1.4 绝对值（第2课时：带有字母的绝对值化简问题与绝对值的方程） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学七年级上册

**基本信息** 分层递进设计，覆盖绝对值概念、方程及综合应用，通过基础巩固、能力提升到综合实践，培养抽象能力、推理意识与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A基础达标|绝对值基本概念与方程基础|选择填空结合数轴直观，夯实概念理解| |B能力提升|性质辨析与动态问题|数轴动点与多解辨析，发展推理能力| |C综合与实践|综合应用与分类讨论|情境探究与数学思想渗透，强化模型意识|

1.4 绝对值 （第2课时：带有字母的绝对值化简问题与绝对值的方程） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学七年级上册 【A基础达标】 一、单选题 1．绝对值等于6的数是（     ） A．6 B． C． D． 2．数轴上到表示的点的距离是3的点所表示的数是（   ） A．1 B． C．1或 D．3 3．如图，点在数轴上，若两点表示的数互为相反数，点表示的数为，则的结果为（     ）． A． B． C． D． 4．若，那么x的值为（    ） A． B．7 C．或6 D．或7 5．如图所示， 则（    ） A． B． C． D． 6．若，则a的值是（    ） A．任意有理数 B．任意一个非负数 C．任意一个负数 D．任意一个非正数 二、填空题 7．如果，那么_____． 8．已知有理数，，对应的点在数轴上的位置如图所示，化简：______． 三、解答题 9．解方程：． 解：①当时，解得； ②当时，解得． 所以原方程的解是或． (1)解方程：； (2)解方程：． 10．已知，，为有理数，且它们在数轴上的位置如图所示． (1)用“”或“”填空：，，； (2)化简：． 【B能力提升】 一、单选题 1．下列各组判断中，正确的是（     ） ①若，则一定有 ②若，则一定有 ③若，则一定有或 ④若，则一定有 A．①③ B．②③ C．④ D．③④ 2．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．满足的整数的值有________． 4．如图，已知数轴上点P从A点出发，以每秒2个单位长度向右运动；点Q从B点出发，以每秒1个单位长度向左运动．如果P、Q两点同时出发，那么时间t为________秒时，． 三、解答题 5．解方程： 【C综合与实践】 1．综合与实践 【问题情境】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离可以表示为，当时，；当时，；当时，．例如：4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；3 与 5 在数轴上的对应点间的距离可以表示为：． 【解决问题】 （1）数轴上表示 6和3的两点之间的距离是__________； （2）数轴上表示和2的两点之间的距离是__________． 【实验探究】 （3）若数和2两点之间的距离是6，则可记为：，求m 的值； （4）若数轴上表示数的点位于表示与5的两个点之间，求的值； 【拓展延伸】 （5）若数轴上表示数的点不在表示与7的两个点之间，求的值． 2．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】 解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①，，都是正数，即，， 时， 则； ②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， 则． 综上所述，值为或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)，则_______，，则_______，，则_______； (2)三个有理数，，满足 ，求的值． (3)若，， 为三个不为的有理数，且 ，求的值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4 绝对值 （第2课时：带有字母的绝对值化简问题与绝对值的方程） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学七年级上册 【A基础达标】 一、单选题 1．绝对值等于6的数是（     ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的定义即可求出满足条件的数． 【详解】设绝对值等于6的数为x， 根据绝对值的定义可得：， ∵绝对值等于正数的数有两个，且两个数互为相反数， ∴． 2．数轴上到表示的点的距离是3的点所表示的数是（   ） A．1 B． C．1或 D．3 【答案】C 【分析】本题考查数轴上两点的距离问题，解题的关键是根据数轴上两点间距离公式列方程． 根据数轴上两点距离公式，设该点表示的数为，则，解绝对值方程即可得出结果． 【详解】解：设该点表示的数为， 点到点的距离为3， ， 或， 或， 数轴上到表示的点的距离是3的点所表示的数是或． 故选：． 3．如图，点在数轴上，若两点表示的数互为相反数，点表示的数为，则的结果为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相反数的定义可得的中点即为原点，由图可知，即，再化简绝对值即可． 【详解】解：∵点两点表示的数互为相反数， ∴的中点即为原点， 由图可知，在原点左侧，即， ∴， ∴． 4．若，那么x的值为（    ） A． B．7 C．或6 D．或7 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值．根据绝对值的性质得到或，解之即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或， 故选：D． 5．如图所示， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，化简绝对值，根据数轴可得，据此化简绝对值即可得到答案． 【详解】解：由数轴可得， ∴， 故选：D． 6．若，则a的值是（    ） A．任意有理数 B．任意一个非负数 C．任意一个负数 D．任意一个非正数 【答案】D 【分析】本题考查绝对值性质．根据题意分情况讨论，当时，当时，当时，结合绝对值性质求解． 【详解】解：∵， ∴原方程为． 当时，，∴，不成立； 当时，，∴，解得； 当时，，∴ ，恒成立； 综上，当时等式成立，故 a 是任意一个非正数； 故选：D． 二、填空题 7．如果，那么_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的定义与性质，熟练掌握“绝对值为正数的数有两个，它们互为相反数”是解题的关键．先计算等式右边绝对值的值，再根据绝对值的定义求解的取值． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 8．已知有理数，，对应的点在数轴上的位置如图所示，化简：______． 【答案】 【分析】本题考查数轴与化简绝对值，由图可知，，可得，再化简绝对值即可． 【详解】解：由图可知，， ∴， ∴． 故答案为： 三、解答题 9．解方程：． 解：①当时，解得； ②当时，解得． 所以原方程的解是或． (1)解方程：； (2)解方程：． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题主要考查了解绝对值方程，理解题意，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，是解题的关键． （1）根据绝对值意义，得出，然后解一元一次方程即可； （2）根据绝对值意义，得出或，然后解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：由得：， 当时，； 当时，； 所以原方程的解是或． （2）解：， 或， 解方程，得， 解方程，得， 所以原方程的解是或． 10．已知，，为有理数，且它们在数轴上的位置如图所示． (1)用“”或“”填空：，，； (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了数轴与有理数的大小关系、绝对值的化简以及整式的加减运算． （1）由数轴得，， ，从而判断进行； （2）先根据数轴得到，，，再利用绝对值的性质进行化简即可． 【详解】（1）解：由数轴得，，， ， ， 故答案为：，，； （2）， ，， 【B能力提升】 一、单选题 1．下列各组判断中，正确的是（     ） ①若，则一定有 ②若，则一定有 ③若，则一定有或 ④若，则一定有 A．①③ B．②③ C．④ D．③④ 【答案】D 【分析】依据绝对值的概念，通过举反例、性质推导，逐一判断个命题的正误，筛选出正确结论． 【详解】解：若，，符合，但，故①错误； 若，，符合，但，故②错误； 若，则一定有或，③正确； 若，则一定有，④正确； 故正确的为③④． 2．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数轴确定、的取值范围：，，且，再结合绝对值的性质逐一分析每个选项的正确性． 【详解】解：由数轴可知，，，且． ∵， ∴，故A选项正确． ，故B选项错误． ∵， ∴，故C选项错误． ∵， ∴，即，故D选项错误． 综上，正确结论为A选项． 二、填空题 3．满足的整数的值有________． 【答案】0，1，2 【分析】本题考查换元法和绝对值的几何意义，设 ，确定t的取值范围，再结合整数条件求解x． 【详解】解：设 ，则原方程化为． ∵表示点t到点的距离，表示点t到点5的距离， 点与点5之间的距离为， ∴当时，距离和恒为 6． ∴． ∵且x为整数，故t为偶数整数 ∴或2或4， ∴或1或2， 验证：当时，； 当时，； 当时，，均成立． 故答案为：0，1，2． 4．如图，已知数轴上点P从A点出发，以每秒2个单位长度向右运动；点Q从B点出发，以每秒1个单位长度向左运动．如果P、Q两点同时出发，那么时间t为________秒时，． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，绝对值的几何意义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据题意，可知此时点P表示的数为，点Q表示的数为，那么，，然后列出方程，解出答案即可． 【详解】解：∵数轴上点P从A点出发，以每秒2个单位长度向右运动；点Q从B点出发，以每秒1个单位长度向左运动，P、Q两点同时出发，运动时间为， ∴此时点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴，， ∵， ∴， ∴或， ∴或， 故答案为：或． 三、解答题 5．解方程： 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值方程，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据绝对值的意义逐步化简即可． 【详解】解：， ， 或， 所以或（不合题意，舍去）， 则， 或， 或（不合题意，舍去）， 或． 【C综合与实践】 1．综合与实践 【问题情境】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离可以表示为，当时，；当时，；当时，．例如：4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；3 与 5 在数轴上的对应点间的距离可以表示为：． 【解决问题】 （1）数轴上表示 6和3的两点之间的距离是__________； （2）数轴上表示和2的两点之间的距离是__________． 【实验探究】 （3）若数和2两点之间的距离是6，则可记为：，求m 的值； （4）若数轴上表示数的点位于表示与5的两个点之间，求的值； 【拓展延伸】 （5）若数轴上表示数的点不在表示与7的两个点之间，求的值． 【答案】【解决问题】（1）；（2）； 【实验探究】（3）或；（4）； 【拓展延伸】（5）当时，值为；当时，值为 【分析】本题主要考查用数轴表示有理数，数轴上两点间的距离公式的应用，解决本题的关键在于根据不同情况对绝对值进行化简． 【解决问题】 （1）根据数轴上两点间距离公式列式求解即可； （2）根据数轴上两点间距离公式列式求解即可． 【实验探究】 （3）根据绝对值为的数有两个，列式求解即可； （4）根据所在的位置，确定与的符号即可求解； 【拓展延伸】 根据数的点所在的位置分类讨论求解即可． 【详解】解：【解决问题】 （1）数轴上表示 6和3的两点之间的距离是； （2）数轴上表示和2的两点之间的距离是． 【实验探究】 （3）绝对值为的数有两个，即或． 当时，可得． 当时，可得； 综上，m 的值为8或； （4）因为在与之间，所以，． 当时，；当时，． 则． 【拓展延伸】 （5）当时： 此时，． ，． 则． 当时： 此时，． 那么，． 则． 综上，当时，值为；当时，值为． 2．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】 解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①，，都是正数，即，， 时， 则； ②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， 则． 综上所述，值为或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)，则_______，，则_______，，则_______； (2)三个有理数，，满足 ，求的值． (3)若，， 为三个不为的有理数，且 ，求的值． 【答案】(1) ，1 ， (2)1或 (3)1 【分析】本题考查带绝对值的分式运算，熟练运用“分类讨论”的数学思想是解题的关键． （1）根据绝对值的性质，去绝对值进行计算求解即可； （2）由于 ，则，，都是负数或其中两个为正数，另一个为负数，进行分类讨论，求解代数式的值即可； （3），，为三个不为 0 的有理数，且，则，，中负数有 2 个，正数有 1 个，求出，再代入代数式计算求解即可． 【详解】（1）解：，则， ，则， ，则两者同号， 设、，则， 设、，则， 故答案为：，，； （2）解；由于 ， 则，，都是负数或其中两个为正数，另一个为负数， ①当 ，，都是负数，即 、， 时， 则：； ② ，，有一个为负数，另两个为正数时，设，， 则 ， 因此的值为或； （3）解：，，为三个不为 0 的有理数，且， 则，，中负数有 2 个，正数有 1 个， 所以， 则． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $