，．求证：． 【类比探究】 (3)如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，则___________． 【答案】(1)， (2) 证明：，，， ， ，，， ， 在和中， ； (3) 【分析】（1）根据垂直的性质可得，根据全等三角形的判定方法即可求解； （2）根据、分别是、的外角，可证，进而即可证明； （3）过点E作于M，过点G作的延长线于N，通过角的转化证明，则进而可证，则，，同理可证，则，，进一步证明即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，， ∵， ∴； （2）略 （3）如图，过点作于，过点作的延长线于， ， ，， ， 在和中， ， ，， 同理可得：， ，， 即：，， 在和中， ∴， ∴， ∴． 【经典例题五 垂直模型】 25．（25-26八年级上·内蒙古通辽·期中）如图，已知，， (1)求证：； (2)猜想：和是否垂直？若垂直，请说明理由；若不垂直，则只写出结论，不用写理由．（延长交点，交点） 【答案】(1) 证明：， ，即， 在和中， ， ， ； (2) 解：． 理由如下： 延长交点，交点，如图所示： 在中，，，则， ， 由（1）中可知， ， 在中，，则， ． 【分析】本题考查三角形综合，涉及三角形全等的判定与性质、直角三角形两锐角互余等知识，熟记相关几何性质，灵活运用是解决问题的关键． （1）根据题意，得到，再由三角形全等的判定与性质求证即可； （2）延长交点，交点，如图所示，结合直角三角形性质，由（1）中全等的性质，在中，得出即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 26．（25-26八年级下·山东枣庄·期中）如图，在中，，是过点A的直线，于D，于点E． (1)若B、C在的同侧（如图1所示）且，与垂直吗？为什么？ (2)若B、C在的两侧（如图2所示），其他条件不变，与是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由． 【答案】(1)垂直，理由见解析 (2)垂直，理由见解析 【分析】（1）根据题意证明，根据全等三角形对应角相等，即可求证； （2）根据题意证明，根据全等三角形对应角相等，即可求证． 【详解】（1）解：垂直，理由如下： ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：垂直，理由如下： ，， ， 在和中， ， ， ，即， ． 27．（25-26七年级下·广东佛山·期中）如图所示，乐乐在公园荡秋千，开始时乐乐坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直，秋千的转轴O到地面的距离；乐乐在荡秋千的过程中，当她摆动到最高点C时，过点C作于点E，此时点C到的距离；当乐乐从C处摆到B处时，则有，过点B作于点D． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)的长为 【分析】（1）利用余角的性质即可证明； （2）易得，则有，由即可求解． 【详解】（1）证明：略； （2）解：由题意知，秋千的绳长不变，即， 由（1）知， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：的长为． 28．（25-26八年级上·广西南宁·期中）小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球A可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的 A、B、O、C在同一平面上），过点C作于点E，测得，． (1)试说明：； (2)求的长．（用含a，b的式子表示） 【答案】(1) 证明：∵， ∴ 又∵． ∴ ∴ ∴ 在和中， ∴ ∴ (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂线性质，余角，熟练掌握相关性质定理是解题关键． 解：先推导出，，，得到，继而证明，则，即可解答； （2）由，得到，则，即可解答． 【详解】（1）略 （2）∵ ∴    ∵ ∴ 答：的长为． 29．（25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）（1）把一大一小两个等腰直角三角板（即，）如图1放置，点在上，连结，，的延长线交于点，求证：；    （2）如果把两个等腰直角三角形（即，）按图2放置，连结、交一点， 问与是否垂直？并说明理由．    【答案】 （1）证明：由题意知，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：， 理由：∵， ∴， 在和中， ， ∴； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据即可证明，得出，进而判断出，即可证明； （2）同理证明，得出，即可得出结论． 【详解】略 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直的判定，判断出是解本题的关键． 30．（25-26七年级下·广东深圳·期末）已知：如图所示，直线，与的平分线交于点，过点作一条直线与两条直线、分别相交于点．    (1)如图1，当直线l与直线垂直时，猜想线段之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明； (2)当直线l与直线不垂直，且交点在的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系； (3)如图2，当直线与直线相交于点F时，延长，，分别交，于点E，D，直线与直线所夹的锐角为多少度时，线段之间仍满足（1）间中的数量关系？请说明理由． 【答案】(1) (2)不成立，或 (3) 解：当与夹角为时．， 证明： ∵，分别平分、， ∴， ∴， 在上截取点G．使．连接，    在和中， ∵， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴（）， ∴， ∴． 【分析】（1）作于点，然后证明，即可得出结论； （2）分别画出两种情形，结合全等三角形的判定与性质进行解答即可； （3）当与夹角为时．，在上截取点G．使．连接，分别证明，，进而得出结论． 【详解】（1）解：结论：， 理由如下：作于点，    ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∴； （2）不成立， 如下图，结论：，    理由：延长角于， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即； 如下图：    同理可证：； （3）略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理结合“截长补短法”构造全等三角形是解本题的关键． 【经典例题六 手拉手模型】 31．（25-26八年级上·四川眉山·期中）（手拉手）如图，在和中，，，，，连结，交于点．连结．证明下列结论：①；②；③平分． 【答案】 证明：①， ，即， 在和中， ， ∴， ； ②由可知，，， 由三角形的外角性质得：， ， ③作于，于，如图所示，    则， 在和中， ， ， ， ∴平分． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键． ①先证，由SAS证明得出； ②由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出； ③作于，于，如图所示，则，由证明，得出，由角平分线的判定方法得出平分． 【详解】略 32．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）数学基本思想归结为三个核心要素：抽象、推理、模型．图形与几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以达到解决问题的目的 (1)【模型探究】如图1，和中，，且，连接．这一图形称为“手拉手模型”． 求证，请你完善下列过程． 证明：∵， ∴（ ）①． 即． … （ ）② (2)【类比推理】如图2，中，，以B为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使，求的度数．（提示：可构建手拉手模型，在上找一点E，使） 【答案】(1)等式的性质， (2)42° 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由等式的性质可得，则可证明，再利用即可证明； （2）在上取一点E，使，连接，由等边对等角得到，则可证明，进而证明，得到，设和交于点O，由，可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴（等式的性质）． 即． 又∵， ∴； （2）解：在上取一点E，使，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设和交于点O， ∵， ∴． 33．（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成在相对位置变化的同时始终存在一对全等三角形通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”兴趣小组进行了如下探究： （1）如图1，两个等腰三角形和中，，，，连接、，如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和全等的三角形是______，此线和的数量关系是______． （2）如图2，两个等腰直角三角形和中，，，，连接、，两线交于点，请判断线段和的关系，并说明理由． 【答案】（1）△AEC，BD=CE； （2）BD=CE且BD⊥CE； 理由如下：∵∠DAE=∠BAC=90°， ∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE． ∴∠DAB=∠EAC． 在△DAB和△EAC中， ， ∴△DAB≌△EAC（SAS）， ∴BD=CE，∠DBA=∠ECA， ∵∠ECA+∠ECB+∠ABC=90°， ∴∠DBA+∠ECB+∠ABC=90°， 即∠DBC+∠ECB=90°， ∴∠BPC=180°-（∠DBC+∠ECB）=90°， ∴BD⊥CE， 综上所述：BD=CE且BD⊥CE． 【分析】（1）先判断出∠DAB=∠EAC，进而判断出△DAB≌△EAC，即可得出结论； （2）先判断出△DAB≌△EAC，得出BD=CE，∠DBA=∠ECA，进而判断出∠DBC+∠ECB，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵∠DAE=∠BAC， ∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE． ∴∠DAB=∠EAC， 在△DAB和△EAC中， ， ∴△DAB≌△EAC（SAS）， ∴BD=CE， 故答案为：△AEC，BD=CE； （2）略 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 34．（25-26八年级上·河北保定·期中）我们把有公共顶点且形状相同的两个三角形组成的图形称为“手拉手”图形．数学实践小组的几名同学对“手拉手”图形进行了探究．如图1、图2，与的顶点重合，，，． 【初步探究】（1）如图1，连接，，他们通过测量发现． ①请你证明他们的结论； ②判断与之间的位置关系，并说明理由； 【大胆猜想】（2）在（1）的条件下，连接，，他们猜想的面积与的面积相等，请你判断他们的猜想是否正确，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图2，连接，，当时，延长交于点，且，的面积为32，直接写出的长度． 【答案】 解：（1）①证明：， ，即． 在和中， ， ； ②与之间的位置关系为； 理由：设与交于点． ， ． 在中，， ， 即， ， ，即； （2）他们的猜想正确： 证明：过作于，过作交延长线于点，则， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴； （3）的长度为3 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，掌握知识点的应用及正确地作出辅助线是解题的关键． （1）①由，得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； ②由得到，再利用直角三角形的性质即可证明； （2）过作于，过作交延长线于点，根据余角的性质得到，证明，根据性质得，然后由，，，即可得到结论； （3）过点作，交的延长线于点，证明，根据性质得，利用三角形面积公式列式计算，从而求解； 【详解】解：（1）①略 ②略 （2）略 （3）的长度为3． 如图2，过点作，交的延长线于点， ， ，． ， ， ． 在和中， ， ， ． ， ， （舍去）， ． 35．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段检测）综合实践 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组成员称此图形为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题． (1)如图1，在和中，，点D在边上，连接、，且B、D、E三点共线，则图中与线段相等的线段是______，______； (2)如图2，在和中，，连接、相交于点O． ①找出图中与相等的线段，并证明； ②求的度数（用含的代数式表示）． (3)如图3，在和中，，连接、交于点F． ①探究线段与之间的关系，并证明； ②如图4，连接，连接并延长交于点G，求的度数． 【答案】(1)和，30； (2) ①，证明如下： ， ，即， 在和中， ， ， ； ②； (3) ①，，证明如下： ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ； ② 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理等知识，正确作辅助线构造全等三角形，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据等边对等角的性质和三角形内角和定义与外角的性质，得到，，证明，得到，，进而得到，推出，即可得到答案； （2）①证明，得到，即可得到答案； ②根据全等三角形的性质，得到，由等边对等角的性质和三角形内角和定理，得到，进而得到，从而得出，即可求出的度数． （3）①证明，得到，，进而推出，即可得到答案； ②过点作于点，于点，证明，得到，推出平分，从而得到，即可求出的度数． 【详解】（1）解：， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 图中与线段相等的线段是和，， 故答案为：和，30； （2）解：①略 ②， ， ， ， ， ， ， ， （3）解：①略 ②如图，过点作于点，于点, ， ， ， 在和中， , ， ， ，， 平分， 由①可知，， ， ． 36．（25-26八年级上·河南南阳·期中） (1)问题发现： 两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形， 如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，分别连接，．求证：；（请在下面的证明过程中填写上理由或数学式） 证明： 在和中 ① ②（_________________） ③（________________________________________________） (2)类比探究：如图2，和都是等腰三角形，即，，且，B，C，D在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由． (3)问题解决：如图3，若和均为等腰直角三角形，且，，，点A，D，E在同一条直线上，为中边上的高，连接，若，，请直接写出的长，不说明理由． 【答案】(1)① ；② ；③ 全等三角形的对应边相等． (2)与的数量关系，位置关系是， 理由如下： ， ， 即， 在和中，， ， ，， 是等腰三角形且， ， ， ， ． (3)2.5． 【分析】（1）根据三角形全等的判定和性质填空即可． （2）根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得，利用全等的性质可得，，又因为是等腰直角三角形，可得，从而可知，即． （3）由是等腰直角三角形，为中边上的高，可证得，根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得，从而得，即可求出的长． 【详解】（1）解：①， ②， ③全等三角形的对应边相等． （2） 略 （3）解：由（1）的方法得，， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形、等腰直角三角形的性质、三线合一等性质，熟练掌握三角形的有关性质是解题的关键． 【经典例题七 半角模型】 37．（25-26八年级上·山东临沂·期中）【问题背景】 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过翻折、旋转或截长补短等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，进一步构成全等三角形，从而构建模型，解决问题． 如图1，在四边形中，，点，分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小雨同学的方法是延长到点．使，连接，先证明，再证明，从而得出结论：_____； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． 【答案】(1) (2) （1）中的结论仍然成立．证明如下： 如图，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ， ， ， ． 在和中 ， ． ． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明得到，再证明，得到，再由线段的和差关系可得结论； （2）延长到，使，连接，先导角证明，再证明得到，再接着证明，得到，再由线段的和差关系可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）略 38．（25-26七年级下·山东济南·期末）定义：若一个三角形中，其中有一个内角是另外一个内角的一半，则这样的三角形叫做“半角三角形”．例如：等腰直角三角形就是“半角三角形”．在钝角三角形中，，，，过点的直线交边于点．点在直线上，且． （1）如图1，若，，点在延长线上，图中是否存在“半角三角形”（除外），若存在，请写出图中的“半角三角形”，并证明；若不存在，请说明理由； （2）如图2，若，保持的度数与（1）中的结论相同，请直接写出，，满足的数量关系． 【答案】 （1）存在，“半角三角形”为， 证明：延长到，使得，连接． ， ，即 ， 在和中， ，． ， ． 为“半角三角形” （2）或 【分析】（1）延长到，使得，根据边角关系证出，得出，即可证明为“半角三角形”． （2）由（1）可知，，延长到点，使得，连接BF，构造全等三角形△≌△，进而可得出.因为，所以以为圆心，长为半径作圆与直线一定有两个交点，当第一种情况成立时，必定存在一个与它互补的，所以可得出另外一种情况. 【详解】（1）略 （2）或. ①延长到点，使得，连接BF, ∵，， ∴△≌△.    过点分别作于点， 于点, 可得. ∴. ②因为，所以以为圆心，长为半径作圆与直线一定有两个交点，当第一种情况成立时，必定存在一个与它互补的． 可知：. 综上所述，这三个角之间的关系有两种， 或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点．正确理解题意，使用分类讨论思想是解决本题的关键． 39．（25-26八年级下·湖南常德·期中）如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且（此时），我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，之间的关系，将绕点顺时针旋转得到后，解决了这个问题． (1)如图2． ①求证：； ②求出、、之间的关系； (2)如图3，等腰直角三角形，点E，F在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由； 【答案】(1) ①证明：由旋转可得，，， 四边形为正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ② (2) 猜想：， 证明：把绕点顺时针旋转得到，连接，如图3， ，，，， ， ， ，即， ， 又， ， ，即， 在和中 ， ， ． 【分析】（1）①利用旋转的性质，证明，②根据全等三角形的性质得，等量代换，即可证明； （2）把绕点顺时针旋转得到，连接，根据旋转的性质得，，在中，，可求得，所以，再证明，利用得到． 【详解】（1）①略； ②解： 由①得， ， ， ； （2）略． 40．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，四边形是正方形，分别在边和上，且（此时），我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段之间的关系，将绕点顺时针旋转后解决了这个问题． (1)①请直接写出线段之间的关系___________． ②若正方形边长为，点为中点，则___________ (2)如图，等腰直角三角形，，，点在边上，且，请写出之间的关系，并说明理由． (3)如图，在中，，，点在边上，且，当，时，则的长为___________． 【答案】(1)①；② (2) ，理由如下： 把绕点顺时针旋转得到， 连接，如图， ∴，， ，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 在和中 ， ， ∴， ∴， ∴； (3) 【分析】（）①由旋转的性质可得，，，再根据正方形的性质证明，得到，进而由即可求证； ②设，则，，在中由勾股定理可得，即可得，再利用勾股定理即可求解； （）把绕点顺时针旋转得到， 连接，如图，同理（）①即可求解； （）把绕点顺时针旋转得到，连接，如图，同理（）①可得，，，过点作，垂足为，则，可得，由直角三角形的性质可得，进而得到，，即可得，最后根据线段的和差关系即可求解． 【详解】（1）解：①，理由如下： 如图2，由旋转可得，，，， ∵四边形为正方形， ∴， ； 即三点共线； ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②∵正方形边长为，点为中点， ∴，， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）解：把绕点顺时针旋转得到，连接，如图， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， 在和中 ， ， ∴， ∴， 过点作，垂足为，则， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 41．（25-26八年级下·河北保定·期末）综合与实践 【问题背景】 如图1，在中，，，点、是边上的两点（点在、之间）且，我们把这种模型称为“半角模型”．在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步探索】 如图2，将绕点逆时针旋转得到，连接． 求证： (2)【探索延伸】 如图3，当时． ①若，求的长； ②若为直角三角形，则________； (3)【延伸拓展】 如图4，若，，线段（）．则的长为________（用含的代数式表示）． 【答案】(1)证明：由旋转得，， 又， ，即， 在和中， ， ， ． (2)①；②或 (3) 【分析】（1）由旋转得，．又，故．结合公共边，可证，得． （2）①由且得．由（1）全等得，，故．作，在中得，，由得，在中由勾股定理得． ②分两种情况讨论直角三角形．当时，由全等得，由旋转得，结合推出，得，故．当时，由全等得，且，故，在中，得． （3）由旋转得，故，，又，得．由（1）全等得．设，则，在中由勾股定理，解得． 【详解】（1）略 （2）解：①如图，作，垂足为， ， 为等腰三角形， ， 由（1）同理可得，， ，，， ，且， ， 在中， ， ， 又， 在中 ． ②如图，为直角三角形，当时， 由（1）同理可得，， ， 由旋转得，， ， ，即， ， ； 如图，为直角三角形，当时， 由（1）同理可得，， ， ， ， ， 综上，或． （3）解：如图，将绕点逆时针旋转得到，连接． 由题意，，，， 为等腰直角三角形， ， 线段（）， 在线段上（不包括）， 由旋转可得，， ， 由（1）同理可得，， ，， 设，则， 在中，， 可得，即， 可得，解得， 的长为． 42．（25-26八年级上·北京房山·期末）定义：若一个三角形中，其中有一个内角是另外一个内角的一半，则这样的三角形叫做“半角三角形”. 例如：等腰直角三角形就是“半角三角形”.在钝角三角形中，，，，过点的直线交边于点．点在直线上，且． （1）若，点在延长线上．       ① 当，点恰好为中点时，依据题意补全图1.请写出图中的一个“半角三角形”：_______; ② 如图2，若，图中是否存在“半角三角形”（△除外），若存在，请写出图中的“半角三角形”，并证明；若不存在，请说明理由； （2）如图3，若，保持的度数与（1）中②的结论相同，请直接写出，， 满足的数量关系：______． 【答案】（1）① 如图，见解析；△或△或△或△; ②存在，“半角三角形”为△；证明见解析；（2）或． 【分析】（1）①根据题干描述作出图形即可，利用等腰三角形的性质，根据“一个内角是另外一个内角的一半”的三角形符合题意，可得出结果.②延长到，使得，连接，构造全等三角形△≌△．再利用全等三角形的性质以及相关角度的转化，可求得，从而可得出结果. （2）由（1）中②可知，，延长到点，使得，连接BF，构造全等三角形△≌△，进而可得出.因为，所以以为圆心，长为半径作圆与直线一定有两个交点，当第一种情况成立时，必定存在一个与它互补的，所以可得出另外一种情况. 【详解】（1）① 如图，    图中的一个 “半角三角形”：△或△或△或△; ② 存在，“半角三角形”为△. 延长到，使得，连接．    ∵， ∴ . ∴ . ∵， ∴． ∴． 在△和△中， ∴ △≌△.                    ∴ ，. ∵ ， ∴ . ∴． ∴∠BAE=2∠BEA, ∴△ 为“半角三角形”. （2）或. 解：①延长到点，使得，连接BF,    ∵，， ∴△≌△.    过点分别作于点， 于点, 可得. ∴. ②因为，所以以为圆心，长为半径作圆与直线一定有两个交点，当第一种情况成立时，必定存在一个与它互补的． 可知：. 综上所述，这三个角之间的关系有两种， 或．    【点睛】对于新定义问题，理解概念是关键.同时需要结合等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质解决问题，另外在解题时，注意运截长补短法构造全等的运用. 【经典例题八 倍长中线模型】 43．（24-25七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题： 如图，在中，，求出边上的中线的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用二角形的三边关系可得AE的取值范围，从而得到AD的取值范围： 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形， 把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 解：________ 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键；延长到，使得，连接，根据题意证明，可知，在中，根据，即可； 【详解】（1）解：如图，延长到，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∴． 44．（24-25八年级上·江西赣州·阶段检测）【特例感知】 如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． （1）中线的取值范围是______． 【类比迁移】 （2）如图2，在四边形中，为的中点，点在上，，，求证：平分． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，是边上的中线，E是上一点，连接并延长交于点F，，求证：． 【答案】（1）； （2）证明：如图2，延长交的延长线于点， ， ， ，， 为的中点， ， ， ，， ， ， 即， 平分； （3）证明：如图3，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查了三角形综合题和倍长中线问题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系等知识． （1）延长到，使得，连接，得出，根据三角形三边关系即可求解； （2）延长交延长线于，得到，得到，，进而求得，可证明结论； （3）延长到点，使得 ，连接，得出，从而得到，，进而得到从而证明． 【详解】（1）解：如图1，延长到点，使得，连接． 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即， ； 故答案为：； （2）略 （3）略 45．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）（1）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在中，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： 　　 ①延长到，使得； ②再连接，把集中在中； 请完成任务1：在图1中找出与的数量关系并证明．； ③利用三角形三边关系可得． 任务2：的取值范围是_________． （2）感语：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． （3）思考：如图2，是的中线，． 任务3：探究线段与的数量关系并加以证明． 【答案】（1）； （3），理由如下： 延长到Q使得，连接，延长交于点，如图；    ∵是边上的中线， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查全等三角形的常见模型：倍长中线模型．熟记相关几何模型和结论是解题的关键． （1）证明，进一步由且即可求解； （3）延长到Q使得，连接，延长交于点，证、即可求解． 【详解】解：（1）延长到，使得，连接， ∵是边上的中线， ∴， ， ， ∴， ∵， ∵且， ∴． 故答案为：； （3）解：略． 46．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题，如图，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使， 请根据小明的方法思考：    （1）由已知和作图能得到的理由是 ． A．       B．        C．        D． （2）求得的取值范围是 ． A．                   B． C．                   D． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中， [方法应用] （3）如图，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想．    【答案】（1）B； （2）C； （3）解：，理由如下： 如图：延长交于点F，    在和中， ， ∵是的平分线， . 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）根据三角形全等的判定定理即可得出结论； （2）根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出答案； （3），延长，交于点F，证明推出 再证明即可解决问题； 【详解】解：（1）∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：B． （2）由（1）可知，， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故选：C． （3）略 47．（25-26八年级上·贵州铜仁·期末）某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明“”的推理过程． (1)求证： 证明：延长到点，使 在和中 （__________） 请补齐空白处 (2)由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围是__________； (3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 【答案】(1)已作；对顶角相等；； (2) (3)6 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）延长到点，使，由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，由三角形的三边关系可求解； （3））延长交的延长线于F，由“”可证，则，，证明，得，根据，即可得的长． 【详解】（1）证明：延长到点，使， 在和中， ， ； （2）由（1）得：，且，， ， 在中，， ； （3）延长交的延长线于F， ∵是的中线 ∴ ，， ， 在和中， ， ，， 又且 ， ， ， ． 即：的长是6． 48．（25-26七年级下·吉林长春·期中）【提出问题】 数学课上老师提出如下问题：如图①，在中， 是 边上的中线，，，若 边的长为整数，求 边的长．小张同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 至点 ，使，连接，能得到，所以，进而利用三角形的任意两边之和大于第三边解决问题． 【思考发现】 (1)如图①，的理由是　　　　； A．                B．               C．                D． (2)根据小明的方法思考，可得 的长可能为　　　　；（写出一个即可） 【类比迁移】 (3)如图②， 是的中线，交 于点 ，交 于点 ，． 求证：． 以下是部分证明过程： 证明：如图③，延长 至点 ，使，连结． ⋯⋯ 请完成上述证明过程． 【学以致用】 (4)如图④，在和中，， ， ，连结 、，取 的中点 ，连结．若，则　　　　． 【答案】(1)B (2)2（或3，4，5，6之一） (3)证明：如图③，延长 至点 ，使，连接． 同（1），可证， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴． (4)4 【分析】（1）由题意知，，，可得； （2）由得，在中，根据三角形三边关系可得，进而即可求解； （3）倍长 至E，连 ，同（1）可证， 得出，结合，可得，由等边对等角可得，等量代换后可得，根据等角对等边即可得出结论； （4）倍长 至G，连，同（1），可证，进而证明，可得. 【详解】（1）解：在和中， ， ， 故选：B； （2）解： ， ， 在中，，，，， ∴， 即， ∵ 为整数，， ∴ 的长可以为 2，3，4，5，6 中之一. （3）略 （4）解：如图，延长至点 ，使，连， ∴， 同（1），可证， ∴. ∵ ， ∴， ∵， ∴. 在 中，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，三角形三边关系的应用，中线的性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握倍长中线的辅助线作法是解题的关键． 【经典例题九 对角互补模型】 49．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，四边形中，平分，与互补．和是否相等？如果相等，请给予证明；如果不等，说明理由． 【答案】 ，证明： 在上截取，连接， 平分， ， 在与中， ， ， ，， ，， ， ， ． 【分析】本题考查角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等角对等边，关键是通过作辅助线构造全等三角形．在上截取，连接，由证明，得到，，由补角的性质得到，因此，即可证明． 【详解】略 50．（25-26七年级下·陕西铜川·期末）如图，在中，，，为边的中点，交的延长线于点，连接，过点作平分交于点F．    (1)试判断与之间的数量关系，并说明理由； (2)与互补吗？若互补，请说明理由；若不互补，请写出与之间的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析 (2)与互补．理由见解析 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出； （2）证明，由全等三角形的性质得出，由三角形内角和定理可得出结论． 【详解】（1）解： ，理由如下： ，， ， ，平分， ， 为的中点， ， 在和中， ， ， ； （2）解：与互补． 理由如下：在和中， ， ， ， ， ， 即， ， ， 即与互补． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 51．（2025七年级下·全国·专题练习）已知P为的平分线上的任意一点，与互补，的两边与的两边交于，两点．      (1)如图①，若，当绕着点P旋转时，写出和的数量关系，并说明理由； (2)如图②，当时，与仍然互补，这时（1）中的数量关系是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1) ． 理由如下：过点P分别作于点，于点H，如图①， 则． 因为为的平分线， 所以． 在和中， ， 所以， 所以． 因为，， 所以． 因为与互补， 所以， 所以， 所以， 所以． 在和中， ， 所以， 所以． (2) （1）中的数量关系仍然成立． 理由如下：过点P分别作于点，于点H，如图②， 则， 又因为，与互补， 所以， 所以，即． 因为平分， 所以． 在和中， ， 所以， 所以． 在和中， ， 所以， 所以． 故（1）中的数量关系仍然成立． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用两次全等三角形解决问题． （1）过点P分别作于点，于点H，结合角平分线定义证明，得到，进而证明，利用全等三角形性质即可解题； （2）过点P分别作于点，于点H，结合角平分线定义证明，得到，进而证明，利用全等三角形性质即可解题． 【详解】（1）略 （2）略 52．（25-26七年级下·福建宁德·期末）（1）根据图形填空： ①若，则根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得_______； ②若，则根据“_________”，可得________． （2）已知：．求作：，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）①；②两直线平行，内错角相等；； （2）如图所示，即为所求 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，作三角形； （1）①根据“同旁内角互补，两直线平行”即可求解； ②根据“两直线平行，内错角相等”，即可求解． （2）根据题意作，即可求解． 【详解】（1）①若，则根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得； ②若，则根据“两直线平行，内错角相等”，可得 ． 故答案为：①；②两直线平行，内错角相等； （2）略 53．（25-26七年级下·河北保定·期中）如图，点、分别在、上，小华想知道和是否互补，但是他没有带量角器，只带了一副三角板，于是他想了这样一个办法：首先连接，再找出的中点，连接并延长和直线相交于点，经过测量他发现，因他得出结论：和互补，而且他还发现小华是这样想的： ∵和相交于 ∴；（    ） 又∵是的中点， ∴，（    ） 又∵ ∴≌．（    ） ∴．（    ） ．（    ） ∴（    ） ∴（ ） 请把理由填在括号里 【答案】对顶角相等；中点的定义；SAS；全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 【分析】由“SAS”可证△COB≌△FOE，可得∠BCO＝∠F，，可证AB∥DF，可得结论． 【详解】解：∵和相交于 ∴；（对顶角相等） 又∵是的中点， ∴，（中点的定义） 又∵ ∴≌．（SAS） ∴．（全等三角形对应边相等） ．（全等三角形的对应角相等） ∴（内错角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同旁内角互补） 故答案为：对顶角相等，中点的定义，SAS，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等，内错角相等，两直线平行，两直线平行，同旁内角互补． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 54．（2026·重庆·模拟预测）学习了四边形后，小麦同学想继续探索邻边相等的四边形特征，请根据他的思路完成以下作图与填空： (1)用直尺和圆规，过点C作交于点N，过点C作交于点M，（只保留作图痕迹） (2)在（1）所作图形中，四边形，，连接，求证：平分， ∵， ∴， ∵， ∴在四边形中，， 又∵， ∴① ， ∵， ∴（②    ）， ∴， ∴（依据：③     ） 小麦同学进一步研究发现，四边形中满足邻边相等，且对角互补，均有以上特征，请你依照题意完成下面命题：若四边形邻边相等，对角互补，则④ ． 【答案】(1) 根据题意作图即可； (2)①；②；③角平分线判定定理；④四边形的对角线平分相等临边所夹角的对角 【分析】本题考查了作图——基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理． （1）利用垂线的基本作图，解答即可； （2）根据垂直的定义，三角形的全等判定和性质，根据角平分线的判定证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 【经典例题十 角平分线模型】 55．（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，是的角平分线，请完成以下作图与填空： (1)用尺规在右侧作，使得，射线交于点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在中，，，是的角平分线，．求的度数． 解：在中，________①______°， ． 是的角平分线， _________②_________． ， ___________③___________， ． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2)①180，②③ 【分析】此题考查了尺规作一个角等于已知角，与角平分线有关的三角形内角和问题，平行线的性质和判定等知识，熟练掌握它们的性质是解题的关键； （1）利用尺规作一个角等于已知角的方法求解即可； （2）首先根据三角形内角和定理得到，然后根据角平分线的定义得，再根据平行线的性质和判定求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：在中，， ． 是的角平分线， ． ， ， ． 故答案为：①180，②③. 56．（24-25八年级上·江西赣州·阶段检测）综合与实践 【问题提出】如图，在中，是它的角平分线．对于这一图形，某数学兴趣小组进行了如下探究： 分别过点D作于E，于F，运用角平分线的性质可证得．完成这一证明后，提出一个新的问题：与有什么数量关系呢？ 【特例感知】（1）如图2，若时， （填“”“”或“”）； 【深入探究】（2）如图1，当时，（1）中的结论还成立吗，写出你的猜想并给予证明； 【结论应用】（3）如图3，是的角平分线，且与相交于O，若，，求出的值． 【答案】（1）； （2）（1）中的结论还成立； 证明：设边上的高为， 则， 又∵， ∴； （3） 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质即可求解； （2）成立，利用三角形的面积即可求证； （3）在上取，由，可得到，进而得到，证明，得到，即是的角平分线，利用角平分线的性质得到，又由是的角平分线，得到，即得到代入计算即可求解． 【详解】解：（1）∵，平分， ∴平分， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略． （3）在上取， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的角平分线， ∴， 又∵是的角平分线， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴． 57．（25-26八年级上·广西南宁·阶段检测）问题呈现． 角平分线的性质 角的平分线上的点与角两边的点所连线段与角两边的位置关系的特殊情形，如图，是的平分线，P是上任一点，作与的垂线，垂足分别为点D和点E，通过测量，我们发现与相等．再类似取点，，…进行同样操作，发现它们仍相等，由此猜想有： 角平分线上的点到角两边的距离相等． 请结合图形写出已知和求证，并完成推理过程． 已知：_____，求证：_____． (1)定理证明：结合图1写出已知和求证，并写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程． (2)定理应用：如图2，在四边形中，，点E在边上，平分，平分．求证：． 【答案】(1) 已知：平分，于E点，于D点，如图1， 求证： 证明：平分， ， 于E点，于D点， ， 在和中， ， ， ， ∴角平分线上的点到角两边的距离相等； (2) 证明：过E点作于F点，于G点，于H点，如图2， 平分，DE平分， ，， ， 在和中， ， ， 【分析】本题考查了命题，全等三角形的性质和判定，角平分线定理，掌握相关知识是解决问题关键． （1）先结合图1写出已知、求证，然后证明，从而得到， （2）证明：过E点作于F点，于G点，于H点，如图2，根据角平分线的性质可证明，然后证明，从而得到 【详解】（1）略 （2）略 58．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）角平分线性质定理描述了角平分线上的点到角两边距离的关系，小储发现将角平分线放在三角形中，有一些新的发现，请完成下列探索过程：    【知识回顾】 （1）如图1，是的平分线上的一点，于点，作于点，试证： 【深入探究】 （2）如图2，在中，为的角平分线交于于点，其中，求． 【应用迁移】 （3）如图3，中，的角平分线与的中线交于点为中点，连接，若，则的长度为__________． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）10 【分析】（1）根据证明即可； （2）作于点，作于点，由角平分线的性质得，由三角形的面积公式可得，结合即可求解； （3）过E作于G，连接，由P为中点，设，根据是边上的中线，设，根据三角形的面积的计算得到，根据角平分线的性质得到，于是得到结论． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， （2）解：如图，过点作于点，作于点，   平分， ， ， ， 同理可证， ∴． ， ， 设，则 ， ， ； （3）解：过E作于G，连接，    ∵P为中点， ∴， 设， ∵是边上的中线， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了三角形的面积的计算，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形中线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 59．（25-26七年级下·湖南·期末）探究角平分线定理： (1)在横线上分别填上适当的条件和理由． 已知，如图1，是的角平分线，点D是射线上任意一点，于E点，于F点，求证：． 证明：∵， ∴． ∵是的角平分线， ∴． 在与中， ， ∴（___________） ∴． 从而我们得到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等． (2)利用角平分线的性质解决以下两个问题： ①如图2，在中，与的角平分线交于D点，过D点作于H点，若的面积为s，周长为c，的长度为h，求s、c、h的关系． ②如图3，在中，平分交于D点，求证：． 【答案】(1)， (2)①见解析；②见解析 【分析】（1）读懂推理过程即可完成条件与理由的填写； （2）①连接，过点D作于E，于F．即形成3个小三角形，可以得到面积关系，根据角平分线的性质得知3个小三角形的高是相等的，将面积表示出来即可． ②过点D作于M，于N．根据角平分线的性质可知，以AC、BC为底时两个三角形高相等，所以面积比，以AD、DB为底时两个三角形高相等，所以面积比，所以得到结论． 【详解】（1）证明：如图1中， ∵，， ∴． ∵是的角平分线， ∴． 在与中， ， ∴， ∴． 故答案为：，． （2）①解：如图2中，连接，过点D作于E，于F． ∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ②证明：如图3中，过点D作于M，于N． ∵平分，，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线性质定理的证明及应用，此类题型比较灵活，但围绕的知识点是固定的，解题时注意结合图形寻找已知条件与问题之间的位置关系，把条件与问题的联系作为主要的思考方向． 60．（25-26八年级上·吉林长春·阶段检测）【教材呈现】下面是教材八年级上册的部分内容： 例5证明：全等三角形对应边上的高相等． 已知：如图1，，、分别是的边和的边上的高．求证：． 【问题解决】从图中可以看出，、分别属于和，要证明，只需证明这两个三角形全等即可．补全下列证明过程： 证明：∵（已知） ∴ ∴（________） ∴（__________） 【拓展延伸】小彤想要探究全等三角形对应角的角平分线之间的关系． ①仿照“全等三角形对应边上的高相等”写出你的猜想：________； ②如图2，她挑选了两个全等的三角形（），其中的角平分线AM已经给出，请你利用尺规作图：作出的角平分线． ③结合【问题解决】中的证明思路，验证你的猜想． 【答案】【问题解决】，，全等三角形对应边相等 【拓展延伸】①全等三角形对应角平分线相等 ②角平分线即为所求： ③证明：， ，，． 平分，平分， ，． ， 在和中， ， ． 【分析】本题考查全等三角形性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键． 【问题解决】利用证明，即可证明； 【拓展延伸】①仿照“全等三角形对应边上的高相等”写出猜想“全等三角形对应角平分线相等”；②利用角平分线尺规作图的方法作图即可；③利用证明即可证得 【详解】解：【问题解决】略 【拓展延伸】①全等三角形对应角平分线相等； 故答案为：全等三角形对应角平分线相等； ②以D为圆心，任意长为半径画弧，分别交于，分别以为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于一点，连接此点与点D交于N，则即为所求； ③略 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 全等三角形常考几何模型专训（10大题型） 经典模型一 平移模型 经典模型二 轴对称模型 经典模型三 旋转模型 经典模型四 一线三等角模型 经典模型五 垂直模型 经典模型六 手拉手模型 经典模型七 半角模型 经典模型八 倍长中线模型 经典模型九 对角互补模型 经典模型十 角平分线模型 【经典例题一 平移模型】 1．（25-26七年级下·湖南湘西·期末）平移△ABC，使点A移动到点A′，画出平移后的△A′B′C′（不写作法，保留作图痕迹）． 2．（2026·安徽滁州·模拟预测）如图，在小正方形的边长为1个单位长度的网格中，已知各顶点都在格点（网格线的交点）上．仅用直尺在网格中完成下列画图． (1)画出向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到的； (2)画出的高． 3．（25-26八年级上·吉林四平·阶段检测）如图，在中，，，点E在边上，点D在的延长线上，将沿射线方向平移得到，使点E对应点落在边上，与边交于点F． (1)若，求的大小； (2)求证：． 4．（25-26七年级下·天津宁河·阶段检测）按要求作图： （1）如图，过点C画交AB于点E，过点C画交的延长线于F． （2）如图，在方格纸中平移，使点A移到点M，点B和点C应移到什么位置？再将点A由点M移到点N，分别画出两次平移后的； 5．（25-26七年级下·北京顺义·期末）王兴同学在完成“平移三角形，使点移动到点，作出平移后的”时弄乱了步骤： ①连接； ②在，上分别截取，，使得点，在直线的上方； ③分别过点与点作的平行线，； ④连接，，． (1)请按照正确的作图步骤排序：________，并在下图中画出平移后的图形； (2)平移后测得四边形的面积是，四边形的面积是，则四边形的面积是________． 6．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段检测）已知，且B、C、D三点共线，，连接．    (1)一般说来，全等三角形可以通过轴对称、平移、旋转得到．请填空：绕点B逆时针旋转_______度，再向右平移_______（填“”、 “”或“”）的距离，可得； (2)若，周长为22， ①求线段的长， ②并直接写出四边形的面积_______． 【经典例题二 轴对称模型】 7．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）小明在学习轴对称一章时，发现一个很有意思的问题，很多真命题将一个已知条件和结论互换后仍然成立，如图，已知△ABC中，点D在△ABC的边BC上．小明提出如下猜想：如果AD平分∠BAC，BD＝CD，那么AB＝AC．你同意小明的猜想吗？如果同意，请给出证明；如果不同意，请说明理由． 8．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，∠，D为边上一动点，E为外一点，且E、A在线段的两侧，，． (1)如图2，当时，在线段上取一点F，使． ①求证：； ②若，，，求的面积； (2)若点A与点E关于线段成轴对称，且与其中的一条直角边垂直，求的度数． 9．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图1，在中，，为边上一动点，为外一点，且，在线段所在直线的两侧，，． (1)如图2，当时，在线段上取一点，使． ①求证：； ②若的面积是，，求的长； (2)若点与点关于所在直线成轴对称，且与其中的一条直角边垂直，求的度数． 10．（25-26八年级上·北京·期中）我们学习过：“如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线”，请按要求完成下面三道小题： (1)如图，，这两条线段一定关于某条直线对称，请作出对称轴a（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)如图，已知线段和点C．求作线段（不要求尺规作图），使它与成轴对称，且A与C是对称点，请作出线段并标明对称轴b．    (3)如图，任意位置的两条线段，，你能通过对其中一条线段作有限次的轴对称使它们重合吗？如果能，请描述操作方法；如果不能，请说明理由．    11．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）在学习《生活中的轴对称》时，我们探究了两个重要结论： 结论1：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 如图，当，时，则有：． 结论2：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 如图，当平分，，时，则有：． 请利用上述结论，解决下列问题： 如图，在中，，，是的平分线，，垂足为点E，点P为线段上一动点． (1)试说明：； (2)若点P为线段的垂直平分线与的交点，求的度数． 12．（24-25七年级下·广东深圳·期末）折纸中的数学 【知识背景】我们在第五章《图形的轴对称》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线． 如图，将纸片折叠使与重合，得到折痕，此时与重合，即，所以射线是的平分线． 【知识初探】 （1）如图1．小明发现通过折纸的方法可以得到两条互相垂直的线段（长方形自有的直角的两边除外），他的做法是指长方形纸片分别沿射线，折叠成如图所示的样子，此时点B，C，D分别落在点，，处，且和在同一条直线上，这样就得到了两条相互垂直的线段，请你写出这两条互相垂直的线段，并说明理由； 【类比再探】 （2）如图2，在四边形的纸片中，，，，连接，小亮将四边形的纸片进行折叠，首先折出了的角平分线，又将沿折叠，点的对应点恰好落在射线上，求线段的长度． 【经典例题三 旋转模型】 13．（24-25八年级上·广东珠海·期中）如图，正方形和正方形全等，与交于点O，正方形绕点O旋转，交于点E，交于F，如果正方形的边长为3． (1)在上述旋转过程中，判断与有怎样的数量关系，并证明； (2)请直接写出四边形的面积为__________，周长最小值为___________． 14．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，，都是等腰直角三角形，． (1)与有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？ (2)连接，试判断与的大小关系，并说明理由． 15．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，与的顶点重合，，，，连接、，将绕点旋转． (1)如图，和的关系为___________． (2)如图，将绕点转动至如图所示示位置时，探究（）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程：若不成立，请说明理由． 16．（25-26八年级上·重庆渝北·阶段检测）如图，在中，，，，把绕点C旋转，在整个旋转过程中，过点A作，垂足为D，直线交于E．    (1)①如图①，当在内部时，求证：； ②如图②当在外部时，探究线段和的数量关系，并证明你的结论； (2)在如图①的条件下，若，，求的长．(直接写结果) 17．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图1，在和中，，，，且点，，在一条直线上，连接，，点，分别为，的中点． (1)求证：； (2)求证：是等腰三角形； (3)在图1的基础上，将绕点按顺时针方向旋转，使点落在线段上，其他条件不变，得到图2所示的图形，（1）（2）中的两个结论是否仍然成立？请你直接写出你的结论． 18．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）在等腰中，，点是线段上一动点，连结，将线段绕点按逆时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接． [问题初探] （1）如图1，连接，若，求证． [探究迁移] （2）如图2，连接，若，求的度数（用含的代数式表示），并说明理由． [拓展应用] （3）如图3，若，，当在线段上运动时，点也随之运动，连结，请直接写出线段的最小值． 【经典例题四 一线三等角模型】 19．（25-26八年级上·河南信阳·阶段检测）（1）发现：如图1，，过点作于点，过点作于点，由，得，又，可以推理得到进而得到____________，_______________．我们把这个数学模型称为“字模型”或“一线三等角”模型； （2）应用：如图2，在中，是上一点，，，，请求出的面积． 20．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的角的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形．   　　   根据对材料的理解解决以下问题： (1)如图，，． ①求证：； ②猜想，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，在中，点为上一点，，，四边形的周长为，的周长为，请求出的长． 21．（25-26八年级上·河南安阳·期中）“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形． 根据对材料的理解解决以下问题： (1)如图1，，．猜想，，之间的关系：________； (2)如图2，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)如图3，在中，点为上一点，，，，，请直接写出的长． 22．（24-25七年级下·山东济南·期末）（1）【问题初探】 某兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2所示的“一线三等角”型． 已知，，，请在图1和图2中选择一个模型证明． （2）【内化迁移】 在中，，，点D为射线上一动点（点D不与点B重合），连接，以为直角边，在的右侧作三角形，使，． ①如图3，当点D在线段上时，过点E作于F，求的长度； ②如图4，连接，交直线于点M，点D在运动过程中，若，请直接写出的长． 23．（24-25八年级上·广东湛江·期末）通过对下图数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】（1）如图1，，．过点B作于点C．过点D作于点E．求证：，． 我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； 请运用图1的模型解决下列问题： 【模型应用】（2）如图2，且．且．请按图中所标注的数据（于点P，于点G，与点H．，，）．计算图中实线所围成的图形的面积为______． 【深入探究】（3）如图3，，，，连接，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点． 【拓展延伸】（4）如图4，在平面直角坐标系中．点A的坐标为．点B的坐标为，第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形?如果存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（25-26七年级下·陕西西安·期中）综合与实践 央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到：“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”，几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． 【模型感知】 一线三等角模型是初中数学三角形全等知识点考察的经典模型，在同一条直线上，依次分布三个相等的角，两角外侧各有一个三角形，由此构成的几何图形叫做一线三等角模型． (1)如图1，，射线在这个角的内部，点在的边上，且于点，于．则___________；线段、、之间的数量关系为___________． 【模型应用】 (2)如图2．点在的边、上，点在内部的射线上．已知，．求证：． 【类比探究】 (3)如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，则___________． 【经典例题五 垂直模型】 25．（25-26八年级上·内蒙古通辽·期中）如图，已知，， (1)求证：； (2)猜想：和是否垂直？若垂直，请说明理由；若不垂直，则只写出结论，不用写理由．（延长交点，交点） 26．（25-26八年级下·山东枣庄·期中）如图，在中，，是过点A的直线，于D，于点E． (1)若B、C在的同侧（如图1所示）且，与垂直吗？为什么？ (2)若B、C在的两侧（如图2所示），其他条件不变，与是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由． 27．（25-26七年级下·广东佛山·期中）如图所示，乐乐在公园荡秋千，开始时乐乐坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直，秋千的转轴O到地面的距离；乐乐在荡秋千的过程中，当她摆动到最高点C时，过点C作于点E，此时点C到的距离；当乐乐从C处摆到B处时，则有，过点B作于点D． (1)求证：； (2)求的长． 28．（25-26八年级上·广西南宁·期中）小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球A可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的 A、B、O、C在同一平面上），过点C作于点E，测得，． (1)试说明：； (2)求的长．（用含a，b的式子表示） 29．（25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）（1）把一大一小两个等腰直角三角板（即，）如图1放置，点在上，连结，，的延长线交于点，求证：；    （2）如果把两个等腰直角三角形（即，）按图2放置，连结、交一点， 问与是否垂直？并说明理由．    30．（25-26七年级下·广东深圳·期末）已知：如图所示，直线，与的平分线交于点，过点作一条直线与两条直线、分别相交于点．    (1)如图1，当直线l与直线垂直时，猜想线段之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明； (2)当直线l与直线不垂直，且交点在的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系； (3)如图2，当直线与直线相交于点F时，延长，，分别交，于点E，D，直线与直线所夹的锐角为多少度时，线段之间仍满足（1）间中的数量关系？请说明理由． 【经典例题六 手拉手模型】 31．（25-26八年级上·四川眉山·期中）（手拉手）如图，在和中，，，，，连结，交于点．连结．证明下列结论：①；②；③平分． 32．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）数学基本思想归结为三个核心要素：抽象、推理、模型．图形与几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以达到解决问题的目的 (1)【模型探究】如图1，和中，，且，连接．这一图形称为“手拉手模型”． 求证，请你完善下列过程． 证明：∵， ∴（ ）①． 即． … （ ）② (2) 【类比推理】如图2，中，，以B为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使，求的度数．（提示：可构建手拉手模型，在上找一点E，使） 33．（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成在相对位置变化的同时始终存在一对全等三角形通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”兴趣小组进行了如下探究： （1）如图1，两个等腰三角形和中，，，，连接、，如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和全等的三角形是______，此线和的数量关系是______． （2）如图2，两个等腰直角三角形和中，，，，连接、，两线交于点，请判断线段和的关系，并说明理由． 34．（25-26八年级上·河北保定·期中）我们把有公共顶点且形状相同的两个三角形组成的图形称为“手拉手”图形．数学实践小组的几名同学对“手拉手”图形进行了探究．如图1、图2，与的顶点重合，，，． 【初步探究】（1）如图1，连接，，他们通过测量发现． ①请你证明他们的结论； ②判断与之间的位置关系，并说明理由； 【大胆猜想】（2）在（1）的条件下，连接，，他们猜想的面积与的面积相等，请你判断他们的猜想是否正确，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图2，连接，，当时，延长交于点，且，的面积为32，直接写出的长度． 35．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段检测）综合实践 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组成员称此图形为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题． (1)如图1，在和中，，点D在边上，连接、，且B、D、E三点共线，则图中与线段相等的线段是______，______； (2)如图2，在和中，，连接、相交于点O． ①找出图中与相等的线段，并证明； ②求的度数（用含的代数式表示）． (3)如图3，在和中，，连接、交于点F． ①探究线段与之间的关系，并证明； ②如图4，连接，连接并延长交于点G，求的度数． 36．（25-26八年级上·河南南阳·期中） (1)问题发现： 两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形， 如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，分别连接，．求证：；（请在下面的证明过程中填写上理由或数学式） 证明： 在和中 ① ②（_________________） ③（________________________________________________） (2)类比探究：如图2，和都是等腰三角形，即，，且，B，C，D在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由． (3)问题解决：如图3，若和均为等腰直角三角形，且，，，点A，D，E在同一条直线上，为中边上的高，连接，若，，请直接写出的长，不说明理由． 【经典例题七 半角模型】 37．（25-26八年级上·山东临沂·期中）【问题背景】 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过翻折、旋转或截长补短等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，进一步构成全等三角形，从而构建模型，解决问题． 如图1，在四边形中，，点，分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小雨同学的方法是延长到点．使，连接，先证明，再证明，从而得出结论：_____； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． 38．（25-26七年级下·山东济南·期末）定义：若一个三角形中，其中有一个内角是另外一个内角的一半，则这样的三角形叫做“半角三角形”．例如：等腰直角三角形就是“半角三角形”．在钝角三角形中，，，，过点的直线交边于点．点在直线上，且． （1）如图1，若，，点在延长线上，图中是否存在“半角三角形”（除外），若存在，请写出图中的“半角三角形”，并证明；若不存在，请说明理由； （2）如图2，若，保持的度数与（1）中的结论相同，请直接写出，，满足的数量关系． 39．（25-26八年级下·湖南常德·期中）如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且（此时），我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，之间的关系，将绕点顺时针旋转得到后，解决了这个问题． (1)如图2． ①求证：； ②求出、、之间的关系； (2)如图3，等腰直角三角形，点E，F在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由； 40．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，四边形是正方形，分别在边和上，且（此时），我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段之间的关系，将绕点顺时针旋转后解决了这个问题． (1)①请直接写出线段之间的关系___________． ②若正方形边长为，点为中点，则___________ (2)如图，等腰直角三角形，，，点在边上，且，请写出之间的关系，并说明理由． (3)如图，在中，，，点在边上，且，当，时，则的长为___________． 41．（25-26八年级下·河北保定·期末）综合与实践 【问题背景】 如图1，在中，，，点、是边上的两点（点在、之间）且，我们把这种模型称为“半角模型”．在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步探索】 如图2，将绕点逆时针旋转得到，连接． 求证： (2)【探索延伸】 如图3，当时． ①若，求的长； ②若为直角三角形，则________； (3)【延伸拓展】 如图4，若，，线段（）．则的长为________（用含的代数式表示）． 42．（25-26八年级上·北京房山·期末）定义：若一个三角形中，其中有一个内角是另外一个内角的一半，则这样的三角形叫做“半角三角形”. 例如：等腰直角三角形就是“半角三角形”.在钝角三角形中，，，，过点的直线交边于点．点在直线上，且． （1）若，点在延长线上．       ① 当，点恰好为中点时，依据题意补全图1.请写出图中的一个“半角三角形”：_______; ② 如图2，若，图中是否存在“半角三角形”（△除外），若存在，请写出图中的“半角三角形”，并证明；若不存在，请说明理由； （2）如图3，若，保持的度数与（1）中②的结论相同，请直接写出，， 满足的数量关系：______． 【经典例题八 倍长中线模型】 43．（24-25七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题： 如图，在中，，求出边上的中线的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用二角形的三边关系可得AE的取值范围，从而得到AD的取值范围： 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形， 把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 解：________ 44．（24-25八年级上·江西赣州·阶段检测）【特例感知】 如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． （1）中线的取值范围是______． 【类比迁移】 （2）如图2，在四边形中，为的中点，点在上，，，求证：平分． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，是边上的中线，E是上一点，连接并延长交于点F，，求证：． 45．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）（1）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在中，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： 　　 ①延长到，使得； ②再连接，把集中在中； 请完成任务1：在图1中找出与的数量关系并证明．； ③利用三角形三边关系可得． 任务2：的取值范围是_________． （2）感语：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． （3）思考：如图2，是的中线，． 任务3：探究线段与的数量关系并加以证明． 46．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题，如图，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使， 请根据小明的方法思考：    （1）由已知和作图能得到的理由是 ． A．       B．        C．        D． （2）求得的取值范围是 ． A．                   B． C．                   D． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中， [方法应用] （3）如图，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想．    47．（25-26八年级上·贵州铜仁·期末）某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明“”的推理过程． (1)求证： 证明：延长到点，使 在和中 （__________） 请补齐空白处 (2)由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围是__________； (3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 48．（25-26七年级下·吉林长春·期中）【提出问题】 数学课上老师提出如下问题：如图①，在中， 是 边上的中线，，，若 边的长为整数，求 边的长．小张同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 至点 ，使，连接，能得到，所以，进而利用三角形的任意两边之和大于第三边解决问题． 【思考发现】 (1)如图①，的理由是　　　　； A．                B．               C．                D． (2)根据小明的方法思考，可得 的长可能为　　　　；（写出一个即可） 【类比迁移】 (3)如图②， 是的中线，交 于点 ，交 于点 ，． 求证：． 以下是部分证明过程： 证明：如图③，延长 至点 ，使，连结． ⋯⋯ 请完成上述证明过程． 【学以致用】 (4)如图④，在和中，， ， ，连结 、，取 的中点 ，连结．若，则　　　　． 【经典例题九 对角互补模型】 49．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，四边形中，平分，与互补．和是否相等？如果相等，请给予证明；如果不等，说明理由． 50．（25-26七年级下·陕西铜川·期末）如图，在中，，，为边的中点，交的延长线于点，连接，过点作平分交于点F．    (1)试判断与之间的数量关系，并说明理由； (2)与互补吗？若互补，请说明理由；若不互补，请写出与之间的数量关系． 51．（2025七年级下·全国·专题练习）已知P为的平分线上的任意一点，与互补，的两边与的两边交于，两点．      (1)如图①，若，当绕着点P旋转时，写出和的数量关系，并说明理由； (2)如图②，当时，与仍然互补，这时（1）中的数量关系是否仍然成立？请说明理由． 52．（25-26七年级下·福建宁德·期末）（1）根据图形填空： ①若，则根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得_______； ②若，则根据“_________”，可得________． （2）已知：．求作：，使．（保留作图痕迹，不写作法） 53．（25-26七年级下·河北保定·期中）如图，点、分别在、上，小华想知道和是否互补，但是他没有带量角器，只带了一副三角板，于是他想了这样一个办法：首先连接，再找出的中点，连接并延长和直线相交于点，经过测量他发现，因他得出结论：和互补，而且他还发现小华是这样想的： ∵和相交于 ∴；（    ） 又∵是的中点， ∴，（    ） 又∵ ∴≌．（    ） ∴．（    ） ．（    ） ∴（    ） ∴（ ） 请把理由填在括号里 54．（2026·重庆·模拟预测）学习了四边形后，小麦同学想继续探索邻边相等的四边形特征，请根据他的思路完成以下作图与填空： (1)用直尺和圆规，过点C作交于点N，过点C作交于点M，（只保留作图痕迹） (2)在（1）所作图形中，四边形，，连接，求证：平分， ∵， ∴， ∵， ∴在四边形中，， 又∵， ∴① ， ∵， ∴（②    ）， ∴， ∴（依据：③     ） 小麦同学进一步研究发现，四边形中满足邻边相等，且对角互补，均有以上特征，请你依照题意完成下面命题：若四边形邻边相等，对角互补，则④ ． 【经典例题十 角平分线模型】 55．（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，是的角平分线，请完成以下作图与填空： (1)用尺规在右侧作，使得，射线交于点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在中，，，是的角平分线，．求的度数． 解：在中，________①______°， ． 是的角平分线， _________②_________． ， ___________③___________， ． 56．（24-25八年级上·江西赣州·阶段检测）综合与实践 【问题提出】如图，在中，是它的角平分线．对于这一图形，某数学兴趣小组进行了如下探究： 分别过点D作于E，于F，运用角平分线的性质可证得．完成这一证明后，提出一个新的问题：与有什么数量关系呢？ 【特例感知】（1）如图2，若时， （填“”“”或“”）； 【深入探究】（2）如图1，当时，（1）中的结论还成立吗，写出你的猜想并给予证明； 【结论应用】（3）如图3，是的角平分线，且与相交于O，若，，求出的值． 57．（25-26八年级上·广西南宁·阶段检测）问题呈现． 角平分线的性质 角的平分线上的点与角两边的点所连线段与角两边的位置关系的特殊情形，如图，是的平分线，P是上任一点，作与的垂线，垂足分别为点D和点E，通过测量，我们发现与相等．再类似取点，，…进行同样操作，发现它们仍相等，由此猜想有： 角平分线上的点到角两边的距离相等． 请结合图形写出已知和求证，并完成推理过程． 已知：_____，求证：_____． (1)定理证明：结合图1写出已知和求证，并写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程． (2)定理应用：如图2，在四边形中，，点E在边上，平分，平分．求证：． 58．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）角平分线性质定理描述了角平分线上的点到角两边距离的关系，小储发现将角平分线放在三角形中，有一些新的发现，请完成下列探索过程：    【知识回顾】 （1）如图1，是的平分线上的一点，于点，作于点，试证： 【深入探究】 （2）如图2，在中，为的角平分线交于于点，其中，求． 【应用迁移】 （3）如图3，中，的角平分线与的中线交于点为中点，连接，若，则的长度为__________． 59．（25-26七年级下·湖南·期末）探究角平分线定理： (1)在横线上分别填上适当的条件和理由． 已知，如图1，是的角平分线，点D是射线上任意一点，于E点，于F点，求证：． 证明：∵， ∴． ∵是的角平分线， ∴． 在与中， ， ∴（___________） ∴． 从而我们得到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等． (2)利用角平分线的性质解决以下两个问题： ①如图2，在中，与的角平分线交于D点，过D点作于H点，若的面积为s，周长为c，的长度为h，求s、c、h的关系． ②如图3，在中，平分交于D点，求证：． 60．（25-26八年级上·吉林长春·阶段检测）【教材呈现】下面是教材八年级上册的部分内容： 例5证明：全等三角形对应边上的高相等． 已知：如图1，，、分别是的边和的边上的高．求证：． 【问题解决】从图中可以看出，、分别属于和，要证明，只需证明这两个三角形全等即可．补全下列证明过程： 证明：∵（已知） ∴ ∴（________） ∴（__________） 【拓展延伸】小彤想要探究全等三角形对应角的角平分线之间的关系． ①仿照“全等三角形对应边上的高相等”写出你的猜想：________； ②如图2，她挑选了两个全等的三角形（），其中的角平分线AM已经给出，请你利用尺规作图：作出的角平分线． ③结合【问题解决】中的证明思路，验证你的猜想． 学科网（北京）股份有限公司 $