专题20 全等三角形相关压轴题（5种类型40道）【暑期培优】2026年七升八数学暑假培优计划（人教版，重庆专用）

**基本信息** 聚焦全等三角形核心考点，通过5类40道压轴题构建从静态综合到动态探究的递进训练体系，强化几何直观与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |类型1|8道结论判断题|多结论综合判断|全等判定与性质的直接应用，关联角平分线、垂直等性质| |类型2|8道折叠问题|图形折叠后全等性质应用|折叠对称性与全等三角形对应关系的结合，培养空间观念| |类型3|8道最值问题|动点路径下线段最值|利用角平分线性质、对称转化求最值，体现数学思维的严谨性| |类型4|8道动点问题|双动点动态全等判定|运动过程中全等条件的分类讨论，提升动态几何分析能力| |类型5|8道证明题|多问递进式证明|全等三角形与中点、旋转等知识综合，强化逻辑推理与表达|

专题20全等三角形相关压轴题(5种类型40道) 专题目录 【类型1全等三角形相关综合问题】 1 【类型2全等三角形相关折叠问题】 .11 【类型3全等三角形相关最值问题】 .20 【类型4全等三角形相关动点问题】 ….28 【类型5全等三角形压轴证明题】… …43 【类型1全等三角形相关综合问题】 1.如图，已知：AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠ECD=90°，∠EBD=38°，现有下列结论：① △BDC≌△AEC:②∠AEB=135°：③BD=AE;④AE⊥BD.其中正确的有(). A.1个 B.2个 c.3个 D.4个 【答案】C 【详解】解：已知∠ACB=∠ECD=90°， ∠ACB-∠ECB=∠ECD-∠ECB、 即∠BCD=∠ACE, 在△BDC和△AEC中： BC=AC ∠BCD=∠ACE DC=EC ∴.△BDC≌△AEC(SAS ,结论①正确： 由全等三角形对应边相等，得BD=AE,结论③正确： 由△BDC≌△AEC,得∠CBD=∠CAE, 已知∠EBD=∠CBD+∠CBE=38, ∴.∠CAE+∠CBE=38° 第1页共75页 :∠ACB=90°， ∴.∠CBA+∠CAB=90°， 即∠CBE+∠ABE+LCAE+∠BAE=9O°， 代入∠CAE+∠CBE=38°，得∠ABE+∠BAE=90°-38°=52°， 在△1BE中， ∠AEB=180°-（∠ABE+∠BAE)=180°-52°=128°≠135 ,结论②错误： 延长AE交BD于点F,交BC于点H, B 由△BDC≌△AEC,得∠DBC=∠EAC, 又∠BHF=∠CHA,∠ACB=90°， .∠BHF+∠DBC=∠CHA+∠EAC=90° :∠AFB=180°-∠BHF-∠DBC=90°，即AF⊥BD, AE⊥BD,结论④正确， 综上，①③④正确，共3个正确结论 2.如图，CD=CE,BC=AC,∠ACB=∠DCE=90°，连接BD、AE交于F,连接CF,结论：①BD=AE: ②BD⊥AE;③∠AEC+∠DBC=45°；④FC平分∠BFE.正确的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【分析】设4C交BD于点O,证明 ACE≌ABCD(SAS) ,可以判断O@,由∠4CD≠45°，∠DCE=90° 第2页共75页 可以判断©，过点C作CG1BD.CHL4E于点G,H,由5.m=S,得CG=CH ,根据角平分线的 性质可以判断④. 【详解】解：如图，设AC交BD于点O, :CD=CE,BC=AC,∠ACB=∠DCE=90°， .∠ACE=∠BCD. 在△ACE和△BCD中， CA=CB ∠ACE=∠BCD CE=CD △ACE≌△BCD(SAS) 、AE=BD,∠CAE=∠CBD,故①正确： :∠CBD+∠BOC=90°，∠BOC=∠AOF, 、∠CAE+∠AOF=90°， ·∠AFB=90°， ·.AE⊥BD,故②正确： :∠ACD≠45°，∠DCE=90°， ·、∠AEC+LDBC≠45°，故③错误： 过点C作CG⊥BD,CH⊥AE于点G,H, ,△ACE≌△BCD. SBCD=S.ACE BD.CG=AE.CH .2 2 第3页共75页 BD=AE, ..CG=CH ,CG⊥BD,CH⊥AE, ∴FC平分∠BFE,故④正确， 综上所述：结论正确的为①②④，共3个 3.如图，∠E=∠F=90°，∠B=∠C,AE=AF,则下列结论：①∠I=∠2；②BE=CF;③CD=DN;④ △ACN≌△ABM,其中正确的有() E A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明△ABE≌△ACF,△ACN≌△ABM是解题的关键， 证明△ABE≌△ACF(AAS)可判断①②正确；根据ASA证明△ACV≌△ABM可判断④正确：无法判断③正确， 【详解】解：∠E=∠F=90°，∠B=∠C,AE=AF, .△ABE≌△ACF(AAS) :∠EAB=∠FAC,AC=AB,BE=CF,故②正确： .∠EAB-∠BAC=∠FAC-∠BAC, 即∠1=∠2，故①正确： :∠CAN=∠BAM,AC=AB,∠C=∠B ,.△ACN≌aABM(ASA ,故④正确： 根据题目条件，不能判断出BD与DN的大小关系，因此不能判断CD与DN是否相等，故③错误. 故选：B 4.如图，已知△ABC≌△AEF,其中AB=AE,∠B=∠E.在下列结论①AC=AF,②∠BAF=∠B,③ EF=BC,④∠BFE=∠CAF中，正确的个数有() 第4页共75页 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质可判断①③和得到∠AFE=∠ACB,根据平角的定义和三角形内角和定理 可判断④：根据现有条件无法证明∠BAF=∠B,则可判断②. 【详解】解：，△ABC≌△AEF, .AC=AF,EF=BC,∠AFE=∠ACB,故①③正确： :∠BFE+∠AFE+∠AFC=180°=∠AFC+∠ACF+∠CAF, ·.∠BFE=∠CAF,故④正确： 根据现有条件无法证明∠BAF=∠B,故②不正确. 5.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,有下列结论：①CD=ED;② 4AC+BE=B,③D1平分∠CDE,O∠BDE=∠BAC:自5.m:Sm=AB:AC 其中结论正确的个数 为(). B A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】A 【分析】对于①，由角平分线的性质可得CD=ED,对于②3，容易证明 ADE≌aADC(AMS),则 AC=AE,∠ADE=∠ADC,因此AC+BE=AE+BE=AB,故②③正确；对于④，利用同角的余角相等 可明：对于⑤，山Sao号4BD.Sm4C一CD,结合CDD:即可正明。 第5页共75页 【详解】解：对于①：，AD平分∠BAC, 又，DE⊥AB,∠C=90°， :.CD=ED,∠AED=∠C=90°，故①正确： 对于②：·AD平分∠BAC, LDAE=∠DAC, 在△ADE和△ADC中， ∠DAE=∠DA ∠AED=∠C AD=AD △ADE≌△ADC(AAS) .AC=AE, ∴AC+BE=AE+BE=AB,故②正确： 对于③：：△ADE△ADC, ·∠ADE=∠ADC, ∴DA平分∠CDE,故③正确： 对于④：：∠BED=∠C=90°， ∴.∠B+∠BDE=90°，∠B+∠BAC=90°. ∴∠BDE=∠BAC,故④正确： 对于⑥：：Sm24B-BD,Sm=)4CCD 1 2 又，CD=ED, 1 AB:ED 2 AB :.S.ACD 24C.CDAC,即 ，故⑤正确： S.ABD S.ACD AB:AC 综上，正确的结论有5个. 6.如图，点D,E在CF上，AB=AC,BF=CE,∠ABF=∠ACE,下列结论：①AF=AE;② ∠FAE=∠BAC；③∠BFC=∠EAB,其中正确的结论的个数为() 第6页共75页 B A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质. 由SAS证明△ABF≌△ACE,再根据全等三角形的性质判断即可. 【详解】解：AB=AC,BF=CE,∠ABF=∠ACE △ABF≌△ACE(SAS) .AF=AE,∠FAB=∠EAC. ∴∠FAB+∠BAE=∠EAC+∠BAE, ∴∠FAE=∠BAC. 故①②正确，对于③，现有条件不足以证明，故错误， ∴.正确的有2个， 故选：C 7.如图，△ABC的外角∠ACF,∠EAC的平分线CP,AP交于P,PM⊥BE,PN⊥BF,则下列结论中 正确的有() E M F CN DPM=PN,②B 平分<ABC ape=5aw+5ae,④2C1B=2∠CPB ③ A.①② B.①②③ C.①③④ D.①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理和性质定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质， 解题的关键是掌握以上性质. 第7页共75页 ①过点P作PD⊥AC于点D,根据角平分线的性质定理进行判断即可： ②根据角平分线的判定定理进行判断即可： ③根据条件证明RtePAM≌RtAPAD,RtAPCN≌RtAPCD,即可得出结论： ④根据全等三角形得出相等的角，证明∠APM=∠CPB,令∠APM=∠CPB=C,则 ∠MAP=∠CAP=90°-a,最后利用线段和差进行判定即可. 【详解】解：①如图所示，过点P作PD⊥AC于点D, M A F B CN :∠ACF,∠EAC的平分线CP,AP交于P,且PM⊥BE,PN⊥BF, ∴.PM=PD=PN, 故①正确： ②·PM=PN,且PM⊥BE,PN⊥BF, ∴.点P在∠ABC的平分线上， ∴.BP平分∠ABC, 故②正确： ③如图所示， M B CN PM⊥BE,PD⊥AC ∴∠AMP=∠ADP=90°. 由①得PM=PD, 又，AP=AP, Rt△PAM≌RtAPAD(HL) 第8页共75页 S.PAM=S.PAD RtaPCNS≌RtoPCD(HL) 同理， S.PCN =S.PCD SAPAC SAMAP+SANCP 故③正确： ④如图所示， D PM⊥BE,PN⊥BF, ∴∠BMP=∠BNP=90°， PM PN,BP=BP, RteBPM≌RteBPN(HL) ·∠BPM=∠BPN= 2<MPN 由③得，RtAPAM≌RtAPAD,RtAPCN≌Rt△PCD, 、∠APM=∠APD,∠CPN=∠CPD ·∠APC=∠APD+∠CPD= 2MPN, :.∠BPM=∠APC, ∴.∠BPM-∠APB=∠APC-∠APB, 即∠APM=∠CPB, 令∠APM=∠CPB=a,则∠MAP=∠CAP=90°-a&, 第9页共75页 ∠CAB=180°-2(90°-a)=2a ∴、∠CAB=2∠CPB, 故④正确： 综上，正确的选项为①②③④， 故选：D 8.如图，已知△ABC中，∠A=60°，BE,CD分别平分∠ABC,∠ACB,点P为BE,CD的交点，则下 列说法正确的个数是() BPC-120+CE-BC+Sc:BC-CE:E D B A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】B 【分析】根据∠BPC=180°-（∠EBC+∠DCB)可对O进行判断：证明△PBD≌△PBF,△PCE≌△PCF,可 得BD+CE=BC,即可判断②：根据②的结论即可判断③：根据角平分线的性质与判定，可对④进行判断 【详解】解：：△ABC中，∠A=60°， .∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=120° :BE,CD分别平分∠ABC,∠ACB, :∠EBC=ABc,∠DCB=ACB， :∠EBc+∠DcB=ABC+∠4CB)-X120P=60, :.∠BPC=180°-（∠EBC+∠DCB)=180°-60°=120°， 故①正确， 如图，在BC上截取BF=BD,连接FP, 第10页共75页 D :BE,CD分别平分∠ABC,∠ACB, ·.∠DBP=∠FBP,∠FCP=∠ECP, .∠BPC=120° .∠BPD=180°-∠BPC=180°-120°=60°， 在△PBD与△PBF中， BD=BF ∠ABP=CBP BP=BP :△PBD2APBF(SAS) .∠BPF=∠BPD=60°， .∠BPC=120°， ∴.∠CPF=60°. 又∠CPE=∠BDP=60°， ∴∠CPE=∠CPF, 在△PCE与△PCF中， ∠FCP=∠ECP PC=PC ∠PCF=∠PCE △PCE≌APCF(ASA) ∴.EC=FC, ∴.BD+CE=BF+CF=BC, ∴BD+CE=BC, 故②正确： 由②可知△PBD≌APBF,△PCE≌△PCF, 第11页共75页 S.PBC =S.PBF +SFPC =S.DBP+S.EPC S△PBD+S△PCE=S△PBC ,故③准确， 如图，连接AP,过点P作PG⊥AB,PH⊥AC,PT⊥BC, :BE,CD分别平分∠ABC,∠ACB, .PT=PG,PT=PH .'PH=PG=PT, 设△ABC边AC上的高为h, S.aw=AB.PG=AE.h.S.wc-BC.PT=CE.h, 2 2 2 S.ABE=2 B.PG -AE.h 2 ∴.SBCE BC.PT -CE.h 即AB:BC=AE:CE, 故④错误. 【类型2全等三角形相关折叠问题】 9.如图，在长方形ABCD中，AD=12,将长方形沿对角线BD折叠，使得点C落在E处，AD与BE相交 于点F,且DF=8,则EF的长是() A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键. 根据长方形的性质得到AB=CD,∠A=∠C=90°，根据折叠的性质得到∠E=∠C=90°，ED=CD,进而 第12页共75页 证出△EFD≌△AFB,得到EF=AF,即可求解 【详解】解：：AD=12,DF=8, 、AF=AD-DF=12-8=4, 长方形ABCD AB=CD,∠A=∠C=90° 由折叠的性质得，∠E=∠C=90°，ED=CD, ED=AB,∠E=∠A, 又：∠EFD=∠AFB, △EFD≌AAFB(AAS) .'EF=AF=4, 故选：A 10.如图，在△ABC中，D为边BC上一点，连接AD,∠BAD=30°，∠ACB=a,将△ABD沿AD折叠至 △ADB',连接B'C,若B'C平分∠ACB,则∠AB'D的度数是() B B D A.60°+ 2 B.60°+a c.0-号 D.90°- 【答案】C 【分析】连接BB,过点B'作BE⊥BC于E,BF⊥AC于F,连接BB,过点B'作BE⊥BC于E, B'F⊥AC于F,可得△ABB'是等边三角形，得出AB'=BB',∠BBA=∠BAB=60°，运用HL可证得 RtABB'E≌RtAAB'FHL),得出∠B'BE=∠B'AF,再运用三角形内角和定理即可求得答案。 【详解】解：如图，连接BB',过点B作BE⊥BC于E,BF⊥AC于F, F B D E 则∠CEB'=∠CFB'=∠BEB'=∠AFB'=90° 第13页共75页 由折叠可知，∠BAD=∠BAD=30°，AB=AB, .∠BAB'=∠BAD+∠B'AD=60°， △ABB是等边三角形， .AB=BB,∠B'BA=∠BAB=60° :B'C平分∠ACB,∠ACB=Q, ÷∠ACB'=∠BCB'=∠ACB=a 2 2, 又B'E⊥BC,B'F⊥AC, :B'E=B'F, 在RtABB'E和Rt△AB'F中， B'E=B'F BB'=AB', ∴RtABB'E≌Rte4B'F(HL). ∴.∠B'BE=∠B'AF. ∠B'BA+∠B'BE=∠B'AB+∠BAF, 即∠ABC=∠BAC. ∠ACB=a,∠ABC+∠BAC+∠ACB=180° ÷∠ABC=∠BAC=180°2C=90-g 2 2, .∠AB'D=90°- 2, 故选：C 【点睛】本题考查折叠变换的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性 质，三角形内角和定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键 11.如图，在等腰△ABC中，AB=AC,∠BAC=50°.∠BAC的平分线与线段AB的中垂线交于点O,点 C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是() B 第14页共75页 A.45 B.50° C.55° D.60° 【答案】B 【分析】作辅助线，由∠BAC的平分线与线段AB的中垂线交于点O,可求出∠OBM,∠OCM的值，再 求出BOM和∠COM的值，由折叠性求出∠OEM,即可求出∠CEF. 【详解】解：如图，延长AO交BC于点M,连接BO, D 等腰 中， ME △ABC AB=AC∠BAC=50° .∠ABC=∠ACB=(180°-50)÷2=65° AO是∠BAC的平分线， ∠BA0=25°， 又OD是AB的中垂线， .AD=OD,∠ODA=∠ODB=90°， .OD=OD ∴.△ODA≌△ODB. ∴.∠OBA=∠OAB=25° ∴.∠0BM=∠0CM=65°-25°=40° :AB=AC,AO平分∠BAC, .∠AMB=∠AMC=90°，MB=MC, .OM =OM, .△OMB≌△OMC, ∠B0M=∠C0M=180°-90°-40°=50°. 由折叠性可知，∠OCM=∠COE, ∴∠M0E=∠C0M-∠COE=50°-40°=10°， :.∠OEM=180°-90°-10°=80° ~由折叠性可知，∠OEF=∠CEF. ∴.∠CEF=180°-80)÷2=50° 第15页共75页 故选：B 【点睛】本题主要考查了折叠问题，中垂线定义，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三 角形的性质，解题的关键是能正确作出辅助线· 12.如图，长方形纸片ABCD中，AB=7,BC=9,M是BC上的点，且CM=2.将长方形纸片ABCD 沿过点M的直线折叠，使点D落在AB边上的点P处，点C落在点O处，折痕为MN,则线段AP的长是 () D A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】B 【分析】本题考查长方形的折叠问题，解题的关键是看到隐藏条件BM=P吧=T,学会利用翻折不变性解 决问题.连接PM,证明△PBM≌aMOP即可得到PB=QM=CM=2,即可求解. 【详解】解：连接PM, D ,长方形纸片ABCD中，AB=7,BC=9, CD=7, CM=2, ∴BM=7, 由折叠性质可知：CD=PQ=7,∠Q=90°=∠B ..BM=PO=7, .PM=PM, RtAPBM≌RtAMOP(HL) .PB=OM=CM=2 第16页共75页 .'PA=AB-PB=5. 故选：B 13.如图，在△ABC中，AB=AC,BC=32,AD⊥BC,∠ABC的平分线交AD于点E,且DE=8.将∠C 沿GM折叠使点C与点E恰好重合.①BD=16;②点E到AC的距离为8，③EM=10;④AB=2AE. 以上结论正确的个数是() E B M A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的“三线合一”的性质、角平分线的性质定理、勾股定理等知识点，由等 腰三角形的“三线合一”可判断O:作EF⊥AB,EH⊥AC,可得EF=DE=8;根据等腰三角形的“三线 合一”可得AD平分∠BAC,即可判断②；设DM=x,由折叠可知：EM=MC=CD-DM=16-x,根据 1 SAABE= AEx BD ABx EF ，即可判断③：根据S&EBD EDx BD BDx DE' ,即可判断④ DM2+DE2=EM2 2 EF=ED 【详解】解：，AB=AC,BC=32,AD⊥BC, &DBC=6,故0正确 作EF⊥AB,EH⊥AC,如图所示： 第17页共75页 E B D M :∠ABC的平分线交AD于点E, .EF =DE=8; :AB=AC,AD⊥BC, .AD平分∠BAC, :,EH=EF=8,即点E到AC的距离为8，故②正确： 设DM=x,由折叠可知：EM=MC=CD-DM=16-x, .DM2+DE2=EM2, +8=06- 解得：x=6, :.EM=16-6=10,故③正确： AEx BD 2 ABx EF SAEBD 2 EDX BD 2 BDXDE· EF=ED AE AB AE AB EDBD,即8=16， .AB=2AE,故④正确： 故选：A 14.如图，在Rt△ABC中，∠B=30,BC=8,若将△ABC沿DE折叠，使点B与点A重合，则折痕DE的 长为() 2----- B 第18页共75页 8 10 7 A.3 B.3 C.3 D. 3 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，折叠的性质，角平分线的性质，30°直角三角形的性质， 灵活运用角平分线的性质和30°直角三角形的性质是解题的关键， 根据直角三角形的两个锐角互余可得∠CAB=60°，根据折叠可得∠DAE=∠B=30°，根据30°直角三角形 的性质可得BD=2DE,进而根据角平分线的性质求得DE=DC,据此求解即可： 【详解】解：，将△ABC折叠，使点B与点A重合， ∴.∠DAE=∠B=30°，DE⊥AB, 在Rt△ABC中，∠B=30° .∠CAB=60°，BD=2DE, ,∠CAD=∠DAE=30° .AD平分∠BAC, ∠ACB=90°，DE⊥AB, .DC=DE .'BC=BD+CD=2DE+DE=3DE, ,BC=8, .3DE=8, 0e- 故选：A 15.如图，在△ABC中，AB=6,AC=9,沿过点A的直线折叠这个三角形，使点B落在AB边上的点E处， 折痕为AD,若∠B=2∠ADE,则DE=() B、 5 7 A.·2 B.3 C.2 D.3 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形的面积，由折叠可 第19页共75页 B4D=∠C4 D.ZAPB=∠DE=)ZBDE,∠B=ED,DB=DE,AB=E=6,根据角平 质可得DM=DN,再根据∠C+∠CDE=∠AED=∠B,∠C+∠CED=∠BDE,∠B=2LADE,推导出 BD 2 BD 2 CD=CE=3,利用三角形面积得到CD3,即可求解，由三角形面积得到CDF3是解题的关键， 【详解】解：如图，过点D作DM⊥AC于点M,DN L AB的延长线于点N, EM B W方 >C 由折叠得到：∠BHD=∠C4D,∠AD8=∠ADE=号DE,∠B=∠ABD,DB=DE,AB=AE=6 .AD平分∠BAC, :DM⊥AC, DM=DN,DN⊥AB, ,AC=9, ∴EC=AC-AE=9-6=3, :∠C+∠CDE=∠AED=∠B,∠C+∠CED=∠BDE,∠B=2∠ADE, ∴.∠C+∠CDE=2LADE,∠C+∠CED=2∠ADE, ·∠CDE=∠CED, .CD=CE=3. :So方48aN=3aN,Sc4cDM-号Du， S.AnD=3BN6=2 S.ADC DM93, 2 BD 2 CD 3' BD 2 即3=3， BD=2, ∴.DE=2 第20页共75页 故选：C 16.如图，在Rt△ABC中，CD=3cm,将直角边BC沿直线BD折叠，使它落在斜边AB上，且与BE重 合.若△ABD的面积是12cm2,则AB的长是() 五 E B A.8cm B.4cm C.9cm D.3cm 【答案】A BC=BE∠CBD=∠EBD △BCD≌△BED(SAS) DE=3cm 【分析】由折叠的性质可知， ,易证 ,得到 ∠DEB=90°，再利用三角形面积公式，即可求出AB的长. 【详解】解：：将直角边BC沿直线BD折叠，使它落在斜边AB上，且与BE重合， ∴BC=BE,∠CBD=∠EBD, 在△BCD和△BED中， BC=BE ∠CBD=∠EBD BD=BD ∴.△BCD≌aBED(SAS) DE=CD=3cm,∠DEB=∠C=90°， DE⊥AB, :△ABD的面积是12cm2, BD-1 ..AB =8cm, 故选：A 【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积公式，熟练掌握全等三角形的判 定和性质是解题关键。 第21页共75页 【类型3全等三角形相关最值问题】 17.如图，OM是∠AOB的平分线，点C在OM上，CD⊥OB于点D,且CD=2cm,点P是射线OA上的 一个动点，则线段CP的最小值是 cm B 【答案】2 【分析】利用垂线段最短和角平分线上的点到角两边的距离相等即可求解。 【详解】解：，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段的长度最短， ∴过点C作CH⊥OA,线段CP的最小值为CH, B :OM是∠AOB的平分线，点C在OM上，CD⊥OB,CH⊥OA, ∴.CH=CD=2cm 18.如图，锐角三角形ABC的面积是15，AB=5,BD平分∠ABC,若M,N分别是BD、BC上的动点， 则CM+MN的最小值是 D M B N 【答案】6 【分析】过C作CE⊥AB于点E,交BD于点M',过点M'作MN'⊥BC于N',则CE即为CM+MN的最 小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为CM+MN的最小值。 本题考查三角形中的最短路径，解题的关键是理解CE的长度即为CM+MN最小值. 【详解】解：过C作CE⊥AB于点E,交BD于点M',过点M'作MN'⊥BC于N',如图： 第22页共75页 M D M 平分 B C BD ∠ABC M'E⊥ABMN'⊥BC .MN'=ME .CE=CM+ME=CM'+MN'是CM+MN最小值， 此时M与M'重合，N与N'重合， ~三角形ABC的面积为15，AB=5, 2x5-CE=15 ∴.CE=6. 即CM+MN的最小值为6， 故答案为：6. 19.如图，Rt△ABC,∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC,点P为AB上的一动点，AC=3,则PD 的最小值为 【答案】1 【分析】本题考查了角平分线的性质，30度所对的直角边等于斜边的一半，垂线段最短，熟练掌握以上知 识点是解题的关键，过点D作DH⊥AB交AB于点H,根据角平分线的性质，可得DC=DH,在 Rt△ADH,∠DHA=90°，∠A=30°，结合30度所对的直角边等于斜边的一半，可知AD=2DH,又 AC=AD+CD=3DC,从而得到DH的长度，由DP≥DH,可知PD的最小值为DH,从而求得答案. 【详解】解：过点D作DH⊥AB交AB于点H,如图所示： 平分 ··BD ∠ABC ∠C=∠DHB=90° 第23页共75页 :DC=DH, Rt△ADH,∠DHA=90°，∠A=30°， :DH=AD,即AD=2DH ∴，AC=AD+CD=3DC AC=3, .DC=1, .DH=1, DP≥DH, ∴当点P与H重合时，DP的最小值为DH,且最小值为1， 故答案为：1. 20.如图，AP为△ABC的角平分线，∠C=90°，AB13,BC=6,D为AB上一动点，连接PD,则 PD的最小值为 D B 【指1月 【分析】过点P作PE⊥AB于点E,根据角平分线的性质得到PC=PE，根据三角形的面积公式得到 S.=2 AC.PC AC 5 S.ACL=2 1PC.AC PC SABP 】AB:PE AB13,SB即PB·ACPB,则有PC=5,设 ,结合 PB 13 PC=5k PB=13k BC=6,求出k的值，得到PE=PC= 3,再根据垂线段最短的性质即可求解。 【详解】解：如图，过点P作PE⊥AB于点E, 第24页共75页 B :AP为△ABC的角平分线，∠C=90°，PE⊥AB, .PC=PE 1 AC.PC AC 5 S.ABP 24B-PE AB13, 1PC.AC S4e=2 PC S.ABP I 2PB-AC PB. PC 5 .PB13 设PC=5k,PB=13k, PC+PB=BC .5k+13k=6, 解利》 .PE=PC 3 D为AB上一动点， ∴，当PD⊥AB时，PD有最小值，此时点D与点E重合， PD的最小值为3， 故答案为：3 【点睛】本题考查了角平分线的性质、三角形的面积公式、一元一次方程的应用、垂线段最短，熟练掌握 角平分线的性质定理是解题的关键、 21.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=5,连接BD,BD⊥CD,∠ADB=∠C.若P是BC边上 一动点，则DP长的最小值为 第25页共75页 刀 B ◇ 【答案】5 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，掌握角平分线的性质是解决本题的关键， 先证明BD为∠ABC的平分线，再根据垂线段最短，可知当DP⊥BC时，DP的长度最小，再根据角平分 线的性质即可求解， 【详解】解：BD⊥CD, ∠DBC+∠C=90°， :∠A=90°， ∠ABD+∠ADB=90°， :∠DBC+∠C=90°，∠ABD+∠ADB=90°，∠ADB=∠C, ∠DBC=∠ABD,即BD为∠ABC的平分线， :BD为∠ABC的平分线， 当DP⊥BC时，DP的长度最小， 又，AD⊥AB, :AD=DP, AD=5,AD=DP, .DP=5,即DP长的最小值为5 故答案为：5. 22.如图，△ABC中∠ACB=90°，AC=4,BC=3,AB=5,BP平分∠ABC,点D、E分别是BC、BP上不与端 点重合的动点，连接CE,DE,则CE+DE的最小值为 D B 第26页共75页 12 【答案】5 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，垂线段最短，等积法求线段的长，在AB上截取BF=BD, 连接EF,作CG⊥AB于点G,证明△DBE≌△FBE,得到DE=EF,进而得到CE+DE=CE+EF≥CF 根据垂线段最短，得到当点F与点G重合时，CF最小，此时CE+DE最小，进行求解即可. 【详解】解：在AB上截取BF=BD,连接EF,作CG⊥AB于点G, ,BP平分∠ABC, .∠FBE=∠DBE, 又，BE=BE, △DBE≌△FBE(SAS) ∴.DE=EF, ·CE+DE=CE+EF≥CF, ,垂线段最短， :当CF⊥AB,即点F与点G重合时，CF最小， ∠ACB=90°，AC=4,BC=3,AB=5, :)AC·BC=AB·CG,即：4×3=5CG 2 :CG=12 5， 12 ∴CF的最小值为5， 12 ∴CE+DE的最小值为5； 12 故答案为：5· 23.如图，在四边形ABDC中，AD平分∠BAC,AD⊥DC,AC-AB=3,BC=10,则△BDC面积的最 第27页共75页 大值为 B 【答案】7.5 【详解】分别延长CD与AB交于点G,作GH⊥CB交CB延长线于点H, y H B G D :AD平分∠BAC,AD⊥DC, 、∠GAD=∠CAD,∠ADG=ADC=90°， 又AD=AD, :△1DG≌aADC(ASA) ..AC=AG,CD=GD, .AC-AB=3. .AG-AB=3, BG=3, 1 xBCGH-5GH .GH⊥BC 当点B、H重合时，GH最大，最大值为3， S.BDC GH=7.5 2 故答案为：7.5 24.如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC,CD⊥BD于点D,AC=10,BC-AB=4,延长BA、 CD交于点E,则AE的值为 ,△ADC面积的最大值为一 第28页共75页 【答案】 4 10 【分析】过C作CH⊥BE于H,由角平分线定义得到∠CBD=∠EBD,由垂直的定义得到 ∠BDC=∠BDE=90,而BD=BD,判定△BCD2BED(ASA) 推出BC=BE,DE=DC,得到 S一23，EC,根据BC-AB=4,即可求出BE-AB=4当AEAC的面积最大时，△ACD的面积最大， 根据AE=4可求出△EAC面积的最大值=20，即可得到△ADC面积的最大值. 【详解】解：延长CD、BA交于E,过C作CH⊥BE于H, H BD平分∠ABC, .∠CBD=∠EBD, CD⊥BD于点D, ∴.∠BDC=∠BDE=90°， BD=BD, △BCD≌ABED(ASA) .BC=BE,DE=DC, S.4DC-7Ec, ∴当△EAC的面积最大时，△ACD的面积最大， BC-AB=4. .AE=BE-AB=BC-AB=4: ,AEAC的面积=21 EA.CH,CH≤AC=10: 第29页共75页 ·△EAC面积的最大值=2×4×10=20， 六△ADC面积的最大值为2×20=10。 【类型4全等三角形相关动点问题】 25,在△ABC中，∠C=90°，BC长为cm,4C长为cm,4B长为l5m,并日a-9+6-2=0.请 回答以下问题： E (1)a=-,b=_: (2)如图，在aDEF中，∠E=90°，EF=3cm,DE=4cm,DF=5cm,∠D=∠A.在△ABC中，动点P 从点A出发，沿AC运动，到点C停止，速度为3Cm/S,若另外有一个动点Q与点P同时出发，动点Q从 点B出发，沿BA运动，到点A停止.在两点运动过程中的某时刻，恰好有以A,P,O为顶点的三角形与 △DEF全等，求出点Q的运动速度； (3)若在△ABC中，动点P仍从点A出发，运动轨迹变为沿AC→CB运动，到点B停止，速度仍为3Cm/s」 动点Q运动轨迹不变，仍与点P同时出发，从点B出发沿着BA运动，到点A停止.在两点运动过程中的 某时刻，仍有以X,P,Q为顶点的三角形与△DEF全等(X为A或B),此时点Q的运动速度还可以为 cm/s 【答案】(1)9,12 15 33 2)点Q的运动速度为2cm/s或5cm/s: 9 3)6cm/s或169 cm/s 【分析】本题考查了全等三角形的性质，算术平方根的非负性，解一元一次方程。 (1)利用非负数的性质求解即可： (2)由题意得AP=3t,AQ=15-M,分两种情况讨论，①AP=DE=4,A0=DF=5:②AP=DF=5, 第30页共75页 AQ=DE=4,分别列式计算即可求解： (3)由题意得BP=21-31,B=M,同(2)理，分两种情况讨论，分别列式计算即可求解. 【详解】(4)解：：a-9列+b-2=0.口-920.Vb-12≥0 a-9=0,b-12=0. 解得a=9,b=12, 故答案为：9,12； (2)解：a=9,b=12, .'BC=9cm,AC=12cm. 设运动时间为s,动点Q速度为cm/s, 由题意得AP=3t,AQ=15-vt, 要使aAPQ与△DEF全等，且∠A=∠D, ①AP=DE=4,AQ=DF=5. 4 六3=4，解得t= 3 4 15-M=5,即15- v=5 3 15 解得V= 2； ②AP=DF=5,AQ=DE=4, 5 ·31=5,解得1= 3 15-w=4,即15-3=4 3 33 解得v= 5； 15 33 综上，点0的运动速度为)cm/s或写cm/s: (3)解：设运动时间为s,动点速度为Cm/s, 以B,P,O为顶点的三角形与△DEF全等，此时点P在BC上， 由题意得BP=21-3t,BQ=t, ①BP=EF=3,BQ=DF=5, 第31页共75页 .21-3t=3,解得t=6: t=5,即6v=5, 5 解得V=6: ②BP=DF=5,BQ=EF=3 16 ÷21-3=5,解得=3： 16 v=3 t=3,即3 9 解得v= 16: 综上，点0的运动速度为6cm/s或1 cm/s 9 故答案为：6cm/s或16 cm/s 26.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=6,CD平分∠ACB交斜边AB于点D,动点P 从点C出发，沿折线CA-AD向终点D运动. ED B A ED B 备用图 (1)点P在CA上运动的过程中，当CP时，△CPD与△CBD的面积相等；（直接写出答案） (2)点P在折线CA-AD上运动的过程中，若△CPD是等腰三角形，求∠CPD度数： (3)若点E是斜边AB的中点，当动点P在CA上运动时，线段CD所在直线上存在另一动点M,使两线段 MP、ME的长度之和，即MP+ME的值最小，则此时CP的长度_（直接写出答案）. 【答案】(1)6 (2)67.5°或45°或37.5°或90° (3)3 【分析】本题考查角平分线性质，等腰三角形性质，最短路径问题. (1)根据题意可推出CP上的高和BC上的高相等，所以CP=BC=6: (2)根据题意可分为三种情况，对三种情况分类讨论即可得到本题答案： 第32页共75页 (3)最短路径问题，作点E关于CD对称点F,作FP⊥AC于P,交CD于M,则PM+PE最小，即可求 得结果。 【详解】(1)解：：CD平分∠ACB, ∴点D到AC和BC的距离相等， :当CP=BC=6时，△CPD与△CBD的面积相等， 故答案为：6： (2)解：如图1， P P P P D 图1 当CP=CD 时，（点P在处）， ÷CPD=∠CDP=180°-∠ACD_180°-450 2 =67.5° 2 当DP=CD PP 时，（点P在 处)， ∠CPD=∠ACD=45° ,∠CDB=180°-∠B-∠BCD=180°-60°-45°=75°. ÷∠CDR=∠DCR=)∠CDB=37.50 2 当PD=PC P 时，（点P在处时）， ∠PDC=∠ACD=45 ∠CPD=90° 综上所述：∠CPD=67.5°或45°或37.5°或90°： (3)解：如图2， 第33页共75页 ◇ B 图2 作点E关于CD对称点F,作FP⊥AC于P,交CD于M,则PM+PE最小， 延长EM交BC于O, :∠CPM=90°，∠ACD=45°， .∠FMD=∠PMC=90°-∠ACD=45°， ∴、∠EMF=∠FMD=45°， .∠PMg=∠EMF=90°，CP=PM, ·.四边形CQMD是矩形， :.矩形COMD是正方形， ∴CQ=CP, :∠B=60°， BE=2 1 B=6 B0=3, ·CQ=BC-BQ=3, CP=3, 故答案为：3 27.如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9cm,AC=12cm,AB=15cm,现有一动点P,从点A 出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cmS,设运动时间为s. B 图① 图② 图③ (1)如图①，当P在AC上时AP=_,当P在AB上时AP=_,(用含的式子表示) (2)如图②，在△DEF中，∠E=90°，DE=4cm,DF=5cm,∠D=∠A.在△ABC的边上，若另外有一个 第34页共75页 动点Q,与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止.在两点运动过程中的某一 时刻，恰好△APO≌aDEF全等，求点O的运动速度. 【答案】()3cm.(36-3)cm 15 (2)点Q的运动速度为4 cms或x=2 【分析】(1)用代数式表示出AP即可； (2)分类讨论：①当点P位于AC,点O位于AB上时：②当点O位于AC,点P位于AB上时，结合全 等三角形的性质分别列方程求解即可. 【详解】(1)解：当点P在边AC上时，AP=3cT; 当点P在边AB上时，P=AB+AC+BC-3=I5+12+9-3=(B6-3刘)m (2)解：：△APO≌aDEF ∴只存在两种情况：①当点P位于AC,点O位于AB上时：②当点O位于AC,点P位于AB上时 设点Q的运动速度为xcm/s, ①当点P位于AC,点O位于AB上时，此时AP=3cT,Ag=tcm,如图， △APO≌aDEF .'AP DE =4cm,AO=DF 5cm. 3t=4,xt=5, 4 解得：t= .15 3, 4 15 ∴此时点的运动速度为x= cm/s 4 ②当点Q位于AC,点P位于AB上时，此时 P=[15-(31-12-9)]=(36-3)cm 第35页共75页 A0=[12-(t-15-9】=(66-)cm,如图， :△APQ≌aDEF .'AP DE =4cm,AO=DF 5cm .36-3t=4,36-xt=5, 2 93 解得：t= 93 ∴此时点0的运动速度为x=32cms 15 93 综上可知点Q的运动速度为4cms或r= cm/s 32 28.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm,BC=4cm,AC=3cm,动点P从点B出发，沿射线 BC以3cm/s的速度运动，设运动时间为/秒. B 备用图1 备用图2 (1)当△ABP是以AB为腰的等腰三角形时，求t的值. (2)若点Q是边AB上一点，且QP1BC,垂足为P,请用无刻度的直尺和圆规在备用图1中作出点P、点O, 使得QA=QP.(提醒：作图痕迹请加粗加黑，确保阅卷扫描清晰) (3)若点E、F为BC、AB上的动点，求AE+EF的最小值. 8 【答案】(1)1=3： (2)见解析 第36页共75页 24 3)AE+EF的最小值5· 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握角平分线的尺规作图 及等腰三角形的性质与判定是解题的关键 (I)当△ABP是等腰三角形时AB=AP,然后根据等腰三角形的性质可进行求解： (2)以点4为圆心，适当长为半径画弧，交AB、AC于点MN,然后以点M,N为圆心，大于2MN为半 径画弧，交于一点，连接点A与这个点并延长，交BC于点P,最后过点P作PO1BC即可： (3)作点A关于射线BC的对称点G,然后过点G作GF L AB交BC于点E,垂足为F,由轴对称的性质 及垂线段最短可知此时AE+EF的最小值即为GF的长，进而问题可求解. 【详解】(1)解：当△ABP是以AB为腰的等腰三角形时，AB=AP=5,如图所示： 六BP=2BC=8=3,解得：1= 3； (2)解：如图所示： B 由作图可得AP平分∠BAC, .∠BAP=∠CAP :Pg⊥BC,即∠QPB=90, ∴、∠QPB=∠ACB .∠APQ=∠CAP」 .∠APQ=∠PAQ. 第37页共75页 :.QP=QA,即点P,O为所求。 (3)解：作点A关于射线BC的对称点G,然后过点G作GF⊥AB于点F,交BC于点E,由轴对称的性 质得AE=EG, .AE+EF=EG+EF=GF 由垂线段最短可知此时AE+EF的最小值即为GF的长，如图所示： ∴.AG=2AC=6cm, 连接BG, S.40G=AG.BC=AB.GF 2 GF-AG.BC_24 AB 5 24 ·AE+EF的最小值5. 29.如图①，线段AB=6,AC⊥AB,BD⊥AB,垂足分别为A,B,AC=4,动点P从点A出发，以 每秒2个单位的速度沿AB向终点B运动；同时动点Q从点B出发，沿射线BD运动、当点P停止时， 1(s) 点Q也随之停止运动.设点P的运动的时间为 D R 图① 图② (1)当t=1时，AP=-,BP= (2)若点Q的运动速度和点P的运动速度相等，t=1时， ①求证：△ACP≌△BP9: 第38页共75页 ②求证：CP⊥Pg (3)如图②，若点Q的运动速度为每秒a个单位，将“AC⊥AB,BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA”, 其它条件不变.若aACP与△BP№全等，直接写出a的值. 【答案】(1)2,4 (2①见解析：②见解析 3)a=2或3 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定. (1)根据路程等于速度乘以时间可得AP的长，进而可得BP的长： (2)①可证明AC=BP,AP=B吧，再由垂线的定义可得∠CAP=∠PB0=90°，据此可证明结论： ②由全等三角形的性质得到∠ACP=∠BPO,则可证明∠BPO+∠APC=90°，再由平角的定义即可证明结 论： (3)分△APC≌△BOP和△APC≌△BPO两种情况，根据全等三角形的性质讨论求解即可. 【详解】(1)解：由题意得，当t=1时，AP=2, .BP=AB-AP=6-2=4, 故答案为：2,4： (2)证明：①由题意得，AP=2,B2=2,BP=4, AC=BPAP=BQ、 AC⊥ABBD⊥AB, 、.∠CAP=∠PBQ=90°， ,△APC≌△BQP(SAS) ②，△APC≌△BQP ·.∠ACP=∠BPg ,∠ACP+∠APC=90° 第39页共75页 、.∠BP0+∠APC=90°， ∠CPQ=180°-（∠APC+∠BPQ)=90° ..CP I PO: (3)解：当△APC≌△BOP时，则BO=AP,BP=AC=4, .'AP=AB-BP=2, 2 2 a=-2 1 当△APC2△BPO时，则BQ=AC=4BP=AP-4B=3, :3 2 48 a= 33 2 8 综上所述，a=2或3 30.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm,BC=8cm,直线1经过点C且与边AB相交.动点P从点A 出发沿A→C→B路径向终点B运动：动点O从点B出发沿B→C→A路径向终点A运动.点P和点Q 的速度分别为lcms和2cms,两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束.在某时刻分别过 点P和点Q作PE⊥1于点E,QF⊥I于点F,设运动时间为t秒，当△PEC与△QFC全等时，求t的值. 14 【答案】2或3或12 第40页共75页 【分析】本题考查全等三角形的性质， △PBCe△CF0,且点P在1C上、点”在C上运动， O BC △PEC≌△QFC P 当△PEC≌△Cr0,且店2在1C上、点'在BC上运动三种情况 BC 且点与点°重合， 进行讨论求解即可。 【详解】解：①如图1，点Q在BC上，点P在AC上时， B 图1 由题意得，AP=t,BQ=2t, .AC=6cm,BC=8cm, .CP=6-t,C0=8-2t, PE⊥1，QF⊥1 ∴.∠PEC=∠CFQ=∠ACB=90° :∠CPE+∠PCE=∠PCE+∠FCQ=90°， ∴.∠CPE=∠FCQ △PEC≌△CFQ 当 时， 则PC=CO, 即6-t=8-2t, 解得：t=2: ②如图2，当点P与点Q重合时， 第41页共75页 P(O) B 图2 由题意得，AP=1,BQ=2t, .AC=6cm.BC=8cm. .CP=6-t,CQ=21-8」 当△PEC≌△QFC, 则PC=Cg, .6-1=2t-8, :-台 ③如图3，当点Q与A重合时， A(2) E B 图3 由题意得，AP=t, .AC=6cm ∴.CP=t-6,CQ=6, ∠QCF+∠CQF=∠QCF+∠PCE=90°， ·.∠CQF=∠PCE △PEC≌△CFQ 当 则PC=CQ, 即t-6=6, 解得：t=12: 第42页共75页 14 综上所述：当t=2秒或3秒或12秒时，△PEC与△QFC全等. 31.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9cm,AC=12cm,AB=15cm,动点P从点A出发，以 3cm/s的速度沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A时停止，设运动时间为s. B B 图1 图2 图3 (1)当t=2时，AP=cm: (2)当点P在CB上运动时： ①BP=_ cm(用含t的式子表示) ②当△ABC的周长被线段AP分为相等的两部分时，求t的值： (3)若△APC的面积等于△ABC面积的一半，求t的值： (4)如图3，在△DEF中，∠E=90°，DE=4cm,DF=5cm,∠D=∠A.如图2，在△ABC的边上有另一 个动点Q,与点P同时从点A出发，沿边AB→BC→CA运动，回到点A时停止；若在运动过程中的某一 时刻，△APO和△DEF全等，请直接写出此时点Q的运动速度。 【答案】(1)6 2@21-3) @1=6 3)t=5.5或9.5 15 93 12 96 4④4cms或32cms或5cms或3引cms 【分析】本题考查三角形中的动点问题，全等三角形的性质，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类 讨论的思想求解，是解题的关键： (1)根据路程等于速度乘以时间，列出代数式即可： BP=(AC+BC)-3t (2)①根据 求解即可， 第43页共75页 ®根将愿盒，易得4C+CPC,即点p的路程等于三角形背长的一半，列出方程进行计第即可 (3)分点P为BC的中点和点P为AB的中点两种情况，进行求解即可： (4)分△APO≌aDEF,△APO≌aDFE两种情况，再分点P在AC上和点P在AB上，进行讨论求解即可. 【详解】(1)解：当t=2时，AP=3×2=6(cm): 故答案为：6： (2)解：①当点P在边8C上，BP=(aC+BC)-31=(21-3)cm ②由题意，符：4C+CP-C4c 2 3=29+12+15). 解得：t=6: 故答案为：6： (3)解：①当点p为BC的中点时，AP为AABC的中线，则：SA= 12+x93=55 ®当点p为4B的中点时CP为。BC的中我，则：及m分m, 12+9+x153=95 综上：t=5.5或9.5： (4)解：①当△APO≌DEF,则：AP=DE=4cm,A0=DF=5cm, 当点p在4C上时，-4解得：1=手 点0的速度为：5+3(cm): 415 当点P在AB上时，则：1=(9+12+15-4)÷3=32 ， 第44页共75页 点0的速度为：(15+9+12-5)32=3 332cms), ②当△APO≌aDFE时，则：AP=DF=5cm,A0=DE=4cm, 5 当点p在AC上时，31=5，解得：t=3, 512 点0的速度为：4+3专(cm): 当点P在AB上时，则：t=(9+12+15-5)3=31 3 点0的速度为：(15+9+12-4)÷31_6 337(cms). 15 93 12 96 综上：点o的速度为4cms或32cms或5cms或3引cms. 32.如图，直线PO经过Rt△ABC的直角顶点C,aABC的边上有两个动点D、E,点D以lcm/s的速度从 点A出发，沿AC→CB移动到点B,点E以3cm/s的速度从点B出发，沿BC→CA移动到点A,两动点 中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点.过点D、E分别作 ..DM⊥P9,EN⊥PQ ,垂足分别为点 M、V,若AC=6cm,BC=8cm,设运动时间为t, B (1)分别求出在此运动过程中，点D与点E的运动时长. (2)当以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等时，求满足条件的t的值. 14 【答案】14s,39 2)1=1或2或12s 【分析】 0根据4C=6cm,BC=&m可以求出4C+BC,根据点D、运动的速度求出它们运动的时间。 第45页共75页 8 (2)点D运动到点C需要6，点E运动到点C需要3，因为∠ACB=90°，所以∠DCM+ECN=90°，因 为DM⊥PN,所以∠CDM+∠DCM=90°，所以∠CDM=∠ECV,要证以点D、M、C为顶点的三角形 与以点E、N、C为顶点的三角形全等只要再证明DC=CE即可。 【详解】(1)解：AC=6cm、BC=8cm, ∴.AC+BC=8+6=14cm, 6+8-14s 点D的运动时长为 6+814 点E的运动时长为：3=35： (2)解：∠ACB=90°， .∠DCM+ECN=90°， :DM⊥PN ∴.∠CDM+∠DCM=90°， ∴，∠CDM=∠ECN, 在aCDM和△CEN中， ∠DMC=∠ENC=90°，∠CDM=∠ECN, ∴要证以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等只要再证明DC=EC, ①如下图所示 当E在BC上，D在4C上时，即0<1s 3, CE=(8-3t)cm CD=(6-t)cm :以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等 .CD=CE, .8-3t=6-t, .t=1: 第46页共75页 A D M 如下图所示， ◇◇ E B P ② 8 当E在AC上，D也在4C上时，即3<t<6, CE=(3t-8)cm,CD=(6-t)cm .3t-8=6-t, 7 ∴.t= 2 A D(E) Q M(N) 当到达，在上时，即 B D ③E A D BC 6≤t≤14 CE=6cm CD=(t-6)cm .6=t-6, t=12. 7 综上所述，当：=1或2或12s时，以点DM、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等. A(E B D 【类型5全等三角形压轴证明题】 33.在△ABC中，点D是△ABC的边BC的中点. 第47页共75页 B B 图1 图2 图3 (1)如图1，连接AD,若∠BAD=2∠CAD,过点D作DE⊥AB交AB延长线于点E,若 ∠ABC=110°，∠C=25°，求∠ADE; (2)如图2，点F是线段AC上一点，连接FD并延长交AB延长线于G.若CF=AB,∠AFD=∠ABD,求证： DG=DF+BC B)如图3，若CP平分∠4CB,M、N分别是CRCB上任意一点，若 .S.48C=12 AC=4 直接写出 BM+MN的最小值. 【答案】(1)60° (2)见解析 (3)BM+MN=6 【详解】(1)解：：∠ABC=110°，∠C=25°， .∠CAB=180°-110°-25°=45° :∠BAD=2∠CAD B0-号x5=30 DE⊥AB, ∠AED=90° .∠ADE=90°-30°=60° (2)证明：如图，在DG上取一点E,使得DF=DE,连接BE, B :点D是△ABC的边BC的中点， 第48页共75页 .BD=CD, 在△CDF和△BDE中， DF=DE ∠CDF=∠BDE CD=BD △CDF≌ABDE(SAS) BE=CF,∠CFD=∠BED, .CF=AB, .'AB=BE, :∠C+∠A+∠ABD=180°，∠G+∠A+∠AFD=180°，∠AFD=LABD, ∴∠C=∠G, :∠CFD+∠AFD=180°，∠BED+∠BEG=180°，∠CFD=∠BED, .∠AFD=∠BEG, :∠AFD=∠ABD, ·∠BEG=∠ABD. 在△ABC和△BEG中， ∠ABC=∠BEG ∠C=∠G AB=BE △ABC≌△BEG(AAS) .'EG=BC, .DG=DE+EG=DF+BC: (3)解：如图，过B作BG⊥AC于G,交CP于M,过M作MN⊥BC于N, .∠CGM=∠CNM=90°， 第49页共75页 S.ABC =12 AC=4 “2x4xBG=12 ∴BG=6. ,CP平分∠ACB, .∠GCM=∠NCM, CM=CM, △CGM≌aCNM(AAS) .GM=NM, :此时BM+MN=BM+MG=BG,此时值最小， :.BM+MN的最小值为6 34.如图，在△ABC中，AB=BC=AC,∠A=∠ABC=∠ACB=60°，D,E分别为AC，AB边上的点，连接 BD,CE交于点F,AD=BE 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：∠ABD=∠BCE: (2)如图2，以AF为边作△AFH,AF=FH=AH,∠FAH=∠AFH=∠AHF=60°，连接CH,G为BC中点， 连接FG,求证：AF=2FG: (3)如图3，P为AB上一点，连接CP,H为CP中点，连接BH,M,N分别为BC,BP上的点，连接PM, CN交于点O,若BM=BN,∠MON=120°，BH=6.6,PM=5.4,直接写出CN的长. 【答案】(1)见解析 第50页共75页 (2)见解析 3)CN=7.8 【分析】(1)证明△ABD≌aBCE(SAS)即可得出结论： (2)延长FG至点P,使得PG=FG,连接CP,则PF=2FG,证明 BFG2CPG(SAS),得到 ∠6=∠7，BF=CP.由∠B1C=∠F4H=60°得到1=B,从而证明 ,△ABF≌△ACH(SAS) ,得到 BF=CH,∠4=∠8，因tCP=CH,证明∠PCF=∠HCF,得出APCF，②HCF(SAS)),因此FP=FH,进 而即可得出结论： (3)延长BH至点&，使得H孤=BH,连接CK,则BK=13.2,证明 BPH≌AKCH(SAS) ,得到 ∠PBH=∠K，,BP=KC,得出AB∥CK,因此∠BCK=18O°-∠ABC=120°.延长PM至点L,使得 M=NC,连接BL,根据1+∠2=360-（∠MC+∠MON)=180,∠2+∠3=180，得到A=3,从 而证明 BCN2,BLM(SAS）,得到BC=BL,∠PL=∠KCB,证明△PBL≌KCB(SAS ,得到 PL=BK=13.2,求出ML=PL-PM=7.8,得到CN=ML=7.8 【详解】(1)证明：，在△ABD与△BCE中， AB=BC ∠A=∠CBE AD=BE △ABD≌△BCE(SAS) ∴.∠ABD=∠BCE (2)证明：延长FG至点P,使得PG=FG,连接CP, 第51页共75页 3 H 公6 G .∴.PF=PG+FG=2FG G为BC中点， :.BG=GC, ,在△BFG与△CPG中， BG=CG ∠BGF=∠CGP FG=PG ∴.△BFG≌ACPG(SAS) ∠6=∠7，BF=CP, ·.'∠BAC=∠FAH=60° ∴.∠BAC-∠2=∠FAH-∠2，即∠I=∠3 ,在△ABF与△ACH中， AB=AC ∠1=∠3 AF=AH ∴.△ABF≌△ACH(SAS) .BF=CH,∠4=∠8 ∴.CP=CH 由(1)得△ABD≌△BCE, .∠4=∠5， ∠5=∠8， :∠ABC=∠ACB=60°， ∴.∠4+∠6=60°，∠5+∠9=60° 第52页共75页 .∠5+∠7=60°，即∠PCF=60°， ∠8+∠9=60°，即∠HCF=60°， ∴.∠PCF=∠HCF 在△PCF与△HCF中， CP=CH ∠PCF=∠HCF CF=CE ∴.APCF≌aHCF(SAS) ..FP=FH AF FH .AF=FP ..AF=2FG (3)解：延长BH至点K,使得HK=BH,连接CK,则BK=2BH=2×6.6=13.2 :点H是PC的中点， ∴PH=CH, ,在△BPH和△KCH中， BH=KH ∠BHP=∠KHC PH=CH △BPH≌△KCH(SAS) 第53页共75页 ∠PBH=∠K,BP=KC, AB∥CK, :∠BCK=180°-∠ABC=180°-60°=120° 延长PM至点L,使得ML=NC,连接BL, :∠ABC=60°，∠MON=120°， :在四边形BNOM中，∠1+∠2=360°-（∠ABC+∠MON)=180 :∠2+∠3=180°， .∠1=∠3， ,在△BCN和△BLM中， BN=BM ∠1=∠3 NC=ML' △BCN≌△BLM(SAS) ∴.BC=BL,∠MBL=∠NBC=60°， .∠PBL=∠ABC+∠MBL=60°+60°=120°， ·∠PBL=∠KCB 在△PBL和△KCB中， BP=CK ∠PBL=∠KCB BL=CB △PBL≌△KCB(SAS) .PL=BK=132. .ML=PL-PM=13.2-5.4=7.8, ∴CN=ML=7.8 35.如图，在△ABC中，AB=AC,点D是AB边上一点，连接CD.在△ABC内部作∠BAE=∠ACD,分 别与BC,CD交于点E、点F. 第54页共75页 图1 图2 (1)如图1，若∠AEC=∠BAC,CF=8,求AE的长： (2)如图2，点D为AB边中点，作BG∥AC交AE的延长线于点G,若∠ABF+2∠GBF=180°，求证： AG=CD+DF 【答案】(1)AE=8 (2)见解析 【分析】(1)根据等边对等角结合三角形内角和定理可得到∠BAC=180°-2∠B,进而由已知的等角关系 结合外角的性质等量代换表示出∠BAE,再根据∠FAC=∠BAC-∠BAE表示出∠FAC,从而证明 △ACF≌ABAE(ASA) 根据全等三角形的性质即可得解； (2)延长FD至H,使得DH=DF,连接AH,构造全等三角形，先证 △AHD≌△BFD(SAS) 得到 ∠DAH=∠DBF,再由平行的性质结合己知的∠ABF+2∠GBF=180°等量代换即可证得∠DAC=∠GBF, 从而得到∠H1C=∠4BG,然后可证明 MHC≌△BGA(4SM)）,得到HC=AG,最后根据线段和差关系等 量代换即可证得 【详解】(1)解：AB=AC, ∴.∠B=∠ACB ∴.∠BAC=180°-2∠B '∠AEC=∠BAC,∠AEC=∠B+∠BAE, .∠B+∠BAE=180°-2∠B, ∴.∠BAE=180°-3∠B :.∠FAC=∠BAC-∠BAE=180°-2∠B-(180°-3∠B)=∠B 在△ACF和△BAE中， 第55页共75页 ∠FAC=∠B AC=AB ∠ACF=∠BAE' ∴.△ACF≌△BAE(ASA) ∴AE=CF=8: (2)证明：如图，延长FD至H,使得DH=DF,连接AH, :点D为AB边中点， :AD=BD, 在△AHD和△BFD中， AD=BD ∠ADH=∠BDF DH=DF ∴.△AHD≌△BFD(SAS) ∴.∠DAH=∠DBF, BGI‖AC, ∴.∠ABG+∠DAC=180° :∠ABF+2∠GBF=180° ∴.∠ABF+∠GBF+∠GBF=180° ∴.∠ABG+∠GBF=180°」 .∠DAC=∠GBF, ∴.∠DAH+∠DAC=∠DBF+∠GBF,即∠HAC=∠ABG, 在△AHC和△BGA中， 第56页共75页 ∠ACH=∠BAG AC=AB ∠HAC=∠ABG' ∴.△AHC≌△BGA(ASA) .HC=AG. HC=CD+HD=CD+DF. ..AG=CD+DF 36.在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D,点E在AD延长线上. N E 图1 图2 图3 (1)如图1，若AD=DE,EFI‖AC交CD延长线于点F,延长AB交EF于点G,求证：FG+AG=AC: (2)如图2，连接BE,过点A作AM⊥BE,交EB延长线于点M,EN⊥BC于点N,若∠BAC=2∠EBD, ∠EBD+2∠ABC=180°，求证：BE+2BM=2CN: 3)如图3，在(2)的条件下，当∠ACB=45°时，连接EC,EK⊥EB交BC于点K,点P,Q分别是BE, S.BPK+S.KOE EC边上的动点，且BP=EQ,连接KP,KQ,当KP+KQ取最小值时，请直接写出SEC 的值. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 S.BPK +S.KOE y (3) SBEC 的值为3 【分析】(1)由角平分线的性质可得∠BAD=∠CAD,进而得到∠BAD=∠E,则AG=GE,证得 △ADC≌△EDF(ASA) 根据全等三角形的性质得到4C=BF,从而得到结论： (2)连接CE,作AH⊥BC于H,由角平分线的性质可得∠BAC=2∠BAD=2∠CAD,进而得到 第57页共75页 ∠EBD=∠BAD及∠ABC=∠ADB,再证 △ABM≌△ABH(AAS)△ABE≌△ADC(ASA) 和 ,根据全等三角 形的性质得到∠AEC=180°-∠CAE ,进而得到CW=)BC,从而得到结论： 2 (3)作AH⊥BC于H,易证得△AHC是等腰直角三角形，由(2)得，设∠BAH=∠DAH=a,则 ∠EBC=∠BAE=∠CAE=2a,进而得到a=15°，则∠CBE=2a,则BK=2EK,进而得到 BC=BK+CK=3EK=3CK,作点P关于直线BC对称点P',连接BP',延长P'K交EC于点Q,则 ∠PBP'=2∠CBE BEOP P'O=BE 进而得到四边形 始终是平行四边形，则 为一定值，显然，当、K、O S.aPK+S.KOE S.BpK+S.KPES.BEK =BK 三点共线时取得PK+OK的最小值，据此求解S,sC S.BEC BC 【详解】(1)证明：~AD平分∠BAC, ∴.∠BAD=∠CAD EF∥AC, ∠CAD=∠E, .∠BAD=∠E, ..AG=GE, 在△ADC和△EDF中， ∠ADC=∠EDF AD=DE ∠CAD=∠E ∴.△ADC≌AEDF(ASA) .AC=EF ..FG+AG=FG+GE=EF=AC (2)证明：如图2，连接CE,作AH⊥BC于H, 第58页共75页 平分 E 图2 .AD ∠BAC ∴∠BAC=2∠BAD=2∠CAD ,∠BAC=2∠EBD .∠EBD=∠BAD, :∠EBD+2∠ABC=180°， ∴.∠BAD+2∠ABC=180° 在△ABD中，∠BAD+∠ABC+∠ADB=180°， .∠ABC=∠ADB :AB=AD. 'AH⊥BC, ·∠AHB=900、 BH=DH=D、∠BMH=∠DiH=<BD, 设∠BAH=∠DAH=a,则∠EBD=∠BAD=∠CAD=2a、∠ABH=90°-a, ∠ABM=180°-∠ABH-∠EBD=∠ABH=90°-&， AM⊥BE, .∠AMB=∠AHB=90°， 在△ABM和△ABH中， 「∠AMB=∠AHB ∠ABM=∠ABH AB=AB ∴.△ABM≌△ABH(AAS) ∴.BH=BM, :.BM=BD ∠ADC=∠BAD+∠ABD=90°+a、∠ABE=∠EBD+∠ABD=90°+a, 第59页共75页 ∠ABE=∠ADC, 在△ABE和△ADC中， 「∠ABE=∠ADC AB=AD ∠BAE=∠DAC' ∴.△ABE≌△ADC(ASA) .BE=CD、AE=AC, ∴∠AEC=180°-∠CAE 2 90°-a, :∠NDE=∠ADH=90°-a, .∠NDE=∠AEC, .CD=CE. :CE=BE, :EN⊥BC, 1 ∴CN=-BC 2 CD+BD=BC=2CN. .BE+2MB=2CN: S.BPK+S.KQE 2 (3)解： SBEC 的值为3，理由如下： 如图3，作AH⊥BC于H, D B P E '∠ACB=45°∠AHC=90° 第60页共75页 “.△AHC是等腰直角三角形 由(2)得，设∠BAH=∠DAH=&, 则∠EBC=∠BAE=∠CAE=2a, .∠CAH=3a=45°， ∴.a=15°， .∠CBE=2a=2×15°=30°， .BK =2EK. 由(2)得，∠BCE=∠CBE, ∠BCE=30°， ∴.∠BEC=120° ∴.∠CEK=∠BEC-∠BEK=120°-90°=30°， .∠BCE=∠CEK, :.EK=CK ∴.BC=BK+CK=3EK=3CK, 作点P关于直线BC对称点P',连接BP',延长PK交EC于点O, 则∠PBP'=2∠CBE=60°， ·.∠PBP'+∠BEC=1809 ∴.BP'IEC BP=BP'=EO BEOP' 四边形 始终是平行四边形， ..P'O=BE 为一定值， 第61页共75页 显然，当P'、K、Q三点共线时取得PK+QK的最小值， S.nrK +S.KOES.arK+S.KPES.MEKBK =2 SBEC S.BEC BC 3 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握相关 性质，数形结合的思想方法的运用是解题的关键， 37.在△ABC中，AB=AC」 B D 日A M P M 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠BAC=90°，D为BC上一点，过点B作BE⊥AD,垂足为E,过点C作CF⊥AD,垂足为 F,BE=6,EF=4,求CF的长度 (2)如图2，M为AB中点，点P、O分别为线段AB、AC上的动点（不与B、C重合），且BP=A0, CP=DQ∠CQD=∠APC C,请猫想BD与CM的数量关系并说明理白。 S.BDO (3)在(2)的条件下，若CP⊥AB,当D、O、M三点共线时，直接写出SCo的值. 【答案】(1)CF=2 (2)BD=2CM,见解析 1 (3)2 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据中点构造辅助 线 (1)证明△AFC≌△BEA,得到AF=BE,CF=AE,即可得解： (2)连接AD,可证△BPC≌aAOD,得到BC=AD,∠CBP=∠DAO,延长CM至点G,使得GM=CM, 连接AG,可证△BCM≌△AGM,得到BC=AG,∠CBM=∠GAM,从而可得AD=AG 第62页共75页 ∠DAQ=∠GAM,得到∠DAB=∠GAC,证得△DAB≌aGAC,得到BD=CG=2CM: (3)连接QM,由共线可得∠4QM=90°，延长QM至点H,使得M=QM,连接BH,可证 ABHW2AOM,得到BM=A0,∠H=∠A0M=0,从S.wo-D0-BH-=号D0-40=8m,连接 AD AC BD AB=AC∠BCN=∠CBP=∠DAQ BCN≌ADAW ,令与交于点N,由 可得 ,可证 ，得到 BN DN CN=AN S.BCN =S.DAN ,作BK上AC,可证 △BKN≌△DQ ,得到K=00,推到 S.BDe_1 S.BNQ=Sg,S,ADg=S,BDg=2S.Q,S.BCw=3S,Dg,S.Bce=4SpNe,最终得出结果S.cg2. 【详解】(1)解：，∠BAC=90°， ∠EAB+∠FAC=90°， BE⊥AD,CF⊥AD. .∠AEB=∠AFC=90°， .∠ACF+∠FAC=90°， ∴∠ACF=∠BAE, 在△AFC和△BEA中 ∠CFA=∠AEB ∠ACF=∠BAE AC=AB :△AFC≌△BEA(AAS) ∴AF=BE=6,CF=AE, ,EF=4, .CF=AE=AF-EF=6-4=2; (2)BD=2CM,理由如下： 如图2，连接AD,延长CM至点G,使得GM=CM,连接AG, 第63页共75页 图2 :∠CQD=∠APC. :180°-∠CQD=180°-∠APC,即∠A0D=∠BPC, 在△BPC和△AQD中 BP=AO ∠BPC=∠AQD CP=DO △BPC≌AAQD(SAS) BC=AD,∠CBP=∠DAg, :M为AB中点， .BM=AM, 在△BCM和△AGM中 BM=AM ∠BMC=∠AMG CM=GM △BCM≌△AGM(SAS) .BC=AG,∠CBM=∠GAM, 、AD=AG,∠DAQ=∠GAM, .∠DA0+∠OAB=∠GAM+∠OAB,即LDAB=∠GAC, 在△DAB和△GAC中 第64页共75页 AD=AG ∠DAB=∠GAC AB=AC △DAB≌AGAC(SAS) ..BD=CG=CM+GM=2CM: S.8e-1 (3)SBco2,证明如下： 如图3，连接AD,QM,延长QM至点H,使得HM=QM,连接BH,作BK⊥AC交AC于K,令AC与 BD交于点N, 图3 ,CP⊥AB .∠APC=90°， ∴.∠C0D=∠APC=90, D、O、M三点共线， 、.∠AQM=∠CQD=90°. 在△BHM和△AQM中 BM=AM ∠BMH=∠AMQ HM=OM △BHM≌△AQM(SAS) BH=AQ,，∠H=∠AQM=90° 第65页共75页 .QDQQ-.w. ..AB=AC, ,∠BCN=∠CBP, :∠CBP=∠DAQ. ∴.∠BCN=∠DAN, 在△BCN和△DAN中 ∠BNC=∠DNA ∠BCN=∠DAN BC=DA· △BCN≌△DAN(AAS) BN=DN CN=AN S.BCN=S.DAN ,BK⊥AC, .∠BHN=90°， ÷.∠BHN=∠CQD,即∠BHN=∠DON, 在△BKN和△DON中 ∠BHN=∠DON ∠BNH=∠DNQ BN=DN △BKN≌△DQN(AAS) :.BK=DO, :5sg-N0-K,Se-0-D0. S.BNQ SDNO S.40=S.mD=S.ave+S.vo=2S.Dve S.BCN =S.DAN=S.AD+S.DNR=3S.DNO 第66页共75页 S.oco=S.cN+S.mN2=4S.DNO S.y_2S.2=1 .S.sce 4S.Dve 2. 38.在△ABC中，AB=CB,∠ABC=90,点D是直线BC上一点 B D D 图1 图2 图3 (1)如图1，若点D在BC边上，且∠DAB=15°，AD=2,求点D到AC边的距离： (2)如图2，若点D在CB的延长线上，且∠DAB=15,CE⊥AD于点E,交AB于点F,连接DF,猜想 AC,AD,DF之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，若点D在边BC上，点G在边AC上，且AG=BD.连接BG,AD,当BG+AD取最小值时，直 接写出∠GBD的度数. 【答案】(1)1 (2)AC=AD+DF (3)67.5° 【分析】(1)通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求解； (2)通过构造等边三角形和全等三角形来探究线段之间的数量关系： (3)利用全等三角形将线段进行转换，根据两点之间线段最短确定最小值 【详解】(1)解：过点D作DM⊥AC于点M, :AB=CB,∠ABC=90°， .∠BAC=∠ACB=45°， ∠BAD=15°， .∠DAC=∠BAC-∠BAD=30°， DM4D-x21 2 第67页共75页 即：点D到AC的距离是1： M B D 图1 (2)答：AC=AD+DF,理由如下： 延长AD至点G,使得EG=AE,连接FG,CG, 由(1)可得∠BAC=∠C=45°， ,∠DAB=15°， ∴.∠CAE=60°， CE⊥AD,EG=AE, ..CA=CG, ∴.△ACG是等边三角形， .AC=AD. :∠ABC=90°，CE⊥AD ·∠DAB+∠CDE=∠FCB+LCDE=90°， .∠DAB=∠FCB, 在△ADB和△CFB中， [∠DAB=∠FCB AB=CB ∠ABD=∠CBF=90°' .△ADB≌ACFB, ∴.DB=BF, :△DFB是等腰直角三角形， ∴.∠FDB=45°， ∠DAB=15°，∠ABD=90°， ∴.∠ADB=90°-15°=75°， 、.∠ADF=∠ADB-∠FDB=30, 第68页共75页 :CE垂直平分AG, .FA=FG :∠DGF=∠DAB=15° ∴.∠DFG=∠ADF-∠DGF=30°-15°=15°， 即：DF=DG, ∴AC=AG=AD+DG=AD+DF, 即：AC=AD+DF: B G 图2 (3)解：作∠DBP=∠GAB,BP=AB=BC,连接DP, ∴.∠ABP=90°+45°=135° 在△ABG和△BPD中， (AG=BD ∠GAB=∠DBP AB=BP ∴.△ABG≌△BPD, .BG=DP, .BG+AD=AD+DP≥AP ∴当D在AP上时，BG+AD最小，△ABP是等腰三角形，则∠P=∠BAP=22.5°， △ABG≌△BPD, .∠ABG=∠P=22.5° .∠GBD=∠ABC-∠ABG=90°-22.5°=67.5° 第69页共75页 B D 图3 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理等，关键是知 识点的灵活应用 39.(1)如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=8,D为BC的中点，E是AB上一点，连接DE, 过D作DF⊥DE交AC于F,求四边形AEDF的面积： (2)如图2，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC,D为BC的中点，E、F分别是AB、AC上的一点 (点E不与A、B重合，点F不与A、C重合)，连接DE,DF,若∠EDF=60°，求线段AE、AF、 AB之间的数量关系： (3)如图3，在四边形ABCD中，BC=EC,∠BAE=120°，∠BCE=60°，过点C作CD1AC交AE延 长线于点D,若AB=5,AE=2,请直接写出DE的长. 图1 图2 图3 【答案】(1)16；(2)AB=2AF+2AE,证明见解析：(3)12 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形中 线的性质，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握这些性质并正确作出辅助线是解题的关键， 1 (1)利用等腰直角三角形的性质证明∠ABD=∠C=45°，∠ADB=∠ADC=90°，S.m=25.c=16, 21 通过证明△BDE≌△MDF,得出 SDE=SaoF,即可求解： (2)连接AD,过点D作DG∥AB,交AC于点G,利用等腰三角形的性质得出∠B=∠C=30° AD⊥BC,∠BAD=∠CAD=60°，证明AB=2AD,△ADG是等边三角形，证明∠ADE=∠GDF,再证 △ADE≌aGDF,得出AE=FG,再利用线段的和差证明： 第70页共75页 (3)在ED上截取EH=AB=5,连接CH,先得出∠HEC=∠B,证明△ABC≌aHEC,得出AC=HC, ∠ACB=∠HCE,证明△ACH是等边三角形，得AC=AH=AE+EH=AE+AB=7,∠CAH=60°，再利用 含30°角的直角三角形的性质得出AD=2AC=14，,即可求解. 【详解】解：(1)：∠BAC=90°，AB=AC=8,D为BC的中点， BD=ZC=45°，LADB=∠ADC=909Sm=25.Ac 1xLxAB.AC-2 _1x1×8x8=16 ∴.∠BAD=∠ABD=∠CAD=∠C=45°， .'AD =BD. DF⊥DE, 、.∠EDF=∠ADB=90°， ∴.∠BDE=∠ADF, 在△BDE与△ADF中， ∠BDE=∠ADF BD=AD ∠EBD=∠FAD' ∴.△BDE≌△ADF, S.BDE=S.ADF S四边形HEDr=S,ADE+S,ADr=S.ADE+S,BDE=SABD=16 (2)连接AD,过点D作DG∥AB,交AC于点G, B ∠BAC=120°， .∠AGD=180°-∠BAC=60°， :AB=AC,∠BAC=120°，D为BC的中点， .∠B=∠C=30°，AD⊥BC,∠BAD=∠CAD=60°， ∴.AB=2AD,∠BAD=∠CAD=∠AGD=60°， ∴.△ADG是等边三角形， .∠ADG=60°，AD=AG=DG, 第71页共75页 :∠EDF=60°， ·∠EDF=∠ADG=60°， ·∠ADE=∠GDF, 在△ADE与△GDF中， I∠ADE=∠GDF AD=DG ∠EAD=∠FGD' ∴.△ADE≌aGDF, .'AE=FG. AB=2AD=2AG=2(AF+FG)=2(AF+AE)=2AF+2AE (3)如图，在ED上截取EH=AB=5,连接CH, A D .·∠BAE=120°，∠BCE=60°，∠BAE+∠BCE+∠B+∠AEC=360°， ∠B+∠AEC=180°， ,∠HEC+∠AEC=180°」 .∠HEC=∠B, 在△ABC与△HEC中， ( AB=HE ∠B=∠HEC BC=EC ∴.△ABC≌△HEC. AC=HC,∠ACB=∠HCE, :.∠ACB+∠ACE=∠HCE+∠ACE, 即∠BCE=∠ACH=60°， .△ACH是等边三角形， ∴.AC=AH=AE+EH=AE+AB=7,∠CAH=60°， 第72页共75页 :CD⊥AC, ·∠D=90°-∠CAH=30°， .AD=2AC=14, .DE=AD-AE=14-2=12 40.已知：△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点A作AD⊥AE,且AE=AD, B D D M 图1 图2 (1)如图1，当点D在线段BC上时，过点E作EH⊥AC于H,连接DE.求证：EH=AC: (2)如图2，当点D在CB延长线上时，连接BE交AC的延长线于点M.求证：BM=EM; S△MDB (3)在(2)的条件下，若AC=7CM,请直接写出S△M的值（不需要计算过程）， 【答案】(1)见解析 (2)见解析 S%40B=1 3)S△AEM 4 【分析】(1)由“AAS”可证△AHE≌△DCA,可得EH=AC (2)过点E作EN⊥AM,交AM的延长线于N,由“AAS”可证△ANE≌△DCA,可得AC=EN=BC, 由“AAS”可证△BCM≌aENM,可得BM=EM (3)设CM=a,AC=7a,结合△BCM≌△EHM,利用三角形的面积公式求解面积比， 【详解】(1)证明：：AD⊥AE,EH⊥AC, ·∠AHE=LEAD=LACB=90°， ∠DAC+∠ADC=90°，∠DAC+∠EAH=90°， .∠EAH=∠ADC. 又：AD=AE,∠ACD=∠AHE=90°， :△AHE≌ADCA(AAS) 第73页共75页 ·EH=AC (2)证明：如图2，过点B作EN⊥AM,交AM的延长线于N, A D B H 图2 AD⊥AE,EN⊥AM, .∠AE=∠EAD=∠ACB=90°， .∠DAC+∠ADC=90°，∠DAC+∠EAN=90°， ∠EAN=∠ADC, 又，AD=AE,∠ACD=∠ANE=90°， ÷△1WE≌aDCA(AAS) .EN=AC, ..BC=AC, .BC=NE, 又'，∠BMC=∠EMN,∠BCM=∠ENM=90°， △BCM≌△ENM(AAS) .BM=EM, (3)解：当点D在CB延长线上时，如图，过点E作EV⊥AM,交AM的延长线于N, D Mh------ E ·.·AC=7CM 设CM=a,AC=7a, 由(2)得：△BCM≌aENM(AAS). .CM=MN=a,BC=NE=AC=7a. 第74页共75页 .AN=AC+CM+MN=9a,AM=AC+CM=8a, :△ANE≌△DCA, :AN CD=9a, .BD=2a, SAADB= 1BD·AC x2a×7a1 = 2 S△AEM L AM.EN ×8a×7a 4, S△ADB 1 综上，S△MEM的值为4， 第75页共75页 专题20 全等三角形相关压轴题（5种类型40道） 专题目录 【类型1 全等三角形相关综合问题】 1 【类型2 全等三角形相关折叠问题】 3 【类型3 全等三角形相关最值问题】 5 【类型4 全等三角形相关动点问题】 7 【类型5 全等三角形压轴证明题】 10 【类型1 全等三角形相关综合问题】 1．如图，已知：，，，，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（  ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，，连接交于F，连接．结论：①；②；③；④ 平分．正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，，，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．如图，已知，其中．在下列结论①，②，③，④中，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，在中，，平分，于点，有下列结论：①；②；③平分；④；⑤．其中结论正确的个数为（   ）． A．5 B．4 C．3 D．2 6．如图，点 D，E 在上，，下列结论：①；②；③，其中正确的结论的个数为（  ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．如图，的外角，的平分线，交于P，，，则下列结论中正确的有（    ） ①；②平分；③；④． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 8．如图，已知中，，，分别平分，，点为，的交点，则下列说法正确的个数是（     ） ①；②；③；④ A． B． C． D． 【类型2 全等三角形相关折叠问题】 9．如图，在长方形中，，将长方形沿对角线折叠，使得点落在处，与相交于点，且，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 10．如图，在中，为边上一点，连接，，，将沿折叠至，连接，若平分，则的度数是（  ） A． B． C． D． 11．如图，在等腰中，，．的平分线与线段的中垂线交于点，点沿折叠后与点重合，则的度数是（    ） A． B． C． D． 12．如图，长方形纸片中，，，M是上的点，且．将长方形纸片沿过点M的直线折叠，使点D落在边上的点P处，点C落在点Q处，折痕为，则线段的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 13．如图，在中，的平分线交于点E，且．将沿折叠使点C与点E恰好重合．①；②点E到的距离为8；③；④．以上结论正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 14．如图，在中，，若将沿DE折叠，使点B与点A重合，则折痕的长为（    ）    A． B．3 C． D． 15．如图，在中，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，若，则（　　） A．. B．. C． D． 16．如图，在中，，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合．若的面积是，则的长是（　　）    A． B． C． D． 【类型3 全等三角形相关最值问题】 17．如图，是的平分线，点在上，于点，且，点是射线上的一个动点，则线段的最小值是______． 18．如图，锐角三角形的面积是15，，平分，若M，N分别是上的动点，则的最小值是______． 19．如图，，，，平分，点为上的一动点，，则的最小值为______． 20．如图，为的角平分线，，，，D为上一动点，连接，则的最小值为________． 21．如图，在四边形中，，，连接，，．若P是边上一动点，则长的最小值为______． 22．如图，中平分，点D、E分别是上不与端点重合的动点，连接，则的最小值为____________． 23．如图，在四边形中，平分，，，，则面积的最大值为_____． 24．如图，在四边形中，平分，于点D，，，延长、交于点，则的值为__________，面积的最大值为__________． 【类型4 全等三角形相关动点问题】 25．在中，，长为，长为，长为，并且．请回答以下问题： (1) ， ； (2)如图，在中，，，，，．在中，动点P从点A出发，沿运动，到点C停止，速度为，若另外有一个动点Q与点P同时出发，动点Q从点B出发，沿运动，到点A停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好有以A，P，Q为顶点的三角形与全等，求出点Q的运动速度； (3)若在中，动点P仍从点A出发，运动轨迹变为沿运动，到点B停止，速度仍为．动点Q运动轨迹不变，仍与点P同时出发，从点B出发沿着运动，到点A停止．在两点运动过程中的某时刻，仍有以，P，Q为顶点的三角形与全等(为A或B)，此时点Q的运动速度还可以为 ． 26．如图，在Rt中，，，，平分交斜边于点D，动点P从点C出发，沿折线向终点D运动． (1)点P在上运动的过程中，当 时，与的面积相等；（直接写出答案） (2)点P在折线上运动的过程中，若是等腰三角形，求度数； (3)若点E是斜边的中点，当动点P在上运动时，线段所在直线上存在另一动点M，使两线段的长度之和，即的值最小，则此时的长度 （直接写出答案）． 27．如图①，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当在上时 ，当在上时 ，（用含的式子表示） (2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好全等，求点的运动速度． 28．如图，在中，，，，，动点从点出发，沿射线以的速度运动，设运动时间为秒． (1)当是以为腰的等腰三角形时，求的值． (2)若点是边上一点，且，垂足为，请用无刻度的直尺和圆规在备用图1中作出点、点，使得．（提醒：作图痕迹请加粗加黑，确保阅卷扫描清晰） (3)若点、为、上的动点，求的最小值． 29．如图①，线段，，，垂足分别为A，B，，动点P 从点A 出发，以每秒2个单位的速度沿向终点B 运动；同时动点Q从点B 出发，沿射线 运动、当点P 停止时，点Q 也随之停止运动．设点P 的运动的时间为， (1)当时 ， ， ． (2)若点Q的运动速度和点P 的运动速度相等，时， ①求证：； ②求证：． (3)如图②，若点Q 的运动速度为每秒a个单位，将“，”改为“”， 其它条件不变．若与全等，直接写出a 的值． 30．如图，中，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，设运动时间为t秒，当与全等时，求t的值． 31．如图1，在中，，，，，动点P从点A出发，以的速度沿着三角形的边运动，回到点A时停止，设运动时间为． (1)当时，______； (2)当点P在上运动时： ①______（用含t的式子表示） ②当的周长被线段分为相等的两部分时，求t的值； (3)若的面积等于面积的一半，求t的值； (4)如图3，在中，，，，．如图2，在的边上有另一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿边运动，回到点A时停止；若在运动过程中的某一时刻，和全等，请直接写出此时点Q的运动速度． 32．如图，直线经过的直角顶点的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，垂足分别为点、，若，设运动时间为， (1)分别求出在此运动过程中，点与点的运动时长． (2)当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求满足条件的t的值． 【类型5 全等三角形压轴证明题】 33．在中，点是的边的中点． (1)如图1，连接，若，过点作交延长线于点，若，求； (2)如图2，点是线段上一点，连接并延长交延长线于．若，，求证：； (3)如图3，若平分，分别是上任意一点，若，，直接写出的最小值． 34．如图，在中，，，D，E分别为，边上的点，连接，交于点F，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以为边作，，，连接，G为中点，连接，求证：； (3)如图3，P为上一点，连接，H为中点，连接，M，N分别为，上的点，连接，交于点O，若，，，，直接写出的长． 35．如图，在中，，点是边上一点，连接．在内部作，分别与，交于点、点． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，点为边中点，作交的延长线于点，若，求证：． 36．在中，平分交于点D，点E在延长线上． (1)如图1，若,交延长线于点F，延长交于点G，求证：； (2)如图2，连接，过点A作，交延长线于点M，于点N，若，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，连接，交于点K，点P，Q分别是，边上的动点，且，连接，，当取最小值时，请直接写出的值． 37．在中，． (1)如图1，若，D为上一点，过点B作，垂足为E，过点C作，垂足为F，，，求的长度． (2)如图2，M为中点，点P、Q分别为线段、上的动点（不与B、C重合），且，，，请猜想与的数量关系并说明理由． (3)在（2）的条件下，若，当D、Q、M三点共线时，直接写出的值． 38．在中，，点是直线上一点． (1)如图，若点在边上，且，，求点到边的距离； (2)如图，若点在的延长线上，且，于点，交于点，连接，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图，若点在边上，点在边上，且．连接当取最小值时，直接写出的度数． 39．（1）如图1，在中，，，为的中点，是上一点，连接，过作交于，求四边形的面积； （2）如图2，在中，，，为的中点，、分别是、上的一点（点不与、重合，点不与、重合），连接，，若，求线段、、之间的数量关系； （3）如图3，在四边形中，，，，过点作交延长线于点，若，，请直接写出的长． 40．已知：中，，，过点A作，且． (1)如图1，当点D在线段上时，过点E作于H，连接．求证：； (2)如图2，当点D在延长线上时，连接交的延长线于点M．求证：； (3)在（2）的条件下，若，请直接写出的值（不需要计算过程）． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 $