29.1.2 过三点的圆（第2课时 反证法）（大单元教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦“反证法”核心知识点，通过“路边李苦”故事导入，回顾过三点的圆相关知识，以“共线三点能否作圆”问题链衔接，构建从具体情境到抽象方法的学习支架。 其亮点在于情境化导入与结构化教学结合，运用数学眼光抽象故事中的推理逻辑，通过“反设—归谬—结论”步骤培养数学思维中的推理能力，结合共线三点不能作圆、平行线性质等实例，助力学生理解反证法应用，也为教师提供清晰教学流程与实践素材。

人教版(新教材) 九年级上册 29.1 圆的有关概念 29.1.2 过三点的圆 第2课时 反证法 第二十九章 圆 回顾与练习 1. 有下列说法： ①任何一个圆都只有一个内接三角形； ②钝角三角形的外心在三角形的内部； ③三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点； ④三角形的外心到三角形三条边的距离相等； ⑤外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形. 其中正确的有( ) B A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 一个圆有无数个内接三角形 钝角三角形的外心在三角形的外部 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 回顾与练习 2. 小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是____.（填序号） ① 解析：①中包含了圆上的不在一条直线上的三点，这三点确定一个圆 3.下列条件中 ，不一定能确定一个圆的是( ) C A.圆心和半径 B.直径和圆心 C.平面上的三个点 D.三角形的三个顶点 不在同一条直线上的三点确定一个圆 为什么过同一条直线上的三点做不出来圆？你能说明理由吗？ 说故事 王戎七岁时，和小朋友看到路边李树上结满了果子，小朋友们争先恐后去摘，王戎却一动不动.有人问他为什么不去摘，王戎说：“树在路边，却结了这么多果子，这李子一定是苦的.”摘来一尝，果然苦涩难咽. 王戎没有直接尝李子，他是用了怎样的推理方法？ 导入新课 王戎是怎么判断李子是苦的？ 假设：李子是甜的. 推论：如果李子是甜的，那么早就被人摘光了，树上不会有这么多李子. 矛盾：树上结满了李子，与“早被人摘光”矛盾. 结论：李子不是甜的，是苦的. 这种“先假设结论不成立，通过推理推出矛盾，从而证明结论成立”的方法，叫做反证法.今天我们就要学习这种方法，并用它来证明上一节课的一个重要结论. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节一：介绍反证法 A B C l 思 考 我们知道，经过不在同一条直线上的三个点，可以作一个圆。那么，经过同一条直线上的三个点，可以作一个圆吗？ 学习活动： 取在同一直线上的三点A、B、C，尝试作经过三点的圆。 不 能 发现： 不共线三点能作出唯一一个圆； 共线三点无法作出同时经过三点的圆 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节一：介绍反证法 思 考 为什么经过同一条直线上的三个不可以作一个圆 A B C l 分 析 经过A、B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线l1上 l1 ∟ l2 ∟ 经过B、C两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线l2上 如果l1 、l2有交点，则交点为所求圆的圆心， 线段AB的垂直平分线l1⊥l 线段BC的垂直平分线 l2⊥l l1 、l2不会有交点 经过同一条直线上的三个点，不可以作一个圆 垂直于同一条直线的两直线平行 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 王戎的推理方法 环节一：介绍反证法 思 考 你能用王戎的方法说明“经过同一条直线上的三个点不可以作一个圆”吗？ 假设“李子甜” 原命题正 树在道边则少子 假设“李子甜”不成 却因“树在道边而多 与已知条件发生矛盾 ➠ ➠ ➠ ➠ ➠ 假设可以作圆 得出相关条件 与原有知识矛盾 假设 不成立 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节一：介绍反证法 思 考 你能用王戎的方法说明“经过同一条直线上的三个点不可以作一个圆”吗？ 提出假设：可以作圆 ►如图，假设经过同一直线l上的A、B、C三点可以作一个圆. P A B C l ►设这个圆的圆心为P ►那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，即点P为l1与l2的交点 得出相关条件 l1 ∟ l2 ∟ ►而l1⊥l，l2⊥l，即过P点由两条直线与已知直线l垂直，这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知 直线垂直”矛盾 与原有知识矛盾 所以，经过同一直线上的三点不能作圆. 假设不成立，原命题结论成立 ——反证法 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节一：介绍反证法 讨论 证明“经过同一直线上的三个点不能作圆”的方法与我们以前学过的证明由什么不同 命题的已知 命题的结论成立 直接由已知条件进行层层推理论证 假设命题的结论不成立 得出矛盾 经过推理 所作假设不正确 断定 原命题成立 判断 假设经过同一直线上的三个点可以作一个圆 经过同一直线上的三个点不可以作一个圆 反证法 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节一：介绍反证法 反 证 法 先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节二：探究反证法步骤 A' B' A B C D E F O 1 2 证明：假设∠1 ≠ ∠2 ，过O作直线A′B′，使∠EOB′=∠2. ∴过点O就有两条直线AB， A′B′平行于直线CD， ∴∠1≠∠2不成立，即∠1=∠2. 已知：如图 ，AB//CD， 求证：∠1＝∠2. 学习活动： 尝试用反证法证明平行线的性质“两直线平行，同位角相等”. ∴A′B′//CD（同位角相等，两直线平行） →反设 →推理 →矛盾 →结论 这与“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾. 命题“两直线平行，同位角相等”成立 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节二：反证法步骤 ⑴假设命题的结论不成立（提出与结论相反的假设）； ⑵从这个假设出发，经过推理，得出矛盾； ⑶由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确. 从上面证明中，你能归纳出反证法的一般步骤吗？ 假设结论不成立 但是与已知条件、定义、定理、基本事实等发生矛盾 假设不成立 根据假设推理得结论 原命题结论成立 ➠ ➠ ➠ ➠ 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节三：反证法的适用情境 什么情况下适合用反证法？ 1. 结论以否定形式出现：如“不能”“不是”“不存在”等.直接证明“不能”往往无从下手，反证法通过假设“能”来推出矛盾，更为自然. 讨论 2. 直接证明困难时：从已知条件难以直接推出结论，但假设结论以否定形式出现：如“不能”“不是”“不存在”等。 3. 结论的反面情况较少：结论的反面只有一种情形时，反证法比较简洁. 若反面情况有多种，则需要逐一反驳，较为繁琐. 例：“共线三点不能作圆”——结论是“不能”，适合反证法. 例：“在一个三角形中，至少有一个角大于等于60°”——结论的否定是“三个角都小于60°”，反面情况单一，也适合反证法. 例：“两直线平行，同位角相等”——直接证明困难，适合反证法. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 （1）反设要完整：结论的反面可能不止一种情况，必须全部否定（如 "至少有一个" 的反面是 "一个也没有"）。反设时不能只否定结论的一部分，要找出结论的全部对立面。 （2）矛盾的来源：可以与已知条件矛盾，也可以与定义、公理、定理或客观事实矛盾。推出矛盾是反证法的核心，没有矛盾就无法完成证明 （3）适用场景：当直接证明困难时，尤其是否定性命题、"至多 / 至少" 类命题、唯一性命题，常用反证法。 （4）书写格式要规范："假设……→ 因为…… 所以……→ 矛盾 → 故原命题成立"。 环节三：反证法的适用情境 反证法应用时有哪些易错点？ 讨论 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 例1：完成下列填空 求证：在一个三角形中，至少有一个内角≤60°. 已知：∠A 、∠ B、 ∠ C是△ABC 三个内角 求证：△ABC 中至少有一个内角小于或等于 60°. 证明：假设　　　　　　　　　　　　　　　　　， 则　　　　　　　　　　　　　　　. ∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　， 即　　　　　　　　　　. 这与　　　　　　　　　　　矛盾，故假设不成立． ∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　． △ABC 中没有一个内角小于或等于 60° ∠A > 60°，∠B > 60°，∠C > 60° ∠A +∠B +∠C > 180° 三角形的内角和为 180° △ABC中至少有一个内角小于或等于 60° ∠A +∠B +∠C > 60° + 60° + 60° = 180° 例题讲解 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 例题讲解 例2.已知：a∥b，b∥c.求证：a∥c. 证明：假设a与c不平行， 则a与c相交，设交点为P. ∵ a∥b， ∴ 过点P有一条直线a与b平行。 又 ∵ c∥b， ∴ 过点P还有一条直线c与b平行。 这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾. ∴ 假设不成立，即a∥c. a b c P 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 证明:假设BN、CM能互相平分,连结MN 则四边形BCNM为平行四边形, ∴BM∥CN,即AB∥AC, 这与已知条件“在△ABC中,AB、AC交于A点” 相矛盾, ∴BN、CM能互相平分不成立, ∴BN、CM不能互相平分. 例3、用反证法证明:在△ABC中,如果M、N分别是边AB、AC上的点,那么BN、CM不能互相平分. 例题讲解 A B C M N 　已知:如图，在△ABC中,M、N分别是边AB、AC上的点. 求证:BN、CM不能互相平分. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 课堂小结与知识梳理 一、核心概念 反证法：不直接从命题的已知得出结论，而是先假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立的证明方法。 二、反证法的三个步骤 步骤 操作 关键词 ① 反设 假设命题的结论不成立，即结论的反面成立 "假设……" ② 归谬 从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾 推出与已知、定义、公理、定理矛盾 ③ 结论 由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题正确 "因此……" 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 2.下列条件中， 不一定能确定一个圆的是( ) C A.圆心和半径 B.直径和圆心 C.平面上的三个点 D.三角形的三个顶点 课堂演练 1.如图，，是的直径，是 上的一点，连接，下列三角形中，外心是点 的是( ) A A. B. C. D. 3.用反证法证明命题“三角形中必有一个内角不大于60°时，首先应假设这个三角形中（ ） A．有一个内角大于60° B．有一个内角小于60° C．每一个内角都大于60 D．每一个内角都小于60°  C 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 4.请将下面用反证法进行证明的过程补全. 已知：在中，.求证： . 证明：假设__________. ， ， . 这与__________________相矛盾. __________不成立， . 三角形内角和定理 课堂演练 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 课堂演练 5.用反证法证明:在同一平面内,过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直.有如下步骤: ①∵∠PAB+∠PBA+∠APB>180°,这与三角形内角和定理相矛盾; ②∴假设不成立,原命题成立; ③如图,假设过点P不止一条直线与已知直线l垂直,不妨设PA⊥直线l于点A,PB⊥直线l于点B; ④∴∠PAB=90°,∠PBA=90°. 正确的顺序是　 　　　.  解：　证明步骤为假设过点P不止一条直线与已知直线l垂直, 不妨设PA⊥直线l于点A,PB⊥直线l于点B, ∴∠PAB=90°,∠PBA=90°, ∵∠PAB+∠PBA+∠APB>180°,这与三角形内角和定理相矛盾, ∴假设不成立,原命题成立, ③④①② 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 课堂演练 6.给出下面的推理,其中正确的是 (　　) ①∵∠B=∠BEF,∴AB∥EF. ②∵∠B=∠CDE,∴AB∥CD. ③∵∠B+∠BEF=180°,∴AB∥EF. ④∵AB∥CD,CD∥EF,∴AB∥EF. A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 解：∵∠B=∠BEF, ∴AB∥EF(内错角相等,两直线平行),故①正确; ∵∠B=∠CDE, ∴AB∥CD(同位角相等,两直线平行),故②正确; 由∠B+∠BEF=180°不能证明AB与EF平行,故③错误; ∵AB∥CD,CD∥EF,∴AB∥EF (在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行),故④正确. ∴正确的是①②④. B 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 课堂演练 7.选择用反证法证明“在△ABC中，∠C=90°．则∠A，∠B中至少有一个角不大于45°”时，应先假设( ) A．∠A＞45°，∠B＞45° B．∠A≥45°，∠B≥45° C．∠A＜45°，∠B＜45° D．∠A≤45°，∠B≤45° 解：先对“至少有一个”否定，即“没有一个角不大于45°”，“没有”和“不”双重否定表肯定，即“所有角都大于45°” A 8.用反证法证明“若a≠b，则a2≠b2”的第一步是_____________. 9.已知命题“在△ABC中，若AC2+BC2≠AB2，则∠C≠90°”，用反证法，其步骤为： 假设 ，根据 ，一定有 ，但这与已知 相矛盾，因此假设是错误的，故原命题是真命题。 ∠C=90° 勾股定理 AC2+BC2=AB2 AC2+BC2≠AB2 假设a2=b2 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 10.如图，在中，，是 的平分线，是边上的中线.用反证法证明点与点 不重合. 【证明】假设点与点重合.如图,延长到 ， 使，连接 . 是边上的中线， . 又， , . ， 是的平分线， ，这与相矛盾. 点与点重合是错误的. 点 与 点 不重合 课堂演练 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 谢谢聆听 $