专题03 有理数的乘方重难点题型专训（4个知识点+14大题型+自我检测）2026-2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数的乘方核心知识点，系统梳理乘方概念、运算及逆运算，乘方与有理数混合运算的顺序法则，科学记数法的表示与还原，近似数的精确度及取值范围，构建从基础概念到实际应用的递进学习支架。 资料通过14类基础题型与2类提高题型分层设计，结合即时训练、例题解析及自我检测，培养学生抽象能力、运算能力与应用意识，如算“24”点、程序流程图等题型提升数学思维，课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺，强化知识掌握。

专题03 有理数的乘方重难点题型专训（4个知识点+14大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、有理数幂的概念理解 1 题型二、有理数的乘方运算 2 题型三、有理数乘方逆运算 3 题型四、乘方运算的符号规律 4 题型五、乘方的应用 5 题型六、程序流程图与有理数计算 6 题型七、算“24”点 7 题型八、含乘方的有理数混合运算 8 题型九、计算器——有理数 9 题型十、用科学记数法表示绝对值大于1的数 10 题型十一、将用科学记数法表示的数变回原数 11 题型十二、求一个数的近似数 12 题型十三、求近似数的精确度 13 题型十四、近似数推断取值范围 14 第二部分·练提高题型 题型一、二进制问题 1 题型二、有理数乘方中规律探究问题 2 第三部分・自我检测 知识点01 理数的乘方 1.乘方的概念：一般地，n个相同的因数a相乘，记作，读作a的n次方。 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。 2.乘方的结果叫做幂（power）；在中，a叫做底数（base number），n叫做指数（exponent）。 【即时训练】 1．（25-26七年级上·广东梅州·期末）的值是（    ） A．2026 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘方的运算，正数的任何次幂都是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数，0的任何正整数次幂都等于0． 根据负数的偶次幂为正数计算即可． 【详解】解：． 故选C． 2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）将二进制数转化为十进制表示的数是____________． 【答案】6 【分析】本题考查二进制数转换为十进制数的方法，通过每位数字乘以的相应幂次并求和即可． 【详解】解：根据二进制数转换为十进制数的规则，． 故答案为：． 知识点02 有理数的混合运算 1.有理数混合运算法则：①先算乘方,再算乘除,最后算加减。 ②如果有括号,先算括号里面的。 2.混合运算顺序：· 先算乘方，再乘除，后加减； · 同级运算，从左到右进行； · 如有括号，先算括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 【即时训练】 1．（2026·吉林长春·模拟预测）是的（     ） A．2倍 B．3倍 C．6倍 D．9倍 【答案】B 【详解】解：，，且， 是的倍． 2．（25-26七年级上·广东江门·期末）计算：___________． 【答案】 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，掌握运算法则是关键；先计算乘方 ，再计算加法． 【详解】解：原式． 故答案为：． 知识点03 科学计数法 （1）把一个大于10的数记成的形式，其中a是整数数位只有一位的数（即），n是正整数，这样的记数方法叫科学记数法。 （2）把还原成原数时，只需把a的小数点往前移动n位。 【即时训练】 1．（25-26七年级下·广东茂名·期末）国家邮政局数据显示，今年前4个月，我国快递业务量累计完成645.7亿件，同比增长．展现出我国邮政快递业强劲的增长动力．将“645.7亿”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：亿． 2．（2026·江西·模拟预测）初三学生从三月初开学后每天在校学习时间大约28000秒，请将数28000用科学记数法表示，记为______． 【答案】 【详解】． 知识点04 近似数 1、近似数概念：在实际问题中，由“四舍五入”得到的数或大约估计的数都是近似数。（近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0.） 2、有效数字概念：一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字。 3、精确度：表示一个近似数与准确数的接近程度，一个近似数，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位。 【即时训练】 1．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期末）近似数7.21精确到（   ） A．个位 B．百位 C．十分位 D．百分位 【答案】D 【分析】本题主要考查了近似数的精确度，熟练掌握“近似数的精确度由最后一位数字所在的数位决定”是解题的关键．根据近似数的精确度定义，判断最后一位数字所在的数位，即可确定该近似数精确到的位置． 【详解】解：∵近似数的最后一位数字位于百分位， ∴它精确到百分位， 故选：． 2（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）地球与月球的距离大约为，将精确到万位，取得的近似数是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法和求一个数的近似数，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；用科学记数法表示后，再利用四舍五入取近似值即可得到答案． 【详解】解：（精确到万位）， 故答案为：． 【基础题型一 有理数幂的概念理解】 【例1】（26-27七年级·全国·暑假作业）计算可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据有理数幂的意义得：． 【例2】（24-25七年级上·全国·课后作业）在中，底数是______，指数是______，结果是______． 【答案】 4 【分析】本题考查了有理数幂的概念，根据有理数幂的概念解答即可，熟练掌握有理数幂的概念是解此题的关键． 【详解】解：在中，底数是，指数是4，结果是， 故答案为：，4，． 1．（2025·河南郑州·模拟预测）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了乘法和乘方的意义，熟练掌握乘法和乘方的意义是解题的关键．根据乘法和乘方的意义求解即可． 【详解】解： ， 故选：D． 2．（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段检测）的底数是______，指数是______，写成积的形式是______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数幂的定义，根据幂的定义，即可求解． 【详解】解：的底数是，指数是，写成积的形式是 故答案为：，，． 3．（25-26七年级上·贵州黔东南·期中）综合实践：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的四次商”，一般地，我们把个相除记作，读作“的次商”． (1)直接写出结果： ； (2)运算转换：有理数的除方运算转化为乘方运算，例：．仿照上面的算式，将下列的运算结果直接写成乘方（幂）的形式 ； ； (3)计算：． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】本题考查了新定义运算，有理数乘方的运算； （1）根据新定义进行计算即可求解； （2）把有理数的除方运算转化为乘方运算进行计算； （3）先把除方运算转化为乘方运算进行计算，然后进行乘除运算． 【详解】（1）解：； 故答案为：． （2） 故答案为：；；． （3）解： ． 【基础题型二 有理数的乘方运算】 【例1】（26-27七年级上·浙江杭州·期中）计算：（     ） A．16 B．2 C．1 D． 【答案】D 【详解】解：． 【例2】（25-26七年级上·安徽安庆·期末）计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 先计算乘方和绝对值，再计算减法即可． 【详解】解：． 故答案为： ． 1．（25-26七年级上·湖北荆州·期末）下列各数：，，0，，其中比1大的数是（　　） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】先化简题干中给出的各数，再将化简后的数与1比较大小，即可得到答案． 【详解】解：依次化简各数并比较大小： ∵ = ，且 ， ∴A不符合要求． ∵ = ，且 ， ∴B不符合要求． ∵ ， ∴C不符合要求． ∵ = ，且 ， ∴D符合要求． 故选：D． 2．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）对于等式，定义已知，求的运算为对方运算，记为，例如已知，求，因为，所以，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，有理数的乘方的应用；根据对方运算的定义，分别求和的值，再计算它们的和． 【详解】解：因为，所以； 因为，所以； 因此． 故答案为：6． 3．（24-25七年级上·云南昆明·期末）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： ；； ；； ；． ． (1)______； (2)已知：，其中，a为负数，求a的值； (3)是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)29 (2) (3)存在， 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∵a为负数， ∴； （3）解：存在，理由如下， ， ∵，， ∴，， 解得，，． 【基础题型三 有理数乘方逆运算】 【例1】（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）计算的结果是（    ）． A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘方的意义，通过拆分指数将原式转化为可利用乘方意义进行计算的形式，进而简便计算． 【详解】解：∵， ∴原式 ， 故选：A． 【例2】（25-26七年级上·福建宁德·期末）已知某个有理数乘方的结果是16，则该乘方运算是_____．（写出一个即可，用的形式表示） 【答案】（或或或） 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，解题的关键是找出满足乘方结果为16的有理数底数与指数组合． 根据乘方的定义，寻找有理数和整数，使得，写出其中一组即可． 【详解】解：因为， 所以该乘方运算可以是（或、等，任选其一即可）． 故答案为：（或或或）． 1．（25-26七年级下·福建三明·阶段检测）计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 【答案】B 【分析】根据有理数乘方的逆运算法则计算即可得． 【详解】解：原式 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数乘方的逆运算，熟练掌握有理数乘方的逆运算法则是解题关键． 2．（25-26七年级下·山东枣庄·期末）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：，．根据上述规定，填空：___________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 3．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）根据乘方的意义及乘法运算律可知： ； ； (1)根据以上材料可知： ___________， ___________（n为正整数）； (2)根据上面得到的结论，计算： ___________． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘方、有理数乘方的逆运算等知识点，掌握有理数乘方的逆运算是解题的关键． （1）根据阅读材料中的运算过程变形即可解答； （2）根据阅读材料，结合根据（1）的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：； ． 故答案为：，． （2）解：由（1）的结论可得：． 【基础题型四 乘方运算的符号规律】 【例1】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）一个负数的奇次幂为（    ） A．正数 B．负数 C．正数或负数 D．分数 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，根据正数的任何次幂都是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂为负数求解即可． 【详解】解：正数的任何次幂都是正数，几次幂就是几个数相乘，例如2的3次幂就是3个2相乘，8的5次幂就是5个8相乘…都是正数相乘，结果肯定是正数．负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．因为负负得正，所以两个负数相乘等于正数，负数的奇次幂两两配对后，还多一个负数，所以结果就是负数， 故选：B． 【例2】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）在，，，中，结果是负数的有_________个． 【答案】1 【分析】分别计算四个数的结果，判断正负性，统计负数的个数． 【详解】解：逐个计算各数并判断正负： ，结果为正数，不是负数； ，结果为负数，是符合要求的数； ，结果为正数，不是负数； ，结果为正数，不是负数； 统计可得，结果是负数的共有个． 1．（25-26七年级上·江西上饶·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则与积的乘方逆运算，将高次幂拆分为同指数幂，进行凑整计算是解题关键． 先把拆成，再把和合并为，最后算出结果． 【详解】解：原式 ， ． 故选：． 2．（2026·甘肃武威·模拟预测）观察下列等式：，，，，，，，…通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是______． 【答案】4 【分析】观察已知等式可知，以2为底的幂的个位数字按，，，依次循环，计算得到余数，根据余数即可确定的个位数字． 【详解】解：观察给出的等式，，，，，…， ∴以2为底的幂的个位数字每4个数为一个循环组依次循环，循环顺序为，，，． ， ∴的个位数字与的个位数字相同，是． 3．（25-26七年级上·全国·寒假作业）记， ， ，…， (1)填空： ______，是一个______（填“正数”或“负数”）． (2)计算的值． (3)当时，求的值． 【答案】(1)；正数 (2) (3) 【分析】此题考查数字的变化规律，掌握乘方的意义，判定负数乘方的计算结果是解决问题的关键． （1）根据有理数的乘法法则得出答案即可； （2）先根据乘法法则计算，再根据有理数的加法计算，可得答案； （3）由题意可得，，然后代入计算即可求解． 【详解】（1）解：， 由1000个相乘，则是一个正数， 故答案为：；正数； （2）解：， ， 所以； （3）解：，则n为奇数， ，， ． 【基础题型五 乘方的应用】 【例1】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）把足够大的一张厚度为的纸连续对折，要使对折后的整叠纸总厚度超过，至少要对折（     ） A．次 B．次 C．次 D．次 【答案】C 【分析】根据题意明确第n次对折后的厚度为，根据，求出n的最小整数值即可． 【详解】解：设对折次后整叠纸总厚度为． 由题意得， ． ，，， ， 至少要对折8次． 【例2】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）我们常用的数是十进制数，如十进制中的数，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，而在电子计算机中用的二进制的数只用两个数码：0和1，如果二进制中的等于十进制的11，二进制中的数等于十进制的13，那么二进制中的数转换为十进制的数是_____． 【答案】5 【分析】根据题目给出的二进制转十进制的规则，将二进制数按位展开后计算乘方与加法，即可得到结果． 【详解】解：根据二进制转十进制的规则展开， 得， 即二进制中的数转换为十进制的数是． 1．（2026·河南三门峡·一模）所有的放射性物质都有自己的半衰期，放射性物质的半衰期是其质量缩减为原来一半所用的时间，是一个不变的量．2025年河南核医疗产业发展迅速，某医用放射性物质的初始质量为mg，经历3个半衰期后，剩余质量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ 半衰期是放射性物质质量缩减为原来一半所用的时间，初始质量为， ∴ 经过个半衰期后，剩余质量为， 经过个半衰期后，剩余质量为， 经过个半衰期后，剩余质量为. 2．（2026·广东广州·模拟预测）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：，．计算机中常用的十六进制是逢进的计数制，采用数字和字母共个计数符号，满十六进一，它与十进制对应的数如表： 十进制 0 1 2 … 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 … 十六进制 0 1 2 … 8 9 A B C D E F 10 11 … 将十六进制数转换为十进制数为____________，十六进制下_______________． 【答案】 【分析】根据题目给出的十六进制与十进制的对应规则，第一空直接按规则将十六进制转换为十进制计算即可，第二空先求出乘积对应的十进制结果，再将十进制结果转换为十六进制即可． 【详解】解：由表格可知，十六进制的对应十进制的， 根据转换规则得； 由表格可知，十六进制的对应十进制，对应十进制， 先计算十进制下的乘积得， 将十进制转换为十六进制得， 由表格可知，十进制对应十六进制的，因此结果为． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，你能由此得出计算规律吗？ (1)计算：． (2)由此猜测：从1开始的n个连续奇数之和等于多少？选择n的一些值，用计算器计算，验证你的猜想． 【答案】(1)6 (2)解：由（1）可推知，从开始的个连续奇数的和是：． 验证猜想：时，， 时，． 验证正确． 【分析】（1）观察图形总结规律解答即可； （2）利用（1）得出的规律即可解决问题． 【详解】（1）解：由题可知： ， ， ， ， ， ∴． （2）略． 【基础题型六 程序流程图与有理数计算】 【例1】（24-25七年级下·陕西西安·期末）任意给一个非零数，按如图所示的程序写出输出结果，则与之间的关系式为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照程序给出运算顺序列出代数式，然后化简式子即可得到与的关系式． 【详解】解：根据程序步骤列式： ， ， ． 【例2】（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图是一个“数值转换机”的示意图，若输入的数是，则输出数是________． 【答案】 【分析】依据程序图中的程序，利用有理数的混合运算的法则解答即可． 本题主要考查了有理数的混合运算，正确理解程序图中的程序并依据程序列式计算是解题的关键． 【详解】解：若输入的数是，则， 所以， 此时输入的数是，则， 则， 所以输出， 故答案为：． 1．（24-25七年级上·广东佛山·阶段检测）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序，第一次计算输出的结果是，第二次计算输出的结果是，，这样下去第次计算输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数字的变化规律，通过计算探索出输出结果的循环规律是解题的关键． 通过计算发现，从第次开始，每次输出的结果以“，，，”为一个周期循环出现，则可知第次计算输出的结果与第次计算输出的结果相同，由此求解即可． 【详解】解：第一次计算输出的结果是， 第二次计算输出的结果是， 第三次计算输出的结果是， 第四次计算输出的结果是， 第五次计算输出的结果是， 第六次计算输出的结果是， ， ∴从第次开始，每次输出的结果以“，，，”为一个周期循环出现， ∵， ∴第次计算输出的结果是． 故选：D． 2．（25-26七年级上·辽宁锦州·期中）小海在自学了简单的电脑编程后，设计了如图所示的程序，若他输入的数是，则执行了程序后，输出的数是______． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算的法则，属于中考常考题型．由于输入的数是，根据所给程序图可以列式，通过判断上式结果的绝对值与100的大小关系，即可确定是输出结果还是继续计算，据此解答． 【详解】解：， ，故循环； ， ，故输出． 即输出的数是． 故答案为：． 3．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“”进行运算，则所列算式为“”． (1)若按“”进行计算，先列出算式，再直接写出结果； (2)若琪琪同学按“进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据流程图规则列式计算即可； （2）根据流程图规则列式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得， ∴原式． 【基础题型七 算“24”点】 【例1】（24-25七年级上·湖北武汉·期中）下面各组数中，不能通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24的是（　　） A．1，1，7，7 B．2，2，8，8 C．1，1，2，8 D．1，1，4，6 【答案】A 【分析】本题考查有理数的四则运算，通过尝试不同的四则运算组合，判断每组数字是否能得到24． 【详解】解：A、无法通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； B、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； C、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； D、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24． 故选：A 【例2】（24-25六年级上·山东烟台·期中）你会玩“24点”游戏吗？规则：任取四个整数（每个数用且只能用一次，可以加括号）进行加、减、乘、除四则运算，算其结果等于24或．现在四个数分别是、、3、5，请根据规则写出结果为24或的等式__________________ 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：依题意可得（答案不唯一）． 1．（25-26七年级上·云南保山·期中）有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数必须且只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10．运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，通过计算每个算式的值，判断是否等于24即可得到答案． 【详解】解：A、，原式不正确，符合题意； B、，原式正确，不符合题意； C、，原式正确，不符合题意； D、，原式正确，不符合题意； 故选：A． 2．（25-26七年级上·浙江丽水·期末）有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方中的几种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果为“24”者获胜．现已抽出如图所示的四张牌（A表示1），则可算“24”点的算式是________（写出一个即可）　                  　 ． 【答案】 【分析】根据题意和题目中的数字，可以写出一个结果为24的算式，注意本题答案不唯一． 【详解】解： 3．（25-26七年级上·全国·期末）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中抽取2张卡片，将2张卡片上的数字分别作为底数和指数，使所得的幂最大，应如何抽取？幂的最大值是多少？ (2)从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最小，应如何抽取？积的最小值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，将四个数（四个数都用且只能用一次，可使用括号） “”、“”、“”、“”运算，使其结果等于．（写出一种情况即可） 【答案】(1)抽取和两张卡片，幂最大，最大为 (2)抽取、、三张卡片，乘积最小，最小为； (3)抽取、、、，（答案不唯一） 【分析】（1）如果底数是正数，指数越大，幂越大；如果底数是负数，指数必须是偶数，结果才为正数，且底数的绝对值越大、指数越大，幂越大．指数越大，幂通常越大，据此即可求解； （2）根据同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，计算积，再根据有理数的大小比较解答即可； （3）根据有理数的混合运算解答即可． 【详解】（1）解：和两张卡片，幂最大，； （2）解：根据正数大于零，正数大于负数， 故抽取的卡片上的数字之积为负数时，积最小， 抽取、和三张卡片，乘积最小，最小为； （3）解：抽取、、、，（答案不唯一） 【基础题型八 含乘方的有理数混合运算】 【例1】（25-26七年级上·安徽亳州·阶段检测）定义新运算“⊕”：，则的值为（     ） A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】B 【详解】解：由，得. 【例2】（2026七年级下·安徽合肥·模拟预测）定义：，则________． 【答案】 【分析】根据给出的新运算定义，将对应数值代入公式计算即可． 【详解】解：由定义可知， ∴． 1．（2026·河北石家庄·二模）有一个硬纸做成的礼品盒，用彩带扎住（如图），打结处用去的彩带长厘米．做这样一个礼品盒至少要硬纸（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用两个底面积加侧面积即可. 【详解】解：， ∴做这样一个礼品盒至少要硬纸. 2．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）规定一种运算：，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据新定义代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）下列计算是否正确？若不正确，试说明错在哪里，并予以改正： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) 不正确，错误原因：运算顺序错误，未先计算乘方与除法，优先计算了减法 改正： ； (2) 不正确，错误原因：运算顺序错误，未先计算乘方，优先计算了乘法 改正： ； (3) 不正确，错误原因：运算顺序错误，错误去掉括号使用除法分配律，应先计算括号内的乘法 改正： ； (4) 不正确，乘法运算符号错误，的结果为，原题错误计算为，乘方计算错误，结果应为 改正： ． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 【基础题型九 计算器——有理数】 【例1】（25-26六年级上·山东烟台·期末）用课本上的计算器进行计算，若按键顺序如下：，则计算结果是（    ） A．1 B．2 C．4 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的除法运算，先理解题意，得出，即可作答． 【详解】解：观察题干，得出， 则计算结果是 故选：C． 【例2】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）使用计算器计算：，其按键顺序如表第一行，计算结果是，那么根据第二行的按键顺序得到的计算结果是_______． 行 按键顺序 第一行 第二行 【答案】 【分析】此题考查了计算器的使用和有理数的四则混合运算，根据题意正确列式是关键．根据列式，再根据有理数的四则混合运算顺序计算即可． 【详解】解：根据题意得， ， 故答案为：． 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，与下面科学计算器的按键顺序对应的计算任务是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用计算器进行计算，解题关键是知道每个键的含义． 根据计算器各键的含义即可得出． 【详解】解：由计算器的按键顺序可知，对应的任务为：， 故选：B． 2．（25-26六年级上·山东烟台·期中）如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序如下： 则显示器显示的结果为______． 【答案】 【分析】本题考查了计算器的使用，有理数的混合运算，熟练掌握计算器的使用和有理数的运算法则是解题的关键． 根据计算器的按键顺序，列出算式，再运算即可得答案． 【详解】解：由题意可得，， 故答案为：． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）利用计算器进行如下计算： 任意写出一个正整数（例如3708），求出它的各位数字的平方和（）：再对这个平方和求出各位数字的平方和……，如此继续下去．你能发现什么规律？ 【答案】任意正整数反复计算各位数字的平方和，最终只会出现两种结果： （1）最终得到1，之后不断以1循环； （2）最终进入循环，无其他情况． 【分析】先计算出前15次的各项数字的平方和，找出规律求解． 【详解】解：对正整数1，可知各位数字的平方和恒为1； 对正整数205， 第1次求出它的各位数字的平方和： ， 第2次求出它的各位数字的平方和：， 第3次求出它的各位数字的平方和：， 第4次求出它的各位数字的平方和：， 第5次求出它的各位数字的平方和：， 第6次求出它的各位数字的平方和：， 第7次求出它的各位数字的平方和：， 第8次求出它的各位数字的平方和： = 16， 第9次求出它的各位数字的平方和：， 第10次求出它的各位数字的平方和：， 第11次求出它的各位数字的平方和：， …； ∴从第三次操作开始，序列进入循环：， 对正整数3708， 第1次求出它的各位数字的平方和：； 第2次求出它的各位数字的平方和：； 第3次求出它的各位数字的平方和：81； 第4次求出它的各位数字的平方和：； 第5次求出它的各位数字的平方和：； 第6次求出它的各位数字的平方和：； 第7次求出它的各位数字的平方和：； 第8次求出它的各位数字的平方和：； 第9次求出它的各位数字的平方和：； 第10次求出它的各位数字的平方和：； 第11次求出它的各位数字的平方和：； 第12次求出它的各位数字的平方和：4； 第13次求出它的各位数字的平方和：16； 第14次求出它的各位数字的平方和：； 第15次求出它的各位数字的平方和：； …； 从第6次开始，结果为37、58、89、145、42、20、4、16不断地重复循环出现； 综上所述，任意正整数反复计算各位数字的平方和，最终只会出现两种结果： （1）最终得到1，之后不断以1循环； （2）最终进入循环，无其他情况． 【基础题型十 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 【例1】（2026·广东广州·模拟预测）2026年月，我国新能源汽车出口约1830000辆，将1830000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将1830000用科学记数法表示为． 【例2】（2026·江苏徐州·模拟预测）淮海战役期间有名群众支援前线，用科学记数法表示为________________． 【答案】 【详解】解：． 1．（2026·浙江温州·模拟预测）某市在一次扶贫助残活动中，捐款约元，请将元用科学记数法表示，其结果是（     ）元 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将元用科学记数法表示，其结果是元． 2．（25-26七年级下·广西桂林·期中）某植物的光合作用所需的太阳辐射波长约为，数据500用科学记数法表示为______． 【答案】 【详解】解：500用科学记数法表示为． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）为节约水资源，某中学环保宣传小组做了一项调查．调查结果显示，如果我们洗漱时都能及时关掉水龙头，那么每人每次可节省约的水． (1)如果某市有160万人，每人每天洗漱2次，并且在洗漱时都能及时关掉水龙头，那么每天共可节约多少毫升的水？ (2)如果用容量为的水瓶来装（1）中节约的水，那么可以装满多少瓶？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了科学记数法．将数据用科学记数法表示，即写成的形式，其中，n为整数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据160万，且结合每人每天洗漱2次，每人每次可节省约的水，进行列式计算，即可作答． （2）根据用容量为的水瓶来装（1）中节约的水，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，160万， 则， 即每天共可节约毫升的水； （2）解：由（1）得每天共可节约毫升的水； ∵用容量为的水瓶来装（1）中节约的水， ∴ 即可以装满瓶． 【基础题型十一 将用科学记数法表示的数变回原数】 【例1】（2026七年级上·安徽合肥·专题练习）表示的原数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据科学记数法的定义，移动小数点即可得到原数． 【详解】解：科学记数法形式为（，为正整数），还原原数时需将的小数点向右移动位， 本题中，，将的小数点向右移动位， 得到原数为． 【例2】（2026七年级上·安徽合肥·专题练习）中国的森林面积大约为公顷，将其还原为原数是__________． 【答案】128600000 【详解】解：． 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）若一个数用科学记数法表示为，则这个数是（    ） A．527000000 B．5270000 C．527000 D．52700000 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法，用科学记数法表示的数还原成原数时，时，是几，小数点就向右移几位． 【详解】解：， 用科学记数法表示为，则这个数是． 故选：B． 2．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）36 000 000用科学记数法表示应为________________；的原数是_______________ 【答案】 【分析】本题考查科学记数法，以及将用科学记数法表示的数变回原数，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，为整数（确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位）． 【详解】解：36 000 000用科学记数法表示应为， 的原数是， 故答案为：，． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）写出下列用科学记数法表示的数的原数： (1)北京故宫的占地面积约为； (2)长城长约千米； (3)太阳和地球的距离大约是千米； (4)全球每年大约有的水从海洋和陆地转化为大气中的水汽． 【答案】(1)720000 (2)6300 (3)150000000 (4) 【分析】（1）将的小数点向右移动5位即可； （2）将的小数点向右移动3位即可； （3）将的小数点向右移动8位即可； （4）将的小数点向右移动14位即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【点睛】本题主要考查了将用科学记数法表示的数化为原数，解题的关键是掌握用科学记数法表示的数的形式，其中，n为整数，小数点向右移动的位数等于n的值． 【基础题型十二 求一个数的近似数】 【例1】（25-26七年级上·福建泉州·期中）用四舍五入法把精确到百分位，所得到的近似数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了近似数与精确度，精确到百分位需保留两位小数，看千分位数字四舍五入． 【详解】解：（精确到百分位） 故选：D． 【例2】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）数字_______（用四舍五入法精确到十分位）． 【答案】 【分析】本题考查近似数与有效数字，小数的数位，理解四舍五入法的规则是解题关键． 精确到十分位，需看百分位数字，，故进位． 【详解】解：数字精确到十分位时，百分位数字是，根据四舍五入法，，向十分位进位，十分位变为，故． 故答案为：． 1．（25-26七年级上·河北衡水·期中）学完近似数后，老师开展了随堂测试，下面是嘉嘉的答卷，则他做对的题目数量是（   ） 姓名：嘉嘉  做对______道 判断（正确打√，错误打×） ①近似数与表示的意义相同．（√） ②近似数精确到．（√） ③近似数“万”精确到了千分位．（×） ④保留两位小数的近似数是．（√） A．道 B．道 C．道 D．道 【答案】C 【分析】本题考查了近似数的相关知识，，熟记相关结论是解题关键． 根据近似数的精确度和有效数字的意义，逐题判断嘉嘉的答案的正误即可． 【详解】①：精确到十分位，精确到百分位，意义不同， ∴ 嘉嘉的判断错误； ②：的最后一位在万分位，精确到， ∴ 嘉嘉的判断正确； ③：万，最后一位数字“”在十位，故“万”精确到十位， ∴ 嘉嘉的判断正确； ④：保留两位小数，第三位小数，舍去得， ∴ 嘉嘉的判断正确； ∴ 嘉嘉做对道题． 故选：C． 2．（25-26七年级下·北京密云·期末）2025年是“十四五”规划收官之年，我国经济稳步前行，体现了高质量发展的成效．下表记录了年我国全员劳动生产率的数据． 年份 2021 2022 2023 2024 2025 全员劳动生产率（万元/人） 用趋势图描述我国年全员劳动生产率的发展趋势，如图所示： 预测2026年我国全员劳动生产率约为___________万元/人（结果精确到）． 【答案】 【分析】先计算这5年我国全员劳动生产率的平均增长值，再预测即可． 【详解】解：根据题意，得年增量为：； 年增量为：；年增量为：； 年增量为：； 平均增量为：， 故预测2026年我国全员劳动生产率约为：万元/人； 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，已知圆环的外圆半径为，内圆半径为，圆环的面积是多少平方毫米？（精确到百位） 【答案】圆环的面积约为． 【分析】圆环面积等于外圆面积减去内圆面积，代入半径计算后按要求取近似值即可． 【详解】解：因为内圆面积，外圆面积， 所以圆环面积外圆面积内圆面积， 因为精确到百位是， 所以圆环的面积约为平方毫米． 【基础题型十三 求近似数的精确度】 【例1】（25-26七年级上·湖北随州·期末）《九章算术》的“粟米”一章中提到斗粟米可以兑换斗御米，用四舍五入法将精确到百分位，得到的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数的近似，准确分析判断是解题的关键． 精确到百分位需看千分位数字，千分位为，故进位． 【详解】∵ 的千分位数字是8，， ∴ 向百分位进位，百分位1变为2， ∴ 得到． 故选：D． 【例2】（25-26六年级上·山东淄博·期中）近似数132.56万精确到_____． 【答案】百位 【分析】本题考查了近似数与精确度，熟练掌握精确度的定义是解答本题的关键．近似数的最后一个数字实际在什么位上，即精确到了什么位，要求精确到某一位，应当对下一位的数字进行四舍五入． 近似数带单位时，精确度由最后一位数字所在的位置决定． 【详解】解：近似数132.56万可表示为．最后一位数字6在1325600中位于百位，故该近似数精确到百位． 故答案为：百位． 1．（25-26七年级上·浙江衢州·期中）近似数3.5万精确到（   ） A．百分位 B．十分位 C．百位 D．千位 【答案】D 【分析】本题考查近似数的精确位数，解题的关键是将带单位的近似数转化为实际数值，再确定最后一位有效数字对应的数位． 将“3.5万”转化为具体数值，根据有效数字的位置判断其精确到的数位． 【详解】解：因为3.5万， 观察转化后的数值，其中数字“5”位于千位上， 所以近似数3.5万精确到千位． 故选：D． 2．（25-26六年级上·山东烟台·期中）由四舍五入法得到的近似数精确到______位． 【答案】百 【分析】根据用科学记数法表示的数的精确度的表示方法是：先把数还原，再看原近似数的最后一位数字所在的位数，即为精确到的位数． 【详解】解：∵， ∴还原后的最后一个8在百位， ∴近似数精确到百位． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）小明和小刚测量同一根铜管的长，用四舍五入法记录测得的结果，小明测量结果的记录是，小刚测量结果的记录是．这两个测量结果是否相同？为什么？ 【答案】解：不相同．理由如下： 小明测得，是精确到百分位；小刚测得，是精确到十分位， 因为两人测量结果的精确度不同，所以两人测得的结果不相同． 【分析】根据测量的精确度解答即可． 【详解】略 【基础题型十四 近似数推断取值范围】 【例1】（25-26七年级上·全国·期末）数 a 四舍五入后的近似值为，则a 的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】近似数是通过四舍五入得到的：精确到哪一位时，若下一位大于或等于5，则进1，若下一位小于5，则舍去，据此即可解答． 【详解】解：根据取近似数的方法，则a的取值范围是：． 【例2】（25-26七年级上·湖北武汉·期中）近似值是的最大三位小数是______，最小三位小数是______． 【答案】 【分析】本题考查了近似数，根据“四舍五入”法即可求解，掌握“四舍五入”法是解题的关键． 【详解】解：近似值是的最大三位小数是，最小三位小数是， 故答案为：，． 1．（25-26七年级上·江西吉安·期中）已知2.■是一个两位小数，保留一位小数后的近似数是2.5，这个两位小数的取值范围在数轴上表示出来应该是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可知：这个数在和之间，则符合题意的只有B选项． 2．（24-25七年级上·广东湛江·期中）一个三位小数用“四舍五入”法取近似值是，这个三位小数最大是___________，最小是___________ 【答案】 【分析】根据四舍五入的基本原则和意义解答即可． 本题考查了四舍五入的应用，正确理解意义是解题的关键． 【详解】解：∵三位小数用“四舍五入”法取近似值是， ∴这个三位小数最大是，最小是． 故答案为：； 3．（25-26七年级上·全国·寒假作业）车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求精确到，一根为，另一根为，怎么不合格？” (1)图纸要求精确到，则原轴长的合格范围是多少？ (2)你认为是小王加工的轴不合格，还是质检员故意刁难？ 【答案】(1)原轴长的合格范围为大于或等于，且小于 (2)产品不合格 【分析】本题主要考查了根据近似数求原数的范围，熟知近似数的相关知识是解题的关键． （1）图纸要求精确到，相当于要精确到小数点后两位，据此根据四舍五入的方法求解即可； （2）根据即可得到结论． 【详解】（1）解：∵图纸要求精确到， ∴原轴长的合格范围为大于或等于，且小于； （2）解：由（1）可知，原轴长的合格范围为大于或等于，且小于； ∵， ∴产品不合格． 【提高题型一 进制问题】 【例1】（25-26七年级上·福建莆田·期中）我们平常用的数是十进制的数，如，表示十进制的数要用十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在电子计算机中用的是二进制，只要两个数码0和1，如：二进制中，等于十进制的数5；等于十进制中的数23．那么二进制中的1011101等于十进制中的数（ ） A．94 B．188 C．93 D．186 【答案】C 【分析】本题考查了含乘方的有理数运算的应用；将二进制数转换为十进制数，通过每一位乘以2的相应次幂并求和． 【详解】解：∵ 1011101₂ ， ∴ 二进制数1011101等于十进制数93． 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·山东德州·期中）阅读材料： 我们常用的数是十进制数，如，要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在电子计算机中用的二进制，只要两个数码：0和1，如二进制中等于十进制的数6， 等于十进制的数53．（注意：对于任何非零数都有，即） 解决问题：二进制中的数101011等于十进制中的______． 应用拓展：我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”。如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量．由图可知，她一共采集到的野果数量为______个． 【答案】 1838 【分析】本题考查了有理数的乘方，掌握二进制和六进制转化为十进制时数位表示的方法是解题的关键．二进制数转化为十进制数，就是把底数变为2，列式计算；六进制数转化为十进制数，就是把底数变为6，列式计算． 【详解】解：二进制中的数， 二进制中的数101011等于十进制中的43． 6进制的数， 她一共采集到的野果数量为1838个． 故答案为：，1838． 1．（25-26七年级上·江苏·期中）我们平常用的是十进制，如．表示十进制的数要用10个数码：．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：．如二进制中，，相当于十进制中的7；二进制中，，相当于十进制中的27． 请你计算： (1)二进制中的10111相当于十进制中的哪个数？ (2)二进制中的什么数相当于十进制中的15？ 【答案】(1)23 (2)1111 【分析】（1）根据题意得出求出即可； （2）根据，即可得出答案． 【详解】（1）解：，即二进制中的相当于十进制中的． （2）解：,即二进制中的相当于十进制中的． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，主要考查学生的理解能力，阅读能力和计算能力，是一道较好的综合题． 2．（2026·湖北十堰·二模）综合实践 活动目标 认识进位制，理解不同进位制的数之间的转换 材料1 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 十进制数，记作： 八进制数，记作： 二进制数，记作： （，且为整数）进制数转化成与其相等的十进制数，只需要将进制数的每个数字，依次乘的相应次幂相加，就可得到与它相等的十进制数．如：二进制数转十进制数为：． 材料2 十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法，即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法．例如： 解决问题： (1)十进制数89，转二进制数得_____； (2)十进制数89，转八进制数得_____； (3)二进制数转十进制数得_____ (4)二进制只有0和1两个数字，这正好和电路的断和通两种状态相对应，因此，在计算机内部使用二进制，计算机在进行运算时都是以二进制数进行运算，二进制运算就是逢二进一，再把运算结果转化为十进制数，并输出结果、请根据二进制运算法则：数位对齐，逢二进一，完成下面运算． _____（结果用二进制表示）． 【答案】(1) (2) (3)23 (4) 【分析】（1）按照材料2解答即可； （2）按照材料2解答即可； （3）根据材料1解答即可． （4）根据二进制运算法则“数位对齐，逢二进一”求解即可． 【详解】（1）解：十进制数89，转二进制数如下： 所以； （2）解：十进制数89，转八进制数如下： 所以； （3）解：二进制数，转十进制数如下： （4）解：由题意得， 所以． 3．（25-26七年级上·吉林长春·期中）综合与实践 我们常用的数是十进制数，如：，要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在电子计算机中用的二进制，只要用2个数码：0和1，如二进制中，即十进制的数5．（注：对于任何非零数a都有，如，） 【任务1】 （1）二进制中的数等于十进制中的哪个数？ 【任务2】 （2）计算：______（结果为十进制）； 【任务3】 （3）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量．请求出她一共采集到的野果数量． 【答案】（1）53；（2）25；（3）1838． 【分析】本题主要考查了乘方的应用，二进制数写成十进制数， 对于（1），将二进制数写成，再计算得出答案； 对于（2），仿照（1）解答； 对于（3），根据二进制写成十进制数的方法可得，再计算即可． 【详解】解：（1）； （2）； 故答案为：25； （3）根据题意，得． 【提高题型二 有理数乘方中规律探究问题】 【例1】 （25-26七年级上·福建厦门·期末）观察下列三组数的运算：，；，；，．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母表示的式子：①当时，；②当时，．其中表示的规律正确的是（    ） A．① B．② C．①、②都正确 D．①、②都不正确 【答案】B 【分析】根据三组数的运算的规律逐个判断即可得． 【详解】解：由三组数的运算得：， ， ， 归纳类推得：当时，，式子①错误； 由三组数的运算得：， ， ， 归纳类推得：当时，，式子②正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 【例2】（24-25七年级上·全国·期中）如图，观察下列树枝分杈的规律图，若第个图树枝数用表示，则________．   【答案】 【分析】本题主要考查了图形的变化类，有理数的运算等知识点，根据第n个图形树枝数为，随n的变化而变化，则，即可得解，解题的关键是根据图形的变化，得出相应的数字并总结数字的变化规律得出一般性式子．. 【详解】第n个图形树枝数为，随n的变化而变化， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴第n个图形中树枝的个数， 故答案为：． 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）由；；；；…想一想，等式左边各项幂的底数与右边幂的底数有什么关系？猜一猜可以得出什么规律？请用n（n为正整数）的等式把这一规律写出来． 【答案】等式右边幂的底数是等式左边各项幂的底数之和， 【分析】根据题意，得；；；，得到，解答即可． 本题考查了有理数的乘方，规律探索问题，熟练掌握规律的探索是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得；；；， 观察可得：等式右边幂的底数是等式左边各项幂的底数之和， ∴， 故． 2．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）小明编了一个程序（如图所示），在按程序计算时，他发现了一个规律，填写下表，并找出他发现的规律． （1）填写表格： 输入x(x≠0) 3 2 -2 … 输出答案 1 1 … （2）你发现的规律是什么？ （3）用简要的过程证明发现的规律． 【答案】（1）1 ， 1；（2）无论x为何非零值，结果都是1．（3）见解析 【分析】（1）根据程序框图列出关系式，将x=-2，代入即可得到相应的结果； （2）找出规律为：（x2+x）÷x-x=1； （3）等式左边第一项利用多项式除以单项式法则计算，去括号合并得到结果为1，右边为1，得证． 【详解】解：（1）根据题意得：（x2+x）÷x-x， 将x=-2代入得：（4-2）÷（-2）+2=2÷（-2）+2=-1+2=1； 将x=代入得：（+）÷-=×3-=1， 则填表如下： 输入x 3 2 -2 1 3 … 输出答案 1 1 1 1 … （2）得到规律为：（x2+x）÷x-x=1，即无论x为何非零值，结果都是1； （3）证明：等式左边=（x2+x）÷x-x=（x+1）-x=x+1-x=1，右边=1， 则（x2+x）÷x-x=1． 所以无论输入的数为何非零值，结果都是1．． 【点睛】本题考查了有理数混合运算的应用，弄清题意是解题的关键． 3．（24-25七年级上·广东广州·期中）观察下列各式： ， ， ， (1)仔细观察： ； (2)探究规律：根据以上的观察、计算，你能发现什么规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立； (3)实践应用：计算：． 【答案】(1) (2) 第个等式为：，证明如下： 等式左边， 等式左边等式右边， 成立； (3) 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算及数字规律，解题的关键是理解题意； （1）根据题中所给方法可进行求解； （2）根据题中所给规律及（1）中结果可总结规律； （3）利用（2）中规律可进行求解 【详解】（1）解：观察前3个等式可知：， 故本题答案为：； （2）略 （3）解：∵，，，，， ∴． 1．（25-26七年级上·山东济南·期中）用科学记数法表示81000是（　　 ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 2．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）割圆术这一计算圆周率的重要方法，由我国魏晋时期著名数学家刘徽首创．他求出为3.1415……，用四舍五入法对取近似数，精确到十分位的是（   ） A．3.1 B．3.14 C．3.141 D．3.142 【答案】A 【分析】本题考查了近似数，熟练掌握近似数的求法是解题的关键． 精确到十分位需看百分位数字，根据四舍五入规则判断． 【详解】，十分位为1，百分位为4，且， 十分位不变，故精确到十分位为3.1． 故选：A． 3．（25-26七年级上·上海·阶段检测）下列说法中，正确的是（    ） A．当为偶数时，和相等 B．和一定互为相反数 C．当为奇数时，和相等 D．和一定不相等 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方，难点在于分n是偶数和奇数讨论.比较表达式和在不同奇偶性指数下的结果，判断各选项的正确性. 【详解】解：A、当n为偶数时，，而为的相反数，故A不符合题意； B、当n为奇数时，，此时与相等，而非互为相反数，故B不符合题意； C、当n为奇数时，，故C符合题意； D、当n为奇数时，与相等，故D不符合题意. 故选：C. 4．（25-26七年级上·安徽宿州·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序计算，第一次输出的结果为，第二次输出的结果为……这样下去第次输出的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据程序框图计算出前个数，从而得出这列数除前个数外，每个数为一个周期，据此求解可得． 【详解】解：当时，第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， 第七次输出的结果为， 第八次输出的结果为， 第九次输出的结果为， 第十次输出的结果为，…… 由上可知，从第五次开始，输出结果三次一循环，分别为：， ∵， ∴第次计算输出的结果是， 故选：D． 5．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，逢三进一就是三进制． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数19化为二进制数：． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数19化为三进制数：． 将二进制数化为三进制数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算．先将二进制数转化为十进制数，再把十进制数转化为三进制数，依据进位制的转化规则计算即可． 【详解】解： ∵ ∴ ∴二进制数化为三进制数为 故选：A． 6．（2026·广西柳州·模拟预测）将数四舍五入取近似值，精确到个位为________． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了近似数，掌握四舍五入法求近似数是解题的关键． 把十分位上的数字6进行四舍五入即可解答． 【详解】解：． 故答案为：2025． 7．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）我国是一个海洋大国，拥有海岸线长达18400公里，将数字18400用科学记数法表示为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将18400写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·北京·期中）计算： （1）___________． （2）___________． 【答案】 1 【分析】本题考查了乘法和乘方的定义，有理数四则混合运算． （1）根据乘法和乘方的定义解答即可； （2）把分母中的，运用乘法分配律变形后即可解答． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2） ． 故答案为：1． 9．（25-26六年级上·山东淄博·期中）如图，小飞从一副扑克牌中任意抽取4张牌，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为24或．所列式子为___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的混合运算，弄清“24点”游戏规则是解本题的关键．利用“24点”游戏规则列出等式即可． 【详解】解： 故答案为：． 10．（25-26七年级上·山东济南·期末）将一张长方形的纸对折，如图1所示，对折1次后纸片上有1条折痕．再次对折，对折时折痕与上次的折痕保持平行，如图2所示，对折2次后纸片上有3条折痕．按照上述方法连续对折10次，则纸面上一共有_____条折痕． 【答案】1023 【分析】本题是对图形变化规律的考查，观察图形并结合折痕的条数可得，折痕的条数加上1后成2的指数次幂变化，根据此规律找出第n次对折后的折痕的条数表达式，然后把代入进行计算即可得解． 【详解】解：对折1次时，有条折痕，因为纸被分成了份； 对折2次时，有条折痕，因为纸被分成了份； 对折3次时，有条折痕，因为纸被分成了份； 对折4次时，有条折痕，因为纸被分成了份； …… 同样，对折10次时，有条折痕，因为纸被分成了份； 故答案为：1023 11．（24-25六年级上·山东烟台·期中）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 12．（25-26七年级上·全国·单元测试）在一次救灾行动中，大约有人需要安置．假如一顶帐篷占地，帐篷内可以放置40个床位，若将上述受灾的人都进行安置，则需要多少顶帐篷？这些帐篷大约要占多大面积？ 【答案】6250顶；平方米 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、科学记数法的运算等知识点，掌握有理数的混合运算法则以及科学记数法的表示是解题的关键． 根据帐篷的数量等于总人数除以每一个帐篷所容纳的人数；所占面积等于帐篷数乘以一顶帐篷所占的面积，据此进行计算即可． 【详解】解：根据题意：得顶帐篷，平方米． 答：需要6250顶帐篷，这些帐篷大约要占平方米． 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）把一个四位整数先四舍五入到十位，再把所得的数字四舍五入到百位，然后再把所得的数字四舍五入到千位，这时的数字是4×103，你能说出这个数的最大值和最小值吗？它们的差是多少？ 【答案】最大值是4444，最小值是3445，差是999． 【分析】把一个数四舍五入到十位，要将这个数的个位数字四舍五入． 【详解】解：因为一个四位整数先四舍五入到十位，再把所得数四舍五入到百位，然后又把所得的数四舍五入到千位，这时的数为4×103， 所以这个数最大时千位上的数字为4，最小时千位上的数字为3， 当千位上的数字为3时， 3.445×103四舍五入到十位后的结果为3.45×103， 3.45×103四舍五入到百位后的结果为3.5×103， 3.5×103四舍五入到千位后的结果为4×103， 所以4×103可能是由3445取近似值得到的； 类似的，当千位上的数字为4时， 4×103可能是由4444取近似值得到的， 所以这个数的最大值是4444，最小值是3445， 差：4444﹣3445＝999． 【点睛】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数为近似数；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． 14．（25-26七年级上·四川达州·期末）（概念学习）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”， 记作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作，读作“a的圈n次方”． (1)直接写出计算结果：______，______． (2)（深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算此处不用作答） 试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式______；______． (3)算一算：． 【答案】(1)，9 (2)， (3) 【分析】（1）根据新定义计算； （2）根据新定义计算； （3）先把除方运算转化为乘方运算进行计算，然后进行乘除运算． 【详解】（1）解：， ； （2）； ； （3） 【点睛】本题属于新定义题型，考查有理数乘除运算法则及对有理数乘方运算的理解，理解新定义内容，掌握有理数乘除法和有理数乘方的运算法则是解题关键． 15．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段检测）观察下面三行数： 2、、8、、32、……① 1、、4、、16、……② 0、6、、18、、66……③ 取每一行的第n个数，依次记为a，b，c． 例如上图中，当时，，，， (1)当时，________，________，________； (2)写出第①行的第n个数________；第②行的第n个数________； (3)是否存在某一列的三个数a，b，c使得？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)128，64， (2)， (3)存在， 【分析】此题考查数字的变化规律，有理数的乘方运算，找出数字的变化规律，得出行之间的运算方法解决问题． （1）根据题干中的数字规律求解即可； （2）利用（1）中的数据找到规律即可； （3）首先得到第③行的第n个数为，然后根据得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵2、、8、、32、……① ∴，，，，… ∴当时，； ∵1、、4、、16、……② ∴，，，，， ∴当时，； ∵0、6、、18、、66……③ ∴，，，，， ∴； （2）解：由（1）可得，第①行的第n个数为； 第②行的第n个数； （3）解：由（1）可得，第③行的第n个数为， ∵ ∴ ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 有理数的乘方重难点题型专训（4个知识点+14大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、有理数幂的概念理解 1 题型二、有理数的乘方运算 2 题型三、有理数乘方逆运算 3 题型四、乘方运算的符号规律 4 题型五、乘方的应用 5 题型六、程序流程图与有理数计算 6 题型七、算“24”点 7 题型八、含乘方的有理数混合运算 8 题型九、计算器——有理数 9 题型十、用科学记数法表示绝对值大于1的数 10 题型十一、将用科学记数法表示的数变回原数 11 题型十二、求一个数的近似数 12 题型十三、求近似数的精确度 13 题型十四、近似数推断取值范围 14 第二部分·练提高题型 题型一、二进制问题 1 题型二、有理数乘方中规律探究问题 2 第三部分・自我检测 知识点01 理数的乘方 1.乘方的概念：一般地，n个相同的因数a相乘，记作，读作a的n次方。 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。 2.乘方的结果叫做幂（power）；在中，a叫做底数（base number），n叫做指数（exponent）。 【即时训练】 1．（25-26七年级上·广东梅州·期末）的值是（    ） A．2026 B． C．1 D． 2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）将二进制数转化为十进制表示的数是____________． 知识点02 有理数的混合运算 1.有理数混合运算法则：①先算乘方,再算乘除,最后算加减。 ②如果有括号,先算括号里面的。 2.混合运算顺序：· 先算乘方，再乘除，后加减； · 同级运算，从左到右进行； · 如有括号，先算括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 【即时训练】 1．（2026·吉林长春·模拟预测）是的（     ） A．2倍 B．3倍 C．6倍 D．9倍 2．（25-26七年级上·广东江门·期末）计算：___________． 知识点03 科学计数法 （1）把一个大于10的数记成的形式，其中a是整数数位只有一位的数（即），n是正整数，这样的记数方法叫科学记数法。 （2）把还原成原数时，只需把a的小数点往前移动n位。 【即时训练】 1．（25-26七年级下·广东茂名·期末）国家邮政局数据显示，今年前4个月，我国快递业务量累计完成645.7亿件，同比增长．展现出我国邮政快递业强劲的增长动力．将“645.7亿”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·江西·模拟预测）初三学生从三月初开学后每天在校学习时间大约28000秒，请将数28000用科学记数法表示，记为______． 知识点04 近似数 1、近似数概念：在实际问题中，由“四舍五入”得到的数或大约估计的数都是近似数。（近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0.） 2、有效数字概念：一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字。 3、精确度：表示一个近似数与准确数的接近程度，一个近似数，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位。 【即时训练】 1．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期末）近似数7.21精确到（   ） A．个位 B．百位 C．十分位 D．百分位 2（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）地球与月球的距离大约为，将精确到万位，取得的近似数是______． 【基础题型一 有理数幂的概念理解】 【例1】（26-27七年级·全国·暑假作业）计算可以表示为（     ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·全国·课后作业）在中，底数是______，指数是______，结果是______． 1．（2025·河南郑州·模拟预测）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段检测）的底数是______，指数是______，写成积的形式是______． 3．（25-26七年级上·贵州黔东南·期中）综合实践：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的四次商”，一般地，我们把个相除记作，读作“的次商”． (1)直接写出结果： ； (2)运算转换：有理数的除方运算转化为乘方运算，例：．仿照上面的算式，将下列的运算结果直接写成乘方（幂）的形式 ； ； (3)计算：． 【基础题型二 有理数的乘方运算】 【例1】（26-27七年级上·浙江杭州·期中）计算：（     ） A．16 B．2 C．1 D． 【例2】（25-26七年级上·安徽安庆·期末）计算：_____． 1．（25-26七年级上·湖北荆州·期末）下列各数：，，0，，其中比1大的数是（　　） A． B． C．0 D． 2．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）对于等式，定义已知，求的运算为对方运算，记为，例如已知，求，因为，所以，则的值为__________． 3．（24-25七年级上·云南昆明·期末）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： ；； ；； ；． ． (1)______； (2)已知：，其中，a为负数，求a的值； (3)是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 【基础题型三 有理数乘方逆运算】 【例1】（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）计算的结果是（    ）． A． B． C． D．4 【例2】（25-26七年级上·福建宁德·期末）已知某个有理数乘方的结果是16，则该乘方运算是_____．（写出一个即可，用的形式表示） 1．（25-26七年级下·福建三明·阶段检测）计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 2．（25-26七年级下·山东枣庄·期末）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：，．根据上述规定，填空：___________． 3．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）根据乘方的意义及乘法运算律可知： ； ； (1)根据以上材料可知： ___________， ___________（n为正整数）； (2)根据上面得到的结论，计算： ___________． 【基础题型四 乘方运算的符号规律】 【例1】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）一个负数的奇次幂为（    ） A．正数 B．负数 C．正数或负数 D．分数 【例2】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）在，，，中，结果是负数的有_________个． 1．（25-26七年级上·江西上饶·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·甘肃武威·模拟预测）观察下列等式：，，，，，，，…通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是______． 3．（25-26七年级上·全国·寒假作业）记， ， ，…， (1)填空： ______，是一个______（填“正数”或“负数”）． (2)计算的值． (3)当时，求的值． 【基础题型五 乘方的应用】 【例1】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）把足够大的一张厚度为的纸连续对折，要使对折后的整叠纸总厚度超过，至少要对折（     ） A．次 B．次 C．次 D．次 【例2】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）我们常用的数是十进制数，如十进制中的数，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，而在电子计算机中用的二进制的数只用两个数码：0和1，如果二进制中的等于十进制的11，二进制中的数等于十进制的13，那么二进制中的数转换为十进制的数是_____． 1．（2026·河南三门峡·一模）所有的放射性物质都有自己的半衰期，放射性物质的半衰期是其质量缩减为原来一半所用的时间，是一个不变的量．2025年河南核医疗产业发展迅速，某医用放射性物质的初始质量为mg，经历3个半衰期后，剩余质量为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·广东广州·模拟预测）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：，．计算机中常用的十六进制是逢进的计数制，采用数字和字母共个计数符号，满十六进一，它与十进制对应的数如表： 十进制 0 1 2 … 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 … 十六进制 0 1 2 … 8 9 A B C D E F 10 11 … 将十六进制数转换为十进制数为____________，十六进制下_______________． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，你能由此得出计算规律吗？ (1)计算：． (2)由此猜测：从1开始的n个连续奇数之和等于多少？选择n的一些值，用计算器计算，验证你的猜想． 【基础题型六 程序流程图与有理数计算】 【例1】（24-25七年级下·陕西西安·期末）任意给一个非零数，按如图所示的程序写出输出结果，则与之间的关系式为（   ）． A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图是一个“数值转换机”的示意图，若输入的数是，则输出数是________． 1．（24-25七年级上·广东佛山·阶段检测）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序，第一次计算输出的结果是，第二次计算输出的结果是，，这样下去第次计算输出的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·辽宁锦州·期中）小海在自学了简单的电脑编程后，设计了如图所示的程序，若他输入的数是，则执行了程序后，输出的数是______． 3．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“”进行运算，则所列算式为“”． (1)若按“”进行计算，先列出算式，再直接写出结果； (2)若琪琪同学按“进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果． 【基础题型七 算“24”点】 【例1】（24-25七年级上·湖北武汉·期中）下面各组数中，不能通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24的是（　　） A．1，1，7，7 B．2，2，8，8 C．1，1，2，8 D．1，1，4，6 【例2】（24-25六年级上·山东烟台·期中）你会玩“24点”游戏吗？规则：任取四个整数（每个数用且只能用一次，可以加括号）进行加、减、乘、除四则运算，算其结果等于24或．现在四个数分别是、、3、5，请根据规则写出结果为24或的等式__________________ 1．（25-26七年级上·云南保山·期中）有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数必须且只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10．运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·浙江丽水·期末）有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方中的几种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果为“24”者获胜．现已抽出如图所示的四张牌（A表示1），则可算“24”点的算式是________（写出一个即可）　                  　 ． 3．（25-26七年级上·全国·期末）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中抽取2张卡片，将2张卡片上的数字分别作为底数和指数，使所得的幂最大，应如何抽取？幂的最大值是多少？ (2)从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最小，应如何抽取？积的最小值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，将四个数（四个数都用且只能用一次，可使用括号） “”、“”、“”、“”运算，使其结果等于．（写出一种情况即可） 【基础题型八 含乘方的有理数混合运算】 【例1】（25-26七年级上·安徽亳州·阶段检测）定义新运算“⊕”：，则的值为（     ） A．5 B．7 C．8 D．10 【例2】（2026七年级下·安徽合肥·模拟预测）定义：，则________． 1．（2026·河北石家庄·二模）有一个硬纸做成的礼品盒，用彩带扎住（如图），打结处用去的彩带长厘米．做这样一个礼品盒至少要硬纸（     ） A． B． C． D． 2．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）规定一种运算：，则的值为__________． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）下列计算是否正确？若不正确，试说明错在哪里，并予以改正： (1)； (2)； (3)； (4)． 【基础题型九 计算器——有理数】 【例1】（25-26六年级上·山东烟台·期末）用课本上的计算器进行计算，若按键顺序如下：，则计算结果是（    ） A．1 B．2 C．4 D．9 【例2】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）使用计算器计算：，其按键顺序如表第一行，计算结果是，那么根据第二行的按键顺序得到的计算结果是_______． 行 按键顺序 第一行 第二行 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，与下面科学计算器的按键顺序对应的计算任务是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26六年级上·山东烟台·期中）如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序如下： 则显示器显示的结果为______． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）利用计算器进行如下计算： 任意写出一个正整数（例如3708），求出它的各位数字的平方和（）：再对这个平方和求出各位数字的平方和……，如此继续下去．你能发现什么规律？ 【基础题型十 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 【例1】（2026·广东广州·模拟预测）2026年月，我国新能源汽车出口约1830000辆，将1830000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【例2】（2026·江苏徐州·模拟预测）淮海战役期间有名群众支援前线，用科学记数法表示为________________． 1．（2026·浙江温州·模拟预测）某市在一次扶贫助残活动中，捐款约元，请将元用科学记数法表示，其结果是（     ）元 A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·广西桂林·期中）某植物的光合作用所需的太阳辐射波长约为，数据500用科学记数法表示为______． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）为节约水资源，某中学环保宣传小组做了一项调查．调查结果显示，如果我们洗漱时都能及时关掉水龙头，那么每人每次可节省约的水． (1)如果某市有160万人，每人每天洗漱2次，并且在洗漱时都能及时关掉水龙头，那么每天共可节约多少毫升的水？ (2)如果用容量为的水瓶来装（1）中节约的水，那么可以装满多少瓶？ 【基础题型十一 将用科学记数法表示的数变回原数】 【例1】（2026七年级上·安徽合肥·专题练习）表示的原数是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2026七年级上·安徽合肥·专题练习）中国的森林面积大约为公顷，将其还原为原数是__________． 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）若一个数用科学记数法表示为，则这个数是（    ） A．527000000 B．5270000 C．527000 D．52700000 2．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）36 000 000用科学记数法表示应为________________；的原数是_______________ 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）写出下列用科学记数法表示的数的原数： (1)北京故宫的占地面积约为； (2)长城长约千米； (3)太阳和地球的距离大约是千米； (4)全球每年大约有的水从海洋和陆地转化为大气中的水汽． 【基础题型十二 求一个数的近似数】 【例1】（25-26七年级上·福建泉州·期中）用四舍五入法把精确到百分位，所得到的近似数为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）数字_______（用四舍五入法精确到十分位）． 1．（25-26七年级上·河北衡水·期中）学完近似数后，老师开展了随堂测试，下面是嘉嘉的答卷，则他做对的题目数量是（   ） 姓名：嘉嘉  做对______道 判断（正确打√，错误打×） ①近似数与表示的意义相同．（√） ②近似数精确到．（√） ③近似数“万”精确到了千分位．（×） ④保留两位小数的近似数是．（√） A．道 B．道 C．道 D．道 2．（25-26七年级下·北京密云·期末）2025年是“十四五”规划收官之年，我国经济稳步前行，体现了高质量发展的成效．下表记录了年我国全员劳动生产率的数据． 年份 2021 2022 2023 2024 2025 全员劳动生产率（万元/人） 用趋势图描述我国年全员劳动生产率的发展趋势，如图所示： 预测2026年我国全员劳动生产率约为___________万元/人（结果精确到）． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，已知圆环的外圆半径为，内圆半径为，圆环的面积是多少平方毫米？（精确到百位） 【基础题型十三 求近似数的精确度】 【例1】（25-26七年级上·湖北随州·期末）《九章算术》的“粟米”一章中提到斗粟米可以兑换斗御米，用四舍五入法将精确到百分位，得到的结果是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26六年级上·山东淄博·期中）近似数132.56万精确到_____． 1．（25-26七年级上·浙江衢州·期中）近似数3.5万精确到（   ） A．百分位 B．十分位 C．百位 D．千位 2．（25-26六年级上·山东烟台·期中）由四舍五入法得到的近似数精确到______位． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）小明和小刚测量同一根铜管的长，用四舍五入法记录测得的结果，小明测量结果的记录是，小刚测量结果的记录是．这两个测量结果是否相同？为什么？ 【基础题型十四 近似数推断取值范围】 【例1】（25-26七年级上·全国·期末）数 a 四舍五入后的近似值为，则a 的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·湖北武汉·期中）近似值是的最大三位小数是______，最小三位小数是______． 1．（25-26七年级上·江西吉安·期中）已知2.■是一个两位小数，保留一位小数后的近似数是2.5，这个两位小数的取值范围在数轴上表示出来应该是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·广东湛江·期中）一个三位小数用“四舍五入”法取近似值是，这个三位小数最大是___________，最小是___________ 3．（25-26七年级上·全国·寒假作业）车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求精确到，一根为，另一根为，怎么不合格？” (1)图纸要求精确到，则原轴长的合格范围是多少？ (2)你认为是小王加工的轴不合格，还是质检员故意刁难？ 【提高题型一 进制问题】 【例1】（25-26七年级上·福建莆田·期中）我们平常用的数是十进制的数，如，表示十进制的数要用十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在电子计算机中用的是二进制，只要两个数码0和1，如：二进制中，等于十进制的数5；等于十进制中的数23．那么二进制中的1011101等于十进制中的数（ ） A．94 B．188 C．93 D．186 【例2】（24-25七年级上·山东德州·期中）阅读材料： 我们常用的数是十进制数，如，要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在电子计算机中用的二进制，只要两个数码：0和1，如二进制中等于十进制的数6， 等于十进制的数53．（注意：对于任何非零数都有，即） 解决问题：二进制中的数101011等于十进制中的______． 应用拓展：我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”。如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量．由图可知，她一共采集到的野果数量为______个． 1．（25-26七年级上·江苏·期中）我们平常用的是十进制，如．表示十进制的数要用10个数码：．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：．如二进制中，，相当于十进制中的7；二进制中，，相当于十进制中的27． 请你计算： (1)二进制中的10111相当于十进制中的哪个数？ (2)二进制中的什么数相当于十进制中的15？ 2．（2026·湖北十堰·二模）综合实践 活动目标 认识进位制，理解不同进位制的数之间的转换 材料1 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 十进制数，记作： 八进制数，记作： 二进制数，记作： （，且为整数）进制数转化成与其相等的十进制数，只需要将进制数的每个数字，依次乘的相应次幂相加，就可得到与它相等的十进制数．如：二进制数转十进制数为：． 材料2 十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法，即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法．例如： 解决问题： (1)十进制数89，转二进制数得_____； (2)十进制数89，转八进制数得_____； (3)二进制数转十进制数得_____ (4)二进制只有0和1两个数字，这正好和电路的断和通两种状态相对应，因此，在计算机内部使用二进制，计算机在进行运算时都是以二进制数进行运算，二进制运算就是逢二进一，再把运算结果转化为十进制数，并输出结果、请根据二进制运算法则：数位对齐，逢二进一，完成下面运算． _____（结果用二进制表示）． 3．（25-26七年级上·吉林长春·期中）综合与实践 我们常用的数是十进制数，如：，要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在电子计算机中用的二进制，只要用2个数码：0和1，如二进制中，即十进制的数5．（注：对于任何非零数a都有，如，） 【任务1】 （1）二进制中的数等于十进制中的哪个数？ 【任务2】 （2）计算：______（结果为十进制）； 【任务3】 （3）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量．请求出她一共采集到的野果数量． 【提高题型二 有理数乘方中规律探究问题】 【例1】 （25-26七年级上·福建厦门·期末）观察下列三组数的运算：，；，；，．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母表示的式子：①当时，；②当时，．其中表示的规律正确的是（    ） A．① B．② C．①、②都正确 D．①、②都不正确 【例2】（24-25七年级上·全国·期中）如图，观察下列树枝分杈的规律图，若第个图树枝数用表示，则________．   1．（25-26七年级上·全国·课后作业）由；；；；…想一想，等式左边各项幂的底数与右边幂的底数有什么关系？猜一猜可以得出什么规律？请用n（n为正整数）的等式把这一规律写出来． 2．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）小明编了一个程序（如图所示），在按程序计算时，他发现了一个规律，填写下表，并找出他发现的规律． （1）填写表格： 输入x(x≠0) 3 2 -2 … 输出答案 1 1 … （2）你发现的规律是什么？ （3）用简要的过程证明发现的规律． 3．（24-25七年级上·广东广州·期中）观察下列各式： ， ， ， (1)仔细观察： ； (2)探究规律：根据以上的观察、计算，你能发现什么规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立； (3)实践应用：计算：． 1．（25-26七年级上·山东济南·期中）用科学记数法表示81000是（　　 ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）割圆术这一计算圆周率的重要方法，由我国魏晋时期著名数学家刘徽首创．他求出为3.1415……，用四舍五入法对取近似数，精确到十分位的是（   ） A．3.1 B．3.14 C．3.141 D．3.142 3．（25-26七年级上·上海·阶段检测）下列说法中，正确的是（    ） A．当为偶数时，和相等 B．和一定互为相反数 C．当为奇数时，和相等 D．和一定不相等 4．（25-26七年级上·安徽宿州·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序计算，第一次输出的结果为，第二次输出的结果为……这样下去第次输出的结果为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，逢三进一就是三进制． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数19化为二进制数：． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数19化为三进制数：． 将二进制数化为三进制数为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·广西柳州·模拟预测）将数四舍五入取近似值，精确到个位为________． 7．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）我国是一个海洋大国，拥有海岸线长达18400公里，将数字18400用科学记数法表示为_________． 8．（25-26七年级上·北京·期中）计算： （1）___________． （2）___________． 9．（25-26六年级上·山东淄博·期中）如图，小飞从一副扑克牌中任意抽取4张牌，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为24或．所列式子为___________． 10．（25-26七年级上·山东济南·期末）将一张长方形的纸对折，如图1所示，对折1次后纸片上有1条折痕．再次对折，对折时折痕与上次的折痕保持平行，如图2所示，对折2次后纸片上有3条折痕．按照上述方法连续对折10次，则纸面上一共有_____条折痕． 11．（24-25六年级上·山东烟台·期中）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（25-26七年级上·全国·单元测试）在一次救灾行动中，大约有人需要安置．假如一顶帐篷占地，帐篷内可以放置40个床位，若将上述受灾的人都进行安置，则需要多少顶帐篷？这些帐篷大约要占多大面积？ 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）把一个四位整数先四舍五入到十位，再把所得的数字四舍五入到百位，然后再把所得的数字四舍五入到千位，这时的数字是4×103，你能说出这个数的最大值和最小值吗？它们的差是多少？ 14．（25-26七年级上·四川达州·期末）（概念学习）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”， 记作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作，读作“a的圈n次方”． (1)直接写出计算结果：______，______． (2)（深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算此处不用作答） 试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式______；______． (3)算一算：． 5．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段检测）观察下面三行数： 2、、8、、32、……① 1、、4、、16、……② 0、6、、18、、66……③ 取每一行的第n个数，依次记为a，b，c． 例如上图中，当时，，，， (1)当时，________，________，________； (2)写出第①行的第n个数________；第②行的第n个数________； (3)是否存在某一列的三个数a，b，c使得？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $