--微专题4 全等三角形中的一线三等角问题 课件 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦全等三角形中的一线三等角问题，通过直角、锐角、钝角三种类型题目导入，衔接全等三角形判定知识，以“找等角—倒角—证全等”为学习支架，帮助学生构建模型认知脉络。 其亮点是采用三阶分层训练（识别—应用—综合），结合解题通法总结，培养几何直观与推理能力。如通过含45°直角三角板题目引导抽象模型，综合题拓展至任意角，发展模型意识。学生能系统掌握方法，教师可高效开展分层教学。

微专题4　全等三角形中 的一线三等角问题 第十四章 全等三角形 八年级上 温馨提示：点击内容可跳转至相应页面。 一阶　识别模型 1 二阶　应用模型 2 三阶　综合训练 3 一阶　识别模型 类型1　直角型43考 1. 将一个含45°角的直角三角板ABC按如图所示放置，直角顶点C在 直线l上，过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E，求证： △ADC≌△CEB. 第1题图 6 5 4 3 2 1 返回目录 证明：由含45°角的直角三角板可知，AC＝CB，且∠ACB＝90°， ∴∠ACD＋∠BCE＝90°. ∵AD⊥l，BE⊥l，∴∠CDA＝∠BEC＝90°， ∴∠ACD＋∠CAD＝90°，∴∠CAD＝∠BCE. 在△ADC和△CEB中， ∴△ADC≌△CEB(AAS). 第1题图 6 5 4 3 2 1 返回目录 类型2　锐角型21考 2. 如图，在△ABC中，CB＝AC，F为AB边上一点，连接CF，D，E 在线段CF上，连接AD，AE，BE，已知∠BCA＝∠BEF＝∠ADF， DE＝BE，求证：AD是△ACE的中线. 第2题图 6 5 4 3 2 1 返回目录 证明：∵∠BCA＝∠BCE＋∠DCA，∠BEF＝∠EBC＋∠BCE， ∠BCA＝∠BEF， ∴∠DCA＝∠EBC. ∵∠BEF＝∠ADF，∴∠BEC＝∠CDA. 在△CEB和△ADC中， ∴△CEB≌△ADC(AAS)，∴BE＝CD. ∵DE＝BE，∴CD＝DE，即D是CE的中点， ∴AD是△ACE的中线. 第2题图 6 5 4 3 2 1 返回目录 类型3　钝角型8考 3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，连接 BD，CE且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：DE＝BD＋CE. 第3题图 证明：∵∠DBA＋∠BAD＋∠BDA＝180°， ∠BAD＋∠BAC＋∠EAC＝180°，∠BDA＝∠BAC， ∴∠DBA＝∠EAC. 在△ADB和△CEA中， ∴△ADB≌△CEA(AAS)，∴BD＝AE，CE＝AD， ∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE. 6 5 4 3 2 1 返回目录 解题通法 【认识一线三等角】 三个相等的角的顶点在同一条直线上，其中两个角的一边与该直线重 合，称为一线三等角. 【常见的一线三等角】 直角： 6 5 4 3 2 1 返回目录 锐角： 钝角： 6 5 4 3 2 1 返回目录 【解题通法】 1. 找等角：同一条直线上存在三个相等的角，如图中的∠1＝∠2＝∠3. 2. 倒角计算：根据平角及外角定理进行等角代换，得出另一组相等的角. 3. 证全等：利用“ASA”或“AAS”判定三角形全等，得到△BEC≌△CDA. 6 5 4 3 2 1 返回目录 二阶　应用模型 4. 将长方形ABCD与正方形AEFG按如图所示摆放，点E恰好落在BC 上，连接CF. 已知BC＝8，BE＝3，求△ECF的面积. 第4题图 解：如解图，过点F作FP⊥BC于点P， ∵四边形ABCD为长方形，FP⊥BC， ∴∠B＝∠EPF＝90°， ∴在Rt△ABE中，∠BAE＋∠AEB＝90°. ∵四边形AEFG为正方形， ∴∠AEF＝90°，AE＝EF， 第4题解图 6 5 4 3 2 1 返回目录 ∴∠AEB＋∠PEF＝180°－∠AEF＝90°， ∴∠BAE＝∠PEF. 在△ABE和△EPF中， ∴△ABE≌△EPF(AAS)，∴BE＝FP＝3. ∵CE＝BC－BE＝8－3＝5， ∴S△ECF＝ CE•FP＝ ×5×3＝ . 将长方形ABCD与正方形AEFG按如图所示摆放，点E恰好落在BC上，连接CF. 已知BC＝8，BE＝3，求△ECF的面积. 第4题解图 6 5 4 3 2 1 返回目录 三阶　综合训练 5. 如图，在△FAD中，B是FA的中点，E，C是FD上两点，连接 BE，BC，CA，且∠BEC＝∠BCA＝∠D，EC＝AD. 已知S△FBE＝ 14，S△ADC＝6，则△FAD的面积为 ⁠. 第5题图 46 本题改编自万唯《几何模型》 6 5 4 3 2 1 返回目录 6. (2024河南商丘永城实验中学期中)(1)如图①，已知：在△ABC中， ∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥m于D，CE⊥m于 E，求证：DE＝BD＋CE； 第6题图 6 5 4 3 2 1 返回目录 (1)证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA＝90°， ∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°， ∵∠BAD＋∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD， 在△ADB和△CEA中， ∴△ADB≌△CEA(AAS)， ∴AE＝BD，AD＝CE， ∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE； 6 5 4 3 2 1 返回目录 (2)拓展：如图②，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D， A，E三点都在直线m上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，α为任意 锐角或钝角，请问结论DE＝BD＋CE是否成立？若成立，请证明；若不 成立，请说明理由； (2)解：结论DE＝BD＋CE成立；证明如下： ∵∠BDA＝∠BAC＝α， ∴∠DBA＋∠BAD＝∠BAD＋∠CAE＝180°－α， ∴∠CAE＝∠ABD， 6 5 4 3 2 1 返回目录 在△ADB和△CEA中， ∴△ADB≌△CEA(AAS)， ∴AE＝BD，AD＝CE， ∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE； (2)拓展：如图②，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D， A，E三点都在直线m上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，α为任意 锐角或钝角，请问结论DE＝BD＋CE是否成立？若成立，请证明；若不 成立，请说明理由； 6 5 4 3 2 1 返回目录 (3)应用：如图③，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB＝AC，∠BAD＞ ∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，直线m与BC的延长线交于点F， 若BC＝2CF，△ABC的面积是12，求△ABD与△CEF的面积之和. (3)解：∵∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC， ∴∠CAE＝∠ABD， 在△ABD和△CAE中， ∴△ABD≌△CAE(AAS)，∴S△ABD＝S△CAE， 6 5 4 3 2 1 返回目录 设△ABC的底边BC上的高为h，则△ACF的底边CF上的高为h， ∴S△ABC＝ BC•h＝12，S△ACF＝ CF•h， ∵BC＝2CF，∴S△ACF＝6， ∵S△ACF＝S△CEF＋S△CAE＝S△CEF＋S△ABD＝6， ∴△ABD与△CEF的面积之和为6. (3)应用：如图③，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB＝AC，∠BAD＞ ∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，直线m与BC的延长线交于点F， 若BC＝2CF，△ABC的面积是12，求△ABD与△CEF的面积之和. 6 5 4 3 2 1 返回目录 $