专题04图形的轴对称精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦图形的轴对称核心知识点，系统梳理轴对称图形与两个图形成轴对称的概念及区别联系，深入讲解轴对称性质，线段垂直平分线的定义、性质与判定，构建从概念到性质再到作图应用的完整学习支架。 资料亮点在于重点辨析易混点，针对15种题型设计解题思路，结合台球反弹、光线反射等实际情境。通过折叠问题培养几何直观，通过性质判定应用发展推理能力，星级难度分层助力课中教学与课后查漏补缺。

专题04图形的轴对称精讲学案 核心立意： 认识轴对称图形、两个图形成轴对称，分清二者的区别与联系；掌握轴对称的性质，会识别对称轴、对应点、对应线段、对应角；理解线段垂直平分线的定义、性质与判定；会利用轴对称、垂直平分线求解线段与角度；掌握作轴对称图形的作图方法，提升几何直观与简单推理的能力。 轴对称图形： 一个图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 两个图形成轴对称： 把两个图形沿某一条直线折叠，如果两个图形能够完全重合，则称这两个图形成轴对称；折叠后互相重合的点为对应点，重合的线段为对应线段，重合的角为对应角。 轴对称的性质 ①成轴对称的两个图形一定全等； ②对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线； ③对应线段相等，对应角相等；对应线段若相交，交点一定在对称轴上。 补充：轴对称图形自身，也满足上述轴对称性质。 轴对称图形与成轴对称的区别与联系 ①区别：轴对称图形是一个图形自身的特征；成轴对称描述两个图形之间的位置关系。 ②联系：把轴对称图形沿对称轴剪开，可得到两个成轴对称的图形；将两个成轴对称的图形拼合为整体，可得到一个轴对称图形。 线段垂直平分线定义： 既垂直于一条线段，又经过线段中点的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点，到这条线段两个端点的距离相等。 线段垂直平分线的判定： 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 作轴对称图形步骤： ①找出原图顶点、拐点等关键点； ②作出各关键点关于对称轴的对称点； ③按照原图顺序依次连接对称点，得到对称后的图形。 重点辨析 ①轴对称图形至少有1条对称轴，部分图形有多条对称轴； ②成轴对称的两个图形一定全等，全等图形不一定成轴对称； ③对称轴是直线，不能画成线段或者射线； ④线段垂直平分线：线上的点⇒到线段两端距离相等；到两端距离相等⇒点在垂直平分线上； ⑤一组对应点连线的垂直平分线，就是这两个图形的对称轴。 ①混淆轴对称图形、两个图形成轴对称，分不清研究对象是一个图形还是两个图形； ②误把对称轴当作线段或者射线； ③错误认为全等的图形就一定成轴对称； ④使用垂直平分线性质时，忽略“点在垂直平分线上”这个前提条件； ⑤分不清线段垂直平分线的条件和结论，性质、判定混用； ⑥作图时关键点找不全，对称点的连接顺序出错； ⑦误认为矩形对角线是矩形的对称轴。 题型 考察方向 难度 题型一 轴对称图形的识别 ★ 题型二 成轴对称的两个图形的识别 ★ 题型三 根据成轴对称图形的特征进行判断 ★★ 题型四 根据成轴对称图形的特征进行求解 ★★ 题型五 台球桌面上的轴对称问题 ★★ 题型六 轴对称中的光线反射问题 ★★ 题型七 折叠问题 ★★★ 题型八 线段垂直平分线的性质 ★★ 题型九 线段垂直平分线的判定 ★★ 题型十 写出命题的逆命题 ★ 题型十一 互逆定理 ★ 题型十二 作已知线段的垂直平分线 ★★ 题型十三 作垂线 ★★ 题型十四 画对称轴 ★★ 题型十五 求对称轴条数 ★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★拔高综合 题型一：轴对称图形的识别 解题思路：①研究对象为同一个图形；②寻找一条直线；③沿直线对折，图形两旁部分能够完全重合，则为轴对称图形。 1．“说好中国话，写好中国字”，在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、是轴对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意． 2．下列图案中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，符合题意． 3．下列图形都是由一对全等三角形组成的，其中是轴对称图形的是（     ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 题型二：成轴对称的两个图形的识别 解题思路：①研究对象为两个独立图形；②寻找一条直线；③沿直线折叠，两个图形能够完全重合，则这两个图形成轴对称。 4．观察下面A，B，C，D四幅图，其中与下图成轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、不成轴对称，故不符合题意； B、不成轴对称，故不符合题意； C、成轴对称，故符合题意； D、不成轴对称，故不符合题意． 5．下列字母“F”关于镜面成轴对称的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据成轴对称的性质，进行判断即可. 【详解】解：观察可知，只有选项B中的两个字母“F”关于镜面成轴对称，其它选项中的两个字母“F”的对应点连线与镜面不垂直，不成轴对称. 6．如图，已知点，，，在一条直线上，并且，那么这两个全等三角形属于全等变换中的___． 【答案】轴对称变换 【分析】本题考查了全等三角形的性质，全等变换，解题关键是能够识别全等三角形理解全等变换的概念； 由全等三角形的性质及全等变换的意义直接解答即可． 【详解】解：∵， 有图可知：，， ， ∴这两个全等三角形属于全等变换中轴对称变换， 故答案为：轴对称变换． 题型三：根据成轴对称图形的特征进行判断 解题思路：①成轴对称的图形一定全等，全等图形不一定成轴对称；②对称轴垂直平分每一组对应点的连线；③依据以上两点逐一辨析选项对错。 7．经过轴对称变换后得到的图形与原图形相比：形状_______改变，大小_______改变（填“有”或“没有”）． 【答案】 没有 没有 【分析】该题主要考查了轴对称图形，正确把握轴对称图形的性质是解题的关键； 直接利用轴对称图形的性质得出答案； 【详解】解：经过轴对称变换后得到的图形与原图形相比：形状没有改变，大小没有改变． 故答案为：没有，没有． 8．如图，和关于直线对称，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵和关于直线对称， ∴，，，故A，C正确； ∴，故B正确； 根据已知条件无法得到，故D不一定正确． 9．如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据成轴对称的两个图形全等，对应点的连线被对称轴垂直平分，逐一判断即可． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴，对应点的连线被对称轴垂直平分， ∴，，，故选项A，C，D正确； 与不一定平行，故选项B不正确． 10．如图，分别以的边所在直线为对称轴作的对称图形和．若，线段与相交于点O，连接．有如下结论：①；②；③．其中正确的是______（填序号）． 【答案】①②/②① 【分析】本题主要考查了轴对称的性质的综合运用等知识点，熟记相关性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．根据轴对称的性质可得，再根据周角等于列式计算即可求出，判断出①正确；再求出，根据对称可得，利用三角形的内角和定理可得，判断出②正确；说明即可判定③错误． 【详解】解：∵和是的轴对称图形， ∴， ∴，故①正确． ∴， 由对称的性质得，， 又∵， ∴，故②正确． 在和中，， ∵ ∴，故③错误； 综上所述，结论正确的是①②． 故答案为：①②． 题型四：根据成轴对称图形的特征进行求解 解题思路：①利用轴对称得到对应线段相等、对应角相等；②完成边角的等量转移；③结合线段和差、三角形内角和，计算线段长度或者角度。 11．如图，四边形是轴对称图形，对角线所在的直线是它的对称轴，，，则四边形的周长为_____． 【答案】11 【分析】根据轴对称图形的性质可得到、的长度，即可计算四边形的周长． 【详解】解：四边形是关于对角线对称， ，， 四边形的周长为． 12．如图，与关于直线对称，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质及三角形内角和定理，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．根据轴对称的性质得出，根据三角形内角和定理即可得答案． 【详解】解：∵与关于直线对称，， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 13．如图，在中，点、分别在、边上，连接，，与关于所在直线对称．若，则的度数为________． 【答案】 45 【详解】解：∵，， ∴， ∵与关于所在直线对称， ∴. 14．如图，中，，，点是上任意一点，点和点分别是点关于和的对称点，连接和，则的度数是（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用轴对称的性质，即可求解． 【详解】解：连接，    ∵点和点分别是点关于和的对称点， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 题型五：台球桌面上的轴对称问题 解题思路：①台球反弹是轴对称实际应用；②作关键点关于边界的对称点；③把折线反弹路径转化两点之间直线，判断运动轨迹。 15．如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 __点． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的知识，注意结合图形解答，不要凭空想象，实际操作一下． 【详解】解：如图， 可以瞄准点击球． 故答案为：． 16．如图，球桌上有，两个桌球，若要将球射向球桌的一边，反弹一次后击中球，则球应射向，，，四个点中的点_____ ． 【答案】C 【分析】作点关于直线的对称点，连接与直线的交点即为所求的点． 【详解】解：如下图所示，作点关于直线的对称点， 连接与直线交于点， 点即为所求． 17．小静同学观察台球比赛，从中受到启发，抽象成数学问题如下：如图，已知长方形，小球从出发，沿如图所示的方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，小球第1次碰到长方形的边时的位置为，第2次碰到长方形的边时的位置为，第3次碰到长方形的边时的位置为若不考虑阻力，则小球第2026次碰到长方形的边时的位置的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照反弹时反射角等于入射角，画出图形，可以发现每六次反射一个循环，最后回到起始点，然后计算2026有几个6即可求出对应点的坐标． 【详解】解：按照反弹时反射角等于入射角，画出图形，如下图： ，，，，，，，…， 通过以上变化规律，可以发现每六次反射一个循环， ∵， ∴的坐标与的坐标相同， ∴点的坐标是． 题型六：轴对称中的光线反射问题 解题思路：①原理和台球反弹一致；②作出光源关于反射镜面的对称点；③反射光线等效于从对称点射出，以此确定光路。 18．如图，一束光线射向一个水平镜面后在点处被反射，请借助量角器或者直尺判断反射光线一定会经过（     ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】根据入射线与反射线的关系，作出入射角等于反射角即可． 【详解】解：作，在右侧量出等于且以为边，N为顶点的角即可．    19．光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，，在上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射光线刚好与平行，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据平行线的性质和反射的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 根据题意可得，， ∴， ∴， ∵， ∴． 20．如图①，物理学中把过入射点并且垂直于镜面的直线称为法线，入射光线与法线的夹角称为入射角，反射光线与法线的夹角称为反射角．光线经过平面镜反射，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分居在法线两侧，且反射角等于入射角，即，这就是光的反射定律．如图②，，为两块平面镜，一束光线从点射出，经过平面镜两次反射后经过点，两条光线，相交于点．若两条光线的夹角，则两块平面镜的夹角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作垂直；过点作垂直，根据三角形的内角和与入射角与反射角的关系求出的度数，再利用余角的性质求出的度数，最后利用三角形的内角和求解． 【详解】解：如图所示，过点作垂直垂足为点，过点作垂直垂足为点，两个垂线交于点， 由题意知：， ∵在中，， 则， ∴， 即， 又， ∴， 在中，． 题型七：折叠问题 解题思路：①折叠本质就是轴对称变换；②标记折叠前后相等的对应边、对应角；③结合三角形内角和、外角、线段和差做推理计算。 21．把一张长方形纸条按如图所示折叠后，若得到．则_________ 【答案】 【分析】先求出，再由折叠的性质即可得解． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可得：． 22．如图，将直角三角形纸片的直角沿折叠，点落到纸片内部的点处．如果，那么________． 【答案】43 【分析】由折叠的性质得出，再由三角形内角和定理得出． 【详解】解：由折叠的性质可知：， ∵， ∴． 23．图①是一个四边形纸条，其中，，分别为边，上的点，将纸条沿直线折叠得到图②，再将图②沿直线折叠得到图③，若在图③中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的判定和性质，邻补角关系，三角形内角和，折叠的性质求解即可． 【详解】解：， ，， 根据折叠的性质，得， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 根据折叠的性质，得， ． 24．把长方形纸片沿折叠后再次沿折叠成如图所示，且的对应线段恰好落在上，设，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据折叠的性质得到、，，再利用长方形的性质求出，进而求出的度数，利用求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质得：、，， 在长方形中，， ， ， ， ， ． 题型八：线段垂直平分线的性质 解题思路：①前提条件：点在线段垂直平分线上；②可得该点到线段两个端点距离相等；③利用结论做线段等量代换，求解线段长、三角形周长。 25．到三角形三个顶点的距离相等的点是这个三角形的（     ） A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】D 【详解】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ∴到三角形任意两个顶点距离相等的点，在这两个顶点所对边的垂直平分线上， 因此到三角形三个顶点距离都相等的点，是这个三角形三边垂直平分线的交点. 26．如图，在中，，，，垂直平分边，是直线上一点，则的最小值为____________． 【答案】6 【分析】连接，由垂直平分线的性质得，推出，即可求解． 【详解】解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴当点A，P，C三点共线时，取得最小值，即的长度， ∵， ∴的最小值是． 27．如图，在中，是的垂直平分线，，周长为，则的周长为____． 【答案】19 【分析】根据垂直平分线的性质得到，，从而将周长为转化为，即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴． 28．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，垂足分别为，．则的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，，再结合三角形的周长公式计算即可得出结果． 【详解】∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴的周长是． 题型九：线段垂直平分线的判定 解题思路：①一点到线段两端距离相等，则该点在线段垂直平分线上；②单个点仅能判定点在直线上；③需要两个满足条件的点，两点确定一条直线，才能确定完整垂直平分线。 29．如图，四边形中，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．相交于点，请结合图形写出一个正确的数学结论____________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了垂直平分的判定，根据垂直平分线的判定即可得出结论． 【详解】解：，理由如下： ∵，， ∴在的垂直平分线上， 即是线段的垂直平分线，即， 故答案为：（答案不唯一）． 30．如图，在中，是的垂直平分线，垂直于点，且为的中点，，则的周长是_______． 【答案】16 【分析】根据垂直平分线的性质，得到，求出，推导出是的垂直平分线，，得到，进而求出的周长即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵垂直于点，且为的中点， ∴是的垂直平分线，， ∴， ∴的周长是． 31．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，正方形的顶点叫格点，点，，，均在格点上，是的中点，则点可能是的（    ） A．三条角平分线交点 B．重心 C．三边垂直平分线交点 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的外心，解题的关键是掌握三角形外心的定义． 根据三角形外心的定义进行判断即可． 【详解】解：如图所示， 点分别是的中点，借助网格构成的长方形的对角线可得， ， ∴是边的垂直平分线， ∴点是三角形三边垂直平分线交点， 故选：C． 题型十：写出命题的逆命题 解题思路：①先把原命题整理成“如果……那么……”的形式；②交换题设与结论两部分；③得到逆命题，逆命题不一定是真命题。 32．命题“如果，那么”的逆命题是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】将原命题的条件和结论互换位置即可得到逆命题． 【详解】解：由题意得，原命题的逆命题为如果，那么． 33．把“邻补角的和是”的逆命题改写成“如果…，那么…”的形式为__________________________． 【答案】如果两个角的和是，那么这两个角是邻补角 【分析】本题考查了逆命题，根据逆命题的定义：逆命题是将原命题的题设和结论互换所得命题，即可解答． 【详解】解：原命题“邻补角的和是”可表述为“如果两个角是邻补角，那么它们的和是”， 故其逆命题是“如果两个角的和是，那么这两个角是邻补角”． 故答案为：如果两个角的和是，那么这两个角是邻补角． 34．下列说法中，正确的是（   ） A．所有的命题都有逆命题 B．所有的定理都有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题 【答案】A 【分析】本题考查命题与逆命题的基本概念．命题由条件和结论组成，交换条件和结论即可得到逆命题，因此所有命题都有逆命题．但定理的逆命题不一定成立，真命题的逆命题不一定为真，假命题的逆命题不一定为假． 【详解】解：A、任何命题都可以通过交换条件和结论得到逆命题，即所有的命题都有逆命题，选项正确； B、定理的逆命题不一定为真，如“全等三角形对应角相等”的逆命题不成立，即不是所有定理都有逆定理，选项错误； C、真命题的逆命题可能为假，如“对顶角相等”的逆命题“相等的角是对顶角”为假，选项错误； D、假命题的逆命题可能为真，如“若两个角相等，则它们是对顶角”的逆命题“若两个角是对顶角，则它们相等”为真，选项错误； 故选：A． 题型十一：互逆定理 解题思路：①一个定理的逆命题，经证明为真命题，它也成为定理；②这两个定理互为互逆定理；③不是所有定理都存在逆定理。 35．定理“对顶角相等”_________（填“有”或“没有”）逆定理． 【答案】没有 【分析】本题考查了逆定理．原定理的逆命题成立，则原定理有逆定理，否则没有；原定理的逆命题是“如果两个角相等，那么它们是对顶角”，但相等的角不一定是对顶角，因此逆命题不成立，故没有逆定理． 【详解】解：定理“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么它们是对顶角”． 然而，相等的角不一定是对顶角，例如等腰三角形的两个底角相等，但它们不是对顶角； 或者，两直线平行时同位角相等，但它们也不是对顶角． 因此，逆命题不成立，所以原定理没有逆定理． 故答案为：没有． 36．下列定理有逆定理的是（   ） A．两点之间，线段最短 B．对顶角相等 C．同旁内角互补 D．等角对等边 【答案】D 【分析】本题考查了互逆定理，判断定理是否有逆定理，需考虑原定理的逆命题是否成立． 先判断各选项语句是否为命题，再写出其逆命题，判断逆命题是否成立即可． 【详解】解：∵ 定理有逆定理需逆命题成立． A、“两点之间，线段最短” 非条件语句，无逆定理； B、逆命题为：相等的角是对顶角，错误，故“对顶角相等”没有逆定理； C、“同旁内角互补”本身不是定理，故没有逆定理； D、逆命题为：等边对等角，且是真命题，故为“等角对等边”的逆定理， 故选：D． 37．“两边相等的三角形是等腰三角形”有逆定理吗？______．（填“有”或“没有”） 【答案】有 【分析】本题考查的是逆定理，原命题是等腰三角形的定义，其逆命题“等腰三角形有两边相等”也成立，因此有逆定理． 【详解】解：原命题“两边相等的三角形是等腰三角形”是等腰三角形的定义，其逆命题为“等腰三角形有两边相等”，该逆命题同样成立，故存在逆定理． 故答案为：有． 38．下列定理中，没有逆定理的是（   ） A．两点之间线段最短 B．角平分线上的点到角两边的距离相等 C．等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线互相重合 D．平行四边形的对边平行 【答案】D 【分析】本题考查了逆定理．逆定理是原定理的题设和结论互换后的命题，若互换后命题成立则原定理有逆定理，否则没有． 【详解】解：∵ 逆定理需题设与结论互换后成立； 对于A，逆命题“最短路径是两点之间的线段”成立； 对于B，逆命题“到角两边距离相等的点在角平分线上”成立； 对于C，逆命题“底边上的高、中线、顶角平分线互相重合的三角形是等腰三角形”成立； 对于D，逆命题“对边平行的四边形是平行四边形”不成立，如等腰梯形对边平行但不是平行四边形． ∴ 没有逆定理的是D． 故选：D． 题型十二：作已知线段的垂直平分线 解题思路：①分别以线段两端点为圆心，半径大于线段一半长，上下画弧；②得到上下两个弧交点；③过两个交点作直线，即为线段垂直平分线。 39．如图，中，，使，那么符合要求的作图痕迹是（  ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 由和可得，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点在的垂直平分线上，进而得出结论． 【详解】解：，， ， 点在的垂直平分线上， 即点为的垂直平分线与的交点． 故选：D． 40．如图，在中，，分别以A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接与交于点E，若，则的长度为_______． 【答案】4 【分析】根据画图过程可得垂直平分，则，进而可得答案． 【详解】解：由作图过程得垂直平分， ， ∴． 41．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线分别与边、相交于点，连接．若点为的中点，，则的长为（   ）． A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】B 【分析】由作图步骤可知直线是线段的垂直平分线，根据垂直平分线性质得又为中点，结合长度求出，即可得到的长． 【详解】解：由尺规作图的方法可得，直线是线段的垂直平分线， 根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等， ． 点为的中点，， ， ． 题型十三：作垂线 解题思路：①分两种情形：点在直线上、点在直线外；②尺规画弧获取两组交点；③过两个交点画直线，即为所求垂线。 42．如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，与交于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点．则（   ） A． B． C． D．平分 【答案】A 【详解】解：由作图知，， 不能得到，，平分， 综上，只有选项A符合题意． 43．如图，在中，，依据尺规作图痕迹，有如下三种说法：①；②；③．其中正确的是________（填序号）． 【答案】②③ 【分析】根据尺规作图判断出平分，，即可作答． 【详解】解：根据尺规作图：平分，， ∴②正确； ∵， ∴， ∵中，， ∴， ∴， ，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵无法确定是否平分， ∴无法确定， 即无法确定①， 故正确的有：②③． 44．如图，在中，，．根据尺规作图的痕迹可知，的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形内角和定理求出的度数，由作图方法可得平分，，据此求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵在直角三角形中，，， ∴， 由作图方法可得平分，， ∴， ∴． 题型十四：画对称轴 解题思路：①找出图形的两组对应点；②连接两组对应点；③作出对应点连线的垂直平分线，该直线就是对称轴。 45．如图是一个轴对称图形，对称轴是直线（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义． 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，能使图形完全重合的直线叫做该图形的对称轴，据此即可解题． 【详解】解：由图知，该图形的对称轴是直线． 故选：A． 46．下列描述等腰三角形的对称轴正确的是（    ） A．顶角的平分线 B．底边上的高 C．底边上的中线 D．底边的垂直平分线 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的轴对称性，根据等腰三角形的性质和图形的对称轴是直线解答即可． 【详解】解：根据等腰三角形的性质可知：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高所在的直线是等腰三角形的对称轴， 选项A、B、C中底边上的中线，顶角平分线，底边上的高都是线段，故不符合题意； 选项D中，底边的垂直平分线是一条直线，符合题意． 故选：D． 47．不能用无刻度直尺直接准确画出下列轴对称图形的所有对称轴的是(    ) A．  B．  C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查无刻度直尺绘图——画对称轴，先找出所有对称轴，再结合相关理论知识尝试作图，找出所有对称轴是解题的关键． 【详解】解：A、本选项图形对称轴只有1条，可用无刻度直尺直接准确画出，作图如下：    则直线m即为所求做的对称轴，故此选项不符合题意； B、本选项图形对称轴只有1条，可用无刻度直尺直接准确画出，作图如下：    则直线m即为所求做的对称轴，故此选项不符合题意； C、本选项图形对称轴只有3条，可用无刻度直尺直接准确画出，作图如下：    则直线l、m、n即为所求做的对称轴，故此选项不符合题意； D、本选项图形对称轴只有4条，其中可用无刻度直尺直接准确画出的有2条，作图如下：    则直线m、n即为所求做的对称轴， 但是还有如下两条对称轴不能用无刻度直尺直接准确画出：    故此选项符合题意； 故选D． 题型十五：求对称轴条数 解题思路：①想象沿直线折叠，数出使图形完全重合的直线数量；②记住易错图形：矩形2条、正方形4条、圆无数条；③注意矩形对角线不是对称轴。 48．下面图标中，不只有一条对称轴的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、不是轴对称图形，没有对称轴，不符合题意； B、有3条对称轴，符合题意； C、有1条对称轴，不符合题意； D、有1条对称轴，不符合题意． 49．下列四个图形中，对称轴数量最多的是（     ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的概念，分别找出各图形的对称轴条数，然后进行比较即可得出答案． 【详解】解：A、该图形是等边三角形结构，有条对称轴； B、该图形不是轴对称图形，有条对称轴； C、该图形是正五边形与五角星的组合，有条对称轴； D、该图形是圆与正六边形的组合，有条对称轴， 对称轴数量最多的是D． 50．中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列4个选项中分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材埋壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中是轴对称图形，有且只有一条对称轴的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形和对称轴的定义，逐一分析选项． 【详解】解：选项A（圆中方形）：该图形是轴对称图形，共有4条对称轴，不符合题意； 选项B（方形圆径）：该图形是轴对称图形，共有4条对称轴，不符合题意； 选项C（圆材埋壁）：该图形是轴对称图形，只有过图形中点的水平1条对称轴，符合题意； 选项D（勾股容圆）：该图形的直角三角形两条直角边长度不相等，不是轴对称图象，不符合题意． 解答题 1．写出下列命题的逆命题． (1)同旁内角互补，两直线平行． (2)如果两个角是直角，那么这两个角相等． (3)能被4整除的数一定能被8整除． 【答案】(1)两直线平行，同旁内角互补 (2)如果两个角相等，那么这两个角是直角 (3)如果一个数能被8整除，那么这个数能被4整除 【分析】根据逆命题是将原命题的条件与结论互换后得到的新命题进行逐项分析，即可作答． 【详解】（1）解：逆命题是“两直线平行，同旁内角互补”； （2）解：逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是直角”； （3）解：逆命题是“如果一个数能被8整除，那么这个数能被4整除”． 2．如图，点在的边上，请用尺规作图法，在边上求作一点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 【分析】连接，作线段的垂直平分线，交于点，再连接即可． 【详解】略． 3．如图，已知．请你用尺规作图法作直线，使得点、关于直线对称．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】如图所示，直线即为所求． 【分析】作边的垂直平分线即可； 【详解】略 4．如图，点D是外一点，连接，过点C作，垂足为E．，的面积为14． (1)求证：是的平分线； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明：如图1，过点C作交的延长线于点F， ∵的面积为14，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，，点C在的内部， ∴点C在的平分线上， ∴是的平分线； (2)证明：如图2，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，垂足为E， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 由（1）可知：是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）过点C作交的延长线于点F，利用三角形面积公式求得，然后根据角平分线的判定定理，即可证明结论； （2）在上截取，连接，首先证明，易得是线段的垂直平分线，进而可得，再证明，进而利用“”证明，由全等三角形的性质可得，即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 5．如图，射线在内，点为射线上一点，过点作，，且． (1)求证：是的平分线； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由、得；结合已知、公共边，用定理证明，由全等三角形对应角相等，得，从而证出结论． （2）由（1）中得，又已知，根据线段垂直平分线的判定定理，得直线是的垂直平分线，因此． 【详解】（1）证明：，， ． 在和中， ． ， 平分． （2）由（1）知， ． 又， 点、都在的垂直平分线上． ． 6．在中，，，点是边上一点，将沿翻折后得到，点与点重合． (1)如图①，当点落在边上时，则________． (2)如图②，当点落在下方时，设与相交于点．若，证明：． (3)将沿直线翻折得到，使射线与射线相交于点．若中有两个相等的内角，求的度数． 【答案】(1) (2)证明：在中，，， ， 由翻折可得，， ， ， ， ， ． (3)的度数为，或 【分析】（1）根据翻折可得，再利用外角即可求解； （2）根据翻折可得，再利用垂直可得，即可证明； （3）分类讨论，当时、时，当时，结合三角形的内角和和外角的性质解题． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵沿翻折后得到， ∴， ∴； （2）略 （3）解：如图1， 当时， ∴， ∴， ∴； 如图2， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图3， 当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述：的度数为、或． 7．如图，的边关于的对称线段是，边关于的对称线段是，连接，点恰好落在的延长线上，与的交点为，若，求的度数． 【答案】 【分析】根据折叠的性质，三角形内角和，求解即可； 【详解】解：∵关于的对称线段是， ∴． ∵， ∴， ∵关于的对称线段是， ∴， ∴， ∴， 又∵点落在所在的直线上，， ∴， ∴， ∴． 8．小丁在观看台球比赛的过程中对小球的运动轨迹产生浓厚的兴趣，她将这一问题抽象为数学模型进行研究． 【探索模型】如图1所示，一个台球桌桌面，桌子两边视为两条挡板，分别为，，且，小球从点A滚向挡板，碰到上的点B后进行第一次反弹滚向挡板（A、B为定点），碰着上的点C后进行第二次反弹滚向点D．经过多次测量．她进一步发现，，且，． 【解决问题】小丁发现小球经过两次反弹后的路径平行于原来的路径，请你借助图2帮助小丁完善证明过程． （1）因为． 所以． 所以，． 又因为， 所以________（_____________） 同理， 又因为， 所以________（_____________） 所以（等量代换）． 又因为． 所以． 所以________ 所以（_____________） 【引申拓展】 （2）如图3，小丁把挡板固定，将挡板绕点B逆时针旋转（）至直线，若，球从A打到挡板和球从B打到挡板均按照【探索模型】中的规律反弹． ①则_______．（用含的代数式表示）； ②当______时，． 【答案】（1）；等角的余角相等；；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行；（2）①；② 【分析】本题考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义以及角度的计算，解题的关键是利用“等角的余角相等”和“两直线平行，内错角相等”等定理，结合反弹规律进行角度推导． （1）利用等角的余角相等得到；再由得到，进而推出，最后根据内错角相等判定． （2）①根据平行线性质及反弹规律可求得结果； ②利用则同旁内角互补，可求出的表达式，再根据反弹规律与平行线性质可写出与的表达式，最后通过平角为建立方程求解． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以， 又因为， 所以（等角的余角相等）． 同理， 又因为， 所以（两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． 又因为， 所以， 所以， 所以（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：；等角的余角相等；；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行． （2）① 解：如图， ， ，即， 根据“反弹规律”，， ∴， 故答案为：． ② 解：当时，， 由反弹规律，， ∴． 由，并结合反弹规律得， ∵， ∴， 解得，符合的范围， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04图形的轴对称精讲学案 核心立意： 认识轴对称图形、两个图形成轴对称，分清二者的区别与联系；掌握轴对称的性质，会识别对称轴、对应点、对应线段、对应角；理解线段垂直平分线的定义、性质与判定；会利用轴对称、垂直平分线求解线段与角度；掌握作轴对称图形的作图方法，提升几何直观与简单推理的能力。 轴对称图形： 一个图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 两个图形成轴对称： 把两个图形沿某一条直线折叠，如果两个图形能够完全重合，则称这两个图形成轴对称；折叠后互相重合的点为对应点，重合的线段为对应线段，重合的角为对应角。 轴对称的性质 ①成轴对称的两个图形一定全等； ②对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线； ③对应线段相等，对应角相等；对应线段若相交，交点一定在对称轴上。 补充：轴对称图形自身，也满足上述轴对称性质。 轴对称图形与成轴对称的区别与联系 ①区别：轴对称图形是一个图形自身的特征；成轴对称描述两个图形之间的位置关系。 ②联系：把轴对称图形沿对称轴剪开，可得到两个成轴对称的图形；将两个成轴对称的图形拼合为整体，可得到一个轴对称图形。 线段垂直平分线定义： 既垂直于一条线段，又经过线段中点的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点，到这条线段两个端点的距离相等。 线段垂直平分线的判定： 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 作轴对称图形步骤： ①找出原图顶点、拐点等关键点； ②作出各关键点关于对称轴的对称点； ③按照原图顺序依次连接对称点，得到对称后的图形。 重点辨析 ①轴对称图形至少有1条对称轴，部分图形有多条对称轴； ②成轴对称的两个图形一定全等，全等图形不一定成轴对称； ③对称轴是直线，不能画成线段或者射线； ④线段垂直平分线：线上的点⇒到线段两端距离相等；到两端距离相等⇒点在垂直平分线上； ⑤一组对应点连线的垂直平分线，就是这两个图形的对称轴。 ①混淆轴对称图形、两个图形成轴对称，分不清研究对象是一个图形还是两个图形； ②误把对称轴当作线段或者射线； ③错误认为全等的图形就一定成轴对称； ④使用垂直平分线性质时，忽略“点在垂直平分线上”这个前提条件； ⑤分不清线段垂直平分线的条件和结论，性质、判定混用； ⑥作图时关键点找不全，对称点的连接顺序出错； ⑦误认为矩形对角线是矩形的对称轴。 题型 考察方向 难度 题型一 轴对称图形的识别 ★ 题型二 成轴对称的两个图形的识别 ★ 题型三 根据成轴对称图形的特征进行判断 ★★ 题型四 根据成轴对称图形的特征进行求解 ★★ 题型五 台球桌面上的轴对称问题 ★★ 题型六 轴对称中的光线反射问题 ★★ 题型七 折叠问题 ★★★ 题型八 线段垂直平分线的性质 ★★ 题型九 线段垂直平分线的判定 ★★ 题型十 写出命题的逆命题 ★ 题型十一 互逆定理 ★ 题型十二 作已知线段的垂直平分线 ★★ 题型十三 作垂线 ★★ 题型十四 画对称轴 ★★ 题型十五 求对称轴条数 ★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★拔高综合 题型一：轴对称图形的识别 解题思路：①研究对象为同一个图形；②寻找一条直线；③沿直线对折，图形两旁部分能够完全重合，则为轴对称图形。 1．“说好中国话，写好中国字”，在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．下列图案中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 3．下列图形都是由一对全等三角形组成的，其中是轴对称图形的是（     ） A．B．C． D． 题型二：成轴对称的两个图形的识别 解题思路：①研究对象为两个独立图形；②寻找一条直线；③沿直线折叠，两个图形能够完全重合，则这两个图形成轴对称。 4．观察下面A，B，C，D四幅图，其中与下图成轴对称的是（    ） A． B． C． D． 5．下列字母“F”关于镜面成轴对称的是（     ） A． B． C． D． 6．如图，已知点，，，在一条直线上，并且，那么这两个全等三角形属于全等变换中的___． 题型三：根据成轴对称图形的特征进行判断 解题思路：①成轴对称的图形一定全等，全等图形不一定成轴对称；②对称轴垂直平分每一组对应点的连线；③依据以上两点逐一辨析选项对错。 7．经过轴对称变换后得到的图形与原图形相比：形状_______改变，大小_______改变（填“有”或“没有”）． 8．如图，和关于直线对称，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中不正确的是（     ） A． B． C． D． 10．如图，分别以的边所在直线为对称轴作的对称图形和．若，线段与相交于点O，连接．有如下结论：①；②；③．其中正确的是______（填序号）． 题型四：根据成轴对称图形的特征进行求解 解题思路：①利用轴对称得到对应线段相等、对应角相等；②完成边角的等量转移；③结合线段和差、三角形内角和，计算线段长度或者角度。 11．如图，四边形是轴对称图形，对角线所在的直线是它的对称轴，，，则四边形的周长为_____． 12．如图，与关于直线对称，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 13．如图，在中，点、分别在、边上，连接，，与关于所在直线对称．若，则的度数为________． 14．如图，中，，，点是上任意一点，点和点分别是点关于和的对称点，连接和，则的度数是（     ）    A． B． C． D． 题型五：台球桌面上的轴对称问题 解题思路：①台球反弹是轴对称实际应用；②作关键点关于边界的对称点；③把折线反弹路径转化两点之间直线，判断运动轨迹。 15．如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 __点． 16．如图，球桌上有，两个桌球，若要将球射向球桌的一边，反弹一次后击中球，则球应射向，，，四个点中的点_____ ． 17．小静同学观察台球比赛，从中受到启发，抽象成数学问题如下：如图，已知长方形，小球从出发，沿如图所示的方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，小球第1次碰到长方形的边时的位置为，第2次碰到长方形的边时的位置为，第3次碰到长方形的边时的位置为若不考虑阻力，则小球第2026次碰到长方形的边时的位置的坐标是（   ） A． B． C． D． 题型六：轴对称中的光线反射问题 解题思路：①原理和台球反弹一致；②作出光源关于反射镜面的对称点；③反射光线等效于从对称点射出，以此确定光路。 18．如图，一束光线射向一个水平镜面后在点处被反射，请借助量角器或者直尺判断反射光线一定会经过（     ）    A．点 B．点 C．点 D．点 19．光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，，在上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射光线刚好与平行，则的度数为______． 20．如图①，物理学中把过入射点并且垂直于镜面的直线称为法线，入射光线与法线的夹角称为入射角，反射光线与法线的夹角称为反射角．光线经过平面镜反射，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分居在法线两侧，且反射角等于入射角，即，这就是光的反射定律．如图②，，为两块平面镜，一束光线从点射出，经过平面镜两次反射后经过点，两条光线，相交于点．若两条光线的夹角，则两块平面镜的夹角的度数为（     ） A． B． C． D． 题型七：折叠问题 解题思路：①折叠本质就是轴对称变换；②标记折叠前后相等的对应边、对应角；③结合三角形内角和、外角、线段和差做推理计算。 21．把一张长方形纸条按如图所示折叠后，若得到．则_________ 22．如图，将直角三角形纸片的直角沿折叠，点落到纸片内部的点处．如果，那么________． 23．图①是一个四边形纸条，其中，，分别为边，上的点，将纸条沿直线折叠得到图②，再将图②沿直线折叠得到图③，若在图③中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 24．把长方形纸片沿折叠后再次沿折叠成如图所示，且的对应线段恰好落在上，设，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型八：线段垂直平分线的性质 解题思路：①前提条件：点在线段垂直平分线上；②可得该点到线段两个端点距离相等；③利用结论做线段等量代换，求解线段长、三角形周长。 25．到三角形三个顶点的距离相等的点是这个三角形的（     ） A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三边垂直平分线的交点 26．如图，在中，，，，垂直平分边，是直线上一点，则的最小值为____________． 27．如图，在中，是的垂直平分线，，周长为，则的周长为____． 28．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，垂足分别为，．则的周长是（     ） A． B． C． D． 题型九：线段垂直平分线的判定 解题思路：①一点到线段两端距离相等，则该点在线段垂直平分线上；②单个点仅能判定点在直线上；③需要两个满足条件的点，两点确定一条直线，才能确定完整垂直平分线。 29．如图，四边形中，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．相交于点，请结合图形写出一个正确的数学结论____________． 30．如图，在中，是的垂直平分线，垂直于点，且为的中点，，则的周长是_______． 31．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，正方形的顶点叫格点，点，，，均在格点上，是的中点，则点可能是的（    ） A．三条角平分线交点 B．重心 C．三边垂直平分线交点 D．无法确定 题型十：写出命题的逆命题 解题思路：①先把原命题整理成“如果……那么……”的形式；②交换题设与结论两部分；③得到逆命题，逆命题不一定是真命题。 32．命题“如果，那么”的逆命题是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 33．把“邻补角的和是”的逆命题改写成“如果…，那么…”的形式为__________________________． 34．下列说法中，正确的是（   ） A．所有的命题都有逆命题 B．所有的定理都有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题 题型十一：互逆定理 解题思路：①一个定理的逆命题，经证明为真命题，它也成为定理；②这两个定理互为互逆定理；③不是所有定理都存在逆定理。 35．定理“对顶角相等”_________（填“有”或“没有”）逆定理． 36．下列定理有逆定理的是（   ） A．两点之间，线段最短 B．对顶角相等 C．同旁内角互补 D．等角对等边 37．“两边相等的三角形是等腰三角形”有逆定理吗？______．（填“有”或“没有”） 38．下列定理中，没有逆定理的是（   ） A．两点之间线段最短 B．角平分线上的点到角两边的距离相等 C．等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线互相重合 D．平行四边形的对边平行 题型十二：作已知线段的垂直平分线 解题思路：①分别以线段两端点为圆心，半径大于线段一半长，上下画弧；②得到上下两个弧交点；③过两个交点作直线，即为线段垂直平分线。 39．如图，中，，使，那么符合要求的作图痕迹是（  ） A．B．C．D． 40．如图，在中，，分别以A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接与交于点E，若，则的长度为_______． 41．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线分别与边、相交于点，连接．若点为的中点，，则的长为（   ）． A．3 B．4 C．5 D．7 题型十三：作垂线 解题思路：①分两种情形：点在直线上、点在直线外；②尺规画弧获取两组交点；③过两个交点画直线，即为所求垂线。 42．如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，与交于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点．则（   ） A． B． C． D．平分 43．如图，在中，，依据尺规作图痕迹，有如下三种说法：①；②；③．其中正确的是________（填序号）． 44．如图，在中，，．根据尺规作图的痕迹可知，的度数为（     ） A． B． C． D． 题型十四：画对称轴 解题思路：①找出图形的两组对应点；②连接两组对应点；③作出对应点连线的垂直平分线，该直线就是对称轴。 45．如图是一个轴对称图形，对称轴是直线（　　） A． B． C． D． 46．下列描述等腰三角形的对称轴正确的是（    ） A．顶角的平分线 B．底边上的高 C．底边上的中线 D．底边的垂直平分线 47．不能用无刻度直尺直接准确画出下列轴对称图形的所有对称轴的是(    ) A．  B．  C．   D．   题型十五：求对称轴条数 解题思路：①想象沿直线折叠，数出使图形完全重合的直线数量；②记住易错图形：矩形2条、正方形4条、圆无数条；③注意矩形对角线不是对称轴。 48．下面图标中，不只有一条对称轴的是（     ） A． B． C． D． 49．下列四个图形中，对称轴数量最多的是（     ） A．B． C． D． 50．中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列4个选项中分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材埋壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中是轴对称图形，有且只有一条对称轴的是（     ） A． B． C． D． 解答题 1．写出下列命题的逆命题． (1)同旁内角互补，两直线平行． (2)如果两个角是直角，那么这两个角相等． (3)能被4整除的数一定能被8整除． 2．如图，点在的边上，请用尺规作图法，在边上求作一点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 3．如图，已知．请你用尺规作图法作直线，使得点、关于直线对称．（不写作法，保留作图痕迹） 4．如图，点D是外一点，连接，过点C作，垂足为E．，的面积为14． (1)求证：是的平分线； (2)若，求证：． 5．如图，射线在内，点为射线上一点，过点作，，且． (1)求证：是的平分线； (2)连接，求证：． 6．在中，，，点是边上一点，将沿翻折后得到，点与点重合． (1)如图①，当点落在边上时，则________． (2)如图②，当点落在下方时，设与相交于点．若，证明：． (3)将沿直线翻折得到，使射线与射线相交于点．若中有两个相等的内角，求的度数． 7．如图，的边关于的对称线段是，边关于的对称线段是，连接，点恰好落在的延长线上，与的交点为，若，求的度数． 8．小丁在观看台球比赛的过程中对小球的运动轨迹产生浓厚的兴趣，她将这一问题抽象为数学模型进行研究． 【探索模型】如图1所示，一个台球桌桌面，桌子两边视为两条挡板，分别为，，且，小球从点A滚向挡板，碰到上的点B后进行第一次反弹滚向挡板（A、B为定点），碰着上的点C后进行第二次反弹滚向点D．经过多次测量．她进一步发现，，且，． 【解决问题】小丁发现小球经过两次反弹后的路径平行于原来的路径，请你借助图2帮助小丁完善证明过程． （1）因为． 所以． 所以，． 又因为， 所以________（_____________） 同理， 又因为， 所以________（_____________） 所以（等量代换）． 又因为． 所以． 所以________ 所以（_____________） 【引申拓展】 （2）如图3，小丁把挡板固定，将挡板绕点B逆时针旋转（）至直线，若，球从A打到挡板和球从B打到挡板均按照【探索模型】中的规律反弹． ①则_______．（用含的代数式表示）； ②当______时，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $