专题04 二元一次方程组63道计算题专项训练（9大题型）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

**基本信息** 9大题型系统覆盖二元一次方程组解法与应用，以题载法构建从基础到进阶的方法体系，培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代入消元法|7题|直接代入、整体代入验证|从方程解的定义到代入法步骤，强化消元思想| |加减消元法|8题|系数配平、符号处理|与代入法互补，培养方程变形能力| |二元一次方程的解|7题|正整数解、解的验证|衔接方程解的概念，为方程组解法奠基| |整体换元法|7题|代数式整体代换|提升抽象思维，简化复杂方程组求解| |方程组同解问题|7题|解的公共性应用|综合方程解的性质，培养逻辑推理| |含参方程组|7题|参数与解的关系分析|深化方程与代数的联系，发展运算能力| |构造方程组|7题|根据条件列方程|强化模型意识，提升实际应用能力| |三元一次方程组|7题|消元转化为二元|体现知识迁移，拓展方程组求解维度| |新定义计算|7题|新运算规则应用|培养创新意识，衔接中考新题型|

第04讲 二元一次方程组63道计算题专项训练（9大题型） 题型一 代入消元法 题型二 加减消元法 题型三 二元一次方程的解 题型四 整体换元解二元一次方程组 题型五 方程组同解计算问题 题型六 解含参的二元一次方程组 题型七 构造二元一次方程组计算 题型八 三元一次方程组的解法 题型九 二元一次方程组的新定义计算 【经典计算题一 代入消元法】 1．（2026七年级下·全国·专题练习）解方程组：． 2．（25-26七年级下·湖北襄阳·期中）解方程： (1) (2) 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）用代入法解下列方程组： (1) (2) 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）用代入法解下列方程组： (1) (2) (3) 5．（24-25八年级上·广东茂名·期末）解方程组：，并用代入法验证解的正确性． 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）慧慧在解方程组时，将方程①变形为，然后代入方程②进行求解．请按照慧慧的思路解这个方程组． 7．（25-26七年级上·云南红河·期中）解二元一次方程组时，可把①代入②得：，求得，再把代入①得：，所以二元一次方程组的解为，这种解法称为“整体代入法”．请用这样的方法解下列方程组． 【经典计算题二 加减消元法】 8．（25-26七年级下·福建福州·期中）解下列方程组： 9．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）解方程组：． 10．（25-26七年级下·全国·课后作业）用加减法解下列方程组： (1) (2) (3) 11．（24-25七年级下·吉林·期中）若和是方程的两组解，求之值． 12．（25-26七年级下·江西鹰潭·期末）已知关于x，y的二元一次方程组（k为常数），求这个二元一次方程组的解（用含k的代数式表示）． 13．（24-25七年级下·湖南张家界·期末）已知二元一次方程：（1）；（2）；（3）．请从这三个方程中选择两个你喜欢的方程，组成一个方程组，并求出方程组的解． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）如表所示是嘉嘉求解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：，得③，……第一步 ，得，……第二步 解得：，……第三步 把代入①，得 ，……第四步 所以方程组的解为．……第五步 (1)嘉嘉的方法是________消元法． (2)以上解法从第________步开始出现错误． (3)请你从出现错误的那步开始，写出正确的解题过程． 【经典计算题三 二元一次方程的解】 15．（2025七年级下·全国·专题练习）求方程的正整数解． 16．（25-26八年级上·陕西西安·月考）若关于x，y的二元一次方程有一组解为，求k的值． 17．（24-25七年级下·河南南阳·月考）已知方程，请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成的方程组的解为．                                                                                                                          18．（24-25七年级下·山西晋城·月考）（1）解方程：． （2）若是方程组的解，求的值． 19．（24-25七年级下·河北邢台·月考）已知是二元一次方程的一个解． (1)求a的值； (2)请用含有x的代数式表示y． 20．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知是二元一次方程的解． (1)求的值． (2)解是的二元一次方程唯一吗？如果唯一，请直接回答；如果不唯一，请再写出另一个满足条件的二元一次方程． 21．（24-25七年级下·贵州黔南·期末）阅读下面材料，完成任务． 我们知道二元一次方程有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解． 例：由，得（为正整数），，则有． 又为正整数，为正整数， 为3的正整数倍数，从而， ，的正整数解为 任务： (1)请你写出方程的正整数解：_____； (2)若为自然数，则满足条件的整数有_____个； (3)七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为每本5元的笔记本与单价为每支7元的钢笔两种奖品，共花费75元，问有哪几种购买方案？ 【经典计算题四 整体换元解二元一次方程组】 22．（25-26八年级上·山西晋中·期末）阅读与思考下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务： 整体代入消元法在利用“代入消元法”解完二元一次方程组后，小宣还想到了一种新的解法； 解：把看作整体代入①，得，解得．将代入②，得，所以原方程组的解为． 这种把看成一个整体进行代入消元解方程组的方法叫作“整体代入消元法”． 请你利用“整体代入消元法”解方程组． 23．（24-25七年级下·河南南阳·月考）阅读材料：善于思考的贝贝同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设,原方程组可变为，解得，即，解得 (1)模仿贝贝同学的“整体换元”的方法，解方程组： (2)已知关于x,y的方程组的解为，求关于m，n的方程组的解． 24．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）教材中有这样一道题目：解方程组圆圆认为，只要把两个方程分别去分母，化简，再用加减消元法或代入消元法，可以求解方方认为，圆圆的方法计算量大，容易出错，可以把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元解决问题请参考以上两位同学的思路，任选一种方法，解这个方程组． 25．（24-25七年级下·江西上饶·期末）【阅读材料】在解二元一次方程组时，我们常常也会采用一种“整体代入消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，比如，解方程组，首先将方程②变形得，即，其次把方程①代入③得：，即，最后把代入方程①，得，所以方程组的解为． 【解决问题】 (1)请用“整体代入消元”的方法解方程组； (2)已知x、y满足方程组，求的值． 26．（2025八年级上·全国·专题练习）小明同学在解方程组时，发现如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量都比较大，聪明的他想到通过换元可以简化运算．以下是他的解题过程： 解：令，则原方程组可化为解得 所以解得 所以原方程组的解为 请你参考小明同学的方法，解方程组： (1) (2) 27．（24-25七年级下·河南新乡·期中）已知是二元一次方程组的解． (1)求，的值； (2)小华在求方程组的解时发现，若将（1）中求得的，代入化简整理之后求解，容易出错．如果把看成一个整体设为，把看成一个整体设为，通过换元便可得与类似的方程组，由于是二元一次方程组的解，于是即，解得． 请参考小华同学的方法，解方程组． 28．（24-25七年级下·浙江台州·期中）阅读下列一段材料，运用相关知识解决问题． 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例如解方程组，设m，n，则原方程组可化为，解化简之后的方程组得，即，所以原方程组的解为． 运用以上知识解决下列问题： (1)求方程组的解． (2)关于x，y二元一次方程组的解为，则方程组的解为 ． (3)举一反三：方程组的解为 ． 【经典计算题五 方程组同解计算问题】 29．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）若关于x的方程和有相同的解，求k的值． 30．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）已知关于x、y的方程组和的解相同，求a和b的值． 31．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）关于、方程组和方程组的解相同，求的值． 32．（24-25七年级下·福建泉州·月考）若方程组和方程组有相同的解，求方程组的解． 33．（24-25七年级下·吉林长春·月考）如果关于x、y的方程组的解是二元一次方程的一个解，求m． 34．（24-25七年级·贵州遵义·模拟预测）若关于的方程组与有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求的值． 35．（24-25七年级下·广东惠州·期中）已知关于x，y的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解； (2)求的值． 【经典计算题六 解含参的二元一次方程组】 36．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）若方程组的解满足，则 37．（24-25七年级下·福建厦门·期末）已知关于的二元一次方程组的解是一对相反数，求的值． 38．（24-25七年级下·全国·课后作业）关于的二元一次方程组的解满足，求m的值． 39．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知关于，的方程组的解满足，求的值及方程组的解． 40．（24-25七年级下·江苏徐州·月考）若关于、的方程组的解与相等，求的值． 41．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）问题：已知关于，的方程组的解满足方程，求的值． 同学们正在讨论着不同的解题思路： 甲同学说：可以先解关于，的方程组，再求的值． 乙同学说：可以先将方程组中的两个方程相加，再求的值； 丙同学说：可以先解方程组，再求的值． ．．． 请选择一种合适的方法解决上面的问题． 42．（24-25七年级上·安徽合肥·单元测试）已知关于x，y的方程组与有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求m、n的值； (3)小明同学说：“无论a取何值，（1）中的解都是关于x，y的方程的解．”这句话对吗？请你说明理由． 【经典计算题七 构造二元一次方程组计算】 43．（24-25七年级下·四川广安·月考）在代数式中，当，时，它的值是，当，时，它的值是17，求a，b的值． 44．（24-25七年级下·贵州铜仁·月考）在等式中，当时，；当时，．求k，b的值． 45．（25-26七年级上·全国·课后作业）对于有理数定义新运算：，其中为常数．已知，求的值． 46．（24-25七年级下·福建泉州·期中）甲、乙两人解关于x，y的方程组．甲因看错第一个方程中的a，解得，乙又看错了第二个方程的b，解得，求a、b的值． 47．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：(2x＋a)(3x＋b)．甲由于把第一个多项式中的“＋a”看成了“－a”，得到的结果为6x2－5x－6；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2＋7x＋6．求正确的a，b的值． 48．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）对有理数x、y，定义新运算，其中a，b为常数，已知，． (1)求a，b的值； (2)如果，求y的值． 49．（24-25八年级上·吉林长春·开学考试）阅读理解： 已知实数，满足，，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题： (1)已知二元一次方程组，则________，_______； (2)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值． 【经典计算题八 三元一次方程组的解法】 50．（25-26七年级上·全国·期末）解方程组： 51．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1)； (2)． 52．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知方程组的解也是方程的解，求的值． 53．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）在等式中，当时，；当时，；当与时，的值相等，求，，的值． 54．（24-25八年级上·河北邢台·开学考试）解下列方程组： (1) (2)解方程组 55．（24-25七年级下·河北石家庄·开学考试）（1）解方程组：． （2）已知，当时，；当时，；当时，，求的值． 56．（24-25七年级下·全国·专题练习）感悟思想：有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数，满足①，②，求和的值． 思考：本题常规思路是将①②联立成方程组，解得，的值再代入要求值的代数式得到答案，有的问题用常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值．如①②可得；①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 体会思想： (1)已知二元一次方程组，则___________； (2)三元一次方程组的解是 ___________． 【经典计算题九 二元一次方程组的新定义计算】 57．（24-25七年级下·吉林·期末）我们定义一个关于非零常数m，n的新运算，规定：，例如：．若，，求x，y的值． 58．（24-25七年级下·浙江湖州·月考）我们定义一个新运算，规定：，例如：．若，，分别求出x和y的值． 59．（24-25七年级·全国·模拟预测）定义运算*：，且，．若非负整数m，n满足，求m和n的值． 60．（2025七年级下·全国·专题练习）对于实数a，b，定义关于“”的一种运算：．例如：．若，求x，y的值． 61．（24-25七年级下·河南南阳·月考）定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”为：____________； (2)二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m，n的值． 62．（24-25八年级上·山西太原·月考）计算： (1)； (2)． (3)定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一方程”．如：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一方程”． ①直接写出二元一次方程的“反对称二元一方程”______；②二元一次方程的解又是它的“反对称二元一方程”的解，求出的值； 63．（24-25七年级下·广东广州·期中）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： (1)_______，_______； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 二元一次方程组63道计算题专项训练（9大题型） 题型一 代入消元法 题型二 加减消元法 题型三 二元一次方程的解 题型四 整体换元解二元一次方程组 题型五 方程组同解计算问题 题型六 解含参的二元一次方程组 题型七 构造二元一次方程组计算 题型八 三元一次方程组的解法 题型九 二元一次方程组的新定义计算 【经典计算题一 代入消元法】 1．（2026七年级下·全国·专题练习）解方程组：． 【答案】 【分析】直接运用代入消元法求解即可． 【详解】解：， 将代入可得：， 解得， 将代入可得：， 所以该方程组的解为． 2．（25-26七年级下·湖北襄阳·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， 解得： （2）解：， 由①得：， 将③代入②得：， 解得：， 将代入③得：， 方程组的解为 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）用代入法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由①得③， 把③代入②，得 ， 解得， 将代入③，得， 所以这个方程组的解是； （2）解：由①得③， 把③代入②得， 解得， 将代入③，解得， 所以这个方程组的解是． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）用代入法解下列方程组： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： 把②代入①，得 解这个方程，得． 把代入②得，． 所以这个方程组的解是； （2）解： 由②，得③． 把③代入①，得． 解这个方程，得． 把代入③，得． 所以这个方程组的解为； （3）解： 由①，得③． 把③代入②，得． 解这个方程，得． 将代入③，得． 所以这个方程组的解是． 5．（24-25八年级上·广东茂名·期末）解方程组：，并用代入法验证解的正确性． 【答案】，验证见解析 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． 方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】解： 得： 解得 将代入②得： 解得， 验证：将代入①得，； 将代入②得， ∴方程组的解为． 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）慧慧在解方程组时，将方程①变形为，然后代入方程②进行求解．请按照慧慧的思路解这个方程组． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，掌握相关知识是解决问题的关键．将方程①变形为，然后代入方程②进行消元，解出，再将代入即可求出的值，则方程组可解． 【详解】解：方程组为     由方程①得，然后代入方程②，得 解得， 将代入得 解得， 故方程组的解为． 7．（25-26七年级上·云南红河·期中）解二元一次方程组时，可把①代入②得：，求得，再把代入①得：，所以二元一次方程组的解为，这种解法称为“整体代入法”．请用这样的方法解下列方程组． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法（整体代入法），解题的关键是识别方程组中可整体代入的部分，将其代入另一方程简化计算． 观察方程组，把看作整体，代入第二个方程求出，再将代入第一个方程求． 【详解】解：方程组为 将①代入②得：， ，， 解得， 把代入①得：， ，， 解得． 所以方程组的解为． 【经典计算题二 加减消元法】 8．（25-26七年级下·福建福州·期中）解下列方程组： 【答案】 【详解】解： 得： 解得 将代入②得： 解得 因此，原方程组的解为． 9．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）解方程组：． 【答案】 【详解】解：整理得， 由②①得， 将代入②得 解得， 原方程组的解为． 10．（25-26七年级下·全国·课后作业）用加减法解下列方程组： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用求解即可； （2）求解即可； （3）求解即可； 【详解】（1）解：，得， 解得．把代入①，得 解得． 所以这个方程组的解为； （2）解：（2），得， 解得．把代入①，得， 解得． 所以这个方程组的解为； （3）解：，得， 解得．把代入①，得， 解得． 所以原方程组的解为； 11．（24-25七年级下·吉林·期中）若和是方程的两组解，求之值． 【答案】． 【分析】根据题意列出关于的二元一次方程组，然后用加减消元法求出的值即可；解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数为未知数的方程． 【详解】解：由题意可得方程组， ，得，解得， 将代入①，得，解得， 所以关于的方程组的解为． 12．（25-26七年级下·江西鹰潭·期末）已知关于x，y的二元一次方程组（k为常数），求这个二元一次方程组的解（用含k的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．利用加减消元法进行求解即可． 【详解】解：， 得， 解得： 得：， 解得：， 所以原方程组的解为． 13．（24-25七年级下·湖南张家界·期末）已知二元一次方程：（1）；（2）；（3）．请从这三个方程中选择两个你喜欢的方程，组成一个方程组，并求出方程组的解． 【答案】选（1）和（2）（答案不唯一）， 【分析】本题考查了解二元一次方程组． 先选取两个二元一次方程，组成一个方程组，再求解即可． 【详解】解：选（1）和（2）组成方程组 ，得， 解得， 把代入方程①，得， 解得， 因此，； 选（1）和（3）组成方程组 ，得， 解得， 把代入方程①，得， 解得， 因此，； 选（2）和（3）组成方程组 ，得， 解得， 把代入方程①，得， 解得， 因此，． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）如表所示是嘉嘉求解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：，得③，……第一步 ，得，……第二步 解得：，……第三步 把代入①，得 ，……第四步 所以方程组的解为．……第五步 (1)嘉嘉的方法是________消元法． (2)以上解法从第________步开始出现错误． (3)请你从出现错误的那步开始，写出正确的解题过程． 【答案】(1)加减 (2)二 (3)见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的求解，熟练运用加减消元法解二元一次方程组是解题关键． （1）根据加减消元法的特征即可解答； （2）根据得判断即可； （3）根据解方程组的基本步骤求解即可． 【详解】（1）解：这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法． 故答案为：加减． （2）解：由，得，故从第二步开始出现错误． （3）故答案为：二． 解：，得，解得：， 把代入①，得：， 所以方程组的解为． 【经典计算题三 二元一次方程的解】 15．（2025七年级下·全国·专题练习）求方程的正整数解． 【答案】或或 【分析】本题考查了求二元一次方程的特殊解，正确变形是解答本题的关键．对于求关于x，y的方程的正整数解，方程可化为，结合x，y是整数求解即可． 【详解】解：由原方程，得． 因为x，y为正整数， 所以原方程的正整数解是或或． 16．（25-26八年级上·陕西西安·月考）若关于x，y的二元一次方程有一组解为，求k的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解． 将代入计算即可． 【详解】解：将代入， 得， 解得． 17．（24-25七年级下·河南南阳·月考）已知方程，请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成的方程组的解为． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程组的解的定义，将把代入，得， 进而可得方程组的解为，即可求解． 【详解】解：把代入，得，         解得                                                   ∴方程组的解为                                       ∵是方程的解                                 ∴这个二元一次方程可以是 18．（24-25七年级下·山西晋城·月考）（1）解方程：． （2）若是方程组的解，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元一次方程，二元一次方程的解，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的步骤解方程即可； （2）根据题意得到，求出，计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：是方程组的解， ， ， ． 19．（24-25七年级下·河北邢台·月考）已知是二元一次方程的一个解． (1)求a的值； (2)请用含有x的代数式表示y． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解．解题的关键是熟练掌握二元一次方程解的性质，用一个未知数的代数式表示另一个嫠数，作等式变形． （1）将二元一次方程的解代入得到关于a的方程，解关于a的方程即可； （2）将代入得到，将x看作已知数，y看作未知数，解关于y的方程即可． 【详解】（1）把代入二元一次方程， 得， ∴； （2）∵， ∴二元一次方程为，， 则 ∴． 20．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知是二元一次方程的解． (1)求的值． (2)解是的二元一次方程唯一吗？如果唯一，请直接回答；如果不唯一，请再写出另一个满足条件的二元一次方程． 【答案】(1) (2)不唯一， 【分析】本题考查二元一次方程的解得定义，读懂题意，掌握二元一次方程解的定义是解决问题的关键． （1）根据二元一次方程解的定义代入求解即可得到答案； （2）根据二元一次方程的解的定义求解即可得到答案． 【详解】（1）解：是二元一次方程的解， 将代入，得； （2）解：以为解的二元一次方程不唯一； 比如的解也是． 21．（24-25七年级下·贵州黔南·期末）阅读下面材料，完成任务． 我们知道二元一次方程有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解． 例：由，得（为正整数），，则有． 又为正整数，为正整数， 为3的正整数倍数，从而， ，的正整数解为 任务： (1)请你写出方程的正整数解：_____； (2)若为自然数，则满足条件的整数有_____个； (3)七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为每本5元的笔记本与单价为每支7元的钢笔两种奖品，共花费75元，问有哪几种购买方案？ 【答案】(1) (2)4 (3)有两种购买方案：方案一：购买8本笔记本和5支钢笔；方案二：购买1本笔记本和10支钢笔 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解材料提示的计算方法是解题的关键． （1）根据材料提示方法计算即可； （2）根据题意，是的倍数，则可以取的值有，由此代入计算即可； （3）设购买本笔记本，支钢笔，由此列二元一次方程组，结合材料提示方法计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵方程的解为正整数， ∴， 解得，， ∵是正整数， ∴是的倍数， ∴当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴方程的正整数解为； （2）解：∵为自然数，且，是的倍数， ∴， 当时，原式的值为，是自然数，符合题意， ∴； 当时，原式的值为，是自然数，符合题意， ∴； 当时，原式的值为，是自然数，符合题意， ∴； 当时，原式的值为，是自然数，符合题意， ∴； ∴满足条件的整数有4个， 故答案为：4； （3）解：设购买本笔记本，支钢笔， ∴， ， 又均为正整数， 为5的正整数倍数， 或， 故有如下两种购买方案： 方案一：购买8本笔记本和5支钢笔； 方案二：购买1本笔记本和10支钢笔． 【经典计算题四 整体换元解二元一次方程组】 22．（25-26八年级上·山西晋中·期末）阅读与思考下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务： 整体代入消元法在利用“代入消元法”解完二元一次方程组后，小宣还想到了一种新的解法； 解：把看作整体代入①，得，解得．将代入②，得，所以原方程组的解为． 这种把看成一个整体进行代入消元解方程组的方法叫作“整体代入消元法”． 请你利用“整体代入消元法”解方程组． 【答案】 【分析】本题考查用二元一次方程组的特殊解法，先从一个方程中整理出可整体代入的代数式，再将其代入另一个方程，实现消元求解． 【详解】解：整理方程组得： 由②得③． 将③整体代入，得，解得， 将代入③，得， 解得． 所以原方程组的解为． 23．（24-25七年级下·河南南阳·月考）阅读材料：善于思考的贝贝同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设,原方程组可变为，解得，即，解得 (1)模仿贝贝同学的“整体换元”的方法，解方程组： (2)已知关于x,y的方程组的解为，求关于m，n的方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是整体法即换元法解二元一次方程组，熟练的确定整体未知数是解本题的关键. （1）设，原方程组化为：，求解，再求解原方程组的解即可； （2）设，，原方程组化为：，可得，再解方程组即可. 【详解】（1）解：设， 原方程组化为：， 得：，即③ 把③代入①得：，即， 把代入③得：， ∴ ， 解得：； （2）设，， 原方程组化为：， ∴， 解得：. 24．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）教材中有这样一道题目：解方程组圆圆认为，只要把两个方程分别去分母，化简，再用加减消元法或代入消元法，可以求解方方认为，圆圆的方法计算量大，容易出错，可以把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元解决问题请参考以上两位同学的思路，任选一种方法，解这个方程组． 【答案】 【分析】利用换元法解方程组即可． 【详解】解：令，， 原方程组可化为：， 得，，即， 得，，即， ∴ 原方程组的解为． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，整体代换是解题的关键． 25．（24-25七年级下·江西上饶·期末）【阅读材料】在解二元一次方程组时，我们常常也会采用一种“整体代入消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，比如，解方程组，首先将方程②变形得，即，其次把方程①代入③得：，即，最后把代入方程①，得，所以方程组的解为． 【解决问题】 (1)请用“整体代入消元”的方法解方程组； (2)已知x、y满足方程组，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握“整体代入消元”法是解此题的关键． （1）利用“整体代入消元”的方法解方程组即可； （2）利用“整体代入消元”的方法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 由②可得：，即， 把方程①代入③可得：， 解得， 把代入方程①可得：， 解得：， ∴方程组的解为； （2）解：， 由①可得：， 由②可得：，即， 把方程③代入④可得：， 解得． 26．（2025八年级上·全国·专题练习）小明同学在解方程组时，发现如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量都比较大，聪明的他想到通过换元可以简化运算．以下是他的解题过程： 解：令，则原方程组可化为解得 所以解得 所以原方程组的解为 请你参考小明同学的方法，解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了换元法在解二元一次方程中的应用，理解题目中给出的换元法，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解决问题的关键． （1）（2）设，分别代入原方程组，求出，再代入得到关于的方程组，求出答案即可. 【详解】（1）解：令． 原方程可化为 解得 ∴解得 ∴原方程组的解为 （2）解：原方程组可化为 解得 ∴ 解得 ∴原方程组的解为 27．（24-25七年级下·河南新乡·期中）已知是二元一次方程组的解． (1)求，的值； (2)小华在求方程组的解时发现，若将（1）中求得的，代入化简整理之后求解，容易出错．如果把看成一个整体设为，把看成一个整体设为，通过换元便可得与类似的方程组，由于是二元一次方程组的解，于是即，解得． 请参考小华同学的方法，解方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程组解的定义，代入求解即可； （2）借助所学的换元法求解即可． 【详解】（1）解：把代入方程组得， 解得； （2）解：设，， 则原方程组可整理为， 解得， 即， 解得． 28．（24-25七年级下·浙江台州·期中）阅读下列一段材料，运用相关知识解决问题． 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例如解方程组，设m，n，则原方程组可化为，解化简之后的方程组得，即，所以原方程组的解为． 运用以上知识解决下列问题： (1)求方程组的解． (2)关于x，y二元一次方程组的解为，则方程组的解为 ． (3)举一反三：方程组的解为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查给新信息的阅读材料题目，关键在于运用题目所给定义解决问题，本题所给信息是换元法，适当换元可使得运算简便． （1）设，，将原方程组可化为，解二元一次方程求得，从而可求得原方程组的解； （2）由已知得，求解即可得答案； （3）利用换元思想设，，然后解方程组即可得到未知数的值． 【详解】（1）解：（1）设m，n，则原方程组可化为， 解得，， 即， 解得，； （2）解：根据题意得， 解得，； （3）设，，则原方程组可化为， 解得，， ∴， 解得，． 【经典计算题五 方程组同解计算问题】 29．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）若关于x的方程和有相同的解，求k的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，熟知方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．先求出方程的解，再把这个解代入到方程中得到关于k的方程，据此求解即可． 【详解】解：， 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：； 把代入方程中得：，即， 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：． 30．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）已知关于x、y的方程组和的解相同，求a和b的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，熟练掌握两个方程组的解相同的含义是解决本题的关键． 根据题意，可先求解的解，再将求出的x和y的值代入即可求解． 【详解】解：由题意得：的解即为的解， 对于， 将等号两边同乘3，可得， 两式相加，可得， 解得， 将代回中，即， 解得， 的解为， 将代入中， 即， 两式相加，可得， 解得， 将代回中，即， 解得， ∴． 31．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）关于、方程组和方程组的解相同，求的值． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二元一次方程组，理解题意掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 根据方程组与方程组的解相同可组成方程组，解出x，y的值再代入可得出a，b的值，最后求的值即可求解． 【详解】解：∵方程组与方程组的解相同， ∴， 解得， 将代入得： ，解得， ∴． 32．（24-25七年级下·福建泉州·月考）若方程组和方程组有相同的解，求方程组的解． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的同解问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关性质求解，根据方程组和方程组同解可以得到求出这个方程组的解，然后代入另外两个方程求出a、b即可． 【详解】解：解方程组 解得： 把代入另外两方程得： 解得：． 33．（24-25七年级下·吉林长春·月考）如果关于x、y的方程组的解是二元一次方程的一个解，求m． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，利用加减消元法得到，再由得到，则． 【详解】解： 得：， ∵， ∴， ∴ 34．（24-25七年级·贵州遵义·模拟预测）若关于的方程组与有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）根据二元一次方程组相同解可得，然后进行求解即可； （2）由（1）可得，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：由关于的方程组与有相同的解可得： ， 解得：； （2）解：把分别代入得：， 解得：， ∴． 35．（24-25七年级下·广东惠州·期中）已知关于x，y的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解是使每个方程左右两边相等的未知数的值． （1）根据已知条件，重新把不含有a、b的两个方程联立成方程组，利用加减消元法求出x、y的值即可； （2）把（1）中求出的，分别代入和，得到关于a、b的方程组，解方程组求出a、b，再代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 得：， 得：， 把代入得：， ∴方程组的解为：； （2）把（1）中所求的，分别代入和得： ， 得：， 得：， 把代入得：， ∴ ． 【经典计算题六 解含参的二元一次方程组】 36．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）若方程组的解满足，则 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组，掌握加减消元法是关键，根据加减消元法得到的值，再结合题意列式求解即可． 【详解】解：， 得，， 解得，， 得，， 解得，， ∵， ∴， 解得，． 37．（24-25七年级下·福建厦门·期末）已知关于的二元一次方程组的解是一对相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，根据题意，得到，用含的式子表示出的值，代入计算即可． 【详解】解：， 得，， ∴， ∵关于的二元一次方程组的解是一对相反数， ∴， 解得，． 38．（24-25七年级下·全国·课后作业）关于的二元一次方程组的解满足，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组以及二元一次方程的解，根据方程组的特征得到是解题的关键．将②①，得到，再代入即可得到m的值． 【详解】解： ②①， ③ 把③代入中，得 则． 39．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知关于，的方程组的解满足，求的值及方程组的解． 【答案】，方程组的解为 【分析】本题考查解含参数的二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决问题的关键． 先将恒等变形为，代入原方程组得，解得，求出，从而得到原方程组的解． 【详解】解：由得，，代入原方程组， 得， ， 将②代入①得， 解得； 则；； 综上所述，，方程组的解为． 40．（24-25七年级下·江苏徐州·月考）若关于、的方程组的解与相等，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，得：，根据，得出，求出k的值即可． 【详解】解：， 得：， ∵， ∴， ∴， 解得：． 41．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）问题：已知关于，的方程组的解满足方程，求的值． 同学们正在讨论着不同的解题思路： 甲同学说：可以先解关于，的方程组，再求的值． 乙同学说：可以先将方程组中的两个方程相加，再求的值； 丙同学说：可以先解方程组，再求的值． ．．． 请选择一种合适的方法解决上面的问题． 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握加减法是解题的关键．选择一种合适的方法求解即可． 【详解】解：甲同学解法： 得，， 解得， 把代入②得，， 解得， ∴， ∵， ∴， 解得； 利用乙同学的解法：， ③+①得，， 即④， ④代入②得，， 解得． 利用丙同学的解法： 先解方程组， ①②得，， 把代入①得， 解得， 所以方程组的解为， 把代入方程得，，解得． 42．（24-25七年级上·安徽合肥·单元测试）已知关于x，y的方程组与有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求m、n的值； (3)小明同学说：“无论a取何值，（1）中的解都是关于x，y的方程的解．”这句话对吗？请你说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)不对，理由见解析 【分析】本题考查同解方程组，由二元一次方程组的解求参数．理解同解方程组的概念是解题关键． （1）根据两个方程组有相同的解，即可联立两个方程组中不含m，n的方程，再求解即可；（2）将（1）所求的解代入含m，n的方程，即得出关于m，n的方程组，解之即可； （3）将（1）所求的解代入，再化简，即得出． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得； （2）解：将代入含有m、n的方程得：， 解得：； （3）解：将代入，得： ， 化简得：， 该说法错误． 【经典计算题七 构造二元一次方程组计算】 43．（24-25七年级下·四川广安·月考）在代数式中，当，时，它的值是，当，时，它的值是17，求a，b的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解以及解二元一次方程组，根据题意构造二元一次方程组，再利用加减法解二元一次方程，解方程即可求出a，b的值． 【详解】解：， ①②，可得：， 解得， 把代入①式得： ， 解得：， ∴原方程组的解是 44．（24-25七年级下·贵州铜仁·月考）在等式中，当时，；当时，．求k，b的值． 【答案】k，b的值分别为和10 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据当时，；当时，，建立方程组，解之即可得到答案． 【详解】解：∵在，当时，；当时，， ∴， ∴，即k，b的值分别为和10． 45．（25-26七年级上·全国·课后作业）对于有理数定义新运算：，其中为常数．已知，求的值． 【答案】 【分析】根据求出的值，再代入计算即可. 【详解】解：根据题意，得 ，， 整理，得 ①+②，得， 解得． 把代入②， 得， ． 【点睛】本题考查了新定义，构造关于二元一次方程组是解题的关键. 46．（24-25七年级下·福建泉州·期中）甲、乙两人解关于x，y的方程组．甲因看错第一个方程中的a，解得，乙又看错了第二个方程的b，解得，求a、b的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解及二元一次方程组的解法，能求出a、b的值是解此题的关键．根据已知条件，把方程的解代入相应的方程，即可求出a、b的值． 【详解】解：， 将代入②得：③， 将代入①得：④， 联立③④解得： 综上所述： 47．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：(2x＋a)(3x＋b)．甲由于把第一个多项式中的“＋a”看成了“－a”，得到的结果为6x2－5x－6；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2＋7x＋6．求正确的a，b的值． 【答案】， 【分析】先根据多项式乘以多项式展开，合并同类项，得出两个二元一次方程，组成方程组，求出方程组的解即可； 【详解】解：因为(2x－a)(3x＋b)， ＝6x2＋2bx－3ax－ab， ＝6x2＋(2b－3a)x－ab， 所以2b－3a＝－5，① 因为(2x＋a)(x＋b)＝2x2＋2bx＋ax＋ab＝2x2＋(2b＋a)x＋ab， 所以2b＋a＝7，② 由①和②组成方程组： , 解得. 故答案为：，. 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，合并同类项，解二元一次方程组等知识点，能得出关于a、b的方程组是解此题的关键． 48．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）对有理数x、y，定义新运算，其中a，b为常数，已知，． (1)求a，b的值； (2)如果，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解列、解二元一次方程组，弄清题中的新定义运算规则列出方程组是解本题的关键， （1）根据题意得出关于a、b的方程组，求出的值即可； （2）根据得出关于y的方程，求出y的值即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得； （2）由（1）知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 49．（24-25八年级上·吉林长春·开学考试）阅读理解： 已知实数，满足，，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题： (1)已知二元一次方程组，则________，_______； (2)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值． 【答案】(1)，3． (2)54 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握整体思想是解题的关键． （1）利用①②可求出的值，利用①②进行计算可求出的值； （2）根据题意可得，然后由④-③可得利用整体的思想求出． 【详解】（1）解： 由①②得：， 由①②得：， ∴， ∴． 故答案为：，3． （2）∵，，， 则 由④-③可得： 即 ∴． 【经典计算题八 三元一次方程组的解法】 50．（25-26七年级上·全国·期末）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了比的应用，解三元一次方程组，解题的关键是正确运用连比求解． 依题可设，然后代入下面方程求解即可． 【详解】解：依题意可设， ∴， ∴， ∴ ∴原方程组的解为：． 51．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查三元一次方程组的求解，核心方法是通过加减消元法消去未知数，将三元一次方程组逐步转化为二元一次方程组、一元一次方程求解． （1）先利用方程①和②消去，再利用方程②和③消去，得到关于、的二元一次方程组，求解后代入原方程求出； （2）先利用方程①和②消去，得到关于、的方程，再与方程③联立求出、，最后代入原方程求出． 【详解】（1）解：①+②得：④； ②-③得：⑤； 由④得， 将其代入⑤得：，解得； 将代入④得； 将，代入③得，解得； ∴方程组的解为； （2）解：①+②得：，化简得④； ③+④得：，解得； 将代入④得，解得； 将，代入①得，解得； ∴方程组的解为． 52．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知方程组的解也是方程的解，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组，掌握代入消元法和加减消元法的解题步骤是解决此类题的关键． 把、、用含有的式子表示出来，然后再代入即可解出的值． 【详解】，得④ ，得， 把分别代入②和③，得，． ∴． 把，，代入得． 解得． 53．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）在等式中，当时，；当时，；当与时，的值相等，求，，的值． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，理解消元的思想方法并类比应用是解决本题的关键．将x，y对应值代入等式可得三个三元一次方程构成的方程组，通过消元即可解得． 【详解】解：依题意，得． ①-②得： 解得： 把代入③得， 解得： 把，代入①得 解得： 解得：． 54．（24-25八年级上·河北邢台·开学考试）解下列方程组： (1) (2)解方程组 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的解法，熟练掌握相应方程组的解法是解题的关键； （1）根据加减消元法求解即可； （2）先代入消元，再加减消元求解即可． 【详解】（1）解：由得，， 解得， 把代入得，， 解得， 原方程组的解为； （2）解：把代入得， 联立方程组得， 由得， 解得， 把分别代入得，， 原方程组的解为． 55．（24-25七年级下·河北石家庄·开学考试）（1）解方程组：． （2）已知，当时，；当时，；当时，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法和通过代入已知值求解二次函数系数．熟练掌握消元法解二元一次方程组以及根据已知条件建立方程组求解函数系数的方法是解题的关键． （1）使用消元法来求解该二元一次方程组．通过对两个方程进行变形，消除其中一个未知数，从而求得另一个未知数的值，再将求得的值代入原方程求出被消除的未知数． （2）将不同值下对应的值代入函数表达式，得到一个关于、、的三元一次方程组，然后求解该方程组，即可得到、、的值． 【详解】解：（1） 由得， 得， 解得， 把代入得， 解得， 所以原方程组的解为； （2）由题意可得      把代入得，即， 把代入得，即， 得， 解得， 把代入得， 解得， ， 所以，． 56．（24-25七年级下·全国·专题练习）感悟思想：有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数，满足①，②，求和的值． 思考：本题常规思路是将①②联立成方程组，解得，的值再代入要求值的代数式得到答案，有的问题用常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值．如①②可得；①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 体会思想： (1)已知二元一次方程组，则___________； (2)三元一次方程组的解是 ___________． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了解三元一次方程组，解二元一次方程组，熟练掌握解方程中的整体思想是解题的关键． （1）利用解方程中的整体思想，进行计算即可解答； （2）利用解方程中的整体思想，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 故答案为：5； （2）解：， 得：， 解得：④， 得：， 得：， 得：， 原方程组的解为： 故答案为：． 【经典计算题九 二元一次方程组的新定义计算】 57．（24-25七年级下·吉林·期末）我们定义一个关于非零常数m，n的新运算，规定：，例如：．若，，求x，y的值． 【答案】x，y的值分别为2， 【分析】本题考查定义新运算，解二元一次方程组，根据新运算的法则，列出方程组，进行求解即可． 【详解】∵，，， ∴ 解得 ∴x，y的值分别为2，． 58．（24-25七年级下·浙江湖州·月考）我们定义一个新运算，规定：，例如：．若，，分别求出x和y的值． 【答案】 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，二元一次方程组的解法，根据新定义建立方程组，再解方程组即可． 【详解】解：， ，， ，， ， 解得：． 59．（24-25七年级·全国·模拟预测）定义运算*：，且，．若非负整数m，n满足，求m和n的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了新定义下二元一次方程组的应用，理解题意，正确列方程组并准确计算是正确解答此题的关键． 先根据新定义列关于的方程组再结合题意求出满足题意的m和n的值． 【详解】解   由条件，得 ， 解得， ， ， ， 结合m、n为非负整数知， ，． 60．（2025七年级下·全国·专题练习）对于实数a，b，定义关于“”的一种运算：．例如：．若，求x，y的值． 【答案】x，y的值分别为 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，根据题中的定义列出二元一次方程组，利用加减消元法进行求解即可． 【详解】解：根据题中的定义，得， ，得， ③． ，得，解得：． ，得，解得：． 故x，y的值分别为． 61．（24-25七年级下·河南南阳·月考）定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”为：____________； (2)二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m，n的值． 【答案】(1) (2)m的值为1，n的值为5 【分析】本题考查的是新定义的含义，二元一次方程的解的含义，二元一次方程组的解法； （1）根据定义直接可得答案； （2）由题意得，二元一次方程的“反对称二元一次方程”是，再利用方程的解的含义建立方程组解题即可． 【详解】（1）解：二元一次方程的“反对称二元一次方程”为：； （2）解：由题意得，二元一次方程的“反对称二元一次方程”是， 二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解， ∴把代入、 得， 解得， ∴m的值为1，n的值为5． 62．（24-25八年级上·山西太原·月考）计算： (1)； (2)． (3)定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一方程”．如：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一方程”． ①直接写出二元一次方程的“反对称二元一方程”______；②二元一次方程的解又是它的“反对称二元一方程”的解，求出的值； 【答案】(1)； (2)． (3)①② 【分析】（1）利用代入消元法求解即可． （2）利用加减消元法求解即可． （3）①根据定义解答即可． ②根据定义计算，解方程即可． 【详解】（1）， 把①代入②，得， 解得， 把代入①得 ， 故方程组的解为． （2）， ，得， 解得， 把代入①得 ， 故方程组的解为． （3）①∵中， ∴其反对称二元一次方程， 故答案为：． ②是的解， ， 的“反对称二元一方程”为 且是的解， ． 【点睛】本题考查了代入消元法，加减消元法解方程，新定义方程解法，熟练掌握解方程组，准确求解新定义方程问题时解题的关键． 63．（24-25七年级下·广东广州·期中）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： (1)_______，_______； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 【答案】(1)1， (2)5 (3) (4) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （4）把所求方程组写成，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：， ，得 ， ∴， 把代入②，得 ， ∴， 解得：； 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， 解得； （3）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：； （4）解：由方程组得：， ∵的解为， ∴， 解得：． 学科网（北京）股份有限公司 $