专题05 全等三角形 章末56道压轴题型专训（ -2026-2027学年人教版八年级数学上册重

该初中数学讲义以“全等三角形”为核心，通过7大压轴题型系统构建知识体系，涵盖角平分线性质应用、动点问题、翻折与旋转变换等，用目录框架清晰呈现题型脉络，突出性质与几何变换的内在联系及重难点分布。 讲义亮点在于“情境化题型专项突破”设计，如角平分线实际应用（尺规作图确定快递站位置）、旋转问题（等腰直角三角形旋转全等证明），培养几何直观与推理能力。例题分层适配不同学生，教师可依此实施精准复习，助力学生系统掌握全等三角形综合应用。

专题05 全等三角形章末56道压轴题型专训（7大题型） 目录 压轴题型・满分计划 题型一、角平分线性质的实际应用 1 题型二、全等三角形动点问题 2 题型三、全等三角形翻折问题 3 题型四、全等三角形旋转问题 4 题型五、全等三角形存在性问题 5 题型六、全等三角形几何探究问题 6 题型七、全等三角形的辅助线问题综合应用 7 【经典例题一 角平分线性质的实际应用】 1．（25-26七年级下·辽宁丹东·期末）如图，两条公路，交于点O，村庄M，N的位置如图所示，M在公路上，现要修建一个快递站P，使快递站到两条公路的距离相等，且到两村庄的距离也相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．    【答案】 点P即为所求，如图所示： 【分析】作线段的垂直平分线，作的角平分线，则交于一点，即为点P． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 2．（25-26八年级上·河北邢台·期末）延安国家森林公园是国家唯一的城郊生态型森林公园．公园内有一块四边形的草坪（如图），在该四边形内有一棵松树，松树的位置点到边，的距离相等．并且点到点，的距离也相等．请你用尺规作图的方法标出点的位置．（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】   如图，点即为所求． 【分析】作线段的垂直平分线，作的角平分线，交于点，点即为所求． 【详解】解：∵松树的位置点到边，的距离相等 ∴点在的角平分线上， 又∵点到点，的距离也相等， ∴点在线段的垂直平分线， 即点为的角平分线与线段的垂直平分线的交点， 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 3．（25-26八年级上·陕西商洛·期末）如图，在中，，是的平分线，于点，点在边上，连接． (1)求证：； (2)若，试说明与的数量关系． 【答案】(1) 证明：在中，，是的平分线，于点， 由角平分线性质可知， 在和中， ， ， ； (2) 解：， 理由如下： 在和中， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查直角三角形全等的判定与性质，涉及角平分线性质、直角三角形全等的判定与性质和邻补角定义，熟练掌握直角三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）根据角平分线的性质得到，再利用直角三角形全等的判定与性质即可得到答案； （2）利用直角三角形全等的判定与性质得到，再由邻补角定义即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）略 4．（25-26八年级上·重庆铜梁·期中）如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且． (1)求∠ACE的度数； (2)求证：AE平分∠CAF； (3)若AC+CD＝14，AB＝8.5，且，求△ABE的面积． 【答案】(1) (2) 证明：如图，过点作于点，作于点， 平分，， ， 由（1）可知，，即平分， ， ， 又点在的内部， 平分． (3) 【分析】（1）先求出，再根据直角三角形的两个锐角互余可得，然后根据即可得； （2）过点作于点，作于点，先根据角平分线的性质可得，从而可得，再根据角平分线的判定即可得证； （3）过点作于点，作于点，则，设，再根据和三角形的面积公式可得的值，从而可得的值，然后利用三角形的面积公式即可得． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）略 （3）解：如图，过点作于点，作于点， 由（2）已得：， 设， ， ， ，即， 又， ， ， ， 的面积为． 【点睛】本题主要考查了角平分线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 5．（25-26八年级上·福建福州·期中）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： （1）已知：如图1，线段a、b、c．求作：△ABC，使得BC＝a，AC＝b，AB＝c． （2）如图2，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处600米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1：20000）？ 【答案】（1）见解析；（2）地图上的集贸市场应在铁路和公路形成的角（S区）的角平分线上，且与点O的距离为3cm． 【分析】（1） ①如图，作射线BM，在射线BM上截取BA=c，分别以B，A为圆心，a，b为半径作弧，两弧交于点C，连接BC，AC，△ABC即为所求；②利用尺规作出∠AOB的射线OC即可． （2） 利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知集贸市场在公路、铁路相交的角平分线上，再根据比例尺计算出集贸市场离O的距离即可． 【详解】 （1）如图，△ABC即为所求． （2） 如图所示： 设集贸市场距离交点O为xm，则： ， 解得：x=0.03， 0.03m=3cm． OP=3cm． 点P即为所求，地图上的集贸市场应在铁路和公路形成的角（S区）的角平分线上，且与点O的距离为3cm． 【点睛】考查了复杂作图和角平分线的性持，解题关键关键是掌握基本作图的方法，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作和掌握角平分线上的点到角两边的距离相等． 6．（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）如图，是边的延长线上的一点，在边上取一点，使得，且，作的平分线交于点．    (1)求的度数． (2)过点作于点，连接，若，，的面积为12，求的面积． 【答案】(1) (2)4.8 【分析】（1）本题考查三角形的有关性质，充分利用已知条件，三角形的外角性质及内角和公式，本题即可求解．利用三角形外角，，在中用三角形内角和表示出以及表示出外角是解答本题的关键． （2）运用角平分线的性质表示出点到边、、的距离，利用已知条件即可求得面积． 【详解】（1）解：（1）∵ ∴（三角形的外角性质） 又∵平分， ∴ ∴ 又∵在中 即 ∴ 又∵是的外角， ∴． （2）（2）如图，过点分别作于点，于点．   平分，， （角平分线上的点到角两边的距离相等） 又，， （角平分线上的点到角两边的距离相等） ; 又，的面积为12， 即 又 ∴． 7．（25-26八年级上·山东淄博·期中）已知：如图所示，直线，与的平分线交于点C，过点C作一条直线l与两条直线MA、NB分别相交于点D、E． （1）如图1所示，当直线l与直线MA垂直时，猜想线段AD、BE、AB之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明； （2）如图2所示，当直线l与直线MA不垂直且交点D、E都在AB的同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； （3）当直线l与直线MA不垂直且交点D、E在AB的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段AD、BE、AB之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系． 【答案】（1）； （2）证明：如图2中，在线段AB上截取AF=AD，连接FC． ∵AC，BC分别平分∠MAB，∠NBA， ∴∠1=∠2，∠3=∠4． 在△ADC和△AFC中， ， ∴△ADC≌△AFC（SAS）． ∴∠ADC=∠AFC， ∵MA∥NB， ∴∠ADC+∠6=180°， 又∵∠CFB+∠AFC=180°， ∴∠CFB =∠6． 在△CBF和△CBE中， ， ∴△CBF≌△CBE（AAS）， ∴BF=BE ∵AF+BF=AB， ∴AD+BE=AB． （3）不成立，或 【分析】（1）如图1中，结论：AD+BE=AB．作CH⊥AB于H，只要证明△ACD≌△ACH，△BCH≌△BCE即可． （2）如图2中，（1）中所得结论是否仍然成立．在线段AB上截取AF=AD，连接FC，只要证明△ADC≌△AFC（SAS），△CBF≌△CBE（AAS）即可解决问题． （3）不成立．如图3中，结论：AD-BE=AB．延长BC交AM于F，只要证明△ABF是等腰三角形，△CDF≌△CEB，即可解决问题．如图4中，结论：BE-AD=AB，证明方法类似． 【详解】解：（1）结论：AD+BE=AB． 理由：作CH⊥AB于点H ∵CD⊥AM，CH⊥AB， ∴∠ADC=∠CHA=90°， 在△ACD和△ACH中， ， ∴△ACD≌△ACH（AAS）， ∴AD=AH， 同理可证△BCH≌△BCE， ∴BH=BE， ∴AD+BE=AH+BH=AB． （2）略 （3）不成立． 如图3中，结论：AD-BE=AB． 理由：延长BC交AM于F． ∵AD∥BN， ∴∠4=∠AFB=∠3，∠FDC=∠CEB， ∴AF=AB， ∵∠1=∠2， ∴AC⊥BF，CF=BC， 在△CDF和△CEB中， ， ∴△CDF≌△CEB， ∴DF=BE， ∴AD-BE=AD-DF=AF=AB， ∴AD-BE=AB． 如图4中，结论：BE-AD=AB． 理由：延长AC交BE于H． ∵AD∥BN， ∴∠MAC=∠AHB=∠CAB，∠MDC=∠CEB， ∴BH=AB， ∵∠ABC=∠HBC， ∴BC⊥AH，AC=CH， 在△CEH和△CDA中， ， ∴△CEH≌△CDA， ∴AD=HE， ∴BE-HE=BE-AD=BH=AB， ∴BE-AD=AB． 【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质定理、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）学习角平分线的性质后，小明进行了拓展性探究．她发现在直角梯形中，当两底边的长度之和等于两内角（非直角内角）夹边的长度时，若这两内角的角平分线相交于腰上同一点，则这两条角平分线互相垂直，请根据她的思路完成以下作图与填空： （1）用尺规完成以下作图：作的平分线交于点E，连接，在上截取，连接．（只保留作图痕迹） （2）已知：在直角梯形中，，，平分，，．求证：． 证明：平分， ∴ 在和中， ，． ， ∴ ． ∴易证 平分，， ，， 小明再进一步研究发现，只要梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：直角梯形中，当两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度，若两内角（非直角内角）的角平分线相交于腰上同一点那么④ ． 【答案】 （1）如图所示： （2）①；②；③；④这两个内角的平分线互相垂直 【分析】本题考查了作角平分线，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质与判定，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据尺规作图，作已知角的平分线的方法和步骤画出的平分线即可；再以点D为圆心，以为半径画弧交于F，则可得； （2）根据角平分线性质得，①，由此可依据“”判定和全等，则，．再根据，可得③，然后根据，可依据“”判定和全等，从而得，再根据，，可得，据此即可得出结论． 【详解】（1）解：①以点D为圆心，以适当的长为半径画弧交，于H，T， ②分别以H，T为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P， ③连接并延长交于E，则为的平分线， ④以点D为圆心，以为半径画弧交于F，则； （2）证明：平分， ， 在和中， ， ， ，． ，， ， 在和中， ， ， 平分，， ，，， ， 故答案为：①；②；③；④这两个内角的平分线互相垂直． 【经典例题二 全等三角形动点问题】 9．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，点为外一动点，连接并延长至点，连接交于点．过点作的垂线于点，，已知．证明：为的平分线． 【答案】 证明：如图，过作于点，于点， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴． ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为的平分线． 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，角平分线的判定．过作于点，于点，利用定理证明，得到，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； 【详解】略 10．（24-25八年级上·广西崇左·期末）如图，中，，，点是上的一动点，，，连接． (1)求证：； (2)当点在什么的位置时，是直角三角形？请说明理由． 【答案】(1) 证明：∵中，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)当点在的中点时或与点C重合时，是直角三角形， 理由：∵点在的中点， ∴, ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴是直角三角形； 当点P与点C重合时，是直角三角形． 理由：∵点P与点C重合， ∴， ∴是直角三角形． 综上，点P在中点时或与点C重合时，是直角三角形．（方法不唯一） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三线合一定理，等边对等角等等： （1）先由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，再证明得到．据此求出的度数即可证明结论； （2）当点在的中点时，根据，得，结合，得四边形是矩形，，是直角三角形；当点P与点C重合时，，是直角三角形．（方法不唯一） 【详解】（1）略 （2）略 11．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知正方形边长为，动点M从点C出发，沿着射线的方向运动，动点P从点B出发，沿着射线的方向运动，连结， （1）若动点M和P都以每秒的速度运动，问t为何值时和全等？ （2）若动点P的速度是每秒，动点M的速度是每秒问t为何值时和全等？ 【答案】（1）t=1；（2）t=或t= 【分析】（1）根据△DCP与△BCM全等，列出关于t的方程，解之即可； （2）分当点P在点C左侧和当点P在点C右侧，两种情况，根据PC=CM，列方程求解即可． 【详解】解：（1）要使△DCP与△BCM全等， 则PC=CM， 由题意得：2t=4-2t， 解得：t=1； （2）当点P在点C左侧时， 则△DCP≌△BCM， ∴PC=CM， ∴4-3t=1.5t， 解得：t=； 当点P在点C右侧时， 则△DCP≌△BCM， ∴CP=CM， ∴3t-4=1.5t， 解得：t=， 综上：当t=或t=时，△DCP与△BCM全等． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是抓住全等三角形的条件，得到相等线段，列出方程，注意分类讨论． 12．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图，在中，，，，点在直线上，点是直线上点左边的一点，且，．动点从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动；同时动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动．两点到达相应的终点就分别停止运动，分别过点、点作于点，于点．设点的运动时间为． (1)用含的代数式表示的长； (2)当点在边上时，求证：； (3)当与全等时，直接写出的值． 【答案】(1)或 (2) 证明：， ， ， ， ， ． (3)1或或8 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、直角三角形的性质、一元一次方程等知识点，学会用分类讨论的思想思考问题是解题的关键． （1）由题意分和两种情况列出代数式即可； （2）由直角三角形的性质以及平角的性质即可解答； （3）由全等三角形的性质分三种情况，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：当点到点时，； 当点到点时，； 当时，在上，则， ； 当时，点在上， ， ． 的长为或； （2）略 （3）解：当点到点时，， 当点P到点C时，， 当点Q到点B时，， 当点Q到点A时，， 当时，点P在边上，点Q在边上，， 此时，则有， ， ，解得：； 当时，点P、Q都在边上时，， 此时， ， ，解得：； 当时，点Q到终点A停止不动，点P在边上此时两个三角形不全等； 当时，点Q到终点A停止不动，点P在边上，， 此时， ， ，解得：． 综上，当与全等时，的值为1或或8． 13．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AC＝6，高AD，BE 相交于点O，CE＝AE (1)线段 BO的长为 ； (2)动点P从点O出发；沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，动点Q从点A出发沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t秒， ①设△POQ的面积为S．请用含t的式子表示S，并写出相应的t的取值范围； ②点F是直线BC上一点，且CF＝AO．当△AOP与△FCQ全等时，求t的值． 【答案】(1)6； (2)①；②t的值为或2． 【分析】（1）易得△ABD是等腰直角三角形，可得BD＝AD，然后求出∠DBO＝∠DAC，证明（ASA），即可得出BO＝AC＝6； （2）①求出点Q运动到点E时，t＝，根据点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，可得t≤6，然后分情况讨论：当0＜t＜1时；当1＜t≤6时，分别画出图形，根据三角形的面积公式列式即可； ②分两种情况，点F在线段BC延长线上，可得当OP＝CQ时，（SAS），此时t＝6−4t，解得t＝；点F在线段BC上，可得当OP＝CQ时，（SAS），此时t＝4t−6，解得t＝2． 【详解】（1）解：∵∠ABC＝45°，AD为的高， ∴是等腰直角三角形， ∴BD＝AD， ∵AD，BE为的高， ∴∠AEB＝∠ADB＝90°， ∵∠AOE＝∠BOD， ∴∠DBO＝∠DAC， 又∵∠BDO＝∠ADC＝90°，BD＝AD， ∴（ASA）， ∴BO＝AC＝6， 故答案为：6； （2）解：①∵CE＝AE， ∴AE＝AC＝， ∴当点Q运动到点E时，t＝， ∵点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动， ∴t≤6， ∴当0＜t＜1时，如图1， 此时S＝； 当1＜t≤6时，如图2， 此时S＝； 综上所述，； ②∵， ∴∠BOD＝∠ACD， 当点F在线段BC延长线上时，如图3， ∵∠BOD＝∠ACD， ∴∠AOP＝∠ACF， ∵AO＝CF， ∴当OP＝CQ时，（SAS）， ∴t＝6−4t， 解得：t＝； 当点F在线段BC上时，如图4， ∵∠BOD＝∠ACD， ∴∠AOP＝∠FCQ， ∵AO＝CF， ∴当OP＝CQ时，（SAS）， ∴t＝4t−6， 解得：t＝2； 综上所述，当△AOP与△FCQ全等时，t的值为或2． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形面积计算以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 14．（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图1，已知正方形的边长为16，点P为正方形边上的动点，动点P从点A出发，沿着运动到D点时停止，设点P经过的路程为x，的面积为y．    (1)如图2，当时， ______； (2)如图3，当点P在边上运动时， _____； (3)当时， ______； (4)若点E是边上一点且，连接，在正方形的边上是否存在一点P，使得与全等？若存在，求出此时x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)32 (2)128 (3)3或45 (4)存在，或38时，使得与全等 【分析】（1）由，可得，然后由，求得答案； （2）直接由，求得答案； （3）由已知得只有当点P在边或边上运动时，，然后分别求解即可求得答案； （4）分两种情况，当点P在边或边上运动时，分别画出图形，由全等三角形的性质列出关于x的方程求解即可 【详解】（1）∵， ∴； 故答案为：32； （2）∵点P在边上运动， ∴； 故答案为：128； （3）由已知得只有当点P在边或边上运动时，， 当点P在边上运动时， ∵， ∴， 解得，， 即； 当点P在边上运动时， ∵， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，当时，或45； （4）当点P在边或边上运动时，存在一点P，使得与全等． 如图4，当点P在上时，    假设，则有， ∴，即． 如图5，当点P在上时，，    ∴， ∴， 综上所述，或38时，使得与全等． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、三角形面积公式．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键． 15．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，直线过点． (1)当时，如图1，分别过点，作于点，于点，求证：． (2)当，时，如图2，点与点关于直线对称，连接，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点运动，同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿向终点运动，点，到达相应的终点时停止运动，过点作于点，过点作于点，设运动时间为t秒． ①___________，当在路径上时，___________，（用含的代数式表示） ②直接写出当与全等时的值． 【答案】(1)证明见解答过程 (2)①；；②当与全等时，秒或 5 秒或秒 【分析】本题是三角形综合题目，考查的是全等三角形的判定和性质、轴对称的性质、以及分类讨论等知识；掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据垂直的定义得到，利用定理证明； （2）①由轴对称的性质可得出答案； ②动点沿路径运动，点沿路径运动，点沿路径运动，点沿路径运动四种情况，根据全等三角形的判定定理列式计算． 【详解】（1）证明：∵直线， ， ， ， ， 在和中， ， ． （2）解：①由题意得，， 则， 根据题意得， 由轴对称的性质可知，， ， 故答案为：． ②由轴对称的性质可知，， ， ， ∴当时，与全等， 当点沿路径运动时，， 解得，（不合题意）， 当点沿路径运动时，， 解得，， 当点沿路径运动时，由题意得，， 解得，， 当点沿路径运动时，由题意得，． 解得，， 综上所述，当与全等时，秒或 5 秒或秒． 16．（25-26八年级上·北京朝阳·期中）如图，平面直角坐标系中有点和轴上一动点，其中，以点为直角顶点在第二象限内作等腰直角，设点的坐标为． (1)当时，过点作轴于，则 ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴ 在和中， ∵ ∴， ∵，， ∴，， 则 点坐标为（ ， ）； (2)动点在运动的过程中，试判断的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由． (3)当时，在坐标平面内是否存在一点（不与点重合），使与全等？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不变， (3)存在，点或或 【分析】（1）根据（1）的证明过程，得，则，；根据，即可； （2）过点作轴交于点，则，根据全等三角形的判定，得，则，；根据点，得点的坐标，即可； （3）根据，则点，根据与全等，分类讨论点，即可． 【详解】（1）由题意得，，， ∵， ∴， ∴点． （2）过点作轴交于点， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵点，， ∴，， ∵， ∴点， ∵点， ∴， ∴的值不变，． （3）由（1）得，，当，则点， 存在点，使得与全等， 如图，过点作轴交点， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点； 如图，过点作轴交点，过点作轴交于点， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点； 如图，过点作轴交点， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点． 综上所述，点的坐标为：或或． 【点睛】本题考查全等三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质． 【经典例题三 全等三角形翻折问题】 17．（2026·湖南永州·二模）如图，已知四边形为矩形，，点在上，，将沿翻折到，连接．    (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1) 证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， 由翻折得：，，， ， ， ， ， 在和中 ， ()． (2) 【分析】（1）可证，，从而可证，即可求证； （2）过作交于，交于，可证，，设，则，可求，，从可求，再求，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过作交于，交于，   ， 四边形是矩形， ，， 四边形是矩形， ，， ， 设，则， 由（1）得：，， ， ，， ， 即， ， 在，， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 解得：， ，， ． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定及性质，等腰三角形的性质，平行线的判定及性质，特殊角的三角函数值，矩形的判定及性质等，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键． 18．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图1，在中，，为上一点，沿直线翻折，点恰好落在直线上处． (1)如图2，当时，过点作于点， ①求的度数； ②求证：； (2)当时，若，，求的周长（用含，的式子表示）． 【答案】(1)①； ②证明：延长、交于点， ， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴；； (2)； 【分析】（1）①本题考查等腰三角形的性质，折叠的性质及三角形内外角关系，根据等腰直角三角形得到，结合折叠得到，即可得到答案；②本题考查等腰三角形三线合一及三角形全等的判定，延长、交于点，根据等腰三角形三线合一得到，再证即可得到证明； （2）本题考查折叠的性质，根据折叠得到，即可得到答案； 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵沿直线翻折，点恰好落在直线上处， ∴， ∴； ②略 （2）解：∵沿直线翻折，点恰好落在直线上处， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴． 19．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，中，，平分，交于点O． (1)求证：； (2)如图2，将沿着翻折，边落在射线上，在上取点D，连接，使得，求证：； (3)如图3，在（2）问的条件下，在上取点E，连接，使，连接，若，，求的面积． 【答案】(1) 证明：平分， ， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 证明：过点作于点，过点作于， ， 则， 由翻折的性质可得：， ∵，， ∴， 由（1）可得：， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (3)5 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、折叠的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）由角平分线的定义得出，利用证明即可得证； （2）过点作于点，过点作于，由折叠的性质得出，由角平分线的性质得出，证明，再利用证明，即可得证； （3）延长至点，使，连接，证明，即可得出，从而得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，延长至点，使，连接， ， ∵，平分， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 由（2）可得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．（24-25八年级上·北京朝阳·期中）如图，在中，．    (1)如图1，点在边上，，判断线段组成的三角形的形状： 小明同学的探究思路是，利用轴对称的知识，把分散的条件进行转移，进而解决问题．他将沿直线翻折，得到，连接，利用三角形全等把线段进行转移，如图2所示，从而解决了问题．直接写出线段组成的三角形的形状； (2)如图3，点在直线上，，判断线段组成的三角形的形状，并证明． 【答案】(1)线段组成的三角形是直角三角形， (2) 解：线段组成的三角形是直角三角形， 证明：如图， 将沿直线翻折，得到，将沿直线翻折，得到，    根据折叠性质可得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故点与点F重合， 如图，则在中，， ∴线段组成的三角形是直角三角形． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键． （1）通过证明，得到，即可求解； （2）将沿直线翻折，得到，将沿直线翻折，得到，根据折叠性质可得：，证出，，得出点与点F重合，在中，得出，即可求解． 【详解】（1）解：是直角三角形； 中，， ， 将沿折叠，得，连接，   ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴线段组成的三角形是直角三角形． （2）略 21．（25-26八年级上·福建福州·阶段检测）在三角形中，． (1)将沿着翻折得到，求证：平分； (2)过作于点，在的延长线上取一点，使得，连接、，过点作，分别与，交于点，，点在边上，连接并延长，交于点，过作于，，且． ①求证：是等腰三角形； ②若，探究与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）根据折叠性质得到即可得到结论； （2）①根据题意画出图形，先根据平行线的性质和三角形的外角性质证得，结合已知和等腰三角形的判定可证得结论； ②过D作交延长线于Q，先证是等腰直角三角形，得，再证，得，则，然后证明，得，，进而得出结论． 【详解】（1）解：∵沿着翻折得到， ∴， ∴平分； （2）解：①如图， ∵， ∴，，， ∵，， ∴，则， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形； ②，理由： 过D作交延长线于Q， 由①知，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，又， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了翻折性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、平行线的性质以及三角形的外角性质等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 22．（25-26七年级下·上海嘉定·期末）如图，中，，点是内一点，且．    (1)试说明：； (2)如图，延长交边于点，当满足时； ①求的大小； ②阅读材料：等腰直角三角形斜边的长是直角边长的倍例如图，在等腰直角三角形中，，则． 结合阅读材料，现将沿翻折到，边交于点，若，，请用含的代数式表示的长（直接写出结果） 【答案】(1) 证明：，，， ≌， ， ， ， ， ； (2)①；②的长为 【分析】（1）证明≌，得，，而，故； （2）设，可得，，通过建立方程即可求解；过作于，通过翻折可推出，再结合材料所给信息即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：设，则，， ， ， ， ， 解得， ； 过作于，如图：    由可得，， 将沿翻折到， ， ， ， ， ，， ， ，， ， 在中，， ， ， ， ； 的长为． 【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是掌握翻折的性质． 23．（24-25七年级下·山西晋中·期末）综合与实践 问题情境：数学课上，同学们以三角形的折叠为主题展开探索，如图1，在中，，，点是边上的一点，将沿折叠，点恰好落在边上的点处． 初步探究：（1）请直接写出的度数为_________．； 深入探究：（2）“启明小组”将图1中的变为，其它条件不变，过作于点得到图2．试猜想线段与的数量关系，并说明理由； 类比探究：（3）“攀登小组”认为将非直角三角形折叠也能提出有意义的问题．如图3，中，，为边上一点，将沿折叠，点落到点处，当时，请直接写出此时的度数． 【答案】（1）； （2），理由如下： ∵，， ∴， 根据折叠可知：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3） 【分析】（1）先求出，根据折叠得出，根据三角形内角和定理求出结果即可； （2）根据三角形内角和定理和折叠的性质得出，根据垂线定义得出，证明，得出； （3）根据折叠可知：，，根据平行线的性质得出，根据，求出，即，根据平行线的性质，得出答案即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 根据折叠可知：， ∴， ∴； （2）略 （3）根据折叠可知：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 24．（25-26八年级上·山东德州·期中）【背景】数学兴趣小组在学习对顶角知识时，发现若两个三角形存在对顶角的关系时，则这两个三角形的内角存在某种关系．对此数学兴趣小组展开探究． 【发现】（1）如图1，在和中，点E为与的交点． ①若，则________； ②若，则与之间的数量关系是________； 【应用】 （2）如图2，B、A、E在同一直线上，，交于点C，．求证：； （3）如图3，在等腰中，，，D是边上一点，将沿折叠至，的对应边与交于点F，当为等腰三角形时，请直接写出的度数． 【答案】（1）①；②； （2）证明：，， ， ， ， 在和中， ； （3）或． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定， 对于（1），①，根据三角形内角和定理得，可得，再根据三角形内角和定理得出答案； ②根据三角形内角和定理得，，再结合，，可得答案； 对于（2），根据“角角边”可得出答案； 对于（3），解：设，再表示出，， ，，再分两种情况：当，当，可得方程，求出解即可． 【详解】（1）解：①在中，， ， ， 在中，． 故答案为：100°． ②在中，； 在中，， 且，， ． 故答案为：． （2） 略 （3）解：设， 则，， ， ， 情况1：， ， 解得． ，， ． 情况2：， ， 解得． ，， ． 的度数为或． 【经典例题四 全等三角形旋转问题】 25．（25-26七年级下·江苏南京·期中）作图题： （要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明．） (1)如图①，已知点为直线外一点，过点作与直线平行的直线． (2)如图②，将点绕某个点逆时针旋转，使点与点重合，且旋转角的大小恰好为，作出旋转中心点．（在图②中完成作图，并写出必要的文字说明） 【答案】(1) 如图①中，直线即为所求： (2) 如图所示： 连接，在的两边上截取，连接，在的同侧作 ， 点即为所求： 【分析】（1）作直线，以为顶点，作一个角等于即可； （2）连接，在的两边上截取，连接，在的同侧作 ，点即为所求； 【详解】（1）解：略； （2）解：略． 26．（25-26八年级上·北京海淀·阶段检测）如图，在中，，点D，F分别在上，，连接，将线段绕点C按顺时针方向旋转后得，连接． (1)求证：； (2)若直线交于点G，直接写出的度数． 【答案】(1)证明：∵将线段绕点C按顺时针方向旋转后得， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质、平行线的性质： （1）由旋转的性质可得：，再根据同角的余角相等可证明，再根据全等三角形的判定方法即可证明； （2）由题意：，由全等三角形的性质得，求出，可求，进而可求出的度数． 【详解】（1）略 （2）如图， 由题意：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 27．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）已知：如图，四边形中，，，，．回答下列问题： (1)在四边形的边上点除外，是否存在点，使得为等腰三角形，如果存在，这样的点共有个． (2)现有，其两边分别与、交于点、，连接．将绕着点旋转，使得、始终在边和边上．试判断在这一过程中，的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)的周长不发生变化，其周长为 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，全等三角形的性质与判定； （1）如果为等腰三角形，那么分在边或者边上或边上三种情形，分别讨论，得出答案； （2）延长至点，使，连接． 证明得出，，进而可得，证明得出，进而得出的周长，即可得出结论 【详解】（1）解：在边，当，则点与点重合； 当在边，则，有1个点， 当在边，当，有1个点， 综上所述，共3个点，使得为等腰三角形， 故答案为：． （2）的周长不发生变化．理由如下： 延长至点，使，连接． ， 又， ， ，． ， ． 又已证，公共边， ， ． 的周长 ． 的周长不变，其周长为． 28．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）【初步探究】 （1）如图1，和都是等腰直角三角形，，连接． ①由题中条件判断与的数量关系： ； ②与是否存在特殊的位置关系？请你证明． 【灵活运用】 （2）将绕点A旋转至如图2所示位置，连接．在（1）中的结论下，若，四边形的面积存在最大值吗？若存在，求出这个值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）①； ②，理由如下： 延长交于点F， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）存在，最大值是32 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，四边形的面积等，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）①证明，可得出； ②延长交于点F，根据，得出，从而得到，继而得到，即可； （2）连接交于点G，证明，得出，，得到，可得四边形的面积，根据，得出当时，四边形面积取得最大值，即可． 【详解】（1）解：①∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； ②略 （2）解：连接交于点G， ∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积， ∵， ∴当时，四边形面积取得最大值． 29．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）教学实验：画的平分线． (1)将一块最够大的三角尺的直角顶点落在的任意一点上，使三角尺的两条直角边分别于交于E，F（如图①）．度量的长度， ______（填，，=）； (2)将三角尺绕点P旋转（如图②）： ①与相等吗？若相等请进行证明，若不相等请说明理由； ②若，请直接写出四边形的面积：______ ． 【答案】(1)= (2) ①；理由如下： 如图：把三角尺绕点顺时针旋转，使三角尺的两条直角边分别与，垂直于、， 则，四边形是矩形 平分， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， 在和中 ， ， ； ②1． 【分析】本题主要考查了正方形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、正方形面积等知识点，熟练掌握正方形的性质、证明三角形全等是解题的关键． （1）通过证明，然后根据全等三角形的性质即可解答； （2）①把三角尺绕点顺时针旋转，使三角尺的两条直角边分别与，垂直于、，证出四边形是正方形，由证明，得出对应边相等即可． ②由①得出四边形是正方形，由正方形的性质得出，四边形的面积正方形的面积即可． 【详解】（1）解：∵的平分线， ∴, ∵三角尺的两条直角边分别于交于E，F（如图①）． ∴， ∵， ∴ ∴． 故答案为：=． （2）解：①略 ②由①得：四边形是正方形，， ， 四边形的面积正方形的面积； 故答案为：． 30．（2026八年级·全国·模拟预测）已知：如图1，，且点，，在一条直线上，连接、，点，分别为、的中点． (1)求证：①，②是等腰三角形； (2)在图1的基础上，将绕点旋转，其他条件不变，得到图2所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立． 【答案】(1) ①证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②证明：∵， ∴， ∵，点，分别为、的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2)（1）中的两个结论仍然成立 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，利用“”证明、是解题关键． （1）①利用“”证明，由全等三角形的性质即可证明；②结合全等三角形的性质可得，根据题意再证明，然后利用“”证明，进而可得，即可证明结论； （2）①利用“”证明，由全等三角形的性质即可证明；②结合全等三角形的性质可得，根据题意再证明，然后利用“”证明，进而可得，即可证明结论． 【详解】（1）①略 ②略 （2）（1）中的两个结论仍然成立，理由： ①将绕点旋转，此时点，，仍在一条直线上， 在和中， ， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵，点，分别为、的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 31．（2026·江苏南通·二模）已知，和都是等腰直角三角形，是的中点，连接． (1)如图1，点在同一条直线上，直接写出与的位置关系为_______； (2)将图1中的绕点逆时针旋转，当落在图2所示的位置时，点恰好在同一条直线上． ①在图2中，按要求补全图形，并证明； ②连接，交于点．判断线段与的数量关系，并证明． (3)将绕点逆时针旋转，连接．当时，在旋转过程中，的最大值为_______． 【答案】(1) (2)①证明：如图1， 由（1）知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②解：如图2， ，理由如下： 作于点G， ∴， 由①知：， ∵， ∴， ∴， ∵，点P是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得出结果； （2）①由，得出结论； ②作于点G，可证得，从而，进而证得，从而得出结论； （3）当时，的面积最大，进而求得结果． 【详解】（1）解：∵，点P是的中点， ∴， 故答案为：； （2）①略 ②略 （3）解：， 当时，的面积最大，最大值为： ， 故答案为：． 32．（25-26八年级上·福建厦门·期中）在数学兴趣小组活动中，小艾和小凯展开了如下数学探究活动：他们将一块足够大的，含角的直角三角尺（）的顶点放置在底角为的等腰直角三角形斜边上的中点O上，其中．现将三角板绕着点O进行旋转（此时点F，G分别在，上运动）．    问题提出 探究直角三角板与三角形重叠部分的面积变化情况． 操作发现 （1）如图，在旋转过程中，当与重合时，重叠部分的面积是______； 当与垂直时，重叠部分的面积是______； 问题解决 （2）在旋转过程中，点C始终保持在直角三角板的内部，直角三角板与三角形重叠部分的面积是否保持不变？请说明理由． 【答案】（1），； （2）重叠部分的面积保持不变，理由如下： 连接， ∵为等腰直角三角形，点为的中点， ∴，平分， 则，， 即：，为等腰直角三角形， ∴ ∵，则， ∴， 在与中，， ∴， ∴， 此时，重叠部分为四边形， ∴， 即：直角三角板与三角形重叠部分的面积始终保持不变． 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质求解即可； （2）连接，根据等腰直角三角形的性质，可证，再利用证明，可得，此时，重叠部分为四边形，可得，由此可得重叠部分的面积保持不变． 【详解】解：（1）∵为等腰直角三角形，点为的中点， ∴，平分， 则， 即：，为等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴当与重合时，此时在上，      即：重叠部分为， ∴重叠部分的面积为； ∵为等腰直角三角形， ∴当与垂直时，平分， 则， ∴，为等腰直角三角形， 则， 又∵， ∴，则 则，为等腰直角三角形， 则， ∴，则， 此时，重叠部分为四边形， ∴； 故答案为：，； （2） 略 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键． 【经典例题五 全等三角形存在性问题】 33．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在四边形中，，，平分，若，则的面积是否存在最大值，若存在，求出最大值并说明理由；若不存在，请说明理由． 【答案】存在最大值12，理解如下： 如图，延长、交于，作交BD延长线于． ， ， 平分， ， 在和中， ， ∴， ∴，， ， ， ， ， ∵ ， 当时，有最大值，最大值为， 此时，的面积的最大值为12． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识，综合性强，难度较大．延长、交于，作交BD延长线于．先证明，得到，，，根据，得到，根据垂线段最短得到，从而得到当时，有最大值，最大值为，即可得到的面积的最大值为12． 【详解】解：略． 34．（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，等边的边长为，点在边上以每秒的速度从向运动，到点停止；点在射线上以每秒的速度从向运动，随着点的停止而停止；设运动时间为秒． (1)用含t的式子表示线段长度： ______， ______； (2)当时，求的值； (3)若运动过程中，线段与边交于点，请问是否存在点为线段中点的情况？若存在，请求出此时的值和的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2) (3)存在，， 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）当时，，为等边三角形，进行求解即可； （3）假设存在点为线段中点的情况．过点作交于点．证明，得出相等的线段，然后列方程求解即可． 【详解】（1）根据题意得，，； （2）当时，， ∴为等边三角形， ∴．∴，解得：； （3）存在． 过点作交于点，如图2所示； ∴，， 在中，， ∴是等边三角形， ∴， ∵点为线段中点， ∴，在和中， ， ∴， ∴，， ∴ ， ∴，解得：， ∴当秒时，点为线段中点，此时， ∴， ∵， ∴． 35．（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）在综合实践课上，李老师以“含的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰纸片中，，，将一块含角的足够大的直角三角尺按如图所示放置，顶点N在线段上滑动（点N不与A，B重合），三角尺的直角边始终经过点C，并与的夹角，斜边交于点E． (1)当时，______； (2)当时，求证：； (3)在点N的滑动过程中，存在是等腰三角形吗？若存在，请直接出夹角的大小；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 证明：∵，， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴， 在和中， ， ∴； (3)存在是等腰三角形，或 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，进而可以解决问题； （2）首先得到，然后证明出，，利用即可得证； （3）首先表示出，，然后分三种情况讨论，分别求出的大小即可． 本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理和外角的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）略 （3）解：由（2）得， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴①当时， ∴ ∴ ∴； ②当时， ∴ ∴ ∴，不符合题意，应舍去； ③当时， ∴ ∴ ∴， 综合所述，存在是等腰三角形，或． 36．（24-25八年级上·江西赣州·阶段检测）（1）如图①，已知，在中，，D，A，E三点都在直线m上，，判断并说明线段，与的数量关系； （2）如图②，若只保持，，且，点A在线段上以的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段上由点E向点F匀速运动，它们运动的时间为．是否存在t，使得与全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】 （1），理由如下： ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）存在，1或． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用平角的定义和三角形内角和定理得，得到，再证明，即可得出结论； （2）分当，两种情况，分别根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）存在，理由如下： 当时，，， ∵， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴， 综上所述，存在t，使得与全等，或． 37．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）已知中，是角平分线，他们相交于P，于P交的延长线于F，交于H． (1)求的度数； (2)求证：； (3)连接，是否存在数m，使得？若存在，求出m；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴ (3)存在． 【分析】（1）根据直角三角形的性质以及角平分线的定义，求解即可； （2）通过证明和，即可求证； （3）连接，通过全等三角形的性质，找到面积之间的关系即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵、分别平分、， ∴， ∴ （2）略． （3）解：存在．． 理由：连接 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴． 【点睛】此题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，以及三角形面积，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． 38．（24-25八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图①，在中，，，过点C作射线．点M从点B出发，以的速度沿匀速移动；点N从点C出发，以的速度沿匀速移动．点M、N同时出发，当点M到达点C时，点M、N同时停止移动，连接、，设移动时间为． (1)点M、N从移动开始到停止，所用时间为　　s； (2)当与全等时，求a的值； (3)如图②，当点M，N开始移动时，点P同时从点A出发，以的速度沿向点B匀速移动，到达点B后立刻以原速度沿返回．当点M到达点C时，点M，N，P同时停止移动．在移动的过程中，是否存在与全等的情形？若存在，直接写出t的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)5 (2)a的值为4或 (3)存在，t的值为或 【分析】本题属于三角形综合题，考查了路程，速度，时间之间的关系，全等三角形的判定； （1）根据时间＝路程÷速度计算即可； （2）分两种情况：①当，时，两个三角形全等；②当，时，两个三角形全等，分别计算即可； （3）分两种情况：①若点M、N的移动速度不同，则时，两个三角形有可能全等；②若点M、N的移动速度相同，则，时两个三角形全等；分别计算即可． 【详解】（1）解：点M的运动时间为， 故答案为：5； （2）∵， ∴， ①当，时，两个三角形全等， 此时点M、N的移动速度相同， ∴； ②当点M、N的移动速度不同时， ∴， ∴当，时，两个三角形全等， ∴运动时间， ∴； 综上所述：a的值为4或； （3）①若点M、N的移动速度不同，则时，两个三角形有可能全等，此时； ②若点M、N的移动速度相同，则，时两个三角形全等， ∴或， 解得：（舍去）或， 综上所述，满足条件的t的值为或． 39．（2026·河南驻马店·模拟预测）如图1，是边长为6cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且cm．点D从O点出发，沿OM方向运动．当点D不与点A重合时，将线段CD绕点C逆时针方向旋转60°得到CE．连接BE，DE． (1)如图1，当点D在线段OA上运动时，线段BD、BE、BC之间的数量关系是______，直线AD和直线BE所夹锐角的度数是______； (2)如图2，当点D运动到线段AB（不与A点重合）上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的结论并说明理由； (3)如图3，将改为等腰直角三角形，其中斜边，其它条件不变，以CD为斜边在其右侧作等腰直角三角形CDE，连接BE，请问BE是否存在最小值，若存在，直接写出答案；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)（1）中结论不成立，应为；直线AD与直线BE所夹锐角的度数为60°成立．理由见解析 (3)存在，BE的最小值为 【分析】（1）结论为：BD= BE+BC；直线AD和直线BE所夹锐角的度数是60°；根据旋转得出CD=CE，∠DCE=60°，再证．然后证明△DCA≌△ECB（SAS）即可 （2）先根据旋转得出，．再证．然后证明△DCA≌△ECB（SAS）即可； （3）如图，作于点F，连结EF，根据，∠DFC=90°，得出C，D，E，F四点共圆．CD为直径，根据等腰直角三角形三线合一性质得出AF=BF=CF=3，根据勾股定理AC=BC=，根据△DEC为等腰直角三角形，得出∠CDE=∠CFE=45°进而得出点E运动轨迹是∠CFB的平分线所在的直线的一部分，当点E在BC上时，BE最短，然后求出BE即可． 【详解】（1）解：结论为：BD= BE+BC；直线AD和直线BE所夹锐角的度数是60°； ∵线段CD绕点C逆时针方向旋转60°得到CE． ∴CD=CE，∠DCE=60°， ∴∠DCA+∠ACE=60°， ∵△ABC为等边三角形， ∴AC=BC=AB，∠ACB=∠CAB=60°， ∴∠ACE+∠ECB=60°， ∴∠DCA=∠ECB， 在△DCA和△ECB中， ， ∴△DCA≌△ECB（SAS）， ∴DA=EB，∠DAC=∠EBC=180°-∠CAB=120°， ∴BD=DA+AB=BE+BC， ∴BD= BE+BC， ∠DBE=∠EBC-∠ABC=120°-60°=60°， 故答案为BD= BE+BC；60°； （2）解：（1）中结论不成立， 应为；直线AD与直线BE所夹锐角的度数为60°成立． 理由如下： ∵线段CD绕点C逆时针方向旋转60°得到CE， ∴，． ∵在等边三角形中，， ， ∴． 在△DCA和△ECB中， ， ∴△DCA≌△ECB（SAS）， ∴，． ∴， ． （3）解：存在，BE的最小值为． 如图，作于点F，连结EF， ∵，∠DFC=90°， ∴C，D，E，F四点共圆．CD为直径， ∵AB=6，CF⊥AB，AC=BC， ∴AF=BF=CF=3，AC=BC=， ∵△DEC为等腰直角三角形， ∴∠CDE=∠CFE=45°， ∴点E运动轨迹是∠CFB的平分线所在的直线的一部分， 当点E在BC上时．BE最短， ∵DE平分∠CDB，CF=BF， ∴BE=CE=． 【点睛】本题考查图形旋转，三角形全等判定与性质，等边三角形判定与性质，四点共圆，圆周角定理，勾股定理，动点问题，掌握图形旋转，三角形全等判定与性质，等边三角形判定与性质，四点共圆，圆周角定理，勾股定理，动点问题是解题关键． 40．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）通过“三角形全等的判定”的学习，大家知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形却不一定全等．下面请你来探究． 探究：已知：， 求作：，使（即两边和其中一边所对的角分别相等）． （1）实践与操作：请依据下面的步骤，用尺规完成作图过程（保留作图痕迹） ①画；②在线段的上方画；③画；④顺次连接相应顶点得所求三角形． （2）观察与小结：观察你画的图形，你会发现满足条件的三角形有______个；其中三角形______（填三角形的名称）与△ABC明显不全等，因此可得结论：________． （3）猜想与验证：猜想是否存在满足“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形全等呢？存在与否，请举一例尺规作图验证（提示：按照探究中的已知先构造三角形，再根据求作要求尺规作图）．    （4）归纳与总结：用一句话归纳（3）________________. 【答案】 （1）作图如下，    （2）两，，结论：两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定相等； （3）如图，当时，按步骤作图，可得.    另，当时，按步骤作图，也可得；    （4）两个三角形，两边和其中一边所对的角分别相等，且该角为直角或钝角时，这两个三角形全等． 【分析】（1）根据步骤尺规作图，得两个三角形； （2）如图，满足条件的三角形有两个，，其中三角形与△ABC明显不全等，因此可得结论：两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定相等． （3）令或，作图验证，得两个三角形全等； （4）由（3）作图验证可知：两个三角形，两边和其中一边所对的角分别相等，且该角为直角或钝角时，这两个三角形全等． 【详解】（1）略． （2）满足条件的三角形有两个，，其中三角形与△ABC明显不全等，因此可得结论：两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等． （3）略． （4）结论：两个三角形，两边和其中一边所对的角分别相等，且该角为直角或钝角时，这两个三角形全等． 【点睛】本题考查尺规作图，全等三角形的判定；考虑到三角形内角为锐角、直角、钝角的三种情况是解题的关键． 【经典例题六 全等三角形几何探究问题】 41．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．如图，在中，，于D，求证：． 【答案】 证明：在上截取，连接， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质，等腰三角形的判定等知识点，解题的关键是正确作出辅助线． 在上截取，连接，证明，得出，，证出得出，即可证明； 【详解】略 42．（25-26八年级上·海南·期中）在艺术工作室里，设计师用两个等腰三角形和创作几何艺术装置．其中，，，交于点．请你解决以下关于这个艺术装置的几何问题 (1)直角风格的装置 如图，当时，求证：，； (2)六十度风格的装置 如图，当时，求的度数； (3)猜想：任意顶角的装置 当时，的度数为________（直接用含的式子表示） 【答案】(1)证明：设、交于点， ， ，即． 在与中， ， ， ，． ， ． ， ， ， ； (2) (3) 【分析】（1）由，可得，证明，得到，，结合，即可得出结论； （2）由，可得，证明，得到，结合，即可解答； （3）根据（2）中的方法进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：设、交于点， ， ，即． 在与中， ， ． ，，， ； （3）解：， ，即． 在与中， ， ． ，，， ． 43．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索： (1)如图，和都是直角三角形，其中，，探索之间的数量关系，并证明你的结论； (2)如图，在中，，，过点作直线，于点，于点，若，，求的面积． 【答案】(1) ， 理由：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴，， ∴； (2)的面积为． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，垂直定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，则，则有，然后证明，再由全等三角形性质即可； （）由，，则，所以，所以，证明，则，，然后通过线段和差求出，最后由三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵于点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴的面积为． 44．（25-26八年级上·湖北十堰·期中）阅读理解，自主探究：我们都知道，构建数学模型图有助于帮助我们解决复杂的几何问题，下列图形是我们常见的一种模型，我们一起来探究一下吧！ (1)【问题解决】如图1，，直线是经过点A的直线，于D，于E，求证：． (2)【类比训练】如图2，中，，直线是经过点A的任一直线，于D，于E，证明：． (3)【拓展延伸】如图3，在中，，若顶点A在直线m上，点D，E也在直线m上，如果，那么（2）中结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明三条线段之间有怎样的数量关系？并给出证明过程． 【答案】(1) 证明：因为，， 所以． 所以，． 所以． 在和中， 所以． (2) 证明：因为， 所以． 所以，． 所以． 在和中， 所以． 所以，． 因为， 所以． (3) 不成立；；理由如下： 因为，， 所以． 又， 在和中， 所以． 所以，． 因为， 所以． 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）用角角边证明，即可； （2）证明，可得，，即可解答； （3）证明，可得，，即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 45．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线. (1)如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围； 同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接． 请你根据同学们的方法解答下面的问题： ①根据题意，补全图形； ②由已知和作图能得到，其依据是______（用字母表示）； ③由三角形的三边关系可以求得的取值范围是______（直接填空）； (2)如图②，在和中，，，，连接，，若为的中线，猜想与的数量关系并说明理由． 【答案】(1) ①根据题意画出图形： ； ②； ③ (2) ，理由如下： 如图，延长，使得，连接， 根据（1）中原理可得， ，， ， ， ， ， ， ， ∴ ． 【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的三边关系，解答本题的关键作出辅助线，构造出全等三角形． （1）①根据题意补全图形即可； ②由是中线得到，又，，通过“”可证．据此可解答； ③由，，根据三角形的三边关系有，即，因此； （2）延长，使得，连接，证明，可得，再证明即可． 【详解】（1）解：①略 ②解：是中线， ， 在和中， ， ． 故答案为：； ③解：， ， ， ，即， ， ， ． 故答案为：； （2）略 46．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）问题提出： （1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，如图中，，，，为上一点，当________时，与是偏等积三角形； 问题探究： （2）如图，与是偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点作交的延长线于点，求的长度为________． 问题解决： （3）如图，四边形是一片绿色花园，，，（）．与是偏等积三角形吗？请说明理由．    【答案】（1）； （2）3； （3）解：是偏等积三角形， 理由：过点A作于点P，过点B作于点Q， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴, ∴与不全等， ∴与是偏等积三角形．    【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确理解题目所给偏等积三角形的定义，正确画出辅助线，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质． （1）根据当时，与是偏等积三角形，即可求解； （2）根据与是偏等积三角形，得出，通过证明，得出，，再根据三角形三边之间的关系得出，则，即可解答； （3）过点A作于点P，过点B作于点Q，通过证明，得出，再根据三角形的面积公式，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵当时，与面积相等，且， ∴当时，与是偏等积三角形， 故答案为：． （2）∵与是偏等积三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵线段的长度为正整数， ∴， 故答案为：3； （3）略 47．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）数学基本思想归结为三个核心要素：抽象、推理、模型．图形与几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以达到解决问题的目的 (1)【模型探究】如图1，和中，，且，连接．这一图形称为“手拉手模型”． 求证，请你完善下列过程． 证明：∵， ∴（ ）①． 即． … （ ）② (2)【类比推理】如图2，中，，以B为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使，求的度数．（提示：可构建手拉手模型，在上找一点E，使） 【答案】(1)等式的性质， (2)42° 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由等式的性质可得，则可证明，再利用即可证明； （2）在上取一点E，使，连接，由等边对等角得到，则可证明，进而证明，得到，设和交于点O，由，可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴（等式的性质）． 即． 又∵， ∴； （2）解：在上取一点E，使，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设和交于点O， ∵， ∴． 48．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图是某社区生态景观区的平面示意图．景观区建有一个四叶草形生态水池及一座雕塑，水池内建有观景台，在观景台上安装了一盏广角灯（点），，是两条通往观景台的步行道．小梧从该社区了解到，为了凸显景观的层次感和立体感，达到理想的光影效果，要求．于是他利用身边仅有的一个卷尺根据现场条件进行测量，所得数据如表所示． 所测的量 长度 小梧将示意图抽象成图的几何图；并连接．请根据所测得的数据，判断该广角灯的位置是否符合要求？ 【答案】该广角灯的位置符合要求． 【分析】本题考查了全等三角形的应用，由，，则，然后证明即可，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：因为，， 所以， 在和中， ， 所以， 所以， ∴该广角灯的位置符合要求． 【经典例题七 全等三角形的辅助线问题综合应用】 49．（2025八年级上·全国·专题练习）已知：． (1)如图1，试说明：； (2)如图2，连接，若，不添加任何辅助线，直接写出图中所有的全等三角形． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴． (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质定理，能灵活运用全等三角形的判定和性质定理进行推理是解此题的关键． （1）先求出，根据“”推出，根据全等三角形的性质即可解答； （2）根据全等三角形的性质和判定进行分析即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：图中的全等三角形有，理由如下： 由（1）知：， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∵在和中， ， ∴； ∵在和中， ， ∴． 50．（25-26八年级上·河南周口·期中）已知：和都是等腰直角三角形，，连接，交于点，与交于点，与交于点．    (1)如图①，求证：； (2)如图②，若，不添加辅助线，请你直接写出三对全等的三角形． 【答案】(1)证明： ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴， 在与中， ∵ ∴， ∴； (2)，， 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定方法一般有：，，，，． （1）由等腰三角形的性质可得，，再推出，由证明，即可得证； （2）由题意可得，由可证；由可证，由可证． 【详解】（1）略 （2），，，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴； 在与中， ∵ ∴， ∴ 在与中， ∵ ∴． 51．（2026·浙江舟山·模拟预测）小聪自编一题：“如图，在四边形中，，，求证：”，并将自己的证明过程与小明交流． 小聪： 在和中 ，，， 小明： 你的想法不对，这组相等的角不是相等的两组边的夹角，不符合课本上的全等三角形判定定理，我认为这题可以适当添加辅助线来完成证明． 若赞同小聪的证法，请在第一个方框内打“√”若赞成小明的说法，请你完成证明．    【答案】 解：赞成小明的说法，证明如下： 如图，连接，    ∵， ∴， ∵， ∴，即 ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．连接，利用等边对等角的性质，得到，进而得出，推出，即可证明全等． 【详解】略 52．（25-26七年级下·陕西榆林·阶段检测）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．如图，已知E是的中点，点A在上，且．求证：．      (1)现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明． ①如图1，延长到点F，使，连接； ②如图2，过点B作，交的延长线于点F，过点C作，垂足为G． (2)请你在图3中添加不同于（1）中的辅助线，并对原题进行证明． 【答案】(1) 证明：①如图1，延长到点F，使，连接 ∵E是的中点， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴； ②如图2，过点B作，交的延长线于点F，过点C作，垂足为G． ∵E是的中点， ∴ ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， (2) 如图，过点C作，交的延长线于点M，则， ∵E是的中点， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）①证明，则，由得到，则，即可证明结论；②证明，则，再证明，即可得到结论； （2）过点C作，交的延长线于点M，则，证明，则，由，得到，则，即可证明结论． 【详解】（1）略． （2）略． 53．（24-25八年级上·山东临沂·期中）已知：，为的平分线，分别是边、上一点，且，求证：． 方法1：（）已知，，那么________． （）要证，是否需要证明它们所在的三角形全等，又知道为的平分线，可过做辅助线，过作，，垂足分别为，． （）补全图形，并尝试写出证明过程． 方法2：除了方法外，还可以在角平分线两侧构造全等三角形，在射线上取，连接，并思考是否为等腰三角形，补齐图形并尝试写出证明过程． 【答案】方法：（）； （）如图， （）证明：∵平分，，． ∴，． ∵， ∴． 又∵， ∴ 在和中 ∴ ∴ 方法： 在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， 由（）得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】[方法]（）由，，求得，于是得到问题的答案； （）作，，垂足分别为，，则，由角平分线的性质得，再证明，即可根据“”证明得； [方法]在上截取，连接，再证明，而，， 即可根据“”证明，得，，则，所以，即可证明； 此题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，掌握知识点的应用及正确地作出辅助线是解题的关键. 【详解】解：方法：（）∵，， ∴， 故答案为：； （） 略 （） 略 方法： 略 54．（25-26八年级上·北京海淀·期中）在证明等腰三角形的判定定理时，甲、乙、丙三位同学各添加一条辅助线，方法如图所示． 等腰三角形的判定定理： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”） 已知：如图，在中，，求证：．    甲的方法： 证明：作的平分线交于点D．    乙的方法： 证明：作于点E．    丙的方法： 证明：取中点F，连接．    (1)请你根据甲同学的做法，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)请选择一种合适的方法补全证明过程． 【答案】(1) 所作图形如图所示：    (2) 解：选择甲的方法，证明如下： 如图，作的平分线交于点，    则， 在和中， ， ， ； 选择乙的方法，证明如下： 如图，过作于点，    则， 在和中， ， ， ． 选择丙的方法，无法证明 【分析】（1）以点A为圆心，适当长为半径画弧，交分别于点M、N，然后分别以点M、N为圆心，大于长为半径画弧，交于一点，进而问题可求解； （2）根据全等三角形的性质与判定可进行求解 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 55．（25-26八年级上·北京·期中）已知，在四边形中，，E、F分别是边上的点，且． (1)为探究上述问题，小李同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时．小李同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小李的解题思路：先证明______；再证明 ，即可得出之间的数量关系为 ． (2)请你借鉴小李的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． 【答案】(1) 补全图形，如图： 解题思路为：先证明，再证明， 即可得出之间的数量关系为； 故答案为：，，； (2) 上述结论依然成立． 证明：如图2，延长至M，使，连接． ∵， ∴， 在与中， ， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴． ∴． ∴． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． （1）根据题意，画出图形，先证明，再证明，即可得出结论； （2）延长至M，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 56．（24-25八年级上·湖北襄阳·期中）综合与实践 【问题情境】数学活动课上，兴趣小组分享了一道题，如图1，，和的平分线交于点P，过点P作直线分别交于两点，．求证：． （1）兴趣小组过通过添加辅助线于点E很快解答了此问题．请根据兴趣小组添加辅助线的方法，解答此问题． 【深入探究】老师提出，当与不垂直，其它条件不变时，还成立吗？ （2）如图2，请你回答老师的提问，并证明． 【拓展应用】兴趣小组又进一步研究了这道题，并提出了新的问题，当与不垂直，其它条件不变时，如图3，过点P作，交于Q，若，求的长． （3）请你解答兴趣小组提出的问题． 【答案】 （1）证明：作于点E． ∵， ∴，    ∴ ∵和的平分线交于点P， ∴，   ∴．     （2）成立．     延长交于点F． ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴．     ∴． ∵平分， ∴．     在和中 ∴． ∴．     （3）2 【分析】本题主要考查角平分线的性质，三角形全等的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是作出合适的辅助线，并熟练应用角平分线的性质解决问题． （1）作于点E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得出结论； （2）延长交于点F，根据角平分线的性质和平行线的性质得，再得即可得证； （3）根据平行线的性质得，则，同理得，再由，得，则有，由此求出． 【详解】（1）略 （2）略 （3）∵， ∴．     ∴． ∵． ∴． ∴．     同理． ∴．     由（2）可知，， ∴． ∴． ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 全等三角形章末56道压轴题型专训（7大题型） 目录 压轴题型・满分计划 题型一、角平分线性质的实际应用 1 题型二、全等三角形动点问题 2 题型三、全等三角形翻折问题 3 题型四、全等三角形旋转问题 4 题型五、全等三角形存在性问题 5 题型六、全等三角形几何探究问题 6 题型七、全等三角形的辅助线问题综合应用 7 【经典例题一 角平分线性质的实际应用】 1．（25-26七年级下·辽宁丹东·期末）如图，两条公路，交于点O，村庄M，N的位置如图所示，M在公路上，现要修建一个快递站P，使快递站到两条公路的距离相等，且到两村庄的距离也相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．    2．（25-26八年级上·河北邢台·期末）延安国家森林公园是国家唯一的城郊生态型森林公园．公园内有一块四边形的草坪（如图），在该四边形内有一棵松树，松树的位置点到边，的距离相等．并且点到点，的距离也相等．请你用尺规作图的方法标出点的位置．（保留作图痕迹，不写作法）    3．（25-26八年级上·陕西商洛·期末）如图，在中，，是的平分线，于点，点在边上，连接． (1)求证：； (2)若，试说明与的数量关系． 4．（25-26八年级上·重庆铜梁·期中）如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且． (1)求∠ACE的度数； (2)求证：AE平分∠CAF； (3)若AC+CD＝14，AB＝8.5，且，求△ABE的面积． 5．（25-26八年级上·福建福州·期中）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： （1）已知：如图1，线段a、b、c．求作：△ABC，使得BC＝a，AC＝b，AB＝c． （2）如图2，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处600米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1：20000）？ 6．（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）如图，是边的延长线上的一点，在边上取一点，使得，且，作的平分线交于点．    (1)求的度数． (2)过点作于点，连接，若，，的面积为12，求的面积． 7．（25-26八年级上·山东淄博·期中）已知：如图所示，直线，与的平分线交于点C，过点C作一条直线l与两条直线MA、NB分别相交于点D、E． （1）如图1所示，当直线l与直线MA垂直时，猜想线段AD、BE、AB之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明； （2）如图2所示，当直线l与直线MA不垂直且交点D、E都在AB的同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； （3）当直线l与直线MA不垂直且交点D、E在AB的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段AD、BE、AB之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）学习角平分线的性质后，小明进行了拓展性探究．她发现在直角梯形中，当两底边的长度之和等于两内角（非直角内角）夹边的长度时，若这两内角的角平分线相交于腰上同一点，则这两条角平分线互相垂直，请根据她的思路完成以下作图与填空： （1）用尺规完成以下作图：作的平分线交于点E，连接，在上截取，连接．（只保留作图痕迹） （2）已知：在直角梯形中，，，平分，，．求证：． 证明：平分， ∴ 在和中， ，． ， ∴ ． ∴易证 平分，， ，， 小明再进一步研究发现，只要梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：直角梯形中，当两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度，若两内角（非直角内角）的角平分线相交于腰上同一点那么④ ． 【经典例题二 全等三角形动点问题】 9．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，点为外一动点，连接并延长至点，连接交于点．过点作的垂线于点，，已知．证明：为的平分线． 10．（24-25八年级上·广西崇左·期末）如图，中，，，点是上的一动点，，，连接． (1)求证：； (2)当点在什么的位置时，是直角三角形？请说明理由． 11．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知正方形边长为，动点M从点C出发，沿着射线的方向运动，动点P从点B出发，沿着射线的方向运动，连结， （1）若动点M和P都以每秒的速度运动，问t为何值时和全等？ （2）若动点P的速度是每秒，动点M的速度是每秒问t为何值时和全等？ 12．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图，在中，，，，点在直线上，点是直线上点左边的一点，且，．动点从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动；同时动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动．两点到达相应的终点就分别停止运动，分别过点、点作于点，于点．设点的运动时间为． (1)用含的代数式表示的长； (2)当点在边上时，求证：； (3)当与全等时，直接写出的值． 13．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AC＝6，高AD，BE 相交于点O，CE＝AE (1)线段 BO的长为 ； (2)动点P从点O出发；沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，动点Q从点A出发沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t秒， ①设△POQ的面积为S．请用含t的式子表示S，并写出相应的t的取值范围； ②点F是直线BC上一点，且CF＝AO．当△AOP与△FCQ全等时，求t的值． 14．（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图1，已知正方形的边长为16，点P为正方形边上的动点，动点P从点A出发，沿着运动到D点时停止，设点P经过的路程为x，的面积为y．    (1)如图2，当时， ______； (2)如图3，当点P在边上运动时， _____； (3)当时， ______； (4)若点E是边上一点且，连接，在正方形的边上是否存在一点P，使得与全等？若存在，求出此时x的值；若不存在，请说明理由． 15．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，直线过点． (1)当时，如图1，分别过点，作于点，于点，求证：． (2)当，时，如图2，点与点关于直线对称，连接，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点运动，同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿向终点运动，点，到达相应的终点时停止运动，过点作于点，过点作于点，设运动时间为t秒． ①___________，当在路径上时，___________，（用含的代数式表示） ②直接写出当与全等时的值． 16．（25-26八年级上·北京朝阳·期中）如图，平面直角坐标系中有点和轴上一动点，其中，以点为直角顶点在第二象限内作等腰直角，设点的坐标为． (1)当时，过点作轴于，则 ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴ 在和中， ∵ ∴， ∵，， ∴，， 则 点坐标为（ ， ）； (2)动点在运动的过程中，试判断的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由． (3)当时，在坐标平面内是否存在一点（不与点重合），使与全等？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【经典例题三 全等三角形翻折问题】 17．（2026·湖南永州·二模）如图，已知四边形为矩形，，点在上，，将沿翻折到，连接．    (1)求证：； (2)若，求的面积． 18．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图1，在中，，为上一点，沿直线翻折，点恰好落在直线上处． (1)如图2，当时，过点作于点， ①求的度数； ②求证：； (2)当时，若，，求的周长（用含，的式子表示）． 19．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，中，，平分，交于点O． (1)求证：； (2)如图2，将沿着翻折，边落在射线上，在上取点D，连接，使得，求证：； (3)如图3，在（2）问的条件下，在上取点E，连接，使，连接，若，，求的面积． 20．（24-25八年级上·北京朝阳·期中）如图，在中，．    (1)如图1，点在边上，，判断线段组成的三角形的形状： 小明同学的探究思路是，利用轴对称的知识，把分散的条件进行转移，进而解决问题．他将沿直线翻折，得到，连接，利用三角形全等把线段进行转移，如图2所示，从而解决了问题．直接写出线段组成的三角形的形状； (2)如图3，点在直线上，，判断线段组成的三角形的形状，并证明． 21．（25-26八年级上·福建福州·阶段检测）在三角形中，． (1)将沿着翻折得到，求证：平分； (2)过作于点，在的延长线上取一点，使得，连接、，过点作，分别与，交于点，，点在边上，连接并延长，交于点，过作于，，且． ①求证：是等腰三角形； ②若，探究与的数量关系． 22．（25-26七年级下·上海嘉定·期末）如图，中，，点是内一点，且．    (1)试说明：； (2)如图，延长交边于点，当满足时； ①求的大小； ②阅读材料：等腰直角三角形斜边的长是直角边长的倍例如图，在等腰直角三角形中，，则． 结合阅读材料，现将沿翻折到，边交于点，若，，请用含的代数式表示的长（直接写出结果） 23．（24-25七年级下·山西晋中·期末）综合与实践 问题情境：数学课上，同学们以三角形的折叠为主题展开探索，如图1，在中，，，点是边上的一点，将沿折叠，点恰好落在边上的点处． 初步探究：（1）请直接写出的度数为_________．； 深入探究：（2）“启明小组”将图1中的变为，其它条件不变，过作于点得到图2．试猜想线段与的数量关系，并说明理由； 类比探究：（3）“攀登小组”认为将非直角三角形折叠也能提出有意义的问题．如图3，中，，为边上一点，将沿折叠，点落到点处，当时，请直接写出此时的度数． 24．（25-26八年级上·山东德州·期中）【背景】数学兴趣小组在学习对顶角知识时，发现若两个三角形存在对顶角的关系时，则这两个三角形的内角存在某种关系．对此数学兴趣小组展开探究． 【发现】（1）如图1，在和中，点E为与的交点． ①若，则________； ②若，则与之间的数量关系是________； 【应用】 （2）如图2，B、A、E在同一直线上，，交于点C，．求证：； （3）如图3，在等腰中，，，D是边上一点，将沿折叠至，的对应边与交于点F，当为等腰三角形时，请直接写出的度数． 【经典例题四 全等三角形旋转问题】 25．（25-26七年级下·江苏南京·期中）作图题： （要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明．） (1)如图①，已知点为直线外一点，过点作与直线平行的直线． (2)如图②，将点绕某个点逆时针旋转，使点与点重合，且旋转角的大小恰好为，作出旋转中心点．（在图②中完成作图，并写出必要的文字说明） 26．（25-26八年级上·北京海淀·阶段检测）如图，在中，，点D，F分别在上，，连接，将线段绕点C按顺时针方向旋转后得，连接． (1)求证：； (2)若直线交于点G，直接写出的度数． 27．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）已知：如图，四边形中，，，，．回答下列问题： (1)在四边形的边上点除外，是否存在点，使得为等腰三角形，如果存在，这样的点共有个． (2)现有，其两边分别与、交于点、，连接．将绕着点旋转，使得、始终在边和边上．试判断在这一过程中，的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由． 28．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）【初步探究】 （1）如图1，和都是等腰直角三角形，，连接． ①由题中条件判断与的数量关系： ； ②与是否存在特殊的位置关系？请你证明． 【灵活运用】 （2）将绕点A旋转至如图2所示位置，连接．在（1）中的结论下，若，四边形的面积存在最大值吗？若存在，求出这个值；若不存在，说明理由． 29．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）教学实验：画的平分线． (1)将一块最够大的三角尺的直角顶点落在的任意一点上，使三角尺的两条直角边分别于交于E，F（如图①）．度量的长度， ______（填，，=）； (2)将三角尺绕点P旋转（如图②）： ①与相等吗？若相等请进行证明，若不相等请说明理由； ②若，请直接写出四边形的面积：______ ． 30．（2026八年级·全国·模拟预测）已知：如图1，，且点，，在一条直线上，连接、，点，分别为、的中点． (1)求证：①，②是等腰三角形； (2)在图1的基础上，将绕点旋转，其他条件不变，得到图2所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立． 31．（2026·江苏南通·二模）已知，和都是等腰直角三角形，是的中点，连接． (1)如图1，点在同一条直线上，直接写出与的位置关系为_______； (2)将图1中的绕点逆时针旋转，当落在图2所示的位置时，点恰好在同一条直线上． ①在图2中，按要求补全图形，并证明； ②连接，交于点．判断线段与的数量关系，并证明． (3)将绕点逆时针旋转，连接．当时，在旋转过程中，的最大值为_______． 32．（25-26八年级上·福建厦门·期中）在数学兴趣小组活动中，小艾和小凯展开了如下数学探究活动：他们将一块足够大的，含角的直角三角尺（）的顶点放置在底角为的等腰直角三角形斜边上的中点O上，其中．现将三角板绕着点O进行旋转（此时点F，G分别在，上运动）．    问题提出 探究直角三角板与三角形重叠部分的面积变化情况． 操作发现 （1）如图，在旋转过程中，当与重合时，重叠部分的面积是______； 当与垂直时，重叠部分的面积是______； 问题解决 （2）在旋转过程中，点C始终保持在直角三角板的内部，直角三角板与三角形重叠部分的面积是否保持不变？请说明理由． 【经典例题五 全等三角形存在性问题】 33．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在四边形中，，，平分，若，则的面积是否存在最大值，若存在，求出最大值并说明理由；若不存在，请说明理由． 34．（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，等边的边长为，点在边上以每秒的速度从向运动，到点停止；点在射线上以每秒的速度从向运动，随着点的停止而停止；设运动时间为秒． (1)用含t的式子表示线段长度： ______， ______； (2)当时，求的值； (3)若运动过程中，线段与边交于点，请问是否存在点为线段中点的情况？若存在，请求出此时的值和的长度；若不存在，请说明理由． 35．（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）在综合实践课上，李老师以“含的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰纸片中，，，将一块含角的足够大的直角三角尺按如图所示放置，顶点N在线段上滑动（点N不与A，B重合），三角尺的直角边始终经过点C，并与的夹角，斜边交于点E． (1)当时，______； (2)当时，求证：； (3)在点N的滑动过程中，存在是等腰三角形吗？若存在，请直接出夹角的大小；若不存在，请说明理由． 36．（24-25八年级上·江西赣州·阶段检测）（1）如图①，已知，在中，，D，A，E三点都在直线m上，，判断并说明线段，与的数量关系； （2）如图②，若只保持，，且，点A在线段上以的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段上由点E向点F匀速运动，它们运动的时间为．是否存在t，使得与全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由． 37．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）已知中，是角平分线，他们相交于P，于P交的延长线于F，交于H． (1)求的度数； (2)求证：； (3)连接，是否存在数m，使得？若存在，求出m；若不存在，说明理由． 38．（24-25八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图①，在中，，，过点C作射线．点M从点B出发，以的速度沿匀速移动；点N从点C出发，以的速度沿匀速移动．点M、N同时出发，当点M到达点C时，点M、N同时停止移动，连接、，设移动时间为． (1)点M、N从移动开始到停止，所用时间为　　s； (2)当与全等时，求a的值； (3)如图②，当点M，N开始移动时，点P同时从点A出发，以的速度沿向点B匀速移动，到达点B后立刻以原速度沿返回．当点M到达点C时，点M，N，P同时停止移动．在移动的过程中，是否存在与全等的情形？若存在，直接写出t的值，若不存在，说明理由． 39．（2026·河南驻马店·模拟预测）如图1，是边长为6cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且cm．点D从O点出发，沿OM方向运动．当点D不与点A重合时，将线段CD绕点C逆时针方向旋转60°得到CE．连接BE，DE． (1)如图1，当点D在线段OA上运动时，线段BD、BE、BC之间的数量关系是______，直线AD和直线BE所夹锐角的度数是______； (2)如图2，当点D运动到线段AB（不与A点重合）上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的结论并说明理由； (3)如图3，将改为等腰直角三角形，其中斜边，其它条件不变，以CD为斜边在其右侧作等腰直角三角形CDE，连接BE，请问BE是否存在最小值，若存在，直接写出答案；若不存在，说明理由． 40．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）通过“三角形全等的判定”的学习，大家知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形却不一定全等．下面请你来探究． 探究：已知：， 求作：，使（即两边和其中一边所对的角分别相等）． （1）实践与操作：请依据下面的步骤，用尺规完成作图过程（保留作图痕迹） ①画；②在线段的上方画；③画；④顺次连接相应顶点得所求三角形． （2）观察与小结：观察你画的图形，你会发现满足条件的三角形有______个；其中三角形______（填三角形的名称）与△ABC明显不全等，因此可得结论：________． （3）猜想与验证：猜想是否存在满足“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形全等呢？存在与否，请举一例尺规作图验证（提示：按照探究中的已知先构造三角形，再根据求作要求尺规作图）．    （4）归纳与总结：用一句话归纳（3）________________. 【经典例题六 全等三角形几何探究问题】 41．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．如图，在中，，于D，求证：． 42．（25-26八年级上·海南·期中）在艺术工作室里，设计师用两个等腰三角形和创作几何艺术装置．其中，，，交于点．请你解决以下关于这个艺术装置的几何问题 (1)直角风格的装置 如图，当时，求证：，； (2)六十度风格的装置 如图，当时，求的度数； (3)猜想：任意顶角的装置 当时，的度数为________（直接用含的式子表示） 43．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索： (1)如图，和都是直角三角形，其中，，探索之间的数量关系，并证明你的结论； (2)如图，在中，，，过点作直线，于点，于点，若，，求的面积． 44．（25-26八年级上·湖北十堰·期中）阅读理解，自主探究：我们都知道，构建数学模型图有助于帮助我们解决复杂的几何问题，下列图形是我们常见的一种模型，我们一起来探究一下吧！ (1)【问题解决】如图1，，直线是经过点A的直线，于D，于E，求证：． (2)【类比训练】如图2，中，，直线是经过点A的任一直线，于D，于E，证明：． (3)【拓展延伸】如图3，在中，，若顶点A在直线m上，点D，E也在直线m上，如果，那么（2）中结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明三条线段之间有怎样的数量关系？并给出证明过程． 45．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线. (1)如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围； 同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接． 请你根据同学们的方法解答下面的问题： ①根据题意，补全图形； ②由已知和作图能得到，其依据是______（用字母表示）； ③由三角形的三边关系可以求得的取值范围是______（直接填空）； (2)如图②，在和中，，，，连接，，若为的中线，猜想与的数量关系并说明理由． 46．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）问题提出： （1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，如图中，，，，为上一点，当________时，与是偏等积三角形； 问题探究： （2）如图，与是偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点作交的延长线于点，求的长度为________． 问题解决： （3）如图，四边形是一片绿色花园，，，（）．与是偏等积三角形吗？请说明理由．    47．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）数学基本思想归结为三个核心要素：抽象、推理、模型．图形与几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以达到解决问题的目的 (1)【模型探究】如图1，和中，，且，连接．这一图形称为“手拉手模型”． 求证，请你完善下列过程． 证明：∵， ∴（ ）①． 即． … （ ）② (2) 【类比推理】如图2，中，，以B为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使，求的度数．（提示：可构建手拉手模型，在上找一点E，使） 48．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图是某社区生态景观区的平面示意图．景观区建有一个四叶草形生态水池及一座雕塑，水池内建有观景台，在观景台上安装了一盏广角灯（点），，是两条通往观景台的步行道．小梧从该社区了解到，为了凸显景观的层次感和立体感，达到理想的光影效果，要求．于是他利用身边仅有的一个卷尺根据现场条件进行测量，所得数据如表所示． 所测的量 长度 小梧将示意图抽象成图的几何图；并连接．请根据所测得的数据，判断该广角灯的位置是否符合要求？ 【经典例题七 全等三角形的辅助线问题综合应用】 49．（2025八年级上·全国·专题练习）已知：． (1)如图1，试说明：； (2)如图2，连接，若，不添加任何辅助线，直接写出图中所有的全等三角形． 50．（25-26八年级上·河南周口·期中）已知：和都是等腰直角三角形，，连接，交于点，与交于点，与交于点．    (1)如图①，求证：； (2)如图②，若，不添加辅助线，请你直接写出三对全等的三角形． 51．（2026·浙江舟山·模拟预测）小聪自编一题：“如图，在四边形中，，，求证：”，并将自己的证明过程与小明交流． 小聪： 在和中 ，，， 小明： 你的想法不对，这组相等的角不是相等的两组边的夹角，不符合课本上的全等三角形判定定理，我认为这题可以适当添加辅助线来完成证明． 若赞同小聪的证法，请在第一个方框内打“√”若赞成小明的说法，请你完成证明．    52．（25-26七年级下·陕西榆林·阶段检测）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．如图，已知E是的中点，点A在上，且．求证：．      (1)现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明． ①如图1，延长到点F，使，连接； ②如图2，过点B作，交的延长线于点F，过点C作，垂足为G． (2)请你在图3中添加不同于（1）中的辅助线，并对原题进行证明． 53．（24-25八年级上·山东临沂·期中）已知：，为的平分线，分别是边、上一点，且，求证：． 方法1：（）已知，，那么________． （）要证，是否需要证明它们所在的三角形全等，又知道为的平分线，可过做辅助线，过作，，垂足分别为，． （）补全图形，并尝试写出证明过程． 方法2：除了方法外，还可以在角平分线两侧构造全等三角形，在射线上取，连接，并思考是否为等腰三角形，补齐图形并尝试写出证明过程． 54．（25-26八年级上·北京海淀·期中）在证明等腰三角形的判定定理时，甲、乙、丙三位同学各添加一条辅助线，方法如图所示． 等腰三角形的判定定理： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”） 已知：如图，在中，，求证：．    甲的方法： 证明：作的平分线交于点D．    乙的方法： 证明：作于点E．    丙的方法： 证明：取中点F，连接．    (1)请你根据甲同学的做法，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)请选择一种合适的方法补全证明过程． 55．（25-26八年级上·北京·期中）已知，在四边形中，，E、F分别是边上的点，且． (1)为探究上述问题，小李同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时．小李同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小李的解题思路：先证明______；再证明 ，即可得出之间的数量关系为 ． (2)请你借鉴小李的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． 56．（24-25八年级上·湖北襄阳·期中）综合与实践 【问题情境】数学活动课上，兴趣小组分享了一道题，如图1，，和的平分线交于点P，过点P作直线分别交于两点，．求证：． （1）兴趣小组过通过添加辅助线于点E很快解答了此问题．请根据兴趣小组添加辅助线的方法，解答此问题． 【深入探究】老师提出，当与不垂直，其它条件不变时，还成立吗？ （2）如图2，请你回答老师的提问，并证明． 【拓展应用】兴趣小组又进一步研究了这道题，并提出了新的问题，当与不垂直，其它条件不变时，如图3，过点P作，交于Q，若，求的长． （3）请你解答兴趣小组提出的问题．      学科网（北京）股份有限公司 $