29.1.2 过三点的圆（第1课时 确定圆的条件）（大单元教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦“过三点的圆”及三角形外接圆与外心，以小明复原破损圆形瓷盘为情境导入，通过回顾圆的静态定义、垂直平分线性质等旧知，逐步探究过1点、2点、3点作圆的规律，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以情境驱动探究，通过尺规作图确定圆心、分类讨论锐角直角钝角三角形外心位置，培养学生几何直观与推理意识。结合中考题和网格问题解析，小结系统梳理确定圆的条件及外心性质，帮助学生建立知识结构，教师可提升教学针对性与效率。

人教版(新教材) 九年级上册 29.1 圆的有关概念 29.1.2 过三点的圆 第一课时 确定圆的条件 第二十九章 圆 1. 判断下列说法的正误 (1) 弦是直径；（ ） (2) 半圆是弧；（ ） (3) 过圆心的线段是直径；（ ） (4) 过圆心的直线是直径；（ ） (5) 半圆是最长的弧；（ ） (6) 直径是最长的弦；（ ） (7) 长度相等的弧是等弧.（ ） 回顾与练习 2. 正方形 ABCD 的边长为 2 cm，以 A 为圆心，2 cm 长为 半径作⊙A，则 点 B 在⊙A ； 点 C 在⊙A ； 点 D 在⊙A . 上 外 上 A B C D 回顾与练习 3. [2026泰州期末] 在平面直角坐标系中，为原点，点 的坐标为，的半径为4，则点与 的位置关系是( ) A A. 点在外 B. 点在 内 C. 点在 上 D. 无法判断 4. 如图，是的直径，若 ，垂足为， ，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 线段的垂直平分线是到线段两端点距离相等的点的集合 （1）圆的静态定义是什么？ （2）垂直平分线可以看成怎样的点的集合？ 到定点距离等于定长的所有点组成的图形 O 半 径 圆心 构成圆的两个要素 A B P M N PA=PB 点P在线段AB的垂直平分线上 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 到线段两个端点的距离相等的点在线段垂直平分线上 回顾与练习 生活情境 小明不小型把家里的圆形瓷盘打破了，想要买个同样大小的盘子，因此小明想复原完整的圆形瓷盘，需要确定原来圆的圆心和半径，小明该如何做呢？ 小明知道画圆需要的两个条件 ①圆心确定位置 ②半径确定大小 因为圆上的点到圆心距离相等，可不可以在破损边缘取几个点，通过找点确定圆心，进而复原圆？ A B C 几个点可以呢？ 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 出示破损圆形瓷盘图片 5 环节一：探究过1个点作圆的规律 学习活动 ①在平面内任取一点A，尝试作经过点A的圆，能作多少个？ · · · · · 画图方法： 以不与 A 点重合的任意一点为圆心，以这个点到 A 点的距离为半径画圆即可； A 可作出无数个圆. 圆心可以是平面内任意一点， 只要到点A的距离等于半径即可. 这些圆的圆心有什么规律？ 思考 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节二：探究过2个点作圆的规律 学习活动 ②在平面内任取两点A、B，尝试作经过点A、B的圆，能作多少个？ A B 所在圆的圆心有什么特点？ 思考 因为圆心与A、B两点距离相等， 所以圆心在AB的垂直平分线上 l ● O1 ● O2 ● O3 画图方法： 在AB的垂直平分线上任取一点为圆心，以这个点到 A 点（或B点）的距离为半径画圆即可； 可作出无数个圆. ● O4 过A、B两点的圆的半径是否相等？圆心位置有什么规律？ 半径不相等，圆心始终在两点线段的垂直平分线上移动。 讨论 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 O 环节三：探究过三点作圆 学习活动 ③取不在同一直线上的三点A、B、C，尝试作经过点A、B、C的圆，如何做？能作多少个？ A B C 所作圆的圆心满足什么条件？ 思考 条件① 经过 A，B 两点的圆的圆心在线段 AB 的垂直平分线上. 条件② 经过 B，C 两点的圆的圆心在线段 BC 的垂直平分线上. ◑ 经过 A，B，C 三点的圆的圆心在这两条垂直平分线的交点 O 的位置. ∟ 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 B A C 作法：（1）连结 AB，BC. （2）分别以点 A 和点 B 为圆心，大于 AB 的长为半径作弧，两弧相交于 D，E 两点； E D F G O （4）以 O 为圆心，以 OA（或 OB，OC ）的长为半径作圆. ⊙O 就是所要求作的圆. l₁ l₂ 环节三：探究过三点作圆 尺规作图：已知不在同一直线上的三点A、B、C， 求作⊙O，使得⊙O经过A、B、C三点 （3） 过D，E 两点作线段 AB的垂直平分线l₁；同理，过F，G 两点作线段 BC的垂直平分线l₂， l₁与 l₂相交于点 O. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节三：探究过三点作圆 O A B C ∟ 讨论 线段 AB 与线段BC的垂直平分线的交点有几个？能确定吗？ 所以⊙O的圆心是确定的，进而其半径也是确定的．因此，经过不在同一条直线上的A，B，C三点可以作一个并且只可以作一个圆． 由作法可知，线段AB，BC的垂直平分线有且只有 一个交点 不在同一条直线上的三个点确定一个圆． 圆的确定定理 有且只有 位置关系 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 方法： 在破损圆弧上取三个不共线的点，作其中两条线段的垂直平分线，交点即为圆心，圆心到点的距离为半径，即可复原圆。 B A C O 环节三：探究过三点作圆 请帮小明复原完整的圆形瓷盘，确定原来圆的圆心和半径 ∟ ∟ 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 （1）任意一个三角形的三个顶点能否在同一个圆上？ B A C O l₁ l₂ 环节四：探究三角形的外接圆与外心 讨论 三角形三个顶点不共线，可确定唯一一个圆。 （2）如何确定过任意一个三角形的三个顶点的圆的圆心与半径？ 圆心是三角形三边垂直平分线的交点 三角形三边垂直平分线的交点与顶点的距离是这个圆的半径 （3）三角形的外接圆与三角形外心 ∟ ∟ 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形。 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 O 环节四：探究三角形的外接圆与外心 学习活动 分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察其外心的位置 不同三角形外心分别在三角形的什么位置？ 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等 O O B A C B A C 锐角三角形的外心位于三角形内. 直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点. 钝角三角形的外心位于三角形外. B A C 三角形外心性质 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 （2）在中，，，，则它的外接圆的直径为_______．  例1.（1）如图，确定弧所在圆的圆心． 5cm 解：（1）在上任取一点C，连接AC、BC． 作弦AC、BC的中垂线，他们的交点即为圆心O． C ∟ ∟ O ∵直角三角形的外接圆圆心在斜边上 ∴外接圆的直径=AB=5CM 解：由勾股定理得： 斜边AB==5 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 例2.中，，，求其外接圆的半径 G ∟ O 解:过A作AG⊥BC，垂足为G， ∵ AB=AC ∴ AG垂直平分BC ∴外接圆的圆心在AG上，设为O点，连结OC BG=6 ∴AG==8 设外接圆半径为x，由勾股定理得： 解得： = 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 例3．（2026·苏州校考）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系， (1)画出过A，B，C三点的圆的圆心P，并求出圆心P的坐标为 ． (2)求出圆的直径 （1）解：连接AB、BC，分别作AB、BC的垂直平分线交于点P，，如图所示，点P是过A，B，C三点的圆的圆心， P ∴点P的坐标为：， （2）由（1）得： 点P是过A，B，C三点的圆的圆心， ∴圆的直径为： ． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 不在同一直线上的三个点确定一个圆. 1.圆的确定 存在性：总能找到两条垂直平分线的交点O，以O为圆心到任意一点的距离为半径画圆，该圆经过三个点. 唯一性：两条垂直平分线的交点唯一，因此这样的圆只有一个. 课堂小结与知识梳理 2.三角形外接圆、外心 一个三角形有一个外接圆 而一个圆有无数个内接三角形， 过圆上任意三点都能画一个三角形 外心：三边垂直平分线交点 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 课堂演练 1.如图，点A、B、C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四个点中的任意3个能画的圆有（　　）   A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解：经过点A、B、D或点A、C、D或点B、C、D分别能画一个圆，共3个，故选C. 2.三角形的外心具有的性质是（　　） A.外心在三角形外 B.外心在三角形内 C.外心到三角形三边的距离相等 D.外心到三角形三个顶点的距离相等 解：三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点， 它到三角形三个顶点的距离相等，故选D. C D 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 课堂演练 3.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在格点上，则△ABC的外心是（　　）  A.点D B.点E C.点F D.点G 解：作线段AC、AB的垂直平分线，发现两线交于E点，故点E是△ABC的外心. B 4.（2019河北中考）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（　　） A. B. C. D. C 解：三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图可知，C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心.故选C. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 课堂演练 5.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则△ABC的外心在△ABC 的　　　　 （填“内部”“外部”或“边上” ；其外接圆的半径为　　　　.  边上 2.5 解：根据直角三角形斜边上中线的性质可知斜边中点为其外接圆的圆心，斜边为其外接圆的直径. ∵△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3， ∴AB==5， ∴外接圆半径为AB=2.5. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 课堂演练 6.如图，在5×7的网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情况下，除△ABC外把你认为外心也是O的三角形都写出来：　　　　　 　　　. 解:　由题图可知OA=， OB=， OC=， OD=， OE=， ∴OA=OB=OC=OD≠OE， ∴△ABD，△ACD，△BCD的外心都是点O. △ABD，△ACD，△BCD 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 课堂演练 7.在平面直角坐标系中，已知点A（0，4）、B（4，4）和C（6，2）. （1）点A、B、C能确定一个圆吗?说明理由； （2）如果能，用尺规作图的方法，作出过这三点的圆的轨迹； （3）写出圆心P的坐标，并求☉P的半径. 解:　（1）点A、B、C能确定一个圆， 理由是点A、B、C不在同一条直线上. （2）如图 （3）如图，由AB的垂直平分线和BC的垂直平分线的交点，得圆心的坐标是（2，0）， 半径为. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 8.如图，已知点,及直线，求作，使它经过, 两点且使圆心在直线 上.（保留作图痕迹，不写作法） 【解】作法 （1）连结AB， （2）作AB的垂直平分线EF交l于O点， （3）以O点为圆心，OA长为半径作圆 O 为所求圆 课堂演练 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 9. 如图，点是的外心，, ,垂足分别为,,点,分别是,的中点，连接.若 ，求 的值 解：连接， 点是 的外心， 是 三边垂直平分线的交点. ，， 为 的中点，为的中点， 是 的中位线， 点,分别是,的中点， 是的中位线. . 课堂演练 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 课堂演练 10. 一个三角形的一边长为12,另外两边长是一元二次方程 的两根，求这个三角形外接圆的半径。 解：， ， 解得： ， 这个三角形的三边长为5，12， ，， 这个三角形是直角三角. 这个三角形外接圆的半径是6.5. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 谢谢聆听 $