专题01 全等三角形的性质与判定 重难点题型专训 -2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦全等三角形的性质与判定核心知识点，从全等图形概念切入，衔接全等三角形定义及对应元素识别，系统梳理性质（对应边、角相等）和判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），通过基础题型巩固与提高题型（辅助线模型）深化，构建完整学习支架。 资料亮点在于分层设计14类基础题型（含概念辨析、性质应用等）和3类提高题型（倍长中线等辅助线模型），结合即时训练与例题，培养几何直观和推理能力。自我检测助力学生查漏补缺，课中辅助教师分层教学，课后方便学生自主巩固知识盲点。

专题01 全等三角形的性质与判定重难点题型专训（4个知识点+14大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、图形的全等 1 题型二、全等三角形的概念 2 题型三、全等三角形的性质 3 题型四、用SAS证明三角形全等（SAS） 4 题型五、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 5 题型六、用SSS证明三角形全等（SSS） 6 题型七、用HL证全等（HL） 7 题型八、添加条件使三角形全等 8 题型九、灵活选用判定方法证全等 9 题型十、结合尺规作图的全等问题 10 题型十一、过直线外一点作已知直线的平行线 11 题型十二、尺规作图——作三角形 12 题型十三、利用全等图形求正方形网格中角度之和(全等图形） 13 题型十四、全等三角形综合问题 14 第二部分·练提高题型 题型一、全等三角形的辅助线问题一一倍长中线模型 1 题型二、全等三角形的辅助线问题一一垂线模型 2 题型三、全等三角形的辅助线问题一一旋转模型 3 第三部分・自我检测 知识点01 全等图形 定义：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫做全等图形. 例如图1中的两个图形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图2中的两个图形面积相同，但形状不同，也不是全等图形。 图1 图2 【即时训练】 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列选项中，两个图案不属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是全等图形的识别，掌握全等图形的概念是解决问题的关键．利用全等图形的概念（两个图形能够完全重合，就是全等图形）可得答案． 【详解】解：A、两个图形能够完全重合，是全等图形，不符合题意； B、两个图形能够完全重合，是全等图形，不符合题意； C、两个图形能够完全重合，是全等图形，不符合题意； D、两个图形形状相同，但大小不同，不能完全重合，不是全等图形，符合题意； 故选：D． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列图形中是全等图形的是__________．（填序号） 【答案】⑤和⑦ 【分析】根据能够互相重合的两个图形叫做全等图形解答． 【详解】解：由全等形的定义可知：⑤和⑦是全等图形， 故答案为：⑤和⑦． 【点睛】本题考查了全等图形，是基础题，熟记概念并准确识别各图形的形状是解题的关键． 知识点02 全等三角形 定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。 要点诠释： 1.对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角。如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。 2.找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·广东江门·期末）下列说法正确的是（    ） A．周长相等的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．完全重合的两个三角形全等 D．所有的等边三角形全等 【答案】C 【分析】根据全等三角形的定义，此题应采用排除法，对选项逐个进行分析从而确定正确答案． 【详解】解：A．全等三角形的周长相等，但周长相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误； B．全等三角形的面积相等，但面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误； C．正确，符合全等三角形的定义； D．边长不相等的等边三角形不全等，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的定义，掌握全等三角形的定义是解答本题的关键． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做_________，重合的边叫做_________，重合的角叫做_________．记两个三角形全等时，通常把表示_________的字母写在对应位置上． 【答案】 对应顶点 对应边 对应角 对应顶点 【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，以及对应顶点、对应边、对应角的概念填空． 【详解】解：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角．记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上． 故答案为：对应顶点；对应边；对应角；对应顶点． 【点睛】此题主要考查了全等形及相关概念，属于基本概念题，是需要识记的内容． 知识点03 全等三角形的性质 1.性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． 2.数学语言表示：△ABC≌△A'B'C'，AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'；∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'． 3.全等三角形其他性质：由全等三角形的定义还容易知道，全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等．但是周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三角形也不一定全等． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）若如图所示的两个三角形全等，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的对应角相等，进行求解即可. 【详解】解：∵两个三角形全等，且的两条邻边分别为， ∴. 2．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，，请根据图中提供的信息，写出的值为______． 【答案】18 【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，由角度确定出全等三角形的对应边是解题的关键． 先利用三角形的内角和定理求出，再根据全等三角形对应边相等即可解答． 【详解】解：如图，， ∵， ，即． 故答案为：18． 知识点04 全等三角形的判定 一、全等三角形判定1——“边边边” 定理1：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 二、全等三角形判定2——“边角边” 定理2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：1. 这里的角，指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 三、全等三角形判定3——“角边角” 定理3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 四、全等三角形判定4——“角角边” 定理4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 要点三、判定方法的选择 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 2.如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 3.三角形证全等思路 五、判定直角三角形全等的特殊方法——“HL” 定理5：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 【即时训练】 1．（26-27八年级上·山东济南·期中）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析被墨迹污染后的三角形剩余部分的特征，并结合全等三角形的判定定理来判断． 【详解】解：被墨迹污染的三角形，剩余部分保留了两个角和它们的夹边，符合全等三角形的判定条件，因此，根据可以画出一个与原三角形完全一样的三角形． 2．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）如图， ，要证明，还需要的条件是：_______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查添加条件证明两个三角形全等，掌握知识点是解题的关键． 根据证明即可． 【详解】解：，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 【基础题型一 图形的全等】 【例1】（25-26八年级上·广西防城港·期末）下列各组中的两个图形属于全等形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等形的定义，关键是理解全等形需要形状和大小都完全相同，能够完全重合． 【详解】解：根据全等形的定义，能够完全重合的两个图形是全等形，即形状和大小都完全相同． 选项A中，一个是圆形，一个是方形，形状不同，不是全等形； 选项B中，一个是六边形，一个是五边形，形状不同，不是全等形； 选项C中，两个三角形大小不同，不是全等形； 选项D中，两个心形的形状和大小都完全相同，能够完全重合，是全等形； 故选：D． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）图中全等的图形是________和________；________和________；________和________；________和________；________和________；________和________． 【答案】 （1） （11） （2） （10） （3） （6） （4） （7） （5） （8） （9） （12） 【分析】本题考查了全等图形的定义，根据完全重合的图形为全等图形进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：观察图形， 得图中全等的图形是（1）和（11）；（2）和（10）；（3）和（6）；（4）和（7）；（5）和（8）；（9）和（12）． 故答案为：（1），（11），（2），（10），（3），（6），（4），（7），（5），（8），（9），（12） 1．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图所示各选项中的两个图形属于全等图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形，全等图形的形状和大小都相同，对各选项进行判断即可． 【详解】A项：两图形形状不同，不能重合，不符合题意； B项：两图形形状、大小相同，能够完全重合，符合题意； C项：两图形大小不同，不能重合，不符合题意； D项：两图形形状不同，不能重合，不符合题意． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，四边形与四边形全等，则________，________，________，________． 【答案】 ； ； ； ． 【分析】本题考查了全等图形的性质，如果两个图形全等，那么这两个图形的对应角相等、对应边相等． 【详解】解：四边形与四边形全等， ，，，． 故答案为：；；； ． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图所示的是两个全等的五边形，，，点B与点H、点D与点J分别是对应顶点，指出两图中其他的对应顶点、对应边和对应角，并说出图中a、b、c、d、e、各字母所表示的值． 【答案】点A与点G、点C与点I、点E与点F分别是对应顶点， 边和边、边和边、边和边、边和边、边和边分别为对应边，和、和、和、和、和分别为对应角， 【分析】根据全等图形的性质解答即可． 【详解】解：∵五边形和五边形为两个全等的五边形，点B与点H、点D与点J， ∴点B与点H、点D与点J、点A与点G、点C与点I、点E与点F分别是对应顶点， 边和边、边和边、边和边、边和边、边和边分别为对应边，和、和、和、和、和分别为对应角， ∵，， ∴． 【基础题型二 全等三角形的概念】 【例1】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，，则的对应角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的概念，根据已知条件，和，和是对应边，点与点对应点，点与点是对应点，由此即可得到的对应角，理解其概念是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的对应角是， 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·全国·阶段练习）如图，与全等，可以确定与_________是对应角，若与是对应边，则与_________是对应边． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的定义，根据全等三角形的定义求解即可． 【详解】解：由图可知，与是对顶角， ∵与全等， ∴与是对应角， 又与是对应边， ∴与是对应边， 故答案为：，． 1．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）下列四个图形中，是全等形的是（    ）      A．①和② B．③和④ C．①和③ D．②和③ 【答案】B 【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，进而分别判断得出答案． 【详解】解：A．不是全等形，故此选项不合题意； B．是全等形，故此选项符合题意； C．不是全等形，故此选项不合题意； D．不是全等形，故此选项不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是全等图形，做题时要注意运用定义，注意观察题中图形． 2．（25-26八年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，．下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的是________．（填序号）    【答案】②④ 【分析】本题主要考查了全等三角形的有关概念，解题时应注重识别全等三角形中的对应边、对应角． 根据全等三角形的有关概念，即可求解． 【详解】解：∵， ∴与是对应边，故①错误； 与是对应边，故②正确； 与是对应角，故③错误； 与是对应角，故④正确． 所以正确的有②④． 故答案为：②④ 3．（25-26八年级上·全国·期中）如图，已知．写出对应边、对应角． 【答案】对应边：与，与，与；对应角：与，与，与． 【分析】本题考查全等三角形的对应边与对应角．把两个全等的三角形重叠到一起时，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角．据此即可解答． 【详解】解：略． 【基础题型三 全等三角形的性质】 【例1】（25-26七年级下·重庆北碚·期末）如图，，若，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质得出对应边相等，即，再结合图形中线段的和差关系即可求解． 【详解】解：， ， ，， ． 【例2】（2026·四川成都·二模）如图，已知，点E，A，B依次在同一条直线上，若，，则的长为________． 【答案】6 【分析】根据全等三角形的对应边相等，得出，，然后根据已知线段的长度求出结果即可． 【详解】解：∵， ，， ∵， ， ∵， ，即． 1．（25-26七年级下·福建宁德·期中）如图，点D、B在上，，，，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】由得到，则，再由线段和差求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·湖北荆州·期末）图，，，，点P在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上由点向点运动，设运动时间为，则______ （用含有t的式子表示）；当与全等时，点的运动速度为________． 【答案】 2或3 【分析】本题考查了动点几何、全等三角形的性质，设点的运动速度为时，有，，，当与全等时，需要分和两种情况讨论，根据全等三角形对应边相等，可得关于、的方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：设点的运动速度为时，与全等， 则有，，， 当时， 可得：，， ，， ， 解得：， 点的运动速度为； 当时， 可得：，， ， 解得：， 点的运动速度为； 综上所述，点的运动速度为或． 故答案为：；或． 3．（25-26八年级上·山西朔州·阶段检测）如图，已知，，，． (1)求的度数； (2)求的长． 【答案】(1) (2)10 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）利用全等三角形的性质得到，再利用三角形内角和运算求解即可． （2）利用全等三角形的性质得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：， ， ∴． （2）解：∵， ， ， ， ． 【基础题型四 用SAS证明三角形全等（SAS）】 【例1】（25-26八年级上·山西朔州·期末）几何中有著名的“蝴蝶定理”，小华受此启发画了两个如图所示的共直角顶点的三角形，组成了类似于“蝴蝶翅膀”的图形．若，，，则证明运用的三角形全等的判定方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据全等三角形判定即可得出结论． 【详解】解：在和中， ， ∴． 故选：B． 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，，垂足分别为，，，，，点为边上一动点，当________时，形成的与全等． 【答案】2 【分析】根据题意首先要找出与对应的边，结合已知条件可知与相等时，由可判定，据此即可求出的值． 【详解】解：∵，，，， ∴，， ∴只有、时，与全等， ∵，， ∴，此时， 在与中， ， ∴， ∴当时，形成的与全等． 1．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）下图是三个叠在一起的三角形（三角形），部分图形被遮盖，要作出与图中三角形完全相同的三角形，下列说法不正确的是（    ） A．都可以 B．作的依据可以是 C．都可以 D．作的依据是 【答案】C 【分析】本题考查了用证明三角形全等（），用（）证明三角形全等（或者），解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据全等三角形的判定，对四个选项逐一分析，再作出判断即可． 【详解】解：只知道一个角，不能作出与完全相同的三角形； 知道三个角与两边，可以根据、、，作出与完全相同的三角形，故B正确； 知道两角夹边，可以根据，作出与完全相同的三角形，故D正确； 综上所述，、都可以，故A正确； 所以C错误， 故选：C． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知，要证明：． （1）若以“”为依据，则需要添加的一个条件是______． （2）若以“”为依据，则需要添加的一个条件是_______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定方法需要用到的条件是解题的关键． （1）若以“”为依据，那么需要两组对应边相等以及这两边的夹角相等，根据题意，可知，，那么添加的另一条边相等即可； （2）若以“”为依据，那么需要两个角以及一组邻边相等，根据题意，可知，，那么添加和的对角即可． 【详解】解：（1）根据题意，可知，，若以“”为依据，那么添加的条件为：； 故答案为：； （2）根据题意，可知，，若以“”为依据，那么需要添加的条件为：， 故答案为：． 3．（2026·广东佛山·二模）如图，在和中，，，，在同一条直线上，与相交于点．下面给出四个关系：①；②；③；④． (1)任选三个关系作为已知条件，余下一个作为结论，构成一个真命题（用序号表示），并证明． (2)在（1）条件下，当的面积是面积的一半时，若，求的长度． 【答案】(1)①③④⇒②(答案不唯一)，证明过程见解析 (2) 【分析】(1)根据题意选三证一，过程及结论准确合理即可(答案不唯一)； (2)根据三角形全等的性质得出，进而得出，，再由的面积是面积的一半，得出三角形对应边长的比的平方等于对应面积的比，得出，最后，由 ，得出 ，即可求出． 【详解】（1）解：①③④⇒②．（答案不唯一） 已知：在和中，B，E，C，F在同一直线上，，，． 求证：． 证明过程如下： ∵，，， ， ∴． ∵，，， ∴， ∴； （2）解：由(1)知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积是面积的一半， ∴， ∴，即． 由(1)可知， 又∵， ∴ ． ∴ ． ∴． 【基础题型五 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）】 【例1】（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）如图，与相交于点O，，不添加辅助线，用ASA判定，需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用（）证明三角形全等（或者），解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先说明，再根据求解即可． 【详解】解：∵与相交于点O， ∴， 在与中， ， ∴， 故选：B． 【例2】（25-26八年级上·山西忻州·阶段检测）如图，嘉嘉与淇淇玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是60cm，当淇淇从水平位置垂直上升15cm时，嘉嘉离地面的高度是______cm． 【答案】45 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 过点O作地面于点G，则，证明，得出，即可推出结果 【详解】如图，过点O作地面于点G，则， 由题意可知，，，， ∴， ∴， ∴嘉嘉离地面的高度是． 故答案为：45． 1．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图，，，，则的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．先求得，再利用证明即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，， ∴， 故选：D． 2．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，已知，要判断，若根据“”，则还需要的一个条件是_______． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定（），解题关键是掌握全等三角形的判定（）． 根据全等三角形的判定（），添加条件即可． 【详解】解：，， 添加或， 可根据“”， 判断， 故答案为：或． 3．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，点是线段上的点，．求证：．图中还有其他的全等三角形吗？说明你的理由． 【答案】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； 图中还有其他的全等三角形，如、， 理由：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】利用“”证明，再利用“”证明，“”证明即可． 【详解】略 【基础题型六 用SSS证明三角形全等（SSS）】 【例1】（25-26八年级上·湖南常德·期末）尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，用尺规作“一个角等于已知角”的过程中，作出的依据是（   ） A．边边边 B．边角边 C．角边角 D．角角边 【答案】A 【分析】本题主要考查了尺规作一个角等于已知角，全等三角形的判定．根据尺规作图的过程可知，，，再根据全等三角形的判定定理得出答案． 【详解】解：由作图过程可知，，， ∴ ∴的依据是边边边． 故选：A． 【例2】（25-26七年级下·河南郑州·阶段检测）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，过角尺顶点作射线由该做法得到的依据是__________． 【答案】/边边边 【分析】由作图过程可得，，再加上公共边，可利用定理判定． 【详解】解：在和中 ， ∴． 1．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）图1是一乐谱架，图2是底座的平面图，其中，点E，F分别为，中点，，是连接立杆和支撑杆的支架，且．立杆总有，其判定依据是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握好全等三角形的判定定理是关键． 根据题设条件，选择合适的判定依据即可． 【详解】解：∵， 又∵点E，F分别为，中点， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：B． 2．（25-26七年级下·四川·期中）小明回顾了用尺规作的过程是： 由尺规作图可知，，，， 所以________， 所以________．（填写理由依据） 【答案】 全等三角形的对应角相等 【分析】根据全等三角形的判定定理及性质解答即可． 【详解】解：由尺规作图可知，，，， 所以， 所以（全等三角形的对应角相等）． 3．（26-27八年级上·全国·课后作业）根据题图及相应的条件，能否判定下面分别给出的两个三角形全等？ (1)如图①，线段与相交于点．和． (2)如图②，．和． (3)如图③，线段与相交于点．和． (4)如图④，．和． 【答案】(1)能 (2)能 (3)不能 (4)能 【分析】（1）利用即可证明两个三角形全等； （2）利用即可证明两个三角形全等； （3）两个三角形没有一组边对应相等，故不能判定两个三角形全等； （4）利用即可证明两个三角形全等． 【详解】（1）解：能，证明如下： 在和中， ， ∴； （2）解：能，证明如下： 在和中， ， ∴； （3）解：不能，理由如下： ∵在和中，只有，没有一组边对应相等， ∴不能判定与全等； （4）解：能，证明如下： 在和中， ， ∴． 【基础题型七 用HL证全等（HL）】 【例1】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，于点O，连接、，若，，则可判定，依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件识别出直角三角形及对应的斜边和直角边即可判断三角形全等． 【详解】解：∵于点， ∴， ∴和均为直角三角形， 在和中， ， ∴， 则可判定，依据是． 【例2】（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图，已知，．要使，还需增加一个条件可以是________．    【答案】（答案不唯一） 【分析】根据垂直的定义可得，结合公共边，利用直角三角形全等的判定定理或添加条件即可． 【详解】解：这个条件可以是， ，， ， 在和中， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 1．（25-26八年级上·贵州安顺·期中）如图，与是直角三角形，，下列各组条件中，可以直接用“”来判定的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定方法：，，，，． 根据全等三角形的判定定理求解判断即可． 【详解】解：A、∵，，， ∴由能判定和全等，故此选项不符合题意； B、∵，，， ∴由能判定和全等，故此选项不符合题意； C、∵，，， ∴由能判定和全等，故此选项符合题意； D、∵，，， ∴由能判定和全等，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）如图，点在同一条直线上，且，若用“”证明三角形全等，则还需要添加的条件为：___________． 【答案】（或） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据题意直接进行求解． 【详解】解：∵， ∴当添加（或）时，则可根据“”得到； 故答案为（或）． 3．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图，在中，，，，、两点分别在线段和过点且垂直的射线上运动，且点不与点，重合，，那么当点运动到什么位置时，才能使与全等？ 【答案】当点运动到线段的中点位置时，能使与全等 【分析】先得到两个三角形均为直角三角形，结合斜边，利用定理分类讨论直角边对应相等，再结合点不与点重合的限制，排除，最终确定． 【详解】解：∵，， ∴， ∴与都是直角三角形， ①当时，点与点重合，不符合题意， ②当时，在与中， ∵， ∴， ∵， ∴，即点是线段的中点， 综上所述，当点运动到线段的中点位置时，能使与全等． 【基础题型八 添加条件使三角形全等】 【例1】（25-26八年级下·贵州毕节·期中）如图，在和中，，要使，下面是四个同学补充的条件，其中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知 及公共边 ，根据直角三角形全等的判定定理（）或一般三角形全等判定定理（）逐项验证即可． 【详解】解：已知 ，， 对于A，若 ， 在 和 中， ， ，条件正确，故本选项不符合题意； 对于B，若 ， 在 和 中， ， ，条件正确，故本选项不符合题意； 对于C，若 ， 在 和 中， ， ，条件正确，故本选项不符合题意； 对于D，设 与 交于点 ， ，， ，此结论由已知条件即可推出，无法判定 ，条件错误，故本选项符合题意． 【例2】（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，已知，要用“边角边（）”判定，还需添加一个条件，这个条件是_____．（只需添加一个条件，不添加辅助线） 【答案】 【分析】根据全等三角形的判定定理“边角边”，已知一组对应角相等和一组公共边，需补充夹角的另一组对应边相等． 【详解】解：∵要用“边角边（）”判定，已知一组对应角相等和一组公共边， ∴需补充夹角的另一组对应边相等， 即． 1．（25-26八年级上·山西吕梁·期末）如图，点在上，点在上，．下列条件中能判断的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知，为公共角，根据全等三角形的判定，进行解答，即可． 【详解】解：已知，是公共角； A、，无法判定三角形全等，不符合题意； B、，无法判定三角形全等，不符合题意； C、， 则， ∴ ，符合题意； D、，无法判定三角形全等，不符合题意； 2．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）如图， ，要证明，还需要的条件是：_______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查添加条件证明两个三角形全等，掌握知识点是解题的关键． 根据证明即可． 【详解】解：，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 3．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）已知：如图，点在上，． 请从①；②；③这三个选项中，选择一个作为条件，使得，并说明理由． 解：选择条件是___________．理由是： 【答案】②， 理由：∵， ∴， ∵, ∴, 在和中 ∴； ③， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∵, ∴, 在和中 ∴． 【分析】根据全等三角形的判定方法结合平行线的性质逐一判断证明即可． 【详解】选①或②，理由略． 若选①，满足的是边边角，不能判定两个三角形全等． 【基础题型九 灵活选用判定方法证全等】 【例1】（25-26八年级上·江苏连云港·期中）下列各图中，a，b，c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧全等的是（　　） A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙 【答案】B 【分析】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与全等，甲与不全等． 【详解】解：在和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：，所以乙和全等； 在和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：，所以丙和全等； 不能判定甲与全等； 故选：B． 【例2】（25-26八年级上·浙江金华·期末）小数同学在探究三角形全等的条件时，设计了一个如图所示的数学实验，把两根木条的一端用螺栓固定点位置，然后固定木条，摆出．把木条转动一定角度后，点刚好落在直线上的处．此实验得到的结论是：_____的两个三角形不一定全等． 【答案】有两边和其中一边的对角分别相等 【分析】本题考查了全等三角形的判定，在和中，为公共边，，，锐角三角形与钝角不全等，从而说明有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不能确定全等． 【详解】解：在和中，为公共边，，， 而与不全等， 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 故答案为：有两边和其中一边的对角分别相等． 1．（25-26八年级上·安徽黄山·阶段检测）如图，已知，则甲、乙、丙三个三角形中与全等的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握并充分理解三角形全等的判定定理是解题的关键． 根据三角形全等的判定定理逐个进行分析即可． 【详解】解：由图可知，的三条边长分别为6，8，10，甲的三条边长分别为9，9，6，乙的三条边长分别为6，8，10，丙的三条边长分别为8，8，9， ∴乙的三条边长与的三条边长对应相等， ∴乙与全等． 故选：B． 2．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）如图，已知，要使，那么可以添加条件_________． 【答案】或或平分（任选其一即可） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角． 已知，，则只能用或证明，进而作答即可． 【详解】由题意可知，， ∴要使，可用或证明， ∴或或平分， 故答案为：或或平分（任选其一即可） 3．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图，，，，与交于点F，连接、． (1)请找出图中的全等三角形； (2)你认为线段与之间存在怎样的数量关系，请说明理由． 【答案】(1)；；；； (2) 解：，理由如下： 在和中， ， ∴； ∴，，， ∴， ∴， 在与中， ； ∴，， ∴，即， 在与中， ， ； ∴． 【分析】（1）利用全等三角形的判定定理判定即可； （2）利用得到即可． 【详解】（1）解：在和中， ， ∴； ∴，，， ∴， ∴， 在与中， ； ∴，， ∴，即， 在与中， ， ； 在和中， ， ∴； ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； 综上，全等三角形有；；；；； （2）略 【基础题型十 结合尺规作图的全等问题】 【例1】（24-25八年级上·河南洛阳·期中）程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动，图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图． 有以下结论： ①当，时，可得到形状唯一确定的； ②当，时，可得到形状唯一确定的； ③当，时，可得到形状唯一确定的． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】以为圆心，长为半径画弧，与射线有1个交点，则可得到形状唯一确定的，否则不能得到形状唯一确定的．根据此观点进行解答便可．本题主要考查全等三角形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：①当，时，以为圆心，6为半径画弧，与射线有两个交点，则的形状不能唯一确定，故①错误； ②当，时，以为圆心，10为半径画弧，与射线有一个交点，点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的，故②正确； ③当，时，以为圆心，12为半径画弧，与射线有一个交点，点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的，故③正确； 故选：B． 【例2】（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，利用尺规作图：作的平分线的原理是_________．    【答案】SSS 【分析】根据SSS判断三角形全等即可． 【详解】解：如图，连接PM，MQ．由作图可得： ∵OP=OQ，PM=QM，OM=OM， ∴△POM≌△QOM（SSS）， ∴∠POM=∠QOM，即OM是∠AOB的角平分线． 故答案为SSS．    【点睛】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． 1．（25-26八年级上·上海·阶段检测）在课堂上，李老师发给每人一张印有RtABC（如图）的卡片，要求学生们画一个，使得，小海和小华先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．对这两种画法的描述中，错误的是（    ） A．小海作图判定的依据是直角三角形全等的判定定理 B．小海第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C．小华作图判定的依据是 D．小华第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 【答案】D 【分析】本题考查了用圆规作图和全等三角形判定的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据演示确定作图的具体步骤，结合全等的判定方法逐选项进行判断，即可求解； 【详解】解：由图示知，小海第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为；小华第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为． 选项D表述为“小华第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长”明显错误，符合题意， 故选：D． 2．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．若要在图中再画1个格点三角形，使，则这样的格点三角形最多可以画______个．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定画出三角形即可，注意观察图形，数形结合是解决本题的关键． 【详解】解：如图所示：    使，则这样的格点三角形最多可以画7个， 故答案为：7 3．（2026·福建福州·二模）如图，在中，，于点D，为锐角． (1)将线段AD绕点A顺时针旋转（旋转角小于90°），在图中求作点D的对应点E，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，过点C作于点F，连接EF，BE，若，求的值． 【答案】(1) 如图1所示，点E即为所求． (2) 【分析】（1）以点A为圆心，AD为半径画弧，以点B为圆心，以BD为半径画弧，两弧相交于点E，连接AE、BE，则BE即为所求； （2）先证明△ABC是等腰三角形，由等腰三角形的三线合一知，进一步证明，（SSS），得到，，又AF＝AF，，得到（SAS），，在中，，设，，得到，，得到答案． 【详解】（1）理由是：∵AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形， ∵AD⊥BC， ∴BD＝CD＝BC， ∴线段AD绕点A顺时针旋转（旋转角小于90°），旋转角为∠DAE，且； （2）解：如图2，连接DF． 在中，， ∴△ABC是等腰三角形， ∵， ∴， 由（1）可知，， ∴， 又∵， ∴（SSS）， ∴，， 又∵， ∴（SAS）， ∴， ∵， ∴在中，， 设，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、图形的旋转、锐角三角函数、直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键 【基础题型十一 过直线外一点作已知直线的平行线】 【例1】（25-26六年级下·山东威海·期末）如图，用尺规作射线，关于弧的作法描述正确的是（     ） A．以点为圆心，线段的长为半径 B．以点为圆心，线段的长为半径 C．以点为圆心，线段的长为半径 D．以点为圆心，线段的长为半径 【答案】A 【分析】要作 ，实质是作 （同位角相等），根据作图步骤确定弧 的圆心和半径即可． 【详解】解：根据尺规作图“作一个角等于已知角”的步骤： 第一步：以点 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 于点 ； 第二步：以点 为圆心，以 （或 ）长为半径画弧，交 于点 ； 第三步：以点 为圆心，以线段 的长为半径画弧，交前一条弧于点 （图中弧 即为这一步所画的弧）； 第四步：过点 作射线 ，则 ； 关于弧 的作法描述正确的是：以点 为圆心，线段 的长为半径． 【例2】（25-26六年级下·山东威海·期中）如图①，纸片上有一条直线，点为直线外一点，小春用直尺、圆规作图，过点作出一条直线与已知直线平行，作图痕迹如图②所示．请写出她作图的依据是___________． 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】根据平行线的判定方法和尺规作图可得结论． 【详解】解：根据题意可得，所作的角与已知角相等，且为内错角， 根据平行线的判定方法可得，两直线平行，依据为内错角相等，两直线平行． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，小庆用尺规过点B作的平行线，观察作图痕迹，其中弧是（    ） A．以点E为圆心，长为半径的弧 B．以点G为圆心，长为半径的弧 C．以点B为圆心，长为半径的弧 D．以点F为圆心，长为半径的弧 【答案】D 【分析】本题主要考查了尺规作一个角等于已知角， 以点为圆心为半径画弧，交于点，再以点为圆心，为半径画弧，交于点，然后以点为圆心为半径画弧交前弧于点，作射线，则即为所求作，其中弧是以点为圆心为半径画的弧． 【详解】解：弧是以点为圆心为半径画的弧． 故选：D． 2．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）现有直线和直线外一点C，如图是小明同学利用“过直线外一点作已知直线的平行线”的作图痕迹，请问该同学这样作平行线依据的判定定理是：________． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了过直线外一点作已知直线的平行线，同位角相等，两直线平行，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，观察作图过程，得出，又因为是一组同位角，即该同学这样作平行线依据的判定定理是同位角相等，两直线平行． 【详解】解：依题意， 观察作图过程，得出， ∵是一组同位角， 即该同学这样作平行线依据的判定定理是同位角相等，两直线平行， 故答案为：同位角相等，两直线平行． 3．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，点D是边上的点，请用尺规作图法在边上找一点E，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 点E即为所求． 【分析】作交于点，根据同位角相等两直线平行即可得到． 【详解】略 【基础题型十二 尺规作图——作三角形】 【例1】5-26八年级上·湖北武汉·期末）课堂上，李老师先给每人发一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出，后续画图的主要过程如图2所示．这种画图方法的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．根据演示由尺规作图的方法确定作图的具体步骤，即可判断． 【详解】解：由图示知，小宏第一步为截取线段，第二步为作线段， 在与中， ， ， ∴这种画图方法的依据是． 故选：A． 【例2】（25-26八年级上·山西晋城·期末）如图，小明在纸上画了一个三角形，不料被墨水污染了一部分，小刚可以画出一个与小明画的一样的（全等的）三角形，则这两个三角形全等的判定依据是________． 【答案】 【分析】此题主要考查了应用与设计作图，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 作出小刚画出的三角形，再利用全等三角形的判定定理得出即可． 【详解】解：已知：线段和，，求作：，使，，． 作法：（1）作； （2）在射线上截取线段； （3）以为顶点，以为一边作，交于点， 就是所求的三角形． 由作图可知：，，， ∴ 故答案为：． 1．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形． 已知：线段a，c，． 求作：，使，，． 下面是作图示范： 正确作图顺序为（    ） A．①②③④ B．①③②④ C．①③④② D．①②④③ 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图的顺序，根据已知的三角形的两边及其夹角，按照尺规作图的步骤来确定正确的作图顺序． 【详解】解：首先确定三角形的一条边，作线段，对应图①； 作一个角等于已知角α，以B点为顶点，作，对应图③； 在射线上截取线段，在已作的角的射线上，截取，对应图②； 连接，得到，对应图④， ∴正确作图顺序为：①③②④． 故选：B． 2．（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，已知线段a，c和，求作：，使，，，填空： （1）如图②，作______； （2）如图③，在射线上截取______，在射线上截取______； （3）如图④，连接，即所求作的三角形． 【答案】 a c 【分析】本题考查的是尺规作图--按要求作一个三角形，根据作一个角等于已知角和作一条线段等于已知线段的要求完成填空即可． 【详解】解：（1）如图②，作； （2）如图③，在射线上截取，在射线上截取； （3）如图④，连接，即所求作的三角形． 故答案为：；a；c． 3．（25-26八年级上·全国·期末）如图，已知线段和．      (1)求作，使；(保留作图痕迹，不写作法) (2)在（1）的条件下，若， ，求的长． 【答案】(1) 如图所示，即为所求 (2) 【分析】本题考查尺规作三角形，等腰直角三角形的性质和判定，灵活运用所学知识解决问题． （1）先作，再以点A为圆心，以线段的长为半径画圆，交的一条边为B，再作，交的另一条边为C，连接即可． （2）由作法可知：，由此求出，得出是等腰直角三角形，由此即可求解． 【详解】（1）解：略． （2）解：∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 【基础题型十三 利用全等图形求正方形网格中角度之和（全等图形）】 【例1】（25-26八年级上·山东德州·期末）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查网格中的全等图形、三角形的外角性质，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键． 根据网格特点，可得出，，，进而可求解． 【详解】解：如图，则，，， ∴， 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·陕西安康·期中）如图，网格中的所有小正方形的边长相同，则____________ 【答案】/90度 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，先证明得出，即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图， 在和中 ， ， ， ， ， 故答案为：． 1．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点，，，，均在小正方形方格的顶点上，线段，交于点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长 至点 ，使 ，延长 至点 ，使 ，构造全等三角形，得到，由外角的性质可得． 再由，直角三角形的两锐角互余结合角的等量代换即可得到，最后根据计算即可． 【详解】解：如图，延长 至点 ，使 ，延长 至点 ，使 ． 由图可知：，，， ， ． 是 的外角， ，即． ， ，即， ，即． ， ． 2．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）在如图所示的3×3正方形网格中， __________度． 【答案】 【分析】证明，得出,根据网格的特点可知，即可求解． 【详解】解：如图， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即， 根据网格的特点可知， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，根据网格的特点求得是解题的关键． 3．（25-26八年级上·江苏·期末）如图，△ABC的三个顶点均在格点处． (1)过点B画AC的垂线BD； (2)过点A画BC的平行线AE．（请用黑水笔描清楚） 【答案】(1) 画图如下： (2) 画图如下： 【分析】(1)过点B作格点直角三角形与以AC为斜边的直角格点三角形全等，即可画得； (2)过点A画正方形的对角线，即可画得． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了格点作图，平行线与垂线，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【基础题型十四 全等三角形综合问题】 【例1】 （25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，在和中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的为（   ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，准确找到并证明图中的全等三角形是解决问题的关键，还需要能够合理利用全等三角形的性质． 由，，利用等式的性质得到夹角相等，利用得出与全等，由全等三角形的对应边相等得到，①结论正确；由与全等，得到，由等腰直角三角形的性质得到，等量代换得到，②结论正确；由②结论再加上等于，再利用两锐角互余的三角形为直角三角形，得到，③结论正确；④结论正确，利用周角减去两个直角可得答案． 【详解】解：①∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 故①正确． ②∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故②正确． ③由②知，， ∴， ∴， 故③正确． ④∵， ∴， 故④正确． 故①②③④都正确． 故选：D． 【例2】（25-26八年级上·全国·单元复习）已知：如图，在长方形（长方形四个内角均为直角，并且两组对边分别相等）中，，．延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当的值为___________秒时，和全等． 【答案】或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、一元一次方程的应用等知识，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．分和两种情况，证明和全等，进而可得关于的一元一次方程，求解即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可知， 分两种情况讨论， ①当时，如图， ∵， ∴， 由题意得，解得（秒）； ②当时，如图， ∵， ∴， 由题意得，解得（秒）． 综上所述，当的值为1或7秒时，和全等． 故答案为：或． 1．（25-26八年级上·山东潍坊·阶段检测）如图， 已知，，， 点C， E， D， F共线． 下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解决此题的关键是合理的利用全等三角形的性质；先判断三角形全等，根据三角形的全等判断A和B正确，再运用三角形的内角和定理可以判断出D正确，无法判断出C正确，故得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故A正确； 又∵，， ∴， ∴，， 故B正确； ∵， 又∵，， ∴， 故D正确； 无法判断，∴无法判断， 故无法判断出C； 故选∶C． 2．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图所示，在中，，，、分别是、上的点．若，，，则的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形判定与性质是解题关键，过点C作交延长线于点M，先证明，再证明，求出及即可求出结论． 【详解】解：过点C作交延长线于点M， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 则的面积为， 故答案为：． 3．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）根据图形解决以下问题 (1)如图1，在等腰直角中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：； (2)在等腰直角中，，，点D是直线上一动点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为点； ①如图2，点D在线段上，与是否全等？请说明理由； ②如图3，点D在线段延长线上，若，，请直接写出线段的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴． (2)①； 理由：∵，， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴． ②4 【分析】（1）利用同角的余角相等证得，证明即可； （2）①利用同角的余角相等证得，根据证明；②利用同角的余角相等证得，根据证明，再利用等量代换即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：①略 ②∵，， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 【提高题型一 全等三角形的辅助线问题一一倍长中线模型】 【例1】 （2026八年级·全国·模拟预测）如图，在中，已知与的面积相等，如果，，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，构造一个新的三角形．根据三角形的三边关系就可以求解． 【详解】解：延长到E，使， ，已知与的面积相等， 为的底边的中线， ， 在和中 ， ， ， ，， ， 在中，， ， ， ； 故选：B 【例2】（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在中，D是边的中点，，则的取值范围是___________ 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质及三角形的三边关系，证明是本题的关键．延长到，使得，连接，．由“”可证，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题． 【详解】解：如图，延长到，使得，连接，． 是边的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·上海·单元测试）如图，在中，为的中点． (1)求证：； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) 证明：如图，延长至点，使，连接． 为的中点， ， 又， ， ， ， ； (2) 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及三角形的三边关系． （1）延长到，使，连接，再由为中点得到，夹角为对顶角相等，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等得到，在三角形中，利用三角形三边关系即可得证； （2）根据与的长，利用由三角形的三边关系，求出的范围即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ，即． 2．（24-25八年级上·河北保定·期中）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． (1)如图（1），是的中线．且．延长至点．使．连接．求证：． (2)如图（2），是的中线，点在的延长线上，，，求证：． 【答案】(1) 证明：是的中线 ， 在和中， ， ； (2) 证明：延长至，使， 连接， 是的中线， ， ∵ ，， ， ，， ， ， ， ， 即，且，， ， ， ， ． 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形中线的定义． （1）由证明三角形全等可得出答案； （2）延长至M，使，先证明，进而得出，，即可得出，再证明，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 3．（24-25八年级上·甘肃嘉峪关·期中）【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？ 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为，从而得到的取值范围是________________________； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 （2）如图2，，，与互补，连接、，E是的中点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点F，，，求的面积． 【答案】（1）； （2）证明：延长至点，使得，连接，如图所示： 由题意得：， ∵，, ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3） 【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键． （1）根据提示证即可求解； （2）延长至点，使得，连接，证得，，进而可得，再证即可； （3）由（2）可得：，，进一步得；根据题意可证，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵是的中线． ∴， ∵，， ∴， ∴， 可得， 即：， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）解：如图， 由（2）可得：，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【提高题型二 全等三角形的辅助线问题一一垂线模型】 【例1】（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（    ） A．8 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据已知条件，观察图形得，，然后证后求解． 【详解】解：，，于，于， ， ， 又，， ． ，， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定方法；题目利用全等三角形的判定和性质求解，发现并利用，，是解题的关键． 【例2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，直角坐标系中，的顶点，分别在坐标轴上，且，，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为____．    【答案】 【分析】过作轴于点，由，可得，从而证明，再根据全等三角形的性质即可求出，，通过线段和差与点在第四象限即可求解． 【详解】如图，过作轴于点，   ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴点坐标为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握判定与性质的应用和全等三角形的垂线模型． 1．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，三点在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)当满足__________时，？ 【答案】(1) 证明：在和中 ， ∴； ∴， ∵， ∴． (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明． （1）根据证明，得出，即可证明； （2）根据，得出，根据三角形全等的性质即可得出，得出，根据平行线的判定得出． 【详解】（1）略 （2）解：当时，．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． 2．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，点A在直线l上，，过点B作于点C，过点D作交于点E．得．又，可以推理得到．进而得到结论：_____，_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型； (2)如图2，∠于点C，于点E，与直线交于点，求证：． 【答案】(1)， (2) 证明：如图2，作于点， ∵于点，于点E， ∴， 由， 同理（1）得， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【分析】本题考查一线三直角全等问题， （1）由，得，则，而，即可证明，得，，于是得到问题的答案； （2）作于点，因为于点，于点，所以，由（1）得，因为，所以，则，而，即可证明，得，所以，再证明，则． 【详解】（1））解：于点，于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 故答案为：，． （2）略 3．（25-26七年级下·广东深圳·期末）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题． 【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ①请在图1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论； ， ， ∵，， ，， ， ， ∵ ， __________； ②，，则__________； 【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由； 【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接CE，则的面积为__________． 【答案】（1）①②； （2）结论：．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； （3） 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）①根据两个三角形全等的判定定理，结合已知求证即可得到答案； ②由①中，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】解：（1）①， ， ∵，， ，， ， ， ∵，，， ∴； 故答案为： ②由①知， ， ∵，， ∴； 故答案为：； （2）略 （3）延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 故答案为：． 【提高题型三 全等三角形的辅助线问题一一旋转模型】 【例1】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化． 将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可． 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转至， ，， 则，， ，即点D，E，F三点共线， ， ， 即， 在和中 ， ， ， ， 五边形的面积为： ， ， ． 故选：D． 【例2】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°至AB′，连接B'C，则△AB′C的面积为 _____． 【答案】 【分析】根据题意过点B'作B'H⊥AC于H，由全等三角形的判定得出△ACB≌△B'HA（AAS），得AC＝B'H＝4，则有S△AB'C＝AC•B′H即可求得答案． 【详解】解：过点B'作B'H⊥AC于H， ∴∠AHB'＝90°，∠BAB'=90°， ∴∠HAB'+∠HB'A＝90°，∠BAC+∠CAB'＝90°， ∴∠HB'A＝∠CAB， 在△ACB和△B'HA中， ， ∴△ACB≌△B'HA（AAS）， ∴AC＝B'H， ∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3， ∴AC＝＝＝4， ∴AC＝B'H＝4， ∴S△AB'C＝AC•B′H＝×4×4＝8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质和旋转的性质以及勾股定理，根据题意利用全等三角形的判定证明△ACB≌△B'HA是解决问题的关键． 1．（2025八年级上·北京·专题练习）问题发现：如图1，已知为线段上一点，分别以线段，为直角边作等腰直角三角形，，，，连接，，线段，之间的数量关系为______；位置关系为_______． 拓展探究：如图2，把绕点逆时针旋转，线段，交于点，则与之间的关系是否仍然成立？请说明理由． 【答案】问题发现：，； 拓展探究：成立． 理由如下：设与相交于点，如图1所示： ∵， ∴， 又∵，， ∴（SAS）， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，依然成立． 【分析】问题发现：根据题目条件证，再根据全等三角形的性质即可得出答案； 拓展探究：用SAS证，根据全等三角形的性质即可证得． 【详解】解：问题发现：延长BD，交AE于点F，如图所示： ∵， ∴， 又∵, ∴（SAS）， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 故答案为：，； 拓展探究：略 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，手拉手模型，熟练掌握全等三角形的判定和手拉手模型是解决本题的关键． 2．（25-26八年级上·陕西延安·期末）【问题提出】 （1）如图①，在四边形中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且.求证：； 【问题探究】 （2）如图②，在四边形中，，，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请说明理由；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并说明理由. 【答案】 （1）证明：如图①，延长到点，使，连接. 又∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：结论不成立，应当是， 理由：如图②，在上截取，使，连接， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）延长到点，使，连接，由全等三角形的判定和性质得出，，，继续利用全等三角形的判定得出，结合图形及题意即可证明； （2）在上截取，使，连接，结合图形利用全等三角形的判定得出，再次使用全等三角形的判定得出，利用全等三角形的性质即可证明． 【详解】略 【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，理解题意，作出相应辅助线是解题关键． 3．（25-26八年级上·河北唐山·期中）已知：在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°． （1）如图①所示，直接写出线段BE和CD之间的数量关系和位置关系．数量关系：______，位置关系：_______． （2）将△ADE绕点A旋转到如图②所示的位置，请判断（1）中所得线段BE和CD之间的关系是否依然成立，若成立请给予证明，若不成立请说明理由． （3）猜想：若将题目中的“∠BAC＝∠DAE＝90°”改为“∠BAC＝∠DAE＝60°”，其余条件不变，请直接写出直线BE和CD所夹锐角的度数为______． 【答案】（1）BE＝CD，BE⊥CD； （2）结论仍然成立， 理由如下：∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAE＝∠CAD， 又∵AB＝AC，AE＝AD， ∴△BAE≌△CAD（SAS）， ∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD， ∵∠ABE+∠EBC+∠ACB＝90°， ∴∠EBC+∠ACB+∠ACD＝90°， ∴∠BFC＝90°， ∴BE⊥CD； （3）60°． 【分析】（1）由“SAS”可证△ADC≌△AEB，可得BE＝CD，∠ABE＝∠ACD，由余角的性质可得∠BND＝90°，可得结论； （2）由“SAS”可证△ADC≌△AEB，可得BE＝CD，∠ABE＝∠ACD，由三角形的内角和定理可得BE⊥CD； （3）由“SAS”可证△ADC≌△AEB，可得BE＝CD，∠ABE＝∠ACD，由三角形的内角和定理可求∠BFC＝60°． 【详解】解：（1）如图延长BE交CD于N， ∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴△ADC≌△AEB（SAS）， ∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD， ∵∠ADC+∠ACD＝90°， ∴∠ABE+∠ADC＝90°， ∴∠BND＝90°， ∴BE⊥CD， 故答案为：BE＝CD，BE⊥CD； （2）略． （3）如图3， ∵AB＝AC，∠BAC＝60°， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴∠BAE＝∠CAD， 又∵AB＝AC，AE＝AD， ∴△BAE≌△CAD（SAS）， ∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD， ∵∠ABE+∠EBC+∠ACB＝120°， ∴∠EBC+∠ACB+∠ACD＝120°， ∴∠BFC＝60°， 故答案为：60°． 【点睛】此题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定及性质，旋转的性质，等腰三角形与直角三角形的性质，解题中正确掌握全等三角形的判定定理及逻辑推理能力是解题的关键． 1．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，三个等腰直角三角形中有三个正方形，那么图中阴影部分与这三个等腰直三角形余下白色部分的面积相比较，（　　） A．白色部分大 B．阴影部分大 C．两者一样大 D．无法确定大小关系 【答案】A 【分析】此题考查了全等图形，根据图示可知三个等腰直角三角形是全等图形，三个正方形不是全等图形，进而利用全等图形的性质解答即可，解题的关键是根据三个等腰直角三角形是全等图形，三个正方形不是全等图形解答． 【详解】解：如图， 由图可知三个等腰直角三角形是全等图形，三个正方形不是全等图形， ∴，， ∴图中阴影部分小于余下白色部分的面积， 故选：． 2．（25-26七年级下·福建宁德·期末）如图，小明利用尺规作，在作图过程中，得到的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由作法易得，， 在和中， ， ，即选项B符合题意． 3．（25-26七年级下·山东枣庄·期中）如图，，，，交于点，补充下列（   ）条件，无法得到． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定定理，结合已知条件和公共边，逐一分析各选项即可得出结论； 【详解】解：，， ， 在和中，已知公共边， 选项 A、若，利用可证，不符合题意； 选项 B、若，利用可证，不符合题意； 选项 D、若，利用可证，不符合题意； 选项 C、与 为对顶角，始终相等，无法得到边或角的相等关系，不能判定，符合题意． 4．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，一个池塘两端A，B处各有一棵大树，由于水面阻隔无法利用现有皮尺直接测量A，B间的距离，为此，小思和小维两位同学设计了如下测量方案：①在池塘一侧选定点O，②连接，，并分别延长到点，，使，，③连接，测量的长度即为、间的距离．这种测量方法的原理是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，又， ∴． 5．（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，已知在四边形中，，，，，点E为线段的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向D运动．要使与全等，点Q的运动速度为（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】分类讨论当或时，根据全等三角形的性质计算即可． 【详解】解：由题意知，，设运动时间为，点Q的运动速度为， 则，，， ∵， ∴要使与全等，则有或， 当时，， 即，解得； 当时，， 即， 解得， 综上所述，点Q的运动速度为或． 6．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，，点在线段上，，，则________． 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质得出，，即可求出． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴． 7．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，图是图折叠撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，是它们的中点．撑开后的折叠凳宽度，则________． 【答案】 【分析】根据三角形全等的判定和性质，解答即可； 【详解】解：∵凳腿和的长相等，是它们的中点， ∴． 在和中， ∵ ∴， ∴； 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）雨伞截面示意图如图所示，伞骨，支撑杆．当沿滑动时，雨伞开闭，则在雨伞开闭过程中，与的数量关系为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 与相等，证角相等，常常通过把角放到两个全等三角形中进行证明，本题公共边，可考虑证明三角形全等，从而推出角相等． 【详解】解：雨伞开闭过程中二者关系始终是：， 理由如下：∵， ∴， 在与中， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，，在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接，以点为圆心，长为半径画弧，交射线左侧弧于点，连接，则的度数为________． 【答案】 【详解】解：根据作图可知，， 所以． 10．（24-25八年级上·重庆·阶段检测）如图，线段，射线于点A，C是射线上一动点，分别以，为直角边作等腰与等腰，连接交射线于点M，则的面积为_________． 【答案】6 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算及等腰直角三角形的性质，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键．作于，由得，，再证明得即可解决问题． 【详解】解：如图作于， ，， ， ， 又， ∴， ， 和都是等腰三角形， ，，， 在和中， ， ， ∴，， 在和中， ， ． ∴， ∴； 故答案为6． 11．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，，点在边上，与交于点．已知，，求的度数． 【答案】 【分析】利用全等三角形等角减去公共角得到两角相等，结合已知总角与中间角求出两角之和，平分后算出目标角度． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即 由图可知，， ∵， ∴， 又∵， ∴． 12．（25-26七年级下·山东青岛·期末）已知：在和中，，，．请判断线段和有怎样的关系？请说明理由． 【答案】解：，，理由如下： 如图，延长，交于点，交于点， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 由对顶角相等得：， ∴，即， ∴． 【分析】延长，交于点，交于点，先得出，则，，再得出，进而可得． 【详解】解：略． 13．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的跨度相等，这两个滑梯的倾斜角与的大小有什么关系？说说你的想法和理由． 【答案】解：，理由如下： 由题意，可得，， ∴， ∵两个滑梯的长度相同， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】根据题意得出，，，进而利用定理得出，继而求解即可． 【详解】略 14．（25-26七年级下·贵州毕节·期末）【探究】 (1)如图1，是 的中线，且，延长至点，使，连接 ，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为 ．             【应用】 (2)提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是 的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 (3)根据以上经验，如图3，，，，连接 、 ，是的中点，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明：如图3，是的中点，延长至点，使，连接， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，根据三角形内角和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）按照边角边证明三角形全等即可． （2）按照（1）中方法延长，使，利用三角形全等证明，再利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求出的取值范围． （3）按照（1）中方法延长，使，证明、即可证明出结论． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， 在和中， ∴， （2）解：如图2，是 的中线，，，延长至点，使，连接，则， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴在，根据三角形三边关系得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）略 15．（25-26七年级下·山西运城·期末）阅读与思考 再探判定三角形全等的条件 几何主要研究图形形状、大小、位置，若两个三角形形状相同，大小也相同．即这两个三角形全等．它们通过平移、旋转或轴对称变化可完全重合． 回顾探究判定方法过程：根据条件作三角形，若只可作出唯一的三角形，即可知这些条件可作为三角形全等的判定方法．小红在已知两边及其一边对角作三角形时，也可作出唯一三角形，小丽也同样作出唯一三角形． 小红：已知． 如图． 小丽：已知． …… 任务： (1)按照小丽的条件，作出（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)按照小丽，小红所给条件，作出唯一三角形，但“”未作为判定三角形全等方法，一定有“”不成立的情况，类比小红、小丽的思路画图举出反例并进行适当的标注说明（作图工具不限）． (3)木工师傅拿一些木条制作四边形模型．已有模型框架如图，木条钉在同一点处．此时平分，是上固定一点，选取两根长度相等的木条，将两根木条的一端都钉在处，另一端分别钉在木条上，师傅钉完后发现有两种不同形状模型．如图1，如图2． 通过测量发现模型2中四边形面积比模型1中四边形面积大，且．此时四边形的面积为______，请说明钉出两种不同模型的原因． 【答案】(1)解：如图，即为所求； (2)解：如图，，即为所求； (3)20，两边和其中一边的对角确定，且这个对角为锐角，作出的三角形不唯一 【分析】（1）根据要求逐步作图即可； （2）作，在角的一边上截取，再以为圆心，为半径画弧交角的另一边于，进一步完成作图即可； （3）证明当时，或，在图2中，，，可得，而不全等，可得当时，全等，进一步分析求解. 【详解】（1）解：作直线，过作直线的垂线，在垂线上截取，在直线上取点，且，则即为所求； 作图略 （2）解：作，在角的一边上截取，再以为圆心，为半径画弧交角的另一边于，则， 显然：，两个三角形不全等. 作图略 （3）解：如图，在图2的上截取，连接， 在图1中， ∵平分， ∴，，， 此时不一定全等， 当时， ∴或， 在图2中，，， ∴，而不全等， ∵， ∴当时， ∴全等， ∴的面积相等， ∵模型2中四边形面积比模型1中四边形面积大， ∴的面积为， ∵， ∴的面积为， ∴模型1中四边形面积为； ∴钉出两种不同模型的原因是：两边和其中一边的对角确定，且这个对角为锐角，作出的三角形不唯一. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 全等三角形的性质与判定重难点题型专训（4个知识点+14大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、图形的全等 1 题型二、全等三角形的概念 2 题型三、全等三角形的性质 3 题型四、用SAS证明三角形全等（SAS） 4 题型五、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 5 题型六、用SSS证明三角形全等（SSS） 6 题型七、用HL证全等（HL） 7 题型八、添加条件使三角形全等 8 题型九、灵活选用判定方法证全等 9 题型十、结合尺规作图的全等问题 10 题型十一、过直线外一点作已知直线的平行线 11 题型十二、尺规作图——作三角形 12 题型十三、利用全等图形求正方形网格中角度之和(全等图形） 13 题型十四、全等三角形综合问题 14 第二部分·练提高题型 题型一、全等三角形的辅助线问题一一倍长中线模型 1 题型二、全等三角形的辅助线问题一一垂线模型 2 题型三、全等三角形的辅助线问题一一旋转模型 3 第三部分・自我检测 知识点01 全等图形 定义：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫做全等图形. 例如图1中的两个图形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图2中的两个图形面积相同，但形状不同，也不是全等图形。 图1 图2 【即时训练】 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列选项中，两个图案不属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列图形中是全等图形的是__________．（填序号） 知识点02 全等三角形 定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。 要点诠释： 1.对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角。如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。 2.找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·广东江门·期末）下列说法正确的是（    ） A．周长相等的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．完全重合的两个三角形全等 D．所有的等边三角形全等 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做_________，重合的边叫做_________，重合的角叫做_________．记两个三角形全等时，通常把表示_________的字母写在对应位置上． 知识点03 全等三角形的性质 1.性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． 2.数学语言表示：△ABC≌△A'B'C'，AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'；∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'． 3.全等三角形其他性质：由全等三角形的定义还容易知道，全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等．但是周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三角形也不一定全等． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）若如图所示的两个三角形全等，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，，请根据图中提供的信息，写出的值为______． 知识点04 全等三角形的判定 一、全等三角形判定1——“边边边” 定理1：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 二、全等三角形判定2——“边角边” 定理2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：1. 这里的角，指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 三、全等三角形判定3——“角边角” 定理3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 四、全等三角形判定4——“角角边” 定理4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 要点三、判定方法的选择 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 2.如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 3.三角形证全等思路 五、判定直角三角形全等的特殊方法——“HL” 定理5：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 【即时训练】 1．（26-27八年级上·山东济南·期中）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）如图， ，要证明，还需要的条件是：_______． 【基础题型一 图形的全等】 【例1】（25-26八年级上·广西防城港·期末）下列各组中的两个图形属于全等形的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）图中全等的图形是________和________；________和________；________和________；________和________；________和________；________和________． 1．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图所示各选项中的两个图形属于全等图形的是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，四边形与四边形全等，则________，________，________，________． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图所示的是两个全等的五边形，，，点B与点H、点D与点J分别是对应顶点，指出两图中其他的对应顶点、对应边和对应角，并说出图中a、b、c、d、e、各字母所表示的值． 【基础题型二 全等三角形的概念】 【例1】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，，则的对应角是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·全国·阶段练习）如图，与全等，可以确定与_________是对应角，若与是对应边，则与_________是对应边． 1．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）下列四个图形中，是全等形的是（    ）      A．①和② B．③和④ C．①和③ D．②和③ 2．（25-26八年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，．下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的是________．（填序号）    3．（25-26八年级上·全国·期中）如图，已知．写出对应边、对应角． 【基础题型三 全等三角形的性质】 【例1】（25-26七年级下·重庆北碚·期末）如图，，若，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【例2】（2026·四川成都·二模）如图，已知，点E，A，B依次在同一条直线上，若，，则的长为________． 1．（25-26七年级下·福建宁德·期中）如图，点D、B在上，，，，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（25-26八年级上·湖北荆州·期末）图，，，，点P在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上由点向点运动，设运动时间为，则______ （用含有t的式子表示）；当与全等时，点的运动速度为________． 3．（25-26八年级上·山西朔州·阶段检测）如图，已知，，，． (1)求的度数； (2)求的长． 【基础题型四 用SAS证明三角形全等（SAS）】 【例1】（25-26八年级上·山西朔州·期末）几何中有著名的“蝴蝶定理”，小华受此启发画了两个如图所示的共直角顶点的三角形，组成了类似于“蝴蝶翅膀”的图形．若，，，则证明运用的三角形全等的判定方法是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，，垂足分别为，，，，，点为边上一动点，当________时，形成的与全等． 1．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）下图是三个叠在一起的三角形（三角形），部分图形被遮盖，要作出与图中三角形完全相同的三角形，下列说法不正确的是（    ） A．都可以 B．作的依据可以是 C．都可以 D．作的依据是 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知，要证明：． （1）若以“”为依据，则需要添加的一个条件是______． （2）若以“”为依据，则需要添加的一个条件是_______． 3．（2026·广东佛山·二模）如图，在和中，，，，在同一条直线上，与相交于点．下面给出四个关系：①；②；③；④． (1)任选三个关系作为已知条件，余下一个作为结论，构成一个真命题（用序号表示），并证明． (2)在（1）条件下，当的面积是面积的一半时，若，求的长度． 【基础题型五 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）】 【例1】（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）如图，与相交于点O，，不添加辅助线，用ASA判定，需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·山西忻州·阶段检测）如图，嘉嘉与淇淇玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是60cm，当淇淇从水平位置垂直上升15cm时，嘉嘉离地面的高度是______cm． 1．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图，，，，则的依据是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，已知，要判断，若根据“”，则还需要的一个条件是_______． 3．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，点是线段上的点，．求证：．图中还有其他的全等三角形吗？说明你的理由． 【基础题型六 用SSS证明三角形全等（SSS）】 【例1】（25-26八年级上·湖南常德·期末）尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，用尺规作“一个角等于已知角”的过程中，作出的依据是（   ） A．边边边 B．边角边 C．角边角 D．角角边 【例2】（25-26七年级下·河南郑州·阶段检测）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，过角尺顶点作射线由该做法得到的依据是__________． 1．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）图1是一乐谱架，图2是底座的平面图，其中，点E，F分别为，中点，，是连接立杆和支撑杆的支架，且．立杆总有，其判定依据是（    ）． A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·四川·期中）小明回顾了用尺规作的过程是： 由尺规作图可知，，，， 所以________， 所以________．（填写理由依据） 3．（26-27八年级上·全国·课后作业）根据题图及相应的条件，能否判定下面分别给出的两个三角形全等？ (1)如图①，线段与相交于点．和． (2)如图②，．和． (3)如图③，线段与相交于点．和． (4)如图④，．和． 【基础题型七 用HL证全等（HL）】 【例1】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，于点O，连接、，若，，则可判定，依据是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图，已知，．要使，还需增加一个条件可以是________．    1．（25-26八年级上·贵州安顺·期中）如图，与是直角三角形，，下列各组条件中，可以直接用“”来判定的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）如图，点在同一条直线上，且，若用“”证明三角形全等，则还需要添加的条件为：___________． 3．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图，在中，，，，、两点分别在线段和过点且垂直的射线上运动，且点不与点，重合，，那么当点运动到什么位置时，才能使与全等？ 【基础题型八 添加条件使三角形全等】 【例1】（25-26八年级下·贵州毕节·期中）如图，在和中，，要使，下面是四个同学补充的条件，其中错误的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，已知，要用“边角边（）”判定，还需添加一个条件，这个条件是_____．（只需添加一个条件，不添加辅助线） 1．（25-26八年级上·山西吕梁·期末）如图，点在上，点在上，．下列条件中能判断的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）如图， ，要证明，还需要的条件是：_______． 3．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）已知：如图，点在上，． 请从①；②；③这三个选项中，选择一个作为条件，使得，并说明理由． 解：选择条件是___________．理由是： 【基础题型九 灵活选用判定方法证全等】 【例1】（25-26八年级上·江苏连云港·期中）下列各图中，a，b，c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧全等的是（　　） A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙 【例2】（25-26八年级上·浙江金华·期末）小数同学在探究三角形全等的条件时，设计了一个如图所示的数学实验，把两根木条的一端用螺栓固定点位置，然后固定木条，摆出．把木条转动一定角度后，点刚好落在直线上的处．此实验得到的结论是：_____的两个三角形不一定全等． 1．（25-26八年级上·安徽黄山·阶段检测）如图，已知，则甲、乙、丙三个三角形中与全等的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 2．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）如图，已知，要使，那么可以添加条件_________． 3．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图，，，，与交于点F，连接、． (1)请找出图中的全等三角形； (2)你认为线段与之间存在怎样的数量关系，请说明理由． 【基础题型十 结合尺规作图的全等问题】 【例1】（24-25八年级上·河南洛阳·期中）程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动，图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图． 有以下结论： ①当，时，可得到形状唯一确定的； ②当，时，可得到形状唯一确定的； ③当，时，可得到形状唯一确定的． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【例2】（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，利用尺规作图：作的平分线的原理是_________．    1．（25-26八年级上·上海·阶段检测）在课堂上，李老师发给每人一张印有RtABC（如图）的卡片，要求学生们画一个，使得，小海和小华先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．对这两种画法的描述中，错误的是（    ） A．小海作图判定的依据是直角三角形全等的判定定理 B．小海第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C．小华作图判定的依据是 D．小华第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 2．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．若要在图中再画1个格点三角形，使，则这样的格点三角形最多可以画______个．    3．（2026·福建福州·二模）如图，在中，，于点D，为锐角． (1)将线段AD绕点A顺时针旋转（旋转角小于90°），在图中求作点D的对应点E，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，过点C作于点F，连接EF，BE，若，求的值． 【基础题型十一 过直线外一点作已知直线的平行线】 【例1】（25-26六年级下·山东威海·期末）如图，用尺规作射线，关于弧的作法描述正确的是（     ） A．以点为圆心，线段的长为半径 B．以点为圆心，线段的长为半径 C．以点为圆心，线段的长为半径 D．以点为圆心，线段的长为半径 【例2】（25-26六年级下·山东威海·期中）如图①，纸片上有一条直线，点为直线外一点，小春用直尺、圆规作图，过点作出一条直线与已知直线平行，作图痕迹如图②所示．请写出她作图的依据是___________． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，小庆用尺规过点B作的平行线，观察作图痕迹，其中弧是（    ） A．以点E为圆心，长为半径的弧 B．以点G为圆心，长为半径的弧 C．以点B为圆心，长为半径的弧 D．以点F为圆心，长为半径的弧 2．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）现有直线和直线外一点C，如图是小明同学利用“过直线外一点作已知直线的平行线”的作图痕迹，请问该同学这样作平行线依据的判定定理是：________． 3．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，点D是边上的点，请用尺规作图法在边上找一点E，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【基础题型十二 尺规作图——作三角形】 【例1】5-26八年级上·湖北武汉·期末）课堂上，李老师先给每人发一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出，后续画图的主要过程如图2所示．这种画图方法的依据是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·山西晋城·期末）如图，小明在纸上画了一个三角形，不料被墨水污染了一部分，小刚可以画出一个与小明画的一样的（全等的）三角形，则这两个三角形全等的判定依据是________． 1．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形． 已知：线段a，c，． 求作：，使，，． 下面是作图示范： 正确作图顺序为（    ） A．①②③④ B．①③②④ C．①③④② D．①②④③ 2．（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，已知线段a，c和，求作：，使，，，填空： （1）如图②，作______； （2）如图③，在射线上截取______，在射线上截取______； （3）如图④，连接，即所求作的三角形． 3．（25-26八年级上·全国·期末）如图，已知线段和．      (1)求作，使；(保留作图痕迹，不写作法) (2)在（1）的条件下，若， ，求的长． 【基础题型十三 利用全等图形求正方形网格中角度之和（全等图形）】 【例1】（25-26八年级上·山东德州·期末）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·陕西安康·期中）如图，网格中的所有小正方形的边长相同，则____________ 1．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点，，，，均在小正方形方格的顶点上，线段，交于点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）在如图所示的3×3正方形网格中， __________度． 3．（25-26八年级上·江苏·期末）如图，△ABC的三个顶点均在格点处． (1)过点B画AC的垂线BD； (2)过点A画BC的平行线AE．（请用黑水笔描清楚） 【基础题型十四 全等三角形综合问题】 【例1】 （25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，在和中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的为（   ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【例2】（25-26八年级上·全国·单元复习）已知：如图，在长方形（长方形四个内角均为直角，并且两组对边分别相等）中，，．延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当的值为___________秒时，和全等． 1．（25-26八年级上·山东潍坊·阶段检测）如图， 已知，，， 点C， E， D， F共线． 下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图所示，在中，，，、分别是、上的点．若，，，则的面积为______． 3．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）根据图形解决以下问题 (1)如图1，在等腰直角中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：； (2)在等腰直角中，，，点D是直线上一动点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为点； ①如图2，点D在线段上，与是否全等？请说明理由； ②如图3，点D在线段延长线上，若，，请直接写出线段的长． 【提高题型一 全等三角形的辅助线问题一一倍长中线模型】 【例1】 （2026八年级·全国·模拟预测）如图，在中，已知与的面积相等，如果，，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在中，D是边的中点，，则的取值范围是___________ 1．（24-25七年级下·上海·单元测试）如图，在中，为的中点． (1)求证：； (2)若，求的取值范围． 2．（24-25八年级上·河北保定·期中）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． (1)如图（1），是的中线．且．延长至点．使．连接．求证：． (2)如图（2），是的中线，点在的延长线上，，，求证：． 3．（24-25八年级上·甘肃嘉峪关·期中）【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？ 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为，从而得到的取值范围是________________________； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 （2）如图2，，，与互补，连接、，E是的中点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点F，，，求的面积． 【提高题型二 全等三角形的辅助线问题一一垂线模型】 【例1】（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（    ） A．8 B．4 C．3 D．2 【例2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，直角坐标系中，的顶点，分别在坐标轴上，且，，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为____．    1．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，三点在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)当满足__________时，？ 2．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，点A在直线l上，，过点B作于点C，过点D作交于点E．得．又，可以推理得到．进而得到结论：_____，_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型； (2)如图2，∠于点C，于点E，与直线交于点，求证：． 3．（25-26七年级下·广东深圳·期末）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题． 【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ①请在图1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论； ， ， ∵，， ，， ， ， ∵ ， __________； ②，，则__________； 【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由； 【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接CE，则的面积为__________． 【提高题型三 全等三角形的辅助线问题一一旋转模型】 【例1】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【例2】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°至AB′，连接B'C，则△AB′C的面积为 _____． 1．（2025八年级上·北京·专题练习）问题发现：如图1，已知为线段上一点，分别以线段，为直角边作等腰直角三角形，，，，连接，，线段，之间的数量关系为______；位置关系为_______． 拓展探究：如图2，把绕点逆时针旋转，线段，交于点，则与之间的关系是否仍然成立？请说明理由． 2．（25-26八年级上·陕西延安·期末）【问题提出】 （1）如图①，在四边形中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且.求证：； 【问题探究】 （2）如图②，在四边形中，，，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请说明理由；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并说明理由. 3．（25-26八年级上·河北唐山·期中）已知：在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°． （1）如图①所示，直接写出线段BE和CD之间的数量关系和位置关系．数量关系：______，位置关系：_______． （2）将△ADE绕点A旋转到如图②所示的位置，请判断（1）中所得线段BE和CD之间的关系是否依然成立，若成立请给予证明，若不成立请说明理由． （3）猜想：若将题目中的“∠BAC＝∠DAE＝90°”改为“∠BAC＝∠DAE＝60°”，其余条件不变，请直接写出直线BE和CD所夹锐角的度数为______． 1．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，三个等腰直角三角形中有三个正方形，那么图中阴影部分与这三个等腰直三角形余下白色部分的面积相比较，（　　） A．白色部分大 B．阴影部分大 C．两者一样大 D．无法确定大小关系 2．（25-26七年级下·福建宁德·期末）如图，小明利用尺规作，在作图过程中，得到的依据是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·山东枣庄·期中）如图，，，，交于点，补充下列（   ）条件，无法得到． A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，一个池塘两端A，B处各有一棵大树，由于水面阻隔无法利用现有皮尺直接测量A，B间的距离，为此，小思和小维两位同学设计了如下测量方案：①在池塘一侧选定点O，②连接，，并分别延长到点，，使，，③连接，测量的长度即为、间的距离．这种测量方法的原理是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，已知在四边形中，，，，，点E为线段的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向D运动．要使与全等，点Q的运动速度为（     ） A．或 B．或 C． D． 6．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，，点在线段上，，，则________． 7．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，图是图折叠撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，是它们的中点．撑开后的折叠凳宽度，则________． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）雨伞截面示意图如图所示，伞骨，支撑杆．当沿滑动时，雨伞开闭，则在雨伞开闭过程中，与的数量关系为______． 9．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，，在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接，以点为圆心，长为半径画弧，交射线左侧弧于点，连接，则的度数为________． 10．（24-25八年级上·重庆·阶段检测）如图，线段，射线于点A，C是射线上一动点，分别以，为直角边作等腰与等腰，连接交射线于点M，则的面积为_________． 11．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，，点在边上，与交于点．已知，，求的度数． 12．（25-26七年级下·山东青岛·期末）已知：在和中，，，．请判断线段和有怎样的关系？请说明理由． 13．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的跨度相等，这两个滑梯的倾斜角与的大小有什么关系？说说你的想法和理由． 14．（25-26七年级下·贵州毕节·期末）【探究】 (1)如图1，是 的中线，且，延长至点，使，连接 ，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为 ．             【应用】 (2)提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是 的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 (3)根据以上经验，如图3，，，，连接 、 ，是的中点，证明：． 15．（25-26七年级下·山西运城·期末）阅读与思考 再探判定三角形全等的条件 几何主要研究图形形状、大小、位置，若两个三角形形状相同，大小也相同．即这两个三角形全等．它们通过平移、旋转或轴对称变化可完全重合． 回顾探究判定方法过程：根据条件作三角形，若只可作出唯一的三角形，即可知这些条件可作为三角形全等的判定方法．小红在已知两边及其一边对角作三角形时，也可作出唯一三角形，小丽也同样作出唯一三角形． 小红：已知． 如图． 小丽：已知． …… 任务： (1)按照小丽的条件，作出（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)按照小丽，小红所给条件，作出唯一三角形，但“”未作为判定三角形全等方法，一定有“”不成立的情况，类比小红、小丽的思路画图举出反例并进行适当的标注说明（作图工具不限）． (3)木工师傅拿一些木条制作四边形模型．已有模型框架如图，木条钉在同一点处．此时平分，是上固定一点，选取两根长度相等的木条，将两根木条的一端都钉在处，另一端分别钉在木条上，师傅钉完后发现有两种不同形状模型．如图1，如图2． 通过测量发现模型2中四边形面积比模型1中四边形面积大，且．此时四边形的面积为______，请说明钉出两种不同模型的原因． 学科网（北京）股份有限公司 $