29.1.2 过三点的圆 课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件围绕“过三点的圆”展开，涵盖不在同一直线上的三点确定一个圆、三角形外接圆及外心、反证法等核心知识点。通过“两点确定直线”“确定圆需圆心半径”的旧知导入，以问题链引导探究，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于通过活动探究（如过一点、两点、三点作圆）和反证法证明（如证同一直线三点不能作圆），培养几何直观、推理意识和模型意识。结合不同三角形外心位置归纳，学生能深化理解，教师可提升教学效率，助力核心素养落地。

第二十九章 圆 29.1.2 过三点的圆 BY YUSHEN BY YUSHEN 22051 1.理解不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 2.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念. 3.了解反证法的证明思想. 学习目标 BY YUSHEN 22051 1.几点确定一条直线？ 两点确定一条直线． 如果确定了圆心和半径，那么这个圆的位置和大小就被确定了． 2.如何确定一个圆？ O r 平面内几点能确定一个圆呢？ 问题导入 BY YUSHEN 22051 活动：和同伴交流，完成以下问题. 问题1：经过一个点A能不能作圆？这样的圆能作出多少个？ · · · · · 以点A以外任意一点为圆心，以这一点与点A的距离为半径画圆即可； 可作无数个圆. A 知识点1：过不共线三点作圆 新知探究 BY YUSHEN 22051 · · · · A B 作线段AB的垂直平分线，以其上任意一点为圆心，以该点到点A(或B)的距离为半径画圆即可；可作无数个圆.所作圆的圆心都在线段AB的垂直平分线上. 分析：根据圆的性质，圆心到圆上的点的距离都等于半径，所以可得圆心在AB的垂直平分线上． 问题2：经过两个点A，B能不能作圆？如果能，这样的圆能作出多少个？所作圆的圆心的位置有什么特点？ 新知探究 BY YUSHEN 22051 A B C D E G F ●o 经过B，C两点的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上. 经过A，B，C三点的圆的圆心是AB、BC垂直平分线的交点，即点O的位置. 经过A，B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上. 结论：不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 问题3：经过不在同一条直线上的三个点A，B，C能不能作圆？如果能，如何确定所作圆的圆心？ 新知探究 BY YUSHEN 22051 例1：已知：不在同一直线上的三点A，B，C. 求作： ⊙O，使它经过点A，B，C. 作法：1. 连接AB，作线段AB的垂直平分线MN； 2. 连接AC，作线段AC的垂直平分线EF， 交MN于点O； 3. 以O为圆心，OB为半径作圆. 所以⊙O就是所求作的圆. O N M F E A B C 典型例题 BY YUSHEN 22051 问题：已知△ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C三点的圆. A B C O 知识点2：三角形的外接圆及外心 新知探究 BY YUSHEN 22051 经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆. 外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫作这个三角形的外心. A B C O ● 如图：⊙O叫作△ABC的外接圆， 点O是△ABC的外心， △ABC叫作⊙O的内接三角形. 归纳 BY YUSHEN 22051 画一画：我们通过画图得到锐角三角形的外接圆，知道锐角三角形的外心在三角形内部，再分别作出直角三角形、钝角三角形的外接圆，看一看外心的位置在哪里. 锐角三角形的外心在三角形内部； 直角三角形的外心在三角形斜边中点； 钝角三角形的外心在三角形外部. 新知探究 BY YUSHEN 22051 问题：我们知道，经过不在同一条直线上的三个点，可以作一个圆.那么，经过同一条直线上的三个点，可以作一个圆吗? A B C m n 过同一条直线上的三个点不能作圆． 知识点3：反证法 新知探究 BY YUSHEN 22051 　　已知：A，B，C 是直线 l 上的三点． 　　求证：经过 A，B，C 三点不能作一个圆． A B C l 　　追问：如何证明你的结论？ 新知探究 BY YUSHEN 22051 l1 l2 A B C l P 证明：假设经过 A，B，C 三点可以作一个圆． 设这个圆的圆心为 P．∵PA＝PB＝PC， ∴点 P 既在线段 AB 的垂直平分线 l1 上，也在线段 BC 的垂直平分线 l2 上，即点 P 为 l1 与 l2 的交点， 而 l1⊥l 与 l2⊥l，这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾． ∴经过同一条直线上的三点 A，B，C 不能作圆． 新知探究 BY YUSHEN 22051 上面证明“经过同一条直线上的三个点不能作圆”的方法与我们以前学过的证明不同，它不是直接去证明命题的结论，而是先提出与结论相反的假设(即假设经过同一条直线上的三个点可以作一个圆)，再推导出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果，然后由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫作反证法. 归纳 BY YUSHEN 22051 例3：用反证法证明平行线的性质“两直线平行，同位角相等”. 解：如图，我们要证明：如果AB∥CD，那么∠1=∠2. 假设∠1≠∠2，过点O作直线A′B′，使∠EOB′=∠2. 根据“同位角相等，两直线平行”，可得A′B′∥CD. 这样，过点O就有两条直线AB，A′B′都平行于CD，这与平行公理“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾. 说明假设∠1≠∠2不正确，从而∠1=∠2. 典型例题 BY YUSHEN 22051 　　思考：用反证法证明命题的一般步骤是什么？ 第1步：假设命题的结论不成立（提出与结论相反的假设）． 第2步：从这个假设出发，经过推理，得出矛盾. 第3步：由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的． 新知探究 BY YUSHEN 22051 16 1.如图，点A、B、C、D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为( ) A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 A B C D l P 2.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠OBC=28°，则∠A=_________° D 62 O B A C 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 3.用反证法说明：一个三角形中不能有两个角是直角. 证明:假设一个三角形中有两个角是直角. 设在△ABC中,A=90°,B=90°. 三角形内角和为180° A+B +C= 180° 代入得: A+B =90°+90°=180° 则C=180°-180°=0°. 综上，一个三角形中不能有两个角是直角. 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 4.已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°，AC=12 cm，BC=5 cm，求△ABC的 外接圆的半径长. 解:如图,设Rt△ABC的斜边AB的中点为O，连接OC，则OA=OB=OC， 故点O是△ABC的外心. ∵∠ACB=90°，AC=12 cm，BC=5 cm, ∴AB==13 cm， ∴OA=6.5 cm，即△ABC的外接圆的半径长为6.5 cm. 随堂小练 提升 BY YUSHEN 22051 过三点的圆 过不在同一直线上的三个点确定一个圆 三角形的外接圆 反证法 三角形的外心 说说本节课你学到了什么？ 课堂小结 BY YUSHEN 22051 $