专题04 有理数的运算64道计算题专项训练（8大题型）-2026-2027学年人教版七年级数学上册

第04讲 有理数的运算64道计算题专项训练（8大题型） 题型一 有理数的加法计算 题型二 有理数的减法计算 题型三 有理数的乘法计算 题型四 有理数的除法计算 题型五 有理数的乘方计算 题型六 有理数的四则混合运算 题型七 有理数的简便计算 题型八 有理数的规律计算题 【经典计算题一 有理数的加法计算】 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算：． 【答案】3 【分析】本题考查了有理数的加法运算，有理数的加法运算律，先将原式中的分数化为小数，得，再结合加法交换律和结合律进行计算，即可作答． 【详解】解： ． 2．（25-26七年级上·全国·单元复习）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握有理数加减运算法则，是解题的关键． （1）根据任何数与0相加仍得原数，即可得出答案； （2）根据互为相反数的两数相加得0，即可得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：． 3．（25-26七年级上·全国·单元复习）（1）计算：；             （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加即可． 【详解】解：（1 ）原式； （2 ）原式． 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）按有理数加法法则进行运算，并说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3)4 (4) (5)0 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）（2）（3）（4）（5）根据有理数的加法法则计算即可得解． 【详解】（1）解： （同号两数相加，取相同的符号“”号，并把绝对值相加） ； （2）解： ；（一个数同0相加，仍得这个数） （3）解： （异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大绝对值减去较小的绝对值） ； （4）解： （异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大绝对值减去较小的绝对值） ； （5）解：（互为相反数的两个数相加得0）． 5．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)． 【答案】(1) (2)8 (3) (4) (5) (6)1.8 (7) (8) (9) 【分析】此题考查有理数的加法计算法则： （1）根据有理数加法计算法则解答； （2）根据有理数加法计算法则解答； （3）根据有理数加法计算法则解答； （4）根据有理数加法计算法则解答； （5）根据有理数加法计算法则解答； （6）根据有理数加法计算法则解答； （7）根据有理数加法计算法则解答； （8）根据有理数加法计算法则解答； （9）根据有理数加法计算法则解答 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ； （8） ； （9） ． 6．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)5050 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算： （1）把相邻两个数放一起做加法得到结果为，而一共可以分成50组，据此求和即可； （2）把第1个数和最后1个数相加得到101，第2个数和倒数第2个数相加得到101，第3个数和倒数第3个数相加得到101，据此可得一共有50个101求和，据此计算求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 7．（25-26七年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的加法运算． （1）根据有理数的加法运算法则计算即可； （2）根据有理数的加法运算法则计算即可； （3）根据有理数的加法运算法则计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3） ． 8．（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）阅读下面文字： 对于，可以按如下方法计算： 原式 上面这种方法叫做拆项法，仿照上面的方法，请你计算： 【答案】 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据题干给定的方法，利用拆项法进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【经典计算题二 有理数的减法计算】 9．（25-26七年级上·全国·单元复习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的减法运算，根据减法法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 10．（25-26七年级上·山东济南·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的减法运算，熟记有理数的减法运算法则求解是解决问题的关键． （1）根据有理数减法运算求解即可得到答案； （2）根据有理数减法运算求解即可得到答案； （3）根据有理数减法运算求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 11．（24-25六年级上·山东淄博·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（）根据有理数的减法运算法则计算即可； （）根据有理数的减法运算法则计算即可； （）根据有理数的减法运算法则计算即可； （）根据有理数的减法运算法则计算即可； 本题考查了有理数的减法运算，掌握有理数的减法运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ， ； （3）解：原式 ， ； （4）解：原式 ， ． 12．（2025七年级上·全国·专题练习）计算． (1)（﹣7）﹣（﹣14）﹣（﹣8）； (2)； (3)1.7﹣（﹣0.3）﹣（﹣2.5）． 【答案】(1)15 (2)﹣2 (3)4.5 【分析】（1）根据有理数的减法运算法则进行计算即可得解； （2）先统一成加法运算，然后进行计算即可得解； （3）根据有理数的减法运算法则转化为加法，然后进行计算即可得解． 【详解】（1）解：（﹣7）﹣（﹣14）﹣（﹣8） ＝﹣7+14+8 ＝﹣7+22 ＝15； （2）解：﹣1﹣（﹣）﹣（+） ＝﹣1+﹣ ＝﹣1﹣1 ＝﹣2； （3）1.7﹣（﹣0.3）﹣（﹣2.5） ＝1.7+0.3+2.5 ＝2+2.5 ＝4.5． 【点睛】本题考查了有理数的减法，熟记运算法则是解题的关键． 13．（2026七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的减法运算，直接利用有理数的减法运算法则进行计算即可，能够正确计算是解题的关键． 【详解】解：（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 14．（25-26七年级上·陕西宝鸡·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2)4 (3) (4)4 【分析】本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握有理数的加减运算法则是解题的关键； （1）根据有理数的减法法则计算即可； （2）先变减法为加法，再根据有理数的加法运算法则计算即可； （3）先变减法为加法，再根据有理数的加法运算法则计算即可； （4）先变减法为加法，再根据有理数的加法运算法则计算即可. 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： . 15．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算． (1)． (2)； (3)； (4)． (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了有理数的减法，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）原式利用减法法则计算即可得到结果； （2）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （3）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （4）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （5）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； 【详解】（1）解： （2） （3） （4） （5） 16．（25-26七年级上·北京西城·期末）小东对有理数定义了一种新的运算，叫做“乘减法”，记作“”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式：，，，，，，，，，． 小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的乘减法法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说：“你的理解完全正确．” (1)请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整： 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得______，异号得______，并______；绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． (2)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同， 用“乘减法”计算：______． 小东发现交换律在有理数的“乘减法”中仍然成立，即．但是结合律在有理数的“乘减法”中不一定成立，请你举一个例子说明不成立． 【答案】(1)正，负，把绝对值相减 (2)；答案不唯一 【分析】（1）根据题中给出的例子即可得出结论； （2）根据（1）中的“乘减法”进行计算即可；设，，代入式子进行计算，看结果是否相同即可． 【详解】（1）解：，，，，，，，，，， 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得正，异号得负，并把绝对值相减；绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值； 故答案为：正，负，把绝对值相减； （2）解： ， 故答案为：； 答案不唯一， 设，，， 左边， 右边， ， 所以结合律在有理数的“乘减法”中不一定成立． 【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，根据题中给出的例子读懂题意是解题的关键． 【经典计算题三 有理数的乘法计算】 17．（2025七年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了负数乘法、分数与小数的运算及乘法运算律等知识点，解题的关键在于正确处理负号数量以确定结果的符号，合理分组简化计算过程，确保每一步运算准确无误．运用乘法运算律来简化计算即可． 【详解】解：原式 ． 18．（25-26七年级上·山东德州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)36 (2) 【分析】此题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键 （1）先确定乘积的符号，再计算后两个数相乘，最后再计算乘法即可； （2）先确定乘积的符号，按照从左到右的顺序计算即可 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 19．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)1 (2)1 (3) 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键． （1）根据有理数的乘法法则计算即可； （2）根据有理数的乘法法则计算即可； （3）根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 20．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)1 (2) (3)2 (4) (5)0 (6) 【分析】本题考查了有理数的乘法， 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，积为0．几个有理数相乘的符号法则∶当负因数的个数为偶数时，积为正；当负因数的个数为奇数时，积为负，再把所有因数的绝对值相乘， （1）（2）（3）（4）（5）（6）根据有理数的乘法法则求解即可． 【详解】（1）解∶原式； （2）解∶原式 ； （3）解∶原式 ； （4）解∶原式 ； （5）解∶原式； （6）解∶原式 ． 21．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2)6 (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查有理数乘法运算，解题的关键是掌握有理数乘法法则，注意计算时先确定积的符号． （1）先确定符号，把小数化为分数，再用约分即可得答案； （2）先确定符号，再用约分即可得答案； （3）先确定符号，把小数化为分数，再用约分即可得答案； （4）先确定符号，再用约分即可得答案； （5）先确定符号，再用约分即可得答案； （6）先确定符号，把小数化为分数，再用约分即可得答案； 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 22．（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段检测）已知，为有理数，如果规定一种运算“*”，即，试根据这种运算完成下列各题． (1)求； (2)求； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义，有理数的乘法运算； （1）根据规定的新的运算规则计算即可； （2）先求出的值，再计算的值即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴． 23．（24-25七年级上·河南南阳·期末）若定义一种新运算“*”，规定：有理数，如：． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的乘法运算，掌握新定义的运算法则是解题关键． （1）根据新定义的运算法则结合有理数的乘法运算法则计算即可； （2）根据新定义的运算法则结合有理数的乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． 24．（24-25七年级上·吉林·阶段检测）阅读下面的材料： 计算：， 解：． 应用：根据你对材料的理解，计算：． 【答案】 【分析】首先看懂题目所给例子的解题方法，再根据例子的方法进行计算即可．此题主要考查了有理数的乘法，关键是看懂所给题目例子的解题方法，注意结果符号的判断． 【详解】解： ． 【经典计算题四 有理数的除法计算】 25．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）计算： 【答案】 【分析】本题考查有理数的除法，有理数乘法的简便计算，掌握算理是解决问题的关键．先将除法转化为乘法运算，再用乘法分配律计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 26．（2025七年级上·全国·专题练习）计算． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)5 (2)48 (3) 【分析】本题考查了有理数的除法，按照从左到右的顺序依次进行计算． （1）根据有理数的除法运算法则进行计算即可得解； （2）根据除以一个不为零的数等于乘以这数的倒数进行计算即可得解； （3）按照从左到右的顺序把除法转化为乘法运算，任何进行计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 27．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的除法，掌握有理数的除法法则是解题的关键． 利用有理数的除法法则计算各题即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． 28．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是有理数的除法运算； （1）根据除以一个数等于乘以这个数的倒数即可得到答案； （2）根据除以一个数等于乘以这个数的倒数即可得到答案； （3）根据除以一个数等于乘以这个数的倒数即可得到答案； （4）根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，先计算括号内的除法运算，进一步计算即可得到答案； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ． 29．（25-26七年级上·浙江温州·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把原式整理得，再结合乘法运算律进行简便运算，即可作答． （2）先整理得，再代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； ∴ ． 30．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）阅读以下材料，完成相关的填空和计算． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则______． (2)计算． (3)根据以上信息可知：． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（ ）根据倒数的定义可得出答案； （）将除法变为乘法，利用乘法的分配律进行计算即可； （ ）再由倒数的定义直接得出答案即可． 本题考查了有理数的除法，倒数的定义，乘法分配律，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵， ∴． 31．（24-25七年级上·广西柳州·期中）阅读以下材料，完成相关的填空和计算． 我们知道，显然与的结果互为倒数． (1)若，则____________． (2)小华利用这一思想方法计算的过程如下： 因为， 所以． 请你仿照这种方法计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】考查了有理数的除法． （1）由，和互为倒数关系，可得； （2）先计算的值，再求出它的倒数即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵ ． ∴． 32．（24-25七年级上·河南焦作·阶段检测）阅读下列材料：  计算：，  解法一：原式  解法二：原式  解法三：原式的倒数  所以原式 (1)上述得到的结果不同，你认为解法 ______是错误的； (2)计算：______； (3)请你选择合适的解法计算： 【答案】(1)一 (2)15 (3) 【分析】此题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应运算法则的掌握． （1）有理理数的除法没有分配律，据此可判断；  （2）利用乘法的分配律进行求解即可；  （3）仿照解法三进行解答即可． 【详解】（1）解：除法没有分配律，故解法一错误，  故答案为：一； （2）解：      ，  故答案为：； （3）解：原式的倒数        ，  【经典计算题五 有理数的乘方计算】 33．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查乘方运算，掌握乘方的意义是解决问题的关键． （1）即3个相乘； （2）即4个相乘； （3）即5个相乘． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 34．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）转换为十进制：． 【答案】． 【分析】本题考查了二进制数的加法运算以及二进制数到十进制数的转换．正确掌握二进制加法“逢二进一”的规则和二进制转十进制按位权展开求和的方法是解题的关键． 按照二进制加法规则进行运算，再依据位权展开法将结果转换为十进制即可求解． 【详解】解：， 按照二进制加法规则进行运算，再依据位权展开法将结果转换为十进制可得： ． 35．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算：(1)；(2)；⑶. 【答案】（1）-256；（2）；（3）. 【分析】根据有理数的乘方的定义解答． 【详解】（1）-44=-256； （2）=； （3）. 【点睛】本题考查了有理数的乘方，主要考查学生的计算能力和辨析能力，题目比较好． 36．（24-25七年级上·湖南永州·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)0； (2)2． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算是解题的关键． （1）按照有理数的四则运算法则，先算除法再算加法计算即可； （2）先计算乘方，再进行加减运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 37．（25-26七年级上·江西赣州·期中）阅读以下解题过程． 求的值． 解：令， 则 所以， 即， 所以． 请根据上述材料中的方法计算下面的式子： 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算，解题的关键是理解题中所给运算方法．令，然后两边同乘以6，进而按照题中所给方法进行求解即可． 【详解】解：令， 则 ， 所以， 即， 所以， 即． 38．（25-26六年级上·山东泰安·期中）数学课上老师出了一道题计算：，老师在教室巡视了一圈，发现同学们都做不出来，于是给出答案： 解：令，① 则，② 得． 根据以上方法请计算，要求写出过程，结果用幂表示． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数乘方运算； （1）令，得到，用进行计算即可； （2）令，得到，用进行计算即可． 解题的关键是理解题意，熟练掌握有理数乘方运算法则 【详解】（1）解：令①， 则：②， 得，即： 故答案为：； （2）解：令①， 则：②， 得， ∴，即：． 39．（25-26七年级上·湖南郴州·期中）类比有理数的乘方，我们把求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方，记作，读作“的圈次方”．如，记作，读作“的圈次方”：记作，读作“的圈次方”，除方也可以转化为幂的形式，如． (1)计算：． (2)将一个非零有理数写成幂的形式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算，类比有理数的乘方运算，进行计算是解题的关键； （1）直接根据除方的定义进行运算即可求解； （2）根据除方的定义以及除法的运算法则进行推导即可将除方运算转化为乘方运算 【详解】（1）解： （2）解： 40．（25-26七年级上·吉林长春·期中）老师设计了一个接力游戏，用合作的方式完成有理数运算，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成计算过程如图所示：    (1)计算错误的学生是_______； (2)请写出正确的计算过程． 【答案】(1)学生甲 (2)． 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，熟知有理数的混合运算法则是解题关键． （1）根据，，即可得到学生甲计算错误； （2）先计算乘方，再计算乘除，最后做加减即可计算出结果． 【详解】（1）解：因为，， 所以计算错误的学生是学生甲． 故答案为：学生甲； （2）略 【经典计算题六 有理数的四则混合运算】 41．（2025七年级上·北京·专题练习）计算． 【答案】 【分析】本题考查有理数混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键．按照运算顺序，先算乘法，再算加减法． 【详解】解： ． 42．（25-26七年级下·重庆·自主招生）计算： 【答案】 【分析】先分别计算小括号内的乘法与减法，再计算中括号内的加法与除法，最后计算括号外的除法；计算时先将带分数、小数统一化为假分数，再运用四则运算顺序逐步求解． 【详解】解： ． 43．（25-26六年级上·上海·阶段检测）计算： 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的加减乘除混合运算，先把式子的利用商不变的性质整理得到，再进行计算，即可作答． 【详解】解： ． 44．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1)26 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 45．（25-26七年级上·山东德州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算． （1）先计算括号内的运算，乘方，绝对值，再计算乘法，最后计算加减运算即可． （2）先计算乘除运算，最后计算减法运算即可． （3）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减运算，有括号先计算括号内的运算． （4）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减运算，有括号先计算括号内的运算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式 ； （4）解：原式． 46．（25-26七年级上·四川宜宾·阶段检测）请先阅读下列一组内容，然后解答问题： ，，… 计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过观察可得，原式，再计算即可； （2）通过观察可得，原式，再计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． 47．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）已知，均为有理数，现在我们定义一种新运算，规定．例如：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，正确理解定义的新运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据题干信息列出算式进行计算即可； （2）先求出，再列出算式求出的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 48．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）先阅读下面的材料，再回答后面的问题： 计算：． 解法一：原式 解法二：原式 解法三：原式的倒数为， 故原式． (1)上面三种解法得到的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法______是错误的； (2)请用两种不同的方法解决下面的问题：计算：． 【答案】(1)一 (2) 【分析】（1）本题考查有理数运算的法则．除法不存在分配律，解法一错误使用了分配律展开计算，因此解法一错误． （2）本题可采用两种正确方法计算，第一种先通分计算括号内的结果，再计算除法；第二种先计算原式的倒数，利用乘法计算后再求原式的值，均符合有理数运算法则． 【详解】（1）解 ：除法不满足分配律，不能将除以多个项和的运算拆分为分别除以各项再求和，因此解法一是错误的． （2）方法一： 原式 ． 方法二：原式的倒数为 ． 所以原式 【经典计算题七 有理数的简便计算】 49．（25-26七年级上·陕西西安·期中）用简便方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算．根据乘法分配律将括号内的分数依次乘后再相加，约分后转化为计算有理数加减法，得出答案． 【详解】解： 50．（25-26七年级上·湖北襄阳·阶段检测）用简便方法计算：． 【答案】38 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是关键．先将变形为，再逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】解： ． 51．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）计算（能简便运算的则用简便运算） (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 52．（24-25七年级上·河南郑州·期中）我们学过有理数的简便运算，如48×3＋2×3＝（48＋2）×3＝150，请回答下列问题： （1）上面的简便运算运用的是什么？请用字母表示出来； （2）你能运用上面的方法计算下列各题吗？ ①5x＋8x；　　②2（x＋y）＋3（x＋y）． 【答案】（1）乘法对加法分配律的逆用，ac＋bc＝(a＋b)c；（2）①13x，②5(x＋y)． 【分析】（1）根据题意可知，此计算方法符合乘法对加法分配律的逆用即：； （2）①直接利用乘法分配律的逆用进行计算即可； ②把看做一个整体，然后利用乘法分配律的逆用进行计算即可 【详解】解：（1）∵， ∴这种运算利用了乘法对加法分配律的逆用即； （2）①； ②． 【点睛】本题主要考查了乘法的分配律，解题的关键在于能够熟练掌握乘法的分配律． 53．（25-26六年级上·山东青岛·期中）运算律是通过对一些等式的观察、比较和分析而抽象、概括出来的运算规律应用运算律，通常可以使运算简便，如图，是老师讲解的两个例题： 请你参考黑板中老师的讲解，运用运算律简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）逆用乘法的分配律计算即可； （2）把变为100-，然后根据乘法的分配律计算即可. 【详解】（1）解：−9×−(−8)×(−)−(−16)× =×（-9-8+16） =- （2）解：×(−36) =（100-）×(−36) =-3600+ =−3599 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握乘法的分配律是解答本题的关键. 54．（25-26七年级上·河南平顶山·阶段检测）学习了有理数的运算后，王老师给同学们出了这样一道题：计算，看谁算得又对又快． 下面是两位同学给出的不同解法． 小强：原式 小莉：原式． (1)以上两种解法，你认为谁的解法比较简便？ (2)你还有其他解法吗？如果有，请你写出解答过程； (3)你能用简便方法计算吗？如果能，请你写出解答过程． 【答案】(1)小莉 (2) 还有其他的解法； 原式 ； (3) 【分析】（1）对比二者的运算过程的繁简程度即可判断； （2）将原数化为，用乘法分配律即可求解； （3）将原数化为，用乘法分配律即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 小强没有进行约分计算，导致数字偏大，运算量大；小莉将原数拆分后利用乘法分配律进行运算，简化了运算； 故小莉的解法比较简便； （2）略 （3）解：能； 原式 ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，乘法分配律，会利用运算律进行简便运算是解题的关键． 55．（25-26七年级上·山西朔州·期中）阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多 计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）逆用分配律把原式化为，再计算即可； （2）逆用分配律把原式化为，再计算即可； 【详解】（1）解： ； （2） ． 【点睛】本题考查的是有理数的乘法运算，熟练的利用乘法分配律进行简便运算是解本题的关键． 56．（25-26七年级上·全国·课后作业）根据下列材料，回答问题： （1） 请根据以上各式完成下列题目： ①_______；②_______；（n为正整数） ③用简便方法计算：． （2），，，…… 请根据以上各式完成下列题目： ①______________；②______________；（n，d为正整数） ③用简便方法计算：． （3）从上述两个题目中，你有什么收获？试试下面的题目，你一定行！ ①；     ②． 【答案】（1）①；②；③；       （2）①；②；③；       （3）①；② 【分析】（1）①②根据题目中的等式，可以写出相应式子的值； ③根据所求式子的特点，先拆项，然后计算即可； （2）①②根据题目中的例子，可以求得所求式子的值； ③根据所求式子的特点，先拆项，然后计算即可； （3）根据所求式子的特点，先拆项，然后计算即可． 【详解】解：（1）由题意可得： ①； ②；（n为正整数） ③用简便方法计算： ； （2）由题意可得： ①； ②；（n，d为正整数） ③用简便方法计算： ； （3）① ； ② ； 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，求出所求式子的值． 【经典计算题八 有理数的规律计算题】 57．（25-26七年级上·陕西汉中·期末）观察下列算式：，，，，…… 根据上述规律计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据规律将原式化为，进行求解即可． 【详解】解：∵，，，，…… ∴ ． 58．（25-26七年级上·甘肃庆阳·期中）规定一种新的运算：，例如．请利用上述规律计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）原式利用题中的新定义先计算，再计算即可求出值． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解： ． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 59．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）有一列数，第一个数用表示，第二个数用表示，…，第n个数用表示，n为正整数；已知 ， ， ， ，……． （1）利用以上运算的规律，写出= ； （2）计算：的值． 【答案】（1）；（2）5151 【分析】（1）根据第n个数是1加上填空即可； （2）按照规律列出算式，根据规律计算即可． 【详解】解：∵， ， ， ，…… ∴=； 故答案为：； （2）∵， ， ， ……， = =5151． 【点睛】本题考查了有理数的运算规律问题，解题关键是根据题意发现规律，利用规律进行求解计算． 60．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）定义一种新运算，规律如下： 2⊗3＝2×5﹣3＝7； 3⊗（﹣1）＝3×5+1＝16； （﹣4）⊗（﹣3）＝（﹣4）×5+3＝﹣17． （1）请你想一想：a⊗b＝　 　． （2）请计算：（﹣2）⊗8＝　 　． （3）试说明：当x＝y时，x⊗y＝y⊗x． 【答案】（1）5a﹣b；（2）-18；（3）见解析 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）根据（1）得出的结论求解即可； （3）利用题中的新定义化简等式左右两边，根据x＝y即可得证． 【详解】解：（1）∵，，， ∴ 故答案为：； （2）由（1）得 故答案为：﹣18； （3）由（1）得 当x＝y时，， ， ∴． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，合并同类项，弄清题中的新定义是解本题的关键． 61．（25-26七年级上·江西吉安·期末）观察下面的变形规律： 解答下面的问题： (1)若n为正整数，且写成上面式子的形式，请你猜想_____． (2)计算： (3)计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、数字规律等知识点，熟练掌握与运用对相应的运算法则是解答的关键． （1）分析所给的等式的形式，猜想规律即可解答； （2）利用（1）所得的规律对代数式进行变形即可解答； （3）利用（1）所得的规律对代数式进行变形即可解答． 【详解】（1）解：∵；；； 猜想． 故答案为：． （2）解： ． （3）解： ． 62．（25-26七年级上·山东滨州·阶段检测）先阅读并填空，再解答问题： 我们知道，那么： (1)（只列算式，不算结果）__________；__________； (2)用含有n（n为正整数）的式子表示你发现的规律：__________； (3)依据（2）中的规律计算：．（写解题过程） (4)的值为__________． 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】本题考查了数字的变化规律，有理数的混合运算： （1）利用题干中反映的规律解答即可； （2）利用（1）中的方法解答即可； （3）利用（2）中的规律将式子中的每一项变成两数之差即可得出结论； （4）先把原式变形为，再利用（2）中的规律计算，即可求解． 【详解】（1）解：；； 故答案为：；； （2）解：由（1）中的规律得： 用含有n（n为正整数）的式子表示为：； 故答案为：； （3）解： ； （4）解： ； 故答案为：． 63．（25-26七年级上·全国·单元测试）观察： 等式 等式 等式 等式． (1)按照以上规律，请写出等式______，等式________ (2)按此规律计算： ①______． ②求的值． 【答案】(1)； (2)①306  ②468 【分析】（1）仿照已知等式，得出规律，写出等式和等式即可． （2）利用得出的规律计算各式即可． 【详解】（1）等式： 等式： （2）①原式 ②原式 【点睛】本题主要考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 64．（25-26七年级上·河南南阳·期中）经过研究人们发现：从2开始连续的偶数相加，可以得到如下表的结果： 加数的个数n 连续偶数的和（记为S） 1 2 3 4 5 (1)如果，那么S的值为_______； (2)根据表中的规律猜想：用含的代数式表示S的公式为_______； (3)运用上面的规律计算： ①； ②； ③． 【答案】(1)56 (2) (3)① 7550；②；  ③ 【分析】此题考查了规律型：数字的变化，此题注意根据所给的具体式子观察结果和数据的个数之间的关系． （1）根据表中的规律发现：第n个式子的和是，把代入求得数值即可； （2）根据特殊的式子即可发现规律； （3）结合上述规律，①只需用再减去即可计算； ②可化为减去，再利用规律计算即可； ③可化为，再利用规律计算即可． 【详解】（1）解：第n个式子的和是， 则当时，； 故答案为：56； （2）解：根据特殊的式子即可发现规律， ； 故答案为：； （3）解：① ； ② ， ， ； ③ ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 有理数的运算64道计算题专项训练（8大题型） 题型一 有理数的加法计算 题型二 有理数的减法计算 题型三 有理数的乘法计算 题型四 有理数的除法计算 题型五 有理数的乘方计算 题型六 有理数的四则混合运算 题型七 有理数的简便计算 题型八 有理数的规律计算题 【经典计算题一 有理数的加法计算】 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算：． 2．（25-26七年级上·全国·单元复习）计算： (1)； (2)； 3．（25-26七年级上·全国·单元复习）（1）计算：；             （2）计算：． 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）按有理数加法法则进行运算，并说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 5．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)． 6．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）计算： (1)； (2)． 7．（25-26七年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）计算： (1) (2) (3) 8．（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）阅读下面文字： 对于，可以按如下方法计算： 原式 上面这种方法叫做拆项法，仿照上面的方法，请你计算： 【经典计算题二 有理数的减法计算】 9．（25-26七年级上·全国·单元复习）计算：． 10．（25-26七年级上·山东济南·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)． 11．（24-25六年级上·山东淄博·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（2025七年级上·全国·专题练习）计算． (1)（﹣7）﹣（﹣14）﹣（﹣8）； (2)； (3)1.7﹣（﹣0.3）﹣（﹣2.5）． 13．（2026七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 14．（25-26七年级上·陕西宝鸡·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4). 15．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算． (1)． (2)； (3)； (4)． (5)． 16．（25-26七年级上·北京西城·期末）小东对有理数定义了一种新的运算，叫做“乘减法”，记作“”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式：，，，，，，，，，． 小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的乘减法法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说：“你的理解完全正确．” (1)请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整： 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得______，异号得______，并______；绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． (2)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同， 用“乘减法”计算：______． 小东发现交换律在有理数的“乘减法”中仍然成立，即．但是结合律在有理数的“乘减法”中不一定成立，请你举一个例子说明不成立． 【经典计算题三 有理数的乘法计算】 17．（2025七年级上·全国·专题练习）计算：． 18．（25-26七年级上·山东德州·期中）计算： (1)； (2)． 19．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 20．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 21．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 22．（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段检测）已知，为有理数，如果规定一种运算“*”，即，试根据这种运算完成下列各题． (1)求； (2)求； 23．（24-25七年级上·河南南阳·期末）若定义一种新运算“*”，规定：有理数，如：． (1)求的值． (2)求的值． 24．（24-25七年级上·吉林·阶段检测）阅读下面的材料： 计算：， 解：． 应用：根据你对材料的理解，计算：． 【经典计算题四 有理数的除法计算】 25．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）计算： 26．（2025七年级上·全国·专题练习）计算． (1)； (2)； (3)． 27．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 28．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 29．（25-26七年级上·浙江温州·阶段检测）计算： (1) (2) 30．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）阅读以下材料，完成相关的填空和计算． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则______． (2)计算． (3)根据以上信息可知：． 31．（24-25七年级上·广西柳州·期中）阅读以下材料，完成相关的填空和计算． 我们知道，显然与的结果互为倒数． (1)若，则____________． (2)小华利用这一思想方法计算的过程如下： 因为， 所以． 请你仿照这种方法计算：． 32．（24-25七年级上·河南焦作·阶段检测）阅读下列材料：  计算：，  解法一：原式  解法二：原式  解法三：原式的倒数  所以原式 (1)上述得到的结果不同，你认为解法 ______是错误的； (2)计算：______； (3)请你选择合适的解法计算： 【经典计算题五 有理数的乘方计算】 33．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 34．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）转换为十进制：． 35．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算：(1)；(2)；⑶. 36．（24-25七年级上·湖南永州·期末）计算： (1) (2) 37．（25-26七年级上·江西赣州·期中）阅读以下解题过程． 求的值． 解：令， 则 所以， 即， 所以． 请根据上述材料中的方法计算下面的式子： 38．（25-26六年级上·山东泰安·期中）数学课上老师出了一道题计算：，老师在教室巡视了一圈，发现同学们都做不出来，于是给出答案： 解：令，① 则，② 得． 根据以上方法请计算，要求写出过程，结果用幂表示． (1)； (2)． 39．（25-26七年级上·湖南郴州·期中）类比有理数的乘方，我们把求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方，记作，读作“的圈次方”．如，记作，读作“的圈次方”：记作，读作“的圈次方”，除方也可以转化为幂的形式，如． (1)计算：． (2)将一个非零有理数写成幂的形式． 40．（25-26七年级上·吉林长春·期中）老师设计了一个接力游戏，用合作的方式完成有理数运算，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成计算过程如图所示：    (1)计算错误的学生是_______； (2)请写出正确的计算过程． 【经典计算题六 有理数的四则混合运算】 41．（2025七年级上·北京·专题练习）计算． 42．（25-26七年级下·重庆·自主招生）计算： 43．（25-26六年级上·上海·阶段检测）计算： 44．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）计算： (1) (2) 45．（25-26七年级上·山东德州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 46．（25-26七年级上·四川宜宾·阶段检测）请先阅读下列一组内容，然后解答问题： ，，… 计算： (1) (2) 47．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）已知，均为有理数，现在我们定义一种新运算，规定．例如：． (1)求的值； (2)求的值． 48．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）先阅读下面的材料，再回答后面的问题： 计算：． 解法一：原式 解法二：原式 解法三：原式的倒数为， 故原式． (1)上面三种解法得到的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法______是错误的； (2)请用两种不同的方法解决下面的问题：计算：． 【经典计算题七 有理数的简便计算】 49．（25-26七年级上·陕西西安·期中）用简便方法计算：． 50．（25-26七年级上·湖北襄阳·阶段检测）用简便方法计算：． 51．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）计算（能简便运算的则用简便运算） (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 52．（24-25七年级上·河南郑州·期中）我们学过有理数的简便运算，如48×3＋2×3＝（48＋2）×3＝150，请回答下列问题： （1）上面的简便运算运用的是什么？请用字母表示出来； （2）你能运用上面的方法计算下列各题吗？ ①5x＋8x；　　②2（x＋y）＋3（x＋y）． 53．（25-26六年级上·山东青岛·期中）运算律是通过对一些等式的观察、比较和分析而抽象、概括出来的运算规律应用运算律，通常可以使运算简便，如图，是老师讲解的两个例题： 请你参考黑板中老师的讲解，运用运算律简便计算： (1)； (2)． 54．（25-26七年级上·河南平顶山·阶段检测）学习了有理数的运算后，王老师给同学们出了这样一道题：计算，看谁算得又对又快． 下面是两位同学给出的不同解法． 小强：原式 小莉：原式． (1)以上两种解法，你认为谁的解法比较简便？ (2)你还有其他解法吗？如果有，请你写出解答过程； (3)你能用简便方法计算吗？如果能，请你写出解答过程． 55．（25-26七年级上·山西朔州·期中）阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多 计算： (1)； (2)． 56．（25-26七年级上·全国·课后作业）根据下列材料，回答问题： （1） 请根据以上各式完成下列题目： ①_______；②_______；（n为正整数） ③用简便方法计算：． （2），，，…… 请根据以上各式完成下列题目： ①______________；②______________；（n，d为正整数） ③用简便方法计算：． （3）从上述两个题目中，你有什么收获？试试下面的题目，你一定行！ ①；     ②． 【经典计算题八 有理数的规律计算题】 57．（25-26七年级上·陕西汉中·期末）观察下列算式：，，，，…… 根据上述规律计算：． 58．（25-26七年级上·甘肃庆阳·期中）规定一种新的运算：，例如．请利用上述规律计算下列各式： (1)； (2)． 59．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）有一列数，第一个数用表示，第二个数用表示，…，第n个数用表示，n为正整数；已知 ， ， ， ，……． （1）利用以上运算的规律，写出= ； （2）计算：的值． 60．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）定义一种新运算，规律如下： 2⊗3＝2×5﹣3＝7； 3⊗（﹣1）＝3×5+1＝16； （﹣4）⊗（﹣3）＝（﹣4）×5+3＝﹣17． （1）请你想一想：a⊗b＝　 　． （2）请计算：（﹣2）⊗8＝　 　． （3）试说明：当x＝y时，x⊗y＝y⊗x． 61．（25-26七年级上·江西吉安·期末）观察下面的变形规律： 解答下面的问题： (1)若n为正整数，且写成上面式子的形式，请你猜想_____． (2)计算： (3)计算： 62．（25-26七年级上·山东滨州·阶段检测）先阅读并填空，再解答问题： 我们知道，那么： (1)（只列算式，不算结果）__________；__________； (2)用含有n（n为正整数）的式子表示你发现的规律：__________； (3)依据（2）中的规律计算：．（写解题过程） (4)的值为__________． 63．（25-26七年级上·全国·单元测试）观察： 等式 等式 等式 等式． (1)按照以上规律，请写出等式______，等式________ (2)按此规律计算： ①______． ②求的值． 64．（25-26七年级上·河南南阳·期中）经过研究人们发现：从2开始连续的偶数相加，可以得到如下表的结果： 加数的个数n 连续偶数的和（记为S） 1 2 3 4 5 (1)如果，那么S的值为_______； (2)根据表中的规律猜想：用含的代数式表示S的公式为_______； (3)运用上面的规律计算： ①； ②； ③． 学科网（北京）股份有限公司 $