专题02 角的平分线 重难点题型专训（ -2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学讲义围绕角的平分线专题，通过梳理尺规作图、性质与判定2个核心知识点，以步骤分解呈现作图流程，用符号语言明确性质与判定的逻辑关系，结合区别联系分析构建知识脉络，突出重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计，基础题型涵盖作角平分线、求长度等7类基础应用，提高题型聚焦辅助线添加与实际综合问题，例题结合建图书角等情境培养推理意识与应用意识，自我检测助力学生自主复习，教师可实施精准分层教学。

专题02 角的平分线重难点题型专训（2个知识点+7大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、作角平分线(尺规作图) 1 题型二、根据角平分线的性质求长度 2 题型三、根据角平分线的性质求角度 3 题型四、根据角平分线的性质求面积 4 题型五、角平分线的性质定理 5 题型六、角平分线的判定定理 6 题型七、角平分线性质的实际应用 7 第二部分·练提高题型 题型一、角平分线的常见辅助线添加 1 题型二、角平分线性质的实际综合问题 2 第三部分・自我检测 知识点01角平分线的画法（尺规作图） 如图所示：作∠AOB的角平分线 （1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线OA、OB于点D、E； （2）分别以点D、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C； （3）过O、C两点作射线OC，射线OC就是∠AOB的角平分线. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·广东深圳·阶段检测）在中，为钝角，用直尺和圆规在边上确定一点，使（保留作图痕迹），则符合要求的作图是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图—作角的平分线，根据角平分线的作法对各选项进行判断． 【详解】解：∵， ∴是的平分线， 符合要求的作图是D选项， 故选：D． 2．（24-25八年级上·山东泰安·期中）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹作射线交边于点G．若，，则的面积为________． 【答案】2 【分析】此题考查了尺规作角平分线，角平分线的性质．首先根据角平分线的性质得到，然后三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点G作于点H，    由作图痕迹知平分，，， ∴， ∵， ∴的面积． 故答案为：2． 知识点02角平分线的性质与判定 1、 角的平分线的性质：角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF. 2、角的平分线的判定：角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 用符号语言表示角的平分线的判定： 若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB 3、角的平分线的尺规作图 角平分线的尺规作图步骤： （1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E. （2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. （3）画射线OC，射线OC即为所求. 4、三角形的角平分线：三角形的三个内角的角平分线交于一点，且到三边的距离相等。 角平分线的性质定理与判定定理的区别与联系： （1） 角平分线的性质定理中的题设“在角的平分线上的点”，这个点不是一个点，实际上是指角平分线上的任 意一点，或者说是角平分线上的所有点都具有“到角两边的距离相等”的性质。 （2） 角平分线的性质定理与判定定理是两个互逆定理，是两个互逆的真命题。要从题设、条件与结论的关系上 理解它们的区别和联系。点在角平分线上点到这个叫的两边的距离相等。 （3） 角平分线的性质定理与判定定理在应用时的作用不同。性质定理的结论是确定点到角的两边的距离相等的问题。判定定理的结论是判定点是否在角平分线上的问题。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·云南·期中）如图，为给金源学子提供良好的阅读环境，金源学校有一块三角形小树林，需要在小树林里建一图书角供同学们使用，要使图书角到小树林三条边的距离相等，图书角的位置应选在（    ） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三边的中垂线的交点 【答案】B 【分析】本题考查了是角的平分线的判定定理在实际生活中的应用，根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可求解，掌握角平分线的性质及判定是解题的关键． 【详解】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴使图书角到小树林三条边的距离相等，则图书角的位置应选在三条角平分线的交点， 故选：． 2．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，平分交于点，于点，是线段上一点，连接，，若，则的长为___． 【答案】 【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理，根据，平分，，得出，证明，得出，证明，得出，即可得，从而求出． 【详解】解：∵，平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 【基础题型一 作角平分线（尺规作图）】 【例1】（25-26七年级下·广东茂名·期末）如图，在中，利用尺规作图作出了射线交于点P．根据作图痕迹，下列说法不一定正确的是（     ） A．是的平分线 B． C．点P到，的距离相等 D． 【答案】D 【分析】根据尺规作图痕迹判断为的平分线，利用角平分线的性质及三角形面积公式逐项判断． 【详解】解：由作图痕迹可知为的平分线， 故A选项说法一定正确，不合题意； 为的平分线， 点P到，的距离相等， 故C选项说法一定正确，不合题意； 设点P到，的距离为h， 则， 故B选项说法一定正确，不合题意； 根据现有条件不能得出， 故D选项说法不一定正确，符合题意． 【例2】（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，可求得__________． 【答案】 【分析】利用三角形内角和定理可解得，由尺规作图的痕迹可以判断，是的平分线，即可求出答案． 【详解】解：在中，，， ∴， 根据尺规作图痕迹，可以判断是的平分线， ∴． 1．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，，在和上分别截取，使，分别以点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点，连接射线与相交于点，过点作于点．若，则的面积为（   ）． A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】由作图步骤可知，是的角平分线，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边距离相等．过作，则；的面积可拆分为与面积之和，分别用底、和高、计算相加即可． 【详解】解：过点作于． 由尺规作图过程可得：平分， ，，根据角平分线性质： ． 的面积， ， ， ． 2．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，作于点E，若，，的面积为13，则的长为 __________ 【答案】 5 【分析】根据尺规作图痕迹可知平分，过点作于点，利用角平分线的性质可得，再根据列方程求解； 【详解】解：过点作于点， 由作图痕迹可知，平分， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 3．（25-26七年级下·四川乐山·期末）根据题意完成下列各小问． (1)如图，的顶点都在正方形网格中小正方形的顶点上，请画出绕点顺时针旋转后得到的． (2)如图，已知，，，请在边上求作一点，连接，使得．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)如图所示， (2)点如图所示， 【分析】（1）根据网格特征，找出各点的对应点，顺次连接即可画出； （2）作的角平分线，交于，连接，根据角平分线的定义及三角形外角的性质即可得出，可得点即为所求． 【详解】（1）略 （2）解：作的角平分线，交于，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点即为所求． 【基础题型二 根据角平分线的性质求长度】 【例1】（25-26八年级上·山西朔州·期中）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，作射线交于点D．若，，则的长为（   ） A． B．7 C．8 D．14 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的尺规作图，角平分线的性质，准确添加辅助线是解题的关键． 过点作交于点，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：过点作交于点，如下图所示： 根据该作图方式，可判断为的角平分线， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选B． 【例2】（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，两弧交，于点E、F；分别以点E、F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线交于点D．若，，则的长为_______． 【答案】 27 【分析】过点D分别作于点H，于点I，过点A作于点J，根据题意可得平分，可得，再通过两种方法表示出和面积，进而即可求解． 【详解】解：由尺规作图可知，平分，过点D分别作于点H，于点I，过点A作于点J， ∴， 由图可得，；， ∴， ∴， 解得． 1．（25-26八年级上·云南昆明·阶段检测）如图：在中，，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，，，则的长为（    ）    A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】过点D作于H，由角平分线性质定理得，再由即可求得结果． 【详解】解：如图，过点D作于H， 由作图知，平分    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 故选：B． 【点睛】本题考查了尺规作图：作角平分线，角平分线的性质定理，掌握角平分线的性质定理是关键． 2．（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，在中，．按以下步骤作图： ①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线； ②以点为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；作射线，与射线相交于点； ③连接． 若点到直线的距离为1，则点到直线的距离为__________． 【答案】1 【分析】根据角平分线的性质进行解答即可． 【详解】解：由题意得：平分， ∴点P到的距离等于点P到的距离， ∵点到直线的距离为1， ∴点到直线的距离为1． 3．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，作的平分线． (1)下列操作中，作的平分线的正确顺序的序号依次为_____； ①分别以点、为圆心，大于的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点； ②以点为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点，交于点； ③作射线，交于点． (2)证明的理论依据是_____（填序号）； ①SSS；②；③；④角平分线上的点到角两边的距离相等， (3)过点作于，若，求的长． 【答案】(1)②①③ (2)① (3)的长为 【分析】本题考查角平分线的作图方法，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质．熟悉以上知识点，并灵活运用是解题的关键． （1）根据作角平分线的方法进行判断即可； （2）利用作图符合判定全等三角形的方法，进行判断即可； （3）过点作于点，根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式得到，即，然后解方程即可． 【详解】（1）解：作的平分线的正确顺序为②①③； 故答案为：②①③； （2）解：由作法得，，而为公共边， 所以根据“”可判断，则， 故答案为：①； （3）解：如图，过点作于点， 平分，，， ， ， ， 即，解得：， 的长为3． 【基础题型三 根据角平分线的性质求角度】 【例1】（2025·江苏泰州·二模）如图，在中，D是延长线上一点，与的角平分线交于点E，连接．若要求的度数，只需要知道下列哪个角的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质和判定，作于点，于点，交的延长线于点，根据角平分线的性质，推出，进而得到平分，得到，即可得出结果． 【详解】解：作于点，于点，交的延长线于点， ∵与的角平分线交于点E， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∴只需要知道的度数即可求出的度数； 故选C． 【例2】（25-26八年级下·江西抚州·期末）如图，点是内部的一点，点到三边，，，的距离，，则的度数为_______________． 【答案】/130度 【分析】由，根据证明全等得到、分别平分、，先利用三角形内角和求出，再求出，最后再次用三角形内角和算出． 【详解】解：点到三边的距离， 在和中， ， ， ， 平分， 同理，平分， ，， 在中，根据三角形内角和定理：， 即， ， ． 1．（25-26八年级上·全国·期末）如图，是的中点，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先过点E作，根据角平分线的性质得出，得到，根据全等三角形的性质从而得到，即可解答． 【详解】解：过点E作，如图 ∴ ∵平分，且E是的中点， ∴， ∵，且， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，在中，，是上一点，连接，过点作于点，若，则的度数为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握到角两边距离相等的点在角的平分线上这一判定定理是解题的关键． 先根据角平分线的判定定理，由且、，得出平分，再在中利用直角三角形两锐角互余的性质求出的度数． 【详解】解：∵，，， ∴平分． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 3．（25-26七年级下·山东泰安·期中）在中， (1)如图（1），、的平分线相交于点．若，求的度数．若，则______． (2)如图（2），在中的外角平分线相交于点．，求的度数． (3)如图（4），中的内角平分线相交于点，外角平分线相交于点，延长线段、交于点，中，存在一个内角等于另一个内角的倍，求的度数． 【答案】(1)当时，，当时， (2)时， (3)的度数为，或 【分析】（1）根据角平分线性质以及三角形内角和定理计算即可； （2）根据三角形内角和定理、外角和定理及角平分线性质求解即可； （3）根据（1）、（2）题的结论，进行分类讨论，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， ∴， 当时，， 当时，则． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ∴， 当时，则． （3）解：由（1）、（2）得，， ∵、分别为的外角平分线和内角平分线， ∴， ①当时， 即， 解得； ②当时， ∵， 解得， ∴， 得； ③当时， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； ④当时， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上，的度数为，或． 【点睛】图1为“双内角平分线模型”，结论为，图2为“双外角平分线模型”，结论为，两个模型的结论都可以由三角形的内角和定理(或三角形的外角的性质)和角平分线的定义得出． 【基础题型四 根据角平分线的性质求面积】 【例1】（25-26八年级上·浙江·期中）如图，是三条角平分线的交点，的面积记为，的面积记为，的面积记为，且，则的值可能为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形三边关系定理，三角形的面积公式，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键． 根据题意，得、和的边上的高相等，设这个相等的高长为，得到，，，利用三角形的三边关系定理解答即可． 【详解】解：∵是三条角平分线的交点， ∴、和的边上的高相等，设这个相等的高长为， ∵的面积记为，的面积记为，的面积记为， ∴，， ∴，，， 由三角形三边关系得， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴可能的值为8， 选项D符合题意，选项A、B、C不符合题意． 故选：D． 【例2】（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，中，是的平分线，是边上的中线，若的面积是，，，则的面积是__________． 【答案】 【分析】过点分别作、的垂线，垂足为、，由角平分线的性质可得，从而得到，则，由中线的性质可得． 【详解】解：如图，过点分别作、的垂线，垂足为、， ∵是的平分线，且，， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴． 1．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，为的中点，平分，，与相交于点，若的面积比的面积大，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理和三角形中线，以及利用方程思想解决三角形的面积问题，作于，于，得，则，设的面积为，则，由为的中点，从而，根据的面积比的面积大，列出方程即可求解，掌握以上知识是解题的关键． 【详解】作于，于， ∵平分， ∴， ∴， 设的面积为，则， ∵为的中点， ∴， ∵的面积比的面积大， ∴的面积比的面积大， ∴， ∴， ∴ 故选：． 2．（25-26八年级上·河南漯河·期中）如图，在中为中点，为的角平分线，的面积记为，的面积记为，则______．    【答案】10 【分析】此题考查角平分线的性质，关键是根据三角形中线的性质和角平分线的性质得出面积关系解答． 根据三角形中线的性质和角平分线的性质解答即可． 【详解】过点D作， 为的角平分线，    ∵为中点， ∴ 设，则 则， 故答案为：10． 3．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）在八年级上册数学课本中，我们学习了三角形边和角关系以及三角形中常见的线段． (1)小民同学利用“三角形的任意两边之和大于第三边”这一知识点发现，若P是内的一点，连接，则，请你证明这个结论． (2)接着小民又发现，如果分别是和的平分线，连接，则是的角平分线，小民的发现正确吗？请说明你的理由． (3)就的面积问题，小民和小兴两位同学产生了分歧，在（2）的条件下，已知的周长为18，点P到的距离为．小民认为仅知道周长无法求出的面积，而小兴认为可以．你同意谁的看法？若同意小民，请说明理由．若同意小兴，请求出的面积． 【答案】(1) 证明：如图，延长交于点D， 在中，①， 在中，②， 得：， ∴， 即； (2) 解：小民的发现正确，理由如下： 过点P作于点D,于点E,于点F, ∵是的平分线，，， ∴， 同理∵是的平分线，，， ∴， ∴， ∴是的角平分线； (3)同意小兴， 【分析】本题考查三角形三边关系，角平分线的性质定理和判定定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）延长交于点D，在和中，根据三角形三边关系列不等式，即可求解； （2）过点P作于点D,于点E,于点F，根据角平分线的性质定理及判定定理即可求解； （3）根据角平分线的性质定理，可得点P到，的距离也是，再根据即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：同意小兴的看法， ∵点P到的距离为，分别是，，的平分线， ∴点P到，的距离也是， ∴ ． 【基础题型五 角平分线的性质定理】 【例1】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，是的平分线，若，则点到的距离是（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】作，根据角平分线的性质得到，即可求解． 【详解】解：作，如图所示： ∵，是的平分线， ∴ ∵， ∴ ∴点D到的距离是． 【例2】（2026·山东潍坊·模拟预测）已知，如图①，若是中的内角平分线，通过证明可得，同理，若是中的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题： 如图②，在中，，，是的内角平分线，则的边上的中线长l的取值范围是 __________________． 【答案】 【分析】根据题意得到，设，，在中，由三边关系可求出k的范围，反向延长中线至，使得，连接，最后根据三角形三边关系解题． 【详解】解：记中上的中线为，如图，反向延长中线至，使得，连接， ∵是的内角平分线， ∴， ∵，， ∴， 可设，， 在中，， ∴由三角形的三边关系可得：且， ∴， ， ， ， 由三角形三边关系可知， ， ， ， ∴． 1．（25-26八年级下·河北保定·期末）如图，中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点，画射线与相交于点，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D．到的距离是 【答案】B 【分析】利用直角三角形两锐角互余结合尺规作图得到的角平分线推导即可． 【详解】解：由题意得为的平分线， ，， ， ， ，故C不正确； ，故B正确； 如图，过点作，垂足为， 由角平分线定理可得，无法推出，到的距离是，故A、D不正确． 2．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，平分，交延长线于点，过点作交于点，若平分，，则_________度． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，以及三角形的内角和定理，根据两直线平行，内错角相等即可得到，结合平分，则，最后在中利用三角形内角和为求解即可． 【详解】解： ， ， 平分， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 3．（25-26八年级下·贵州·期末）已知，在的平分线上有一点，将一个三角板的直角顶点与点重合，它的两条直角边分别与，相交于点，． (1)如图①，若于点，于点．求证：； (2)当三角板绕点旋转到与不垂直时，在图②这种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明． 【答案】(1)证明：∵平分， 又∵，， ∴． (2)成立，证明如下; 如图，过点作于点，于点， ∵平分， 又∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】（1）由角平分线的性质定理即可证明； （2）过点作于点，于点，利用角平分线的性质定理可得，容易计算出，由“同角的余角相等”可得，进而证明，因此． 【详解】（1）略 （2）略 【基础题型六 角平分线的判定定理】 【例1】（2026八年级·全国·专题练习）在内部，两个完全一样的三角板如图所示放置，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的判定定理，掌握在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上是解题的关键． 由题意可知，是的角平分线，结合，角度的和差关系即可求出的度数． 【详解】解：如图，∵两个完全一样的三角板， ，， 平分（在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）， ， ， ， 故选：D． 【例2】（25-26八年级上·贵州安顺·期末）如图，P是内射线上的一点，，，且，若，则的度数是________． 【答案】 【分析】根据角的平分线的判定，得到射线是的平分线，继而得到，解答即可． 本题考查了角的平分线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，且， ∴射线是的平分线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，点是内一点，于点，于点，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的判定定理可得平分，再计算角度． 【详解】解：于点，于点，且， 平分， ， ． 2．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，两把完全相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为P，其中一把直尺的一边恰好在射线上，E为该直尺的一个顶点，而另一把直尺的一边在直线上，一边与射线A交于点M，连接，若，，则的长为______． 【答案】6 【分析】本题考查了角平分线的判定定理、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质，作于，由题意可得，，，从而可得平分，，求出，得出，求出，得出，进而可得，即可得解． 【详解】解：如图，作于， ， 由题意可得：，，， ∴平分，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）在与中，，，． (1)如图1，A，C，D三点共线，连接，，延长交于点F，则与的数量关系为 ；位置关系为 ． (2)如图2，A，C，D不共线时，连接，交于点F，试探究，的关系． (3)如图3，在（2）条件下连接，延长线交于点G，若，试用的表达式表示． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）证明，推出，，再利用三角形内角和定理求得，即可得到，； （2）同（1）证明，即可得到，； （3）①过点A作和的垂线，垂足分别为M和N，证明是的角平分线，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：设与交于点H， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故，； （3）解：过点A作和的垂线，垂足分别为M和N， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴， ∴是的角平分线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【基础题型七 角平分线性质的实际应用】 【例1】（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，三角形地块中，边，，其中绿化带是该三角形地块的角平分线．若三角形地块的面积为，则三角形地块的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过分别作于，于，由平分线的性质证得，由三角形的面积公式求出，再由三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】解：过分别作于，于， 是的平分线， ， ，的面积为， ， 的面积， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，根据角平分线的性质证得是解决问题的关键． 【例2】（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，在和中，，，，．连接，交于点，连接．则在下列结论中：①，②，③若平分，则，④．正确的结论有__________（填序号）    【答案】①②③ 【分析】由题意易证，即得出，，故②正确；结合，即可求出，故①正确；由角平分线的定义可知，从而可证，进而可证．即可利用“”证明故③正确；过点O作于点G，于点H，易证，即得出，说明平分，即．假设成立，得出，从而可求出，进而可证平分．因为不确定平分，不一定成立，故④错误． 【详解】解： ∵， ∴，即． 在和中， ， ∴， ∴，，故②正确； ∵， ∴，故①正确； ∵若平分， ∴． ∵， ∴， ∴，即． ∵， ∴． 又∵， ∴，故③正确； 如图，过点O作于点G，于点H， 在和中， ， ∴，   ∴， ∴平分，即． 假设成立， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即平分． ∵不确定平分， ∴不一定成立，故④错误． 故答案为：①②③．    【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，角平分线的定义与性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． 1．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为，，，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离都相等，内部被河水填满无法施工，则可供选择的地址有（　　） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】C 【分析】由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，内部被河水填满无法施工，可得三角形内角平分线的交点不满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，可得可供选择的地址有3个． 【详解】解： ∵内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，内部被河水填满无法施工， ∴内角平分线的交点不满足条件； 如图：点P是两条外角平分线的交点， 过点P作，，， ∴，， ∴， ∴点P到的三边的距离相等， ∴两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个； 综上，到三条公路的距离相等的点有3个． ∴可供选择的地址有3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质．注意掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，注意数形结合思想的应用，小心别漏解． 2．（25-26八年级上·宁夏石嘴山·期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，的面积是，则的长为__________ 【答案】4 【分析】过点作的垂线交于点，根据角平分线的性质可得，再根据三角形的面积即可求出DH，从而求出结论． 【详解】解：如图，过点作的垂线交于点， 由题意可得：平分， ∵， ∴， ∵，的面积为， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 3．（25-26八年级下·全国·期中）在中，是边上的点（不与点，重合），连接． (1)如图①，当是的平分线时，若，，求的值（用含，的代数式表示）． (2)如图②，平分，延长至点，使得，连接．若，，，求的值． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）过点作于点，于点，根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出即可； （2）根据已知和（1）的结论求出和的面积，即可求出的面积． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，于点． 是的平分线，，， ． ，， ． （2）解：， ． ， ． ，，平分， ∴由（1）知，， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法解决问题． 【提高题型一 角平分线的常见辅助线添加】 【例1】（25-26八年级上·江苏南通·期中）已知：如图，点在线段外，且，求证：点在线段的垂直平分线上．在证明该结论时，需添加辅助线，则以下作法不正确的是（   ） A．取中点，连接 B．作的平分线交于点 C．过点作于点，且 D．过点作，垂足为 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判断方法是解本题的关键． 利用判断三角形全等的方法判断即可得出结论． 【详解】A.利用SSS判断出， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上，不符合题意； B.利用SAS判断出， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上，不符合题意； C. 过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，符合题意； D.利用判断出， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上，不符合题意， 故选：C． 【例2】（25-26八年级上·河北唐山·期末）如图，点P在线段外，且．求证：点在线段的垂直平分线上．在证明该结论时，三位同学辅助线的作法如下：（   ） 甲：作的平分线交于点C． 乙：过点P作，垂足为C． 丙：过点P作于点C，且． 其中，正确的是（   ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．全对 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定，利用判断三角形全等的方法判断即可得出结论． 【详解】甲：作的平分线交于点． 利用判断出， ，， 点在线段的垂直平分线上，符合题意； 乙：过点作，垂足为． 过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，不符合题意； 丙：过点作于点，且． 利用判断出， ，， 点在线段的垂直平分线上，符合题意； 故选：A． 1．（2026·广西防城港·模拟预测）下面是证明角平分线的性质定理的添加辅助线的方法，请完成证明．角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 已知：如图，平分，点在上，过点作于，作于．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据角平分线的定义得到，根据垂直的定义得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】证明：平分， ， 于，于， ， 在△与△中， ， ， ． 2．（25-26八年级上·北京顺义·期末）已知：如图，在中，点D是中点，平分．求证：． 下面是这道题的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明过程． 方法一 证明：如图，过点D作于点E，于点F． 方法二 证明：如图，延长至点E，使得，连接． 【答案】 证明：方法一：如图，过点D作于点E，于点F， ∵平分，，， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∵点D是中点， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 又∵点D是中点， ∴； 方法二：如图，延长至点E，使得，连接， ∵点D是中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵点D是中点， ∴． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义和性质，全等三角形的性质与判定等等： 方法一：先由角平分线的性质得到，进而分别证明，得到，，则可得到，即可利用三线合一定理证明结论； 方法二：证明，得到，再由角平分线的定义推出，得到，则，即可利用三线合一定理证明结论． 【详解】略 3．（24-25八年级上·湖北襄阳·期中）综合与实践 【问题情境】数学活动课上，兴趣小组分享了一道题，如图1，，和的平分线交于点P，过点P作直线分别交于两点，．求证：． （1）兴趣小组过通过添加辅助线于点E很快解答了此问题．请根据兴趣小组添加辅助线的方法，解答此问题． 【深入探究】老师提出，当与不垂直，其它条件不变时，还成立吗？ （2）如图2，请你回答老师的提问，并证明． 【拓展应用】兴趣小组又进一步研究了这道题，并提出了新的问题，当与不垂直，其它条件不变时，如图3，过点P作，交于Q，若，求的长． （3）请你解答兴趣小组提出的问题． 【答案】 （1）证明：作于点E． ∵， ∴，    ∴ ∵和的平分线交于点P， ∴，   ∴．     （2）成立．     延长交于点F． ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴．     ∴． ∵平分， ∴．     在和中 ∴． ∴．     （3）2 【分析】本题主要考查角平分线的性质，三角形全等的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是作出合适的辅助线，并熟练应用角平分线的性质解决问题． （1）作于点E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得出结论； （2）延长交于点F，根据角平分线的性质和平行线的性质得，再得即可得证； （3）根据平行线的性质得，则，同理得，再由，得，则有，由此求出． 【详解】（1）略 （2）略 （3）∵， ∴．     ∴． ∵． ∴． ∴．     同理． ∴．     由（2）可知，， ∴． ∴． ∴． 【提高题型二 角平分线性质的实际综合问题】 【例1】（25-26八年级上·河北邢台·期末）计划在滹沱河某个绿化区增设3条漫步小路，小路，小路与，均相交．若要在小路上修建一个凉亭O，使其到小路，的距离相等，关于如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是（    ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理．角平分线上的点到角两边的距离相等，由此即可判断． 【详解】解：甲方案：O在的垂直平分线上，O到A、B的距离相等，O不一定到和的距离相等， 乙方案：平分，由角平分线的性质定理得到O到小路，的距离相等． ∴甲、乙两个方案，只有乙对． 故选：B． 【例2】（25-26八年级下·辽宁丹东·期末）如下图，AO、BO、CO分别平分、、，，的周长为12，，则的面积为__________． 【答案】12 【分析】过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得OD＝OE＝OF，再根据三角形面积计算即可得解． 【详解】解：如图，过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F， ∵∠ABC、∠ACB的平分线，OD⊥BC，OE⊥AB于E，OF⊥AC， ∴OD＝OE，OD＝OF， ∵， ∴OD＝OE＝OF＝2， ∵△ABC的周长为12， ∴△ABC的面积＝（AB+BC+AC）×2＝×12×2＝12． 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积，熟记角平分线的性质是解题的关键． 1．（25-26八年级上·重庆江津·期末）如图，在中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．则下列说法中正确的个数是（ ） ①是的平分线；②；③点在的中垂线上；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意作图可知：是的平分线，由此判断①正确； 先求得∠BAC=，由是的平分线，求得∠CAD=∠BAD=，即可得到，判断②正确； 过点D作DE⊥AB于E，根据∠BAD=，证得△ABD是等腰三角形，得到AE=BE，即可判断③正确； 证明Rt△ACD≌Rt△AED，得到S△ACD=S△AED，根据等底同高得到S△AED=S△BED，即可得到，判断④错误． 【详解】解：由题意得：是的平分线，故①正确； ∵，， ∴∠BAC=， ∵是的平分线， ∴∠CAD=∠BAD=， ∴，故②正确； 过点D作DE⊥AB于E， ∵∠BAD=， ∴AD=BD， ∴△ABD是等腰三角形， ∴AE=BE， ∴点在的中垂线上，故③正确； ∵是的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB， ∴CD=DE，∠C=∠AED=， 又∵AD=AD， ∴Rt△ACD≌Rt△AED， ∴S△ACD=S△AED， ∵AE=BE，DE⊥AB， ∴S△AED=S△BED， ∴，故④错误； 故选：C． ． 【点睛】此题考查角平分线的作图方法及性质应用，全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理，熟练掌握各部分知识并综合应用是解题的关键． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）将一张面积为的三角形纸板按如图所示的方式依次折叠，如图1，使点落在边上的点处，折痕所在的直线为，如图2，使点落在边上的点处，折痕所在的直线为，与相交于点．经测量得知，纸板的三边的长分别为，则点到的距离为__________．    【答案】 【分析】根据题意可得，点是角平分线的交点，根据角平分线的性质可得点到三边的距离都相等，设点到三边的距离为，根据三角形面积的计算方法即可求解． 【详解】解：∵点落在边上的点处，折痕所在的直线为， ∴是的角平分线， ∵点落在边上的点处，折痕所在的直线为， ∴是的角平分线， ∴点是角平分线的交点，如图所示，连接，    ∴点到三边的距离都相等，设点到三边的距离为， ∴，且的长分别为，， ∴，，， ∴， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形的折叠，角平分线的性质的综合，掌握角平分线的交点到角两边的距离相等，几何图形面积的计算方法等知识是解题的关键． 3．（26-27八年级上·陕西宝鸡·期中）在中，平分平分． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，连接，过点作于点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由角平分线的性质可得，在中，与的度数，再根据“三角形内角和为”求得的度数． （2）过点作两条分别垂直于、的辅助线后，由“角平分线上的点到角的两边距离相等”推导即可． 【详解】（1）解：平分， ， 平分， ， ． （2）解：过点作于，于， 平分，，， ， 平分，，， ， ． 1．（25-26七年级下·江苏南通·阶段检测）如图，四边形中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作于，于，于，根据角平分线的性质定理得到，可知平分，即，根据三角形外角的性质求出的值即可． 【详解】解：如图，作于，于，于， ∵， ∴平分， ∵，， ， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∵，， ∴， ∴， ∵，， 平分， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴． 2．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，平分是上一点，于点，是射线上的一个动点，若，则长的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】当时，有最小值，利用角平分线的性质可得，即可解答． 【详解】解：如图， 当时，有最小值， ∵平分，，， ∴， ∴长的最小值为3． 3．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，中，，以B为圆心，以适当长为半径画弧，交于点D，交于点E；分别以为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G．若为上一动点，连结，则的最小值为（     ） A．无法确定 B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据基本作图得到平分，过G点作于H点，如图，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短解决问题． 【详解】解：由作法得平分， 过G点作于H点，如图，    ∵为的平分线，，， ∴， ∵P为上一动点， ∴的最小值为的长， 即的最小值为1． 4．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路、、两两相交围成的一块平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应选择的位置是（    ）    A．各边垂直平分线的交点 B．中线的交点 C．高的交点 D．内角平分线的交点 【答案】D 【分析】此题主要考查了角平分线的性质的实际应用，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得度假村的修建位置在和的角平分线的交点处，即可得出答案． 【详解】解：要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在内角平分线的交点处， 故选：D． 5．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在和中，，，，，连接、交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的结论个数有（     ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】通过证明，根据全等三角形的性质可得②；利用三角形外角的性质，可判断①，过点O分别作，垂足分别为E，F，根据全等三角形对应边的高相等可得，进而可判断④． 【详解】解：， ， 即， 在和中， ， ， ，，所以②正确； 设与交于点 ， ，所以①正确； 过O点作于E，于F，如图， ≌， ∴ ∵ ， 平分，所以④正确； 对于平分，现有条件不足以证明， ，所以③错误． 综上所述：正确的结论是①②④． ∴有3个正确的． 6．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，平分，交于点，过点作交于点，作于点，若，，则的面积为______． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质推出，从而得到；利用角平分线的性质定理得出点到的距离等于；最后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：平分 如图，过点作于点 平分，， ． 7．（25-26八年级上·湖南株洲·期末）如图，中，，①以A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交、于点E、F，②分别以E、F为圆心，以大于线段为半径画弧，两弧交于点P，③作射线交于点D．若，则_________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，三角形内角和定理． 根据三角形内角和定理得到，由作图可知平分，即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图可知平分， 即． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，两两相交的三条公路中央有一深水湖泊，要在陆地建一个加油站P到三条公路距离相等，这样的位置有______处．    【答案】三 【分析】此题考查了三角形角平分线的性质，分别作外角的角平分线，交点分别为，即为所求的点，解题的关键是熟练掌握三角形角平分线的性质及其应用． 【详解】解：如图所示，，即为所求的点，    故答案为：三． 9．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，点在边上，连接，，平分交于点，于点，若，则的长为_____． 【答案】/ 【分析】过点I作于点E，根据角平分线的性质得到，根据得到，，根据求解即可． 【详解】解：过点I作于点E， 平分交于点，于点， ， ，， ，， ，， ， ， 解得． 10．（25-26八年级上·浙江温州·期中）小实想用尺宽为5cm的直角尺研究角之间的数量关系，操作步骤如下：步骤1，在中，将尺边与边叠合，沿尺边画直线（如图1）；步骤2，旋转直角尺并调整，使点落在直线上，且尺边经过点，尺边交边于点（如图2），读取点E，F对应的刻度分别为，已知，则_____________°． 【答案】/度 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，垂直平分线的性质定理及三线合一等知识， 连接，过点M作于点H，先根据角平分线的判定定理得出，再根据垂直平分线的性质定理及三线合一得出，即可得出答案． 【详解】解：连接，过点M作于点H， 由题意可得：，， ， 点E，F对应的刻度分别为， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 11．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，已知，请用尺规作图法在上求作一点M，使得点M到，的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，点即为所求 【分析】由角平分线的性质定理可得，作出的角平分线即可． 【详解】略． 12．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，已知在中，，．请用尺规作图法，在上求作一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，点即为所求； 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，以及等高三角形的面积比等于底边比，作的角平分线，交于，则点到的距离相等，则，满足题意，故点即为所求. 【详解】略 13．（25-26八年级下·广东梅州·期中）图1是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图2，将该仪器放置在上，使点O与顶点A重合，点D，E分别在边，上，连接并延长，交于点P．求证：平分． (2)如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，的面积为60，求的长． 【答案】(1)证明：在和中， ， , , 平分； (2)12 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）易证明，则，从而得出结论； （2）过点P作于M，根据角平分线的性质定理得到，利用求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：过点P作于M， 平分，， ， ， ， 解得：． 14．（25-26八年级下·山西运城·期中）已知：如图，中，．      (1)【实践操作】 尺规作图：①作的平分线，交于点D； ②过点D作的垂线，交于点E； ③在线段上求作一点F，使． （要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)【灵活运用】 在（1）条件下，若，，则的长为_________． 【答案】(1) 如图所示，即为所求． (2)12 【分析】（1）根据作法利用尺规作图即可． （2）由（1）得：是的角平分线，，， 利用角平分线的性质可得，，再利用三角形全等的判定及性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）由（1）得：是的角平分线，，， ，， 在和中， ， ， ， 设，则， ， 在中，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了作图——尺规作图、全等三角形的判定及性质、角平分线的性质，熟练掌握尺规作图及全等三角形的判定及性质是解题的关键． 15．（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）（1）【母题呈现】如图的三角形纸片中，．沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，求的周长． （2）【知识应用】在中，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，过点作的平分线交于点连接． ①如图1，若，求的面积； ②如图2，求证：平分； ③如图3，过点作于，若，求的长． 【答案】（1）； （2）①； ②证明：如图，过点P分别作、、边的垂线垂足分别为点F、H、M， 由题可知，，， ， 平分， ， ， ， 即平分； ③ 【分析】本题主要考查了角平分线的判定和性质，三角形面积的计算，折叠的性质，全等三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）折叠得到，进而得到，，进而求出的长，再根据三角形的周长公式结合等量代换进行求解即可． （2）①根据折叠得出，，，根据求出结果即可； ②过点P分别作、、边的垂线垂足分别为点F、H、M，根据角平分线的性质得出，，证明，根据角平分线的判定得出答案即可； ③过点P分别作、边的垂线，垂足分别为点G、M，连接，证明，根据，得出，代入数据求出结果即可． 【详解】（1）解：是由折叠而得到， ． ，． ， ． ， 的周长为：． （2）①根据折叠可知：，，， ； ②略 ③如图，过点P分别作、边的垂线，垂足分别为点G、M，连接， 由题可知，，， ， 由（2）可知， ， ， ， ∵，， ∴， 解得：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 角的平分线重难点题型专训（2个知识点+7大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、作角平分线(尺规作图) 1 题型二、根据角平分线的性质求长度 2 题型三、根据角平分线的性质求角度 3 题型四、根据角平分线的性质求面积 4 题型五、角平分线的性质定理 5 题型六、角平分线的判定定理 6 题型七、角平分线性质的实际应用 7 第二部分·练提高题型 题型一、角平分线的常见辅助线添加 1 题型二、角平分线性质的实际综合问题 2 第三部分・自我检测 知识点01角平分线的画法（尺规作图） 如图所示：作∠AOB的角平分线 （1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线OA、OB于点D、E； （2）分别以点D、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C； （3）过O、C两点作射线OC，射线OC就是∠AOB的角平分线. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·广东深圳·阶段检测）在中，为钝角，用直尺和圆规在边上确定一点，使（保留作图痕迹），则符合要求的作图是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东泰安·期中）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹作射线交边于点G．若，，则的面积为________． 知识点02角平分线的性质与判定 1、 角的平分线的性质：角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF. 2、角的平分线的判定：角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 用符号语言表示角的平分线的判定： 若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB 3、角的平分线的尺规作图 角平分线的尺规作图步骤： （1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E. （2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. （3）画射线OC，射线OC即为所求. 4、三角形的角平分线：三角形的三个内角的角平分线交于一点，且到三边的距离相等。 角平分线的性质定理与判定定理的区别与联系： （1） 角平分线的性质定理中的题设“在角的平分线上的点”，这个点不是一个点，实际上是指角平分线上的任 意一点，或者说是角平分线上的所有点都具有“到角两边的距离相等”的性质。 （2） 角平分线的性质定理与判定定理是两个互逆定理，是两个互逆的真命题。要从题设、条件与结论的关系上 理解它们的区别和联系。点在角平分线上点到这个叫的两边的距离相等。 （3） 角平分线的性质定理与判定定理在应用时的作用不同。性质定理的结论是确定点到角的两边的距离相等的问题。判定定理的结论是判定点是否在角平分线上的问题。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·云南·期中）如图，为给金源学子提供良好的阅读环境，金源学校有一块三角形小树林，需要在小树林里建一图书角供同学们使用，要使图书角到小树林三条边的距离相等，图书角的位置应选在（    ） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三边的中垂线的交点 2．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，平分交于点，于点，是线段上一点，连接，，若，则的长为___． 【基础题型一 作角平分线（尺规作图）】 【例1】（25-26七年级下·广东茂名·期末）如图，在中，利用尺规作图作出了射线交于点P．根据作图痕迹，下列说法不一定正确的是（     ） A．是的平分线 B． C．点P到，的距离相等 D． 【例2】（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，可求得__________． 1．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，，在和上分别截取，使，分别以点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点，连接射线与相交于点，过点作于点．若，则的面积为（   ）． A．10 B．9 C．8 D．7 2．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，作于点E，若，，的面积为13，则的长为 __________ 3．（25-26七年级下·四川乐山·期末）根据题意完成下列各小问． (1)如图，的顶点都在正方形网格中小正方形的顶点上，请画出绕点顺时针旋转后得到的． (2)如图，已知，，，请在边上求作一点，连接，使得．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【基础题型二 根据角平分线的性质求长度】 【例1】（25-26八年级上·山西朔州·期中）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，作射线交于点D．若，，则的长为（   ） A． B．7 C．8 D．14 【例2】（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，两弧交，于点E、F；分别以点E、F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线交于点D．若，，则的长为_______． 1．（25-26八年级上·云南昆明·阶段检测）如图：在中，，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，，，则的长为（    ）    A．3 B．4 C．6 D．8 2．（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，在中，．按以下步骤作图： ①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线； ②以点为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；作射线，与射线相交于点； ③连接． 若点到直线的距离为1，则点到直线的距离为__________． 3．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，作的平分线． (1)下列操作中，作的平分线的正确顺序的序号依次为_____； ①分别以点、为圆心，大于的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点； ②以点为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点，交于点； ③作射线，交于点． (2)证明的理论依据是_____（填序号）； ①SSS；②；③；④角平分线上的点到角两边的距离相等， (3)过点作于，若，求的长． 【基础题型三 根据角平分线的性质求角度】 【例1】（2025·江苏泰州·二模）如图，在中，D是延长线上一点，与的角平分线交于点E，连接．若要求的度数，只需要知道下列哪个角的度数（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·江西抚州·期末）如图，点是内部的一点，点到三边，，，的距离，，则的度数为_______________． 1．（25-26八年级上·全国·期末）如图，是的中点，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，在中，，是上一点，连接，过点作于点，若，则的度数为__________． 3．（25-26七年级下·山东泰安·期中）在中， (1)如图（1），、的平分线相交于点．若，求的度数．若，则______． (2)如图（2），在中的外角平分线相交于点．，求的度数． (3)如图（4），中的内角平分线相交于点，外角平分线相交于点，延长线段、交于点，中，存在一个内角等于另一个内角的倍，求的度数． 【基础题型四 根据角平分线的性质求面积】 【例1】（25-26八年级上·浙江·期中）如图，是三条角平分线的交点，的面积记为，的面积记为，的面积记为，且，则的值可能为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【例2】（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，中，是的平分线，是边上的中线，若的面积是，，，则的面积是__________． 1．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，为的中点，平分，，与相交于点，若的面积比的面积大，则的面积是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河南漯河·期中）如图，在中为中点，为的角平分线，的面积记为，的面积记为，则______．    3．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）在八年级上册数学课本中，我们学习了三角形边和角关系以及三角形中常见的线段． (1)小民同学利用“三角形的任意两边之和大于第三边”这一知识点发现，若P是内的一点，连接，则，请你证明这个结论． (2)接着小民又发现，如果分别是和的平分线，连接，则是的角平分线，小民的发现正确吗？请说明你的理由． (3)就的面积问题，小民和小兴两位同学产生了分歧，在（2）的条件下，已知的周长为18，点P到的距离为．小民认为仅知道周长无法求出的面积，而小兴认为可以．你同意谁的看法？若同意小民，请说明理由．若同意小兴，请求出的面积． 【基础题型五 角平分线的性质定理】 【例1】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，是的平分线，若，则点到的距离是（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 【例2】（2026·山东潍坊·模拟预测）已知，如图①，若是中的内角平分线，通过证明可得，同理，若是中的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题： 如图②，在中，，，是的内角平分线，则的边上的中线长l的取值范围是 __________________． 1．（25-26八年级下·河北保定·期末）如图，中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点，画射线与相交于点，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D．到的距离是 2．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，平分，交延长线于点，过点作交于点，若平分，，则_________度． 3．（25-26八年级下·贵州·期末）已知，在的平分线上有一点，将一个三角板的直角顶点与点重合，它的两条直角边分别与，相交于点，． (1)如图①，若于点，于点．求证：； (2)当三角板绕点旋转到与不垂直时，在图②这种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明． 【基础题型六 角平分线的判定定理】 【例1】（2026八年级·全国·专题练习）在内部，两个完全一样的三角板如图所示放置，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·贵州安顺·期末）如图，P是内射线上的一点，，，且，若，则的度数是________． 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，点是内一点，于点，于点，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，两把完全相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为P，其中一把直尺的一边恰好在射线上，E为该直尺的一个顶点，而另一把直尺的一边在直线上，一边与射线A交于点M，连接，若，，则的长为______． 3．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）在与中，，，． (1)如图1，A，C，D三点共线，连接，，延长交于点F，则与的数量关系为 ；位置关系为 ． (2)如图2，A，C，D不共线时，连接，交于点F，试探究，的关系． (3)如图3，在（2）条件下连接，延长线交于点G，若，试用的表达式表示． 【基础题型七 角平分线性质的实际应用】 【例1】（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，三角形地块中，边，，其中绿化带是该三角形地块的角平分线．若三角形地块的面积为，则三角形地块的面积为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，在和中，，，，．连接，交于点，连接．则在下列结论中：①，②，③若平分，则，④．正确的结论有__________（填序号）    1．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为，，，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离都相等，内部被河水填满无法施工，则可供选择的地址有（　　） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 2．（25-26八年级上·宁夏石嘴山·期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，的面积是，则的长为__________ 3．（25-26八年级下·全国·期中）在中，是边上的点（不与点，重合），连接． (1)如图①，当是的平分线时，若，，求的值（用含，的代数式表示）． (2)如图②，平分，延长至点，使得，连接．若，，，求的值． 【提高题型一 角平分线的常见辅助线添加】 【例1】（25-26八年级上·江苏南通·期中）已知：如图，点在线段外，且，求证：点在线段的垂直平分线上．在证明该结论时，需添加辅助线，则以下作法不正确的是（   ） A．取中点，连接 B．作的平分线交于点 C．过点作于点，且 D．过点作，垂足为 【例2】（25-26八年级上·河北唐山·期末）如图，点P在线段外，且．求证：点在线段的垂直平分线上．在证明该结论时，三位同学辅助线的作法如下：（   ） 甲：作的平分线交于点C． 乙：过点P作，垂足为C． 丙：过点P作于点C，且． 其中，正确的是（   ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．全对 1．（2026·广西防城港·模拟预测）下面是证明角平分线的性质定理的添加辅助线的方法，请完成证明．角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 已知：如图，平分，点在上，过点作于，作于．求证：． 2．（25-26八年级上·北京顺义·期末）已知：如图，在中，点D是中点，平分．求证：． 下面是这道题的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明过程． 方法一 证明：如图，过点D作于点E，于点F． 方法二 证明：如图，延长至点E，使得，连接． 3．（24-25八年级上·湖北襄阳·期中）综合与实践 【问题情境】数学活动课上，兴趣小组分享了一道题，如图1，，和的平分线交于点P，过点P作直线分别交于两点，．求证：． （1）兴趣小组过通过添加辅助线于点E很快解答了此问题．请根据兴趣小组添加辅助线的方法，解答此问题． 【深入探究】老师提出，当与不垂直，其它条件不变时，还成立吗？ （2）如图2，请你回答老师的提问，并证明． 【拓展应用】兴趣小组又进一步研究了这道题，并提出了新的问题，当与不垂直，其它条件不变时，如图3，过点P作，交于Q，若，求的长． （3）请你解答兴趣小组提出的问题．       【提高题型二 角平分线性质的实际综合问题】 【例1】（25-26八年级上·河北邢台·期末）计划在滹沱河某个绿化区增设3条漫步小路，小路，小路与，均相交．若要在小路上修建一个凉亭O，使其到小路，的距离相等，关于如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是（    ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【例2】（25-26八年级下·辽宁丹东·期末）如下图，AO、BO、CO分别平分、、，，的周长为12，，则的面积为__________． 1．（25-26八年级上·重庆江津·期末）如图，在中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．则下列说法中正确的个数是（ ） ①是的平分线；②；③点在的中垂线上；④ A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）将一张面积为的三角形纸板按如图所示的方式依次折叠，如图1，使点落在边上的点处，折痕所在的直线为，如图2，使点落在边上的点处，折痕所在的直线为，与相交于点．经测量得知，纸板的三边的长分别为，则点到的距离为__________．    3．（26-27八年级上·陕西宝鸡·期中）在中，平分平分． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，连接，过点作于点，求的面积． 1．（25-26七年级下·江苏南通·阶段检测）如图，四边形中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，平分是上一点，于点，是射线上的一个动点，若，则长的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，中，，以B为圆心，以适当长为半径画弧，交于点D，交于点E；分别以为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G．若为上一动点，连结，则的最小值为（     ） A．无法确定 B． C．1 D．2 4．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路、、两两相交围成的一块平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应选择的位置是（    ）    A．各边垂直平分线的交点 B．中线的交点 C．高的交点 D．内角平分线的交点 5．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在和中，，，，，连接、交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的结论个数有（     ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 6．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，平分，交于点，过点作交于点，作于点，若，，则的面积为______． 7．（25-26八年级上·湖南株洲·期末）如图，中，，①以A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交、于点E、F，②分别以E、F为圆心，以大于线段为半径画弧，两弧交于点P，③作射线交于点D．若，则_________． 8．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，两两相交的三条公路中央有一深水湖泊，要在陆地建一个加油站P到三条公路距离相等，这样的位置有______处．    9．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，点在边上，连接，，平分交于点，于点，若，则的长为_____． 10．（25-26八年级上·浙江温州·期中）小实想用尺宽为5cm的直角尺研究角之间的数量关系，操作步骤如下：步骤1，在中，将尺边与边叠合，沿尺边画直线（如图1）；步骤2，旋转直角尺并调整，使点落在直线上，且尺边经过点，尺边交边于点（如图2），读取点E，F对应的刻度分别为，已知，则_____________°． 11．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，已知，请用尺规作图法在上求作一点M，使得点M到，的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 12．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，已知在中，，．请用尺规作图法，在上求作一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 13．（25-26八年级下·广东梅州·期中）图1是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图2，将该仪器放置在上，使点O与顶点A重合，点D，E分别在边，上，连接并延长，交于点P．求证：平分． (2)如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，的面积为60，求的长． 14．（25-26八年级下·山西运城·期中）已知：如图，中，．      (1)【实践操作】 尺规作图：①作的平分线，交于点D； ②过点D作的垂线，交于点E； ③在线段上求作一点F，使． （要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)【灵活运用】 在（1）条件下，若，，则的长为_________． 15．（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）（1）【母题呈现】如图的三角形纸片中，．沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，求的周长． （2）【知识应用】在中，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，过点作的平分线交于点连接． ①如图1，若，求的面积； ②如图2，求证：平分； ③如图3，过点作于，若，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $