专题14.4 角的平分线（举一反三讲义）数学新教材人教版八年级上册

本讲义聚焦角的平分线核心知识点，系统梳理尺规作图（依据SSS）、性质（角平分线上点到两边距离相等）及判定（角内部到两边距离相等的点在角平分线上），通过9类题型（作图、求线段等）构建递进式学习支架。 资料亮点在于题型全面且结合生活实际，如建加油站问题培养数学眼光，构造全等三角形题型发展推理意识。举一反三设计助力课中教学与课后查漏补缺，提升学生几何直观与应用能力。

专题14.4 角的平分线（举一反三讲义） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 尺规作角平分线】 2 【题型2 利用角平分线的性质求线段长度】 5 【题型3 利用角平分线的性质求三角形面积】 8 【题型4 利用角平分线的判定证明点在角平分线上】 11 【题型5 与角平分线性质相关的角度计算】 14 【题型6 利用角平分线的性质求最值】 18 【题型7 角平分线性质的实际应用】 23 【题型8 利用角平分线构造全等三角形】 25 【题型9 角平分线性质与判定综合应用】 31 考点1 角的平分线 知识点1 作已知角的平分线 用尺规作已知角的平分线．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线． 作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）画射线OC．射线OC即为所求． 如图所示： ★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）． 知识点2 角的平分线的性质 1. 定义：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 2. 拓展：（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 知识点3 角的平分线的判定 1. 定义：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 2. 拓展：角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上． 【题型1 尺规作角平分线】 【例1】（25-26七年级下·江苏扬州·期末）如图，长方形． (1)尺规作图：在边上找一点E，将长方形沿折叠，使得点关于直线的对称点落在边上，并作出点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； (2)在（1）所作图形中，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由于折叠后点的对称点为F，则，因此先以B为圆心，长为半径画弧，与边的交点即为F点，再作的角平分线，与的交点即为E点； （2）由折叠的性质可知、，进而求出的度数，利用三角形内角和定理求出的度数，最后利用求解即可． 【详解】（1）解：①以为圆心，为半径画弧，交于点； ②作的角平分线，交于点； （2）解：由折叠的性质可知：、， ， 四边形是长方形， ， ， ， ， ． 【变式1-1】（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，点A在的边上，请用尺规作图法在内部求作点P，连接，使点P到和的距离相等，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】所作图形如图所示： 【分析】以点O为圆心，适当长为半径画弧，交，于两点，再以这两点为圆心，大于这两点之间距离一半为半径画弧，然后再以点O为圆心，长为半径画弧，交角平分线于点P，进而问题可求解． 【变式1-2】（25-26七年级下·广东佛山·期中）如图，已知，． (1)尺规作图：作的平分线，交于D．（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在第（1）题的前提下，若，，求的长． 【答案】(1)的平分线如图所示： (2)3 【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法和步骤解答即可； （2）作于点E，如图，根据角平分线的性质可得，再根据三角形的面积公式求出即可. 【详解】（1）略； （2）解：作于点E，如图， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴. 【变式1-3】（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图，在直线上求作一点P，使点P到两边的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】如图，点P即为所求． 【分析】作的角平分线，交于点P，则点P到两边的距离相等，点P即为所求． 【题型2 利用角平分线的性质求线段长度】 【例2】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，是的角平分线，是的中线，过点分别作，，垂足分别为点，，若的面积为，的长为，则的长为___________． 【答案】2 【分析】根据是的中线，可得的面积是面积的两倍，再利用的面积求出，然后根据角平分线的性质得． 【详解】解：∵的面积为，是的中线， ∴的面积为4， ∴， ∵的长为， ∴， ∵是的角平分线，，， ∴． 【变式2-1】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，是的角平分线，于点E，于点F，，则的长是（     ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得出，从而求出的长． 【详解】解：∵是的角平分线， 且，， ∴， ∵， ∴． 【变式2-2】（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，平分，于点，的面积为，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，利用角平分线的性质得出，再根据即可求解． 【详解】解：过点作于点， ∵平分，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式2-3】（25-26七年级下·四川成都·期中）已知中，，为的平分线．若，则的值为____________________． 【答案】 【分析】如图，作于E，于F，在上截取，连接．首先证明，设，再证明，推出，求出即可解决问题． 【详解】解：如图，作于E，于F，在上截取，连接． ∵为的平分线，，， ∴， ∵， ∴， 设， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型3 利用角平分线的性质求三角形面积】 【例3】如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点E，，，则的面积等于__________． 【答案】 【分析】作于F，根据角平分线的性质定理得到，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过E作于F， ∵是边上的高线，平分， ∴， ∵， ∴的面积为 【变式3-1】如图，是的角平分线，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作于点，于点，由角平分线的性质定理可得，再结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，作于点，于点， ， ∵是的角平分线， ∴， ∵，，且，， ∴． 【变式3-2】（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是（     ） A．40 B．42 C．46 D．48 【答案】A 【分析】过点作交的延长线于点，根据角平分线的性质得到，然后将四边形的面积转化为与的面积之和进行计算即可． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 【变式3-3】（25-26七年级下·山东青岛·阶段检测）如图，若，平分，，则四边形的面积是_____ ． 【答案】8 【分析】作于点，作于点，证得，利用勾股定理求得正方形的边长，即可求得面积． 【详解】解：如图，作于点，作于点， ， ． ， ． ∵平分， ． ， ， ． ， ∴四边形是矩形， ∴四边形是正方形． ， ， ∴四边形的面积等于正方形． 设正方形的边长为，， 由勾股定理可知：， ， ∴正方形的面积等于8， ∴四边形的面积等于8． 【题型4 利用角平分线的判定证明点在角平分线上】 【例4】（25-26八年级下·福建漳州·期中）已知：如图，在中，角平分线与角平分线相交于点P．求证：的平分线经过点P． 【答案】证明：过点P分别作，，， 是的角平分线， （角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）． 同理，． ． 点P在的平分线上（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上），即的平分线经过点P． 【分析】过点P分别作，，，根据角平分线的性质得出，然后根据角平分线的判定即可得证． 【变式4-1】（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，，点、分别在边、上，连接、，，，在边上截取，连接．求证：平分． 【答案】证明见解析 【分析】证明得到，，再根据角平分线的判定定理可得结论． 【详解】证明：在与中， ∵，，． ∴． ∴，． ∴， ∴平分． 【变式4-2】（25-26八年级下·山西运城·期中）如图，已知，王老师提出一个问题：能不能利用有刻度的直尺作出的平分线？小宇同学利用两把完全相同的直尺，设计了一种独特的作一个角的平分线的方法：在中，将两把直尺按照如图所示的方式摆放，则射线为的平分线．请你说明小宇的思路有没有道理？请说明理由． 【答案】小宇的思路有道理，理由见解析 【分析】作，垂足为，根据题意，可得，根据角平分线的判定定理，可得点在的角平分线上，即可说明射线为的平分线． 【详解】解：小宇的思路有道理， 理由如下：作，垂足为， 根据题意，两把直尺完全相同，即宽度相同， ， ，， 点在的角平分线上， 射线为的平分线． 【变式4-3】（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，，且，求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3)6 【分析】（1）根据平角的定义解题即可； （2）过点E作于G，于H，结合角平分线的性质和判定定理证明； （3）根据求出，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）证明：过点E作于G，于H， ∵，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴平分； （3）解：∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∴． 【题型5 与角平分线性质相关的角度计算】 【例5】（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，平分，，垂足为A，，垂足为B．若，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质定理，三角形内角和，四边形内角和．利用角平分线的性质定理可知：，即可证明，利用三角形内角和可知，再利用四边形的内角和为即可求出． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， 故答案为：． 【变式5-1】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，是的平分线，，垂足为点．若 ，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定； 根据角平分线的性质可得，再根据证明，根据其性质进而即可求解． 【详解】解：延长交于点F， ∵是的平分线，，垂足为点E， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数是． 故答案为：． 【变式5-2】（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，直线、交于点O，于点E，于点F，若，且，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查了四边形内角和定理、同角的补角相等、角平分线的判定与性质． 根据平角的定义和四边形内角和为可得，，根据同角的补角相等可得，根据到角两边距离相等的点在角平分线上可知是的平分线，从而可求的度数. 【详解】解：根据平角的定义可知：， 在四边形中，， 于点，于点， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式5-3】（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，为的角平分线，点P为上一点，点D，E分别为射线，上的点，且，若，则的度数为_______． 【答案】或 【分析】此题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，等边对等角，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出，如图所示，过点P作交于点M，过点P作交于点N，然后根据题意分两种情况讨论，当点D在点时，由角平分线的性质得到，证明出，得到，进而求解即可；当点D在点时，利用等边对等角求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 如图所示，过点P作交于点M，过点P作交于点N，当点D在点时， ∵为的角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴； 如图所示，当点D在点时， ∵ ∴ 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 【题型6 利用角平分线的性质求最值】 【例6】如图，，，，平分，点为上的一动点，，则的最小值为______． 【答案】1 【分析】本题考查了角平分线的性质，30度所对的直角边等于斜边的一半，垂线段最短，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作交于点，根据角平分线的性质，可得，在，，，结合30度所对的直角边等于斜边的一半，可知，又，从而得到的长度，由，可知的最小值为，从而求得答案． 【详解】解：过点作交于点，如图所示： 平分，， ， ，，， ，即， ， ， ， ， ， 当点与重合时，的最小值为，且最小值为1， 故答案为：1． 【变式6-1】（24-25八年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，在直角三角形中，．以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点D，E，再分别以D，E为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线交于点P．若，点Q为边上的一个动点，则 ①______（填“”“”或“”）； ②______（填“”“”或“”）； ③线段的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了作图—复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了角平分线的性质． 利用基本作图可判断，再过点作于点，如图，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短得到，从而得到线段的最小值为． 【详解】由作法得平分 ∴， ②过点作于点，如图， ∵为的平分线， ， ， ， ， ∴线段的最小值为． 故答案为： ， ， ． 【变式6-2】如图，在锐角三角形中，，的面积为18，平分，若E，F分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题．过点C作于点P，交于点E，过点E作于F，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值． 【详解】解：过点C作于点P，交于点E，过点E作于F， ∵平分，，， ∴， ∴，此时取最小值． ∵的面积为18，， ∴， ∴． 即的最小值为6， 故选：B． 【变式6-3】如图，，点A、B分别是射线、射线上的动点，连接的角平分线与的角平分线交于点P． (1)当时，求证：； (2)在点A、B运动的过程中，的大小是否发生改变？若不改变，请求出的度数；若改变请说明理由； (3)连接，C是线段上的动点，D是线段上的动点，当时，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)不变， (3)4 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行线的判定、三角形内角和定理及最短路径问题，解题的关键是灵活运用几何图形的性质和判定定理，结合对称思想解决最值问题． （1）由且， 判定为等边三角形，得出；计算，利用角平分线性质得，通过证明． （2）根据三角形外角性质得出；由角平分线性质得，结合三角形内角和定理求出， 确定其大小不变． （3）利用角平分线性质证明平分； 通过三角形面积公式求出； 作点关于的对称点， 转化， 根据垂线段最短得出最小值为4． 【详解】（1）证明：如图1中， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵平分， ， ∴， ∴． （2） 解：如图2中，的大小不变，．理由如下： ∵， ∴， ∵分别平分， ， ∴． （3） 解：如图3中，过点A作于H，过点P作于J于K于I． ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分， 作点D关于的对称点，连接， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为4． 【题型7 角平分线性质的实际应用】 【例7】（25-26八年级上·上海·期末）如图，三条公路两两相交于点A、B、C，现在要在公路边建一所加油站，要求加油站的位置到三条公路的距离都相等． (1)符合要求的位置有__________个； (2)请你找出所有加油站的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）； (3)你的作图依据是__________． 【答案】(1)4 (2)见解析 (3)角平分线的判定定理 【分析】本题考查角平分线的性质，尺规作图-作角平分线等知识，掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）利用角平分线的性质即可得出结论； （2）利用角平分线的性质作出图形即可； （3）利用角平分线的判定解答即可． 【详解】（1）解：三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，三角形相邻两个外角（共三组）的平分线交点到三角形三边的距离相等， 故符合要求的位置有4个， 故答案为：4； （2）解：如图所示，、、、即为加油站的位置， （3）解：作图的依据是角平分线的判定定理， 故答案为：角平分线的判定定理． 【变式7-1】如图，某市区南北走向的解放路，龙潭路与东西走向的人民路交汇于B，C两点，现想建造一加油站P，使得加油站到三条公路的距离相等．请你用所学的知识确定P点的位置（用直尺、圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见详解 【分析】本题考查了角平分线的判定，角平分线的尺规作图，理解题意：加油站P，使得加油站到三条公路的距离相等，且结合到角两边距离相等的点在角的平分线上，即作出的角平分线，它们交于一点，即为点P，进行作答． 【详解】解：P点的位置如图所示： 【变式7-2】如图，铁路和铁路交于O处，河道与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路，的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，角平分线的作法；根据题意作的平分线交于点，点即为水厂的位置． 【详解】解：如图所示，作的平分线交于点，点即为水厂的位置． 【变式7-3】如图，某个居民小区附近有三条两两相交的道路、、，拟在上建造一个大型超市，使得它到、的距离相等，请确定该超市的位置． 【答案】见解析 【分析】作的角平分线，与的交点到的两边，的距离相等． 【详解】如图所示：作的平分线交于点，点即为该超市的位置． 【点睛】此题主要考查了角平分线的作法，关键是掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【题型8 利用角平分线构造全等三角形】 【例8】（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）如图，的角平分线，相交于点，，则___________．若 的面积为，四边形的面积为，则 的面积为___________． 【答案】 ． 【分析】先根据三角形内角和求出，再利用角平分线性质得到，最后结合三角形内角和求；利用角平分线的性质，证明与、与面积相等，进而通过面积关系计算的面积． 【详解】解：∵ ， ∴ ． ∵ 、是角平分线， ∴ ，， ∴ ， ∴ ． 在上取一点，使，连接． ∵ 平分， ∴ ． 又∵ ，， ∴ （）， ∴ ，． ∵ ， ∴ ， ∴ ，． ∴， ∵ 平分， ∴ ． 又∵ ， ∴ （）， ∴ ． ∴ ． ∵ ，， ∴， 即 ， 解得 ． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握“利用角平分线构造全等三角形转化面积关系”是解题的关键． 【变式8-1】（25-26八年级上·湖北咸宁·期末）如图，在中，，是的平分线，M为的中点，交的延长线于E，交于F，则________． 【答案】5.5 【分析】根据平行线的性质，利用“”证明，再根据全等三角形的性质结合等腰三角形的判定与性质进行等量代换求解． 【详解】如图，过点作交的延长线于， ，， 为的中点， ， 在和中， ， ， ， 又，平分， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， 即． 【变式8-2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，的平分线交于点D，于点E，于点F，则CE的长为_______　． 【答案】2 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，过D作于H，由角平分线的性质推出，，证明，由勾股定理求出，证得，得到，同理，得到，即可求出的长． 【详解】解：过D作于H， ∵平分，平分，，， ∴，，， ∴，， ∴，， 根据平行线间的距离处处相等的性质可得：，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：2． 【变式8-3】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，四边形，平分，，，，则面积的最大值为（    ） A．8 B．9 C． D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义以及三角形的面积公式等知识，构造辅助线，并判断出当A点与H点重合时达到最大，是解答本题的关键．延长，交于点G，过G点作，交的延长线于点H，证明，即有，进而有，根据，有△AGC的面积为，当A点与H点重合时，即时，可得，此时达到最大，则的最大面积为：；根据，可得，则的最大面积可求． 【详解】解：延长，交于点G，过G点作，交的延长线于点H，如图，    ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴的面积， ∵， ∴， ∵在中，， ∴，是直角三角形，斜边为， ∴， ∵， ∴， 当A点与H点重合时，即时，可得， 此时达到最大， ∴则的最大值为3， ∴的最大面积为：， ∵， ∴D点为中点， ∴， ∴的最大面积为：， 故选：C． 【题型9 角平分线性质与判定综合应用】 【例9】（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，于点，，，将沿着折叠，若点恰好落在射线上的点处，则的面积为_____． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，角平分线的判定和性质，构造辅助线是解题的关键； 过点作，交于点，由题意可得，，从而推出是的平分线，得到，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作，交于点， ∵将沿着折叠，若点恰好落在射线上的点处， ∴，， ∵， ∴， ∴是的平分线， 又∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式9-1】（25-26八年级上·贵州遵义·阶段检测）如图，将纸片沿折叠，点A落在点处，恰好满足平分，平分，若，则的值是________． 【答案】/140度 【分析】本题考查了翻折变换的性质、角平分线的判定与性质、三角形内角和定理及三角形外角的性质．连接，过作，利用角平分线的判定得到平分，利用角平分线性质及三角形内角和定理得出相应角度，进而求得；再根据折叠可知，得出，，由等腰三角形性质结合三角形的外角性质即可得到答案． 【详解】解：连接，过作，如图所示： ∵平分，平分， ， ∴平分， ∴， ∵平分，平分， ∴， ， ， ∴， ∴， ∵将纸片沿折叠，点A落在点处， ∴，， ∴，， ∴， 是的一个外角，是的一个外角， ∴， 故答案为：． 【变式9-2】（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）如图，和分别是的外角和的平分线，和交于点，过点作交于点于点，若，点到的距离为4，则的面积为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质与判定，等角对等边，平行线的性质，三角形的面积；连接，根据已知得出平分，根据平行线的性质，以及等角对等边得出，同理得出，进而求得，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵和分别是的外角和的平分线， ∴点到的距离等于点到的距离， ∴点到的距离相等， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵点到的距离为4， ∴的面积为， 故选：B． 【变式9-3】（25-26八年级上·全国·寒假作业）如图，中，，点D在边延长线上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且． (1)求证：平分； (2)若，且，则的面积． 【答案】(1)见解析 (2)15 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，角平分线的判定定理，三角形的面积公式，解题的关键是掌握以上性质． （1）作于点L，交的延长线于点M，由的平分线交于点E，于点H，得，而，求得，由，求得，则，则，所以，即可证明平分． （2）由，且，得，因为，所以，求得，而，则． 【详解】（1）证明：作于点L，交的延长线于点M， ∵点D在边延长线上，的平分线交于点E，于点H， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∴， ∴点E在的平分线上， ∴平分； （2）解：∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为15． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14.4 角的平分线（举一反三讲义） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 尺规作角平分线】 2 【题型2 利用角平分线的性质求线段长度】 3 【题型3 利用角平分线的性质求三角形面积】 4 【题型4 利用角平分线的判定证明点在角平分线上】 5 【题型5 与角平分线性质相关的角度计算】 6 【题型6 利用角平分线的性质求最值】 7 【题型7 角平分线性质的实际应用】 8 【题型8 利用角平分线构造全等三角形】 9 【题型9 角平分线性质与判定综合应用】 10 考点1 角的平分线 知识点1 作已知角的平分线 用尺规作已知角的平分线．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线． 作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）画射线OC．射线OC即为所求． 如图所示： ★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）． 知识点2 角的平分线的性质 1. 定义：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 2. 拓展：（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 知识点3 角的平分线的判定 1. 定义：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 2. 拓展：角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上． 【题型1 尺规作角平分线】 【例1】（25-26七年级下·江苏扬州·期末）如图，长方形． (1)尺规作图：在边上找一点E，将长方形沿折叠，使得点关于直线的对称点落在边上，并作出点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； (2)在（1）所作图形中，若，求的度数． 【变式1-1】（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，点A在的边上，请用尺规作图法在内部求作点P，连接，使点P到和的距离相等，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式1-2】（25-26七年级下·广东佛山·期中）如图，已知，． (1)尺规作图：作的平分线，交于D．（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在第（1）题的前提下，若，，求的长． 【变式1-3】（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图，在直线上求作一点P，使点P到两边的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹） 【题型2 利用角平分线的性质求线段长度】 【例2】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，是的角平分线，是的中线，过点分别作，，垂足分别为点，，若的面积为，的长为，则的长为___________． 【变式2-1】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，是的角平分线，于点E，于点F，，则的长是（     ） A．2 B． C．3 D．4 【变式2-2】（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，平分，于点，的面积为，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26七年级下·四川成都·期中）已知中，，为的平分线．若，则的值为____________________． 【题型3 利用角平分线的性质求三角形面积】 【例3】如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点E，，，则的面积等于__________． 【变式3-1】如图，是的角平分线，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是（     ） A．40 B．42 C．46 D．48 【变式3-3】（25-26七年级下·山东青岛·阶段检测）如图，若，平分，，则四边形的面积是_____ ． 【题型4 利用角平分线的判定证明点在角平分线上】 【例4】（25-26八年级下·福建漳州·期中）已知：如图，在中，角平分线与角平分线相交于点P．求证：的平分线经过点P． 【变式4-1】（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，，点、分别在边、上，连接、，，，在边上截取，连接．求证：平分． 【变式4-2】（25-26八年级下·山西运城·期中）如图，已知，王老师提出一个问题：能不能利用有刻度的直尺作出的平分线？小宇同学利用两把完全相同的直尺，设计了一种独特的作一个角的平分线的方法：在中，将两把直尺按照如图所示的方式摆放，则射线为的平分线．请你说明小宇的思路有没有道理？请说明理由． 【变式4-3】（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，，且，求的面积． 【题型5 与角平分线性质相关的角度计算】 【例5】（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，平分，，垂足为A，，垂足为B．若，则的度数为______． 【变式5-1】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，是的平分线，，垂足为点．若 ，则的度数为______． 【变式5-2】（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，直线、交于点O，于点E，于点F，若，且，则的度数为________． 【变式5-3】（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，为的角平分线，点P为上一点，点D，E分别为射线，上的点，且，若，则的度数为_______． 【题型6 利用角平分线的性质求最值】 【例6】如图，，，，平分，点为上的一动点，，则的最小值为______． 【变式6-1】（24-25八年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，在直角三角形中，．以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点D，E，再分别以D，E为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线交于点P．若，点Q为边上的一个动点，则 ①______（填“”“”或“”）； ②______（填“”“”或“”）； ③线段的最小值为______． 【变式6-2】如图，在锐角三角形中，，的面积为18，平分，若E，F分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式6-3】如图，，点A、B分别是射线、射线上的动点，连接的角平分线与的角平分线交于点P． (1)当时，求证：； (2)在点A、B运动的过程中，的大小是否发生改变？若不改变，请求出的度数；若改变请说明理由； (3)连接，C是线段上的动点，D是线段上的动点，当时，求的最小值． 【题型7 角平分线性质的实际应用】 【例7】（25-26八年级上·上海·期末）如图，三条公路两两相交于点A、B、C，现在要在公路边建一所加油站，要求加油站的位置到三条公路的距离都相等． (1)符合要求的位置有__________个； (2)请你找出所有加油站的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）； (3)你的作图依据是__________． 【变式7-1】如图，某市区南北走向的解放路，龙潭路与东西走向的人民路交汇于B，C两点，现想建造一加油站P，使得加油站到三条公路的距离相等．请你用所学的知识确定P点的位置（用直尺、圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【变式7-2】如图，铁路和铁路交于O处，河道与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路，的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置． 【变式7-3】如图，某个居民小区附近有三条两两相交的道路、、，拟在上建造一个大型超市，使得它到、的距离相等，请确定该超市的位置． 【题型8 利用角平分线构造全等三角形】 【例8】（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）如图，的角平分线，相交于点，，则___________．若 的面积为，四边形的面积为，则 的面积为___________． 【变式8-1】（25-26八年级上·湖北咸宁·期末）如图，在中，，是的平分线，M为的中点，交的延长线于E，交于F，则________． 【变式8-2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，的平分线交于点D，于点E，于点F，则CE的长为_______　． 【变式8-3】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，四边形，平分，，，，则面积的最大值为（    ） A．8 B．9 C． D．10 【题型9 角平分线性质与判定综合应用】 【例9】（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，于点，，，将沿着折叠，若点恰好落在射线上的点处，则的面积为_____． 【变式9-1】（25-26八年级上·贵州遵义·阶段检测）如图，将纸片沿折叠，点A落在点处，恰好满足平分，平分，若，则的值是________． 【变式9-2】（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）如图，和分别是的外角和的平分线，和交于点，过点作交于点于点，若，点到的距离为4，则的面积为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式9-3】（25-26八年级上·全国·寒假作业）如图，中，，点D在边延长线上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且． (1)求证：平分； (2)若，且，则的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $