专题04 全等三角形 章末易错必刷题型专训 -2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学全等三角形章末复习讲义通过17个专题系统构建知识体系，从图形全等的基础认知到全等三角形的性质判定，再到尺规作图、角平分线应用及综合问题，以易错点梳理和题型归类呈现知识脉络，突出几何直观与空间观念的培养。 讲义亮点在于“易错必刷”分层练习设计，如测量池塘距离的实际应用题培养应用意识，作角平分线的尺规作图题发展空间观念，多结论判断的综合题提升推理能力。基础题巩固核心知识，综合题拓展思维深度，助力教师精准分层教学，学生高效自主复习。

专题04 全等三角形章末易错必刷题型专训（51题17个考点） 【易错必刷一 图形的全等】 1．（25-26八年级上·北京·期中）下列四个选项中，与如图不是全等图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河北张家口·期中）如图，将标号为的正方形沿图中的虚线剪开后得到标号为的四个图形，试按照“哪个正方形剪开后得到哪个图形”的对应关系填空． A与_________对应；B与______对应；C与_______对应；D与_______对应． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）写出下列每组全等图形中的对应边和对应角． 【易错必刷二 全等三角形的概念与性质】 4．（24-25八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，，下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的有（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 5．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，，顶点、分别与顶点、对应，点在边上，边与边相交于点．若，，线段的长__________． 6．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，，点在边上，与相交于点． (1)若，，求线段的长； (2)若，，求的度数． 【易错必刷三 用SAS证明三角形全等（SAS）】 7．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在和中，点E、F在上，，，添加下列一个条件后能用“”判定的是（ ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，，，则，理由是__________． 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，．求证：． 【易错必刷四 全等的性质和SAS综合（SAS）】 10．（25-26八年级上·天津·期中）如图，在由4个相同的小正方形组成的网格中，与的和为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）物理中的小孔成像如图，一兴趣小组在做用蜡烛探究小孔成像原理的实验时，发现小孔存在一位置使得，已知蜡烛成像火焰高度为，则蜡烛实际火焰的高度为__________． 12．（25-26八年级上·江西南昌·期末）如图，在和中，已知，，，求的度数． 【易错必刷五 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）】 13．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图，与交于点O，若，要用“”证明，还需要的条件是（    ）． A． B． C． D． 14．（25-26七年级下·福建漳州·阶段检测）一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，小敏想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，借助“全等三角形”的相关知识，小敏只带了一块去，则这块玻璃的编号是_____． 15．（2025八年级上·全国·专题练习）一个三角形工件，现已破碎成如图所示的三部分．选用这三块中的哪一块，就能复原出这个三角形工件？请说明理由． 【易错必刷六 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）】 16．（25-26八年级上·天津北辰·期中）如图，要测量池塘两岸相对的两点，的距离，可以在池塘外取的垂线上的两点，，使，再画出的垂线，使点与点，在一条直线上，这时测得（   ）的长就是的长．    A． B． C． D． 17．（25-26八年级上·辽宁抚顺·阶段检测）要测量河岸相对的两点A，B之间的距离，已知垂直于河岸，先在上取两点，，使，再过点作的垂线段，使点，，在一条直线上，如图，测出米，则的长是________米． 18．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，为测量玻璃容器内径，将两根铁棒，的中点固定在一起，，可以绕交点张合，记交点为，，．经测量，长为．求证：玻璃瓶内径的长度也为． 【易错必刷七 用SSS证明三角形全等（SSS）】 19．（24-25八年级上·广东中山·阶段检测）如图，已知，，点A、D、B、F在一条直线上，要利用“”证明，还可以添加的一个条件是（    ） A． B． C． D．以上都不对 20．（24-25八年级上·河南商丘·期中）聪明的中国人在很早以前就发明了角尺工具，并灵活广泛地使用这个工具完成各种测量，下面是工人师傅用角尺平分一个任意角的操作：如图所示，在的两边和上分别量取，移动角尺，使角尺两边分别与和相交于点M、N，并且角尺上两侧的刻度相同．此时过角尺顶点C的射线即是的角平分线．上述操作过程依据三角形全等的判定方法是______． 21．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）如图，点A、C、F、D在同一直线上，，求证：． 【易错必刷八 全等的性质和SSS综合（SSS）】 22．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 23．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，平面上有与，其中与相交于点P，若，，，，，则的度数为____． 24．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，相交于点．求证：． 【易错必刷九 用HL证全等（HL）】 25．（25-26八年级上·贵州安顺·期中）如图，与是直角三角形，，下列各组条件中，可以直接用“”来判定的是（    ） A．， B．， C．， D．， 26．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）如图，于P，，添加下列一个条件，能利用“”判定的条件是_________． 27．（24-25八年级上·山东济宁·阶段检测）已知，如图，点在同一条直线上，． 求证：； 【易错必刷十 全等的性质和HL综合（HL）】 28．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，，垂足为C，A是上一点，且．若，，则的长为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．5.5 29．（25-26八年级上·河北保定·阶段检测）如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，两个滑梯的倾斜角和的数量关系是_______．    30．（25-26八年级上·陕西渭南·阶段检测）如图，在和中，，，若，求的度数． 【易错必刷十一 添加条件使三角形全等】 31．（25-26七年级下·广东佛山·期中）如图，已知，下列所给条件能证明的是（     ） A． B． C． D． 32．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，，若要证明，则还要添加条件______就可以了． 33．（25-26八年级上·山东临沂·期中）为了测量一池塘的两端A，B之间的距离，同学们想出了如下方案：如图，过点B作的垂线，在上取C，D两点，使，接着过点作的垂线，在垂线上选一点E，使A、C、E三点在一条直线上．则测出的长即是的距离． (1)该方案是否可行？请说明理由： (2)小明说在该方案中，并不一定需要，，只需要______就可以了，请把小明所说的条件补上． 【易错必刷十二 尺规作图——作三角形】 34．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图是，根据下列尺规作图痕迹作出的，能够用于说明“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”的是（    ） A．   B．   C．   D．   35．（25-26八年级上·河南濮阳·期中）如图，已知线段a，b，c，求作△ABC，使BC＝a，AC＝b，AB＝c，下面作法中：①分别以B，C为圆心，c，b为半径作弧，两弧交于点A；②作线段BC＝a；③连接AB，AC，△ABC为所求作的三角形．正确顺序应为___．（填序号） 36．（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，点D是外一点，连接，已知，． (1)在内求作一点M，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，求的度数． 【易错必刷十三 尺规作一个角等于已知角】 37．（25-26八年级上·辽宁辽阳·期末）如图，已知，以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交，于点，，再以点为圆心，的长为半径画弧，交上方的前面的弧于点，画射线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 38．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是边边边、边角边、角边角、角角边中的________． 39．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，点在射线上，请用尺规以点为顶点，以射线为一边作，使，射线与射线交于点．（不写作法，保留作图痕迹） 【易错必刷十四 作角平分线（尺规作图）】 40．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分的为（    ） A．图② B．图①与图② C．图① D．以上都不对 41．（24-25八年级上·湖北荆州·阶段检测）如图，在中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线交于点D．若，的面积为8，则的面积为_______． 42．（25-26八年级上·河南安阳·阶段检测）尺规作图：（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论） (1)如图，请作一个角与已知角相等的角； (2)已知：如图，求作：在线段上作点、使点到射线和射线的距离相等． 【易错必刷十五 角平分线的性质定理】 43．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，平分交于点，过点作于点．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 44．（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期末）如图，点P 在的平分线上，，  垂足分别为E 和 F，若，则的长为_______． 45．（25-26八年级上·四川自贡·期中）如图，在中，，，于点D，平分交于点E，于点，求的度数． 【易错必刷十六 角平分线的判定定理】 46．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，点在边上，连接，，，与的面积之比为，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 47．（25-26八年级上·吉林松原·期中）如图，在Rt中，，点在边上，且，若点到的距离为3，则______度． 48．（24-25八年级上·山东聊城·阶段检测）如图所示，，P是的中点，且平分，连接．求证：平分 【易错必刷十七 全等三角形综合问题】 49．（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图，在中，，，D、E是边上的两点，且，过点A作，过点C作，交于点F，连结有下列结论： ①；②；③若，，则；④． 其中错误的是（    ）    A．① B．② C．③ D．④ 50．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在四边形中，，，连接，点F在上，连接交于点E，，于，若，则___________． 51．（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，点A，E，F，B在直线l上，， ，且，求证： (1)； (2) ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 全等三角形章末易错必刷题型专训（51题17个考点） 【易错必刷一 图形的全等】 1．（25-26八年级上·北京·期中）下列四个选项中，与如图不是全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等图形的定义，熟练掌握全等图形的判断方法是解题的关键． 根据能够完全重合的两个图形是全等图形对各选项分析即可得解． 【详解】解：A、两个图形是全等图形，不符合题意； B、两个图形大小不同，不是全等图形，符合题意； C、两个是全等图形，不符合题意； D、两个图形是全等图形，不符合题意； 故选：B 2．（25-26八年级上·河北张家口·期中）如图，将标号为的正方形沿图中的虚线剪开后得到标号为的四个图形，试按照“哪个正方形剪开后得到哪个图形”的对应关系填空． A与_________对应；B与______对应；C与_______对应；D与_______对应． 【答案】 M P Q N 【分析】本题主要考查了全等形的识别，能够完全重合的两个图形叫做全等形，按照剪开前后各基本图形是重合的原则进行逐个验证、排查，熟练掌握全等形的识别是解决此题的关键． 【详解】由全等形的概念可知： A是三个三角形，与M对应； B是一个三角形和两个直角梯形，与P对应； C是一个三角形和两个四边形，与Q对应； D是两个三角形和一个四边形，与N对应 故答案为：M，P，Q，N． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）写出下列每组全等图形中的对应边和对应角． 【答案】 图（1）中的对应边分别是：与，与，与， 对应角分别是：与，与，与； 图（2）中的对应边分别是：与，与，与，与， 对应角分别是：与，与，与，与． 【分析】本题主要考查全等图形的概念，熟练掌握其概念是做题的关键．根据全等图形的概念和图示即可得出答案． 【详解】略 【易错必刷二 全等三角形的概念与性质】 4．（24-25八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，，下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的有（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的概念，熟练寻找全等三角形的对应边和对应角是解题的关键．根据全等三角形中的对应边、对应角的定义依次判定即可． 【详解】解：由得： ①与是对应边，故①不符合题意； ②与是对应边，故②符合题意； ③与是对应角，故③符合题意； ④与是对应角，与是对应角，故④不符合题意； 故正确的有②③， 故选：B． 5．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，，顶点、分别与顶点、对应，点在边上，边与边相交于点．若，，线段的长__________． 【答案】6 【分析】根据全等三角形的性质得到、，再利用进行求解即可． 【详解】解：， ，， ，， ，， ． 6．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，，点在边上，与相交于点． (1)若，，求线段的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的性质、外角性质、三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的性质． （1）根据全等三角形的性质可得，，再由即可得解； （2）先由外角性质求出，再结合全等三角形的性质、三角形内角和定理求出、即可求解． 【详解】（1）解：， ，， ； （2）解：是的外角， ， 又，， ， ， ，， ， ． 【易错必刷三 用SAS证明三角形全等（SAS）】 7．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在和中，点E、F在上，，，添加下列一个条件后能用“”判定的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．先利用等式的性质可得，然后添加利用证明，即可解答． 【详解】解：添加后能用“”判定， 理由：， ， ， 在和中，， ． 故选：A． 8．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，，，则，理由是__________． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握证明两三角形全等是解题的关键． 【详解】解：在和中， ， ∴， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，．求证：． 【答案】 证明：， ， ， 在和中， ． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 利用边角边证明三角形全等即可． 【详解】略 【易错必刷四 全等的性质和SAS综合（SAS）】 10．（25-26八年级上·天津·期中）如图，在由4个相同的小正方形组成的网格中，与的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，如解图，证明，得到，即可得出结果． 【详解】解：如图，由题意， ∴， ∴， ∴； 故选D． 11．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）物理中的小孔成像如图，一兴趣小组在做用蜡烛探究小孔成像原理的实验时，发现小孔存在一位置使得，已知蜡烛成像火焰高度为，则蜡烛实际火焰的高度为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．利用边角边证明，即可求解． 【详解】解：在和中， ∵， ∴， ∴， 即蜡烛实际火焰的高度为． 故答案为： 12．（25-26八年级上·江西南昌·期末）如图，在和中，已知，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． 已知，，，根据“”证明，即可通过性质求解． 【详解】解：∵在和中， ， ∴， ∴． 【易错必刷五 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）】 13．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图，与交于点O，若，要用“”证明，还需要的条件是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对全等三角形的判定的应用，解题关键是掌握全等三角形的判断方法有、、、、．用“”证明，即角边角证明三角形全等，题目已知，，那么添加条件． 【详解】解：添加： ∵， ，， ∴， 故选：C． 14．（25-26七年级下·福建漳州·阶段检测）一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，小敏想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，借助“全等三角形”的相关知识，小敏只带了一块去，则这块玻璃的编号是_____． 【答案】③ 【分析】本题考查了全等三角形的应用（有两个角对应相等，且夹边也对应相等的两三角形全等）；学会把实际问题转化为数学问题解答是关键． 显然第③中有完整的三个条件，用可得到现要的三角形与原三角形全等． 【详解】解：因为第③块中有完整的两个角以及他们的夹边，利用可得三角形全等，故应带第③块． 故答案为：③． 15．（2025八年级上·全国·专题练习）一个三角形工件，现已破碎成如图所示的三部分．选用这三块中的哪一块，就能复原出这个三角形工件？请说明理由． 【答案】 解：选用第一块就能复原这个三角形工件，理由如下： 因为第一块包含了这个三角形工件的两个角且它们的夹边，所以可以根据“”判定这两个三角形全等，故选用第一块． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据全等三角形的判定定理进行求解即可． 【详解】略 【易错必刷六 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）】 16．（25-26八年级上·天津北辰·期中）如图，要测量池塘两岸相对的两点，的距离，可以在池塘外取的垂线上的两点，，使，再画出的垂线，使点与点，在一条直线上，这时测得（   ）的长就是的长．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．利用证明即可求证． 【详解】证明：∵，，    ∴，   在和中 ， ∴，    ∴． ∴这时测得的长就是的长． 故选：C． 17．（25-26八年级上·辽宁抚顺·阶段检测）要测量河岸相对的两点A，B之间的距离，已知垂直于河岸，先在上取两点，，使，再过点作的垂线段，使点，，在一条直线上，如图，测出米，则的长是________米． 【答案】30 【分析】本题考查全等三角形的应用，根据证明，即可推出，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴米， 故答案为：30． 18．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，为测量玻璃容器内径，将两根铁棒，的中点固定在一起，，可以绕交点张合，记交点为，，．经测量，长为．求证：玻璃瓶内径的长度也为． 【答案】 证明：在和中， ， ∴， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的应用，根据题干中给出的描述可得，，再根据对顶角相等可得，即可解题． 【详解】略 【易错必刷七 用SSS证明三角形全等（SSS）】 19．（24-25八年级上·广东中山·阶段检测）如图，已知，，点A、D、B、F在一条直线上，要利用“”证明，还可以添加的一个条件是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定． 已知，，根据找出第三条边即可． 【详解】解：∵，， ∴要根据证明， ∴需要添加即可． 即需要添加即可． 故选：A． 20．（24-25八年级上·河南商丘·期中）聪明的中国人在很早以前就发明了角尺工具，并灵活广泛地使用这个工具完成各种测量，下面是工人师傅用角尺平分一个任意角的操作：如图所示，在的两边和上分别量取，移动角尺，使角尺两边分别与和相交于点M、N，并且角尺上两侧的刻度相同．此时过角尺顶点C的射线即是的角平分线．上述操作过程依据三角形全等的判定方法是______． 【答案】（或边边边） 【分析】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据全等三角形的判定方法即可解决问题． 【详解】解：由题意：， ∴， ∴， 故答案为：（或边边边）． 21．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）如图，点A、C、F、D在同一直线上，，求证：． 【答案】 证明：∵， 在和中， ， ∴． 【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握判定是解题的关键．利用“”证明两三角形全等即可． 【详解】略 【易错必刷八 全等的性质和SSS综合（SSS）】 22．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要查了全等三角形的判定和性质．证明，可得，，再由三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：A 23．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，平面上有与，其中与相交于点P，若，，，，，则的度数为____． 【答案】/50度 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．先证明，得出，，证明，根据，，得出，再求出结果即可． 【详解】解：在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 24．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，相交于点．求证：． 【答案】 证明：如图，连接， 在与中，， ， ． 【分析】本题考查全等三角形判定及性质．根据题意可证明，继而利用全等性质即可得到本题答案． 【详解】略 【易错必刷九 用HL证全等（HL）】 25．（25-26八年级上·贵州安顺·期中）如图，与是直角三角形，，下列各组条件中，可以直接用“”来判定的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定方法：，，，，． 根据全等三角形的判定定理求解判断即可． 【详解】解：A、∵，，， ∴由能判定和全等，故此选项不符合题意； B、∵，，， ∴由能判定和全等，故此选项不符合题意； C、∵，，， ∴由能判定和全等，故此选项符合题意； D、∵，，， ∴由能判定和全等，故此选项不符合题意； 故选：C． 26．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）如图，于P，，添加下列一个条件，能利用“”判定的条件是_________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握“”是解答本题的关键． 根据“”所需的条件分析即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴要利用“”判定的条件是． 故答案为：． 27．（24-25八年级上·山东济宁·阶段检测）已知，如图，点在同一条直线上，． 求证：； 【答案】 证明：， 和是直角三角形， ， ，即， 在和中， ， ． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键，先证，再证即可． 【详解】略 【易错必刷十 全等的性质和HL综合（HL）】 28．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，，垂足为C，A是上一点，且．若，，则的长为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．5.5 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：， ， 在和中： ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选：A． 29．（25-26八年级上·河北保定·阶段检测）如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，两个滑梯的倾斜角和的数量关系是_______．    【答案】 【分析】由条件信息可得，与均是直角三角形，由已知可根据判定两三角形全等，再根据全等三角形的对应角相等，不难求解． 【详解】解：，证明如下： 由题意可得：与均是直角三角形，且． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 【点睛】此题考查了全等三角形的应用．做题时要注意找已知条件，根据已知选择方法得出全等三角形是解题关键． 30．（25-26八年级上·陕西渭南·阶段检测）如图，在和中，，，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，利用证明，得到，即可． 【详解】∵， ∴均为直角三角形， 在和中 ， ∴， ∴． 【易错必刷十一 添加条件使三角形全等】 31．（25-26七年级下·广东佛山·期中）如图，已知，下列所给条件能证明的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可. 【详解】解：根据已知， 只有两个条件没法证明全等，故D选项不符合题意， 当，，根据可以得到； 当或时，不能得到. 32．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，，若要证明，则还要添加条件______就可以了． 【答案】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 添加条件，根据等式的性质可得，再利用判定即可． 【详解】解：依题意，还要添加条件， ， ， ， 在和中， ， ， 故答案为：． 33．（25-26八年级上·山东临沂·期中）为了测量一池塘的两端A，B之间的距离，同学们想出了如下方案：如图，过点B作的垂线，在上取C，D两点，使，接着过点作的垂线，在垂线上选一点E，使A、C、E三点在一条直线上．则测出的长即是的距离． (1)该方案是否可行？请说明理由： (2)小明说在该方案中，并不一定需要，，只需要______就可以了，请把小明所说的条件补上． 【答案】(1) 该方案可行 理由如下：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴．故该方案可行． (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查全等三角形的应用． （1）利用证明，即可； （2）利用得到当时，即可． 掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴只需要，即可得到，从而得到； 故答案为：． 【易错必刷十二 尺规作图——作三角形】 34．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图是，根据下列尺规作图痕迹作出的，能够用于说明“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据证明即可得解． 【详解】解：选项B满足题意；由作图知，斜边，，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 35．（25-26八年级上·河南濮阳·期中）如图，已知线段a，b，c，求作△ABC，使BC＝a，AC＝b，AB＝c，下面作法中：①分别以B，C为圆心，c，b为半径作弧，两弧交于点A；②作线段BC＝a；③连接AB，AC，△ABC为所求作的三角形．正确顺序应为___．（填序号） 【答案】②①③ 【分析】根据作三角形，使三角形的三边等于已知边的作图步骤作答． 【详解】解：先作线段BC＝a，再分别以B，C为圆心，c，b为半径作弧，两弧交于点A，然后连接AB，AC，△ABC为所求作的三角形． 故答案为：②①③． 【点睛】本题考查的是学生利用基本作图做三角形的能力，以及用简练、准确地运用几何语言表达作图方法与步骤的能力． 36．（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，点D是外一点，连接，已知，． (1)在内求作一点M，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，求的度数． 【答案】(1) 解：如图，点M即为所求； (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，尺规作图： （1）以点A为圆心，的长为半径画弧，再以点C为圆心，为半径画弧，两弧交于点M，即可； （2）根据全等三角形的性质可得，从而得到，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：，， ． ． ， ． ． 【易错必刷十三 尺规作一个角等于已知角】 37．（25-26八年级上·辽宁辽阳·期末）如图，已知，以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交，于点，，再以点为圆心，的长为半径画弧，交上方的前面的弧于点，画射线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，尺规作图—作与已知角相等的角，由作图方法可知，，再由角的和差关系可得答案． 【详解】解：由作图方法可知，， ∴， 故选：C． 38．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是边边边、边角边、角边角、角角边中的________． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与用尺规作一个角等于已知角的原理．解题的关键是理解尺规作图过程中构造出的相等线段，从而确定全等三角形的判定依据． 分析用直尺和圆规作一个角等于已知角的作图过程，找出对应的相等边，确定全等三角形的判定方法． 【详解】以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D； 同样地，以为圆心，同样的长度（即与前面半径相等）为半径画弧，交于点， 再以为圆心，长为半径画弧，与前面所画的弧相交于点， 连接，这样就得到． 在和中，三边对应相等，根据全等三角形判定定理“SSS（边边边）”， 可得 所以，即得出作一个角等于已知角的依据是“”． 故答案为：． 39．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，点在射线上，请用尺规以点为顶点，以射线为一边作，使，射线与射线交于点．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 如图，即为所求． 【分析】本题考查了尺规作图，作一个角等于已知角等知识．根据尺规作图作，作，与交于点D，即可得到． 【详解】作法：①作； ②作； 则． 【易错必刷十四 作角平分线（尺规作图）】 40．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分的为（    ） A．图② B．图①与图② C．图① D．以上都不对 【答案】C 【分析】根据角平分线的尺规作图方法，判断每个图中射线是否为的平分线 ． 【详解】解：∵图①的作图痕迹符合角平分线的尺规作图方法， ∴图①中射线平分，符合题意； 图②的作图痕迹是作线段的垂直平分线，得到的是线段的垂直平分线，不是，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图，解题关键是熟练掌握角平分线的尺规作图方法，能根据作图痕迹判断是否为角平分线． 41．（24-25八年级上·湖北荆州·阶段检测）如图，在中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线交于点D．若，的面积为8，则的面积为_______． 【答案】12 【分析】根据基本作图，得平分，过点D作于点E，于点F，则，利用三角形面积公式计算即可．本题考查了角的平分线的基本作图，角的平分线的性质，熟练掌握作图和性质是解题的关键． 【详解】解：根据基本作图，得平分， 过点D作于点E，于点F， 则， ∵， ∴， ∵，的面积为8， ∴， 解得， 故答案为：12． 42．（25-26八年级上·河南安阳·阶段检测）尺规作图：（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论） (1)如图，请作一个角与已知角相等的角； (2)已知：如图，求作：在线段上作点、使点到射线和射线的距离相等． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 如图，点即为所求． 【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握尺规作图方法． （1）利用尺规作一个角等于已知角的方法求解即可； （2）作的角平分线，交于点，点即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 【易错必刷十五 角平分线的性质定理】 43．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，平分交于点，过点作于点．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到，再由求解即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， 故选：A． 44．（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期末）如图，点P 在的平分线上，，  垂足分别为E 和 F，若，则的长为_______． 【答案】 【分析】本题考查了平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边距离相等，熟悉角平分线的性质是解题的关键． 根据角平分线的性质定理进行求解即可． 【详解】点P 在的平分线上，，垂足分别为E 和 F， ． 故答案为：． 45．（25-26八年级上·四川自贡·期中）如图，在中，，，于点D，平分交于点E，于点，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的性质可得，根据、得到，利用三角形内角和定理得到的度数即可． 【详解】解：， 平分 ． 答：的度数为． 【易错必刷十六 角平分线的判定定理】 46．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，点在边上，连接，，，与的面积之比为，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的判定定理，过点作，分别垂直于，，根据与的面积之比为，证的，可知平分，进而即可求解． 【详解】解：过点作，分别垂直于，， ∵与的面积之比为， ∴， ∴， ∴平分， 又∵， ∴， 故选：C． 47．（25-26八年级上·吉林松原·期中）如图，在Rt中，，点在边上，且，若点到的距离为3，则______度． 【答案】25 【分析】过点作于点，根据点到的距离为3，则，根据角平分线的判定定理可知平分，根据三角形的内角和定理求出，进而可求出的度数． 【详解】解：过点作于点， 点到的距离为3， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， 故答案为：25． 【点睛】本题考查了角平分线的判定，解题的关键是熟记角平分线的判定定理并灵活运用． 48．（24-25八年级上·山东聊城·阶段检测）如图所示，，P是的中点，且平分，连接．求证：平分 【答案】 证明：过P作于Q，如图， ∵P是的中点， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分． 【分析】本题主要考查角平分线的性质和判定，过P作于Q，由中点得，结合角平分线的性质得，则，即可判定平分． 【详解】略 【易错必刷十七 全等三角形综合问题】 49．（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图，在中，，，D、E是边上的两点，且，过点A作，过点C作，交于点F，连结有下列结论： ①；②；③若，，则；④． 其中错误的是（    ）    A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型-“半角”模型，通过证明，，再根据全等三角形的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ 即：， ∴，故①正确； ∴ ∵，， ∴ ∵ ∴ ∴，故②正确； ∵，， ∴，， ∵， ∴，故③正确； 由①②得：， 若， 则，显然错误 故④错误； 故选：D． 50．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在四边形中，，，连接，点F在上，连接交于点E，，于，若，则___________． 【答案】2 【分析】过点作于点G．由题意易证，即得出．再根据，即可求出，从而又易证，即得出，进而可求出． 【详解】如图，过点作于点G． ∴， ∴，， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵，， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质．正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． 51．（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，点A，E，F，B在直线l上，， ，且，求证： (1)； (2) ． 【答案】(1) 证明：∵ ， ∴   ， ∴ ， ∵ ，   ∴， 在与中  ， ∴ ， ∴ ； (2) 证明：∵≌ ∴ ∴． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质及全等三角形判定与性质， （1）先证明及，即可证明从而证明结论； （2）根据全等三角形性质得出即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 学科网（北京）股份有限公司 $