29.1.1 圆的有关概念（大单元教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦圆的有关概念，涵盖圆的定义、点与圆位置关系、弦与弧等核心知识。通过月饼、车轮等生活情境导入，引导学生举例生活中的圆，再借助圆规画圆、钉子棉线操作，抽象出旋转和集合定义，进而探究点与圆位置关系，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以生活实践和文化渗透培养核心素养，用毕达哥拉斯名言及《墨子》“一中同长”记载激发数学眼光，通过画圆操作和定义辨析发展推理思维，例题结合矩形、菱形等几何图形强化数学语言表达。学生能直观理解概念本质，教师可依托完整教学流程提升课堂效率。

人教版(新教材) 九年级上册 29.1 圆的有关概念 29.1.1 圆的有关概念 第二十九章 圆 圆是一种和谐、美丽的图形， 中秋节的月饼 小时不识月 呼作白玉盘 生活情境 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 “一切立体图形中最美的是球， 一切平面图形中最美的是圆.” 生活情境 古希腊的数学家毕达哥拉斯说： 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 生活情境 圆是生活中常见的图形，许多物体都给我们以圆的形象. 你能举例说说生活中的圆吗？ 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 怎样计算蒙古包的用料？ 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 生活情境 圆有哪些性质？为什么车轮做成圆形？怎样设计一个运动场的跑道？ 圆形车轮滚动平稳，圆心到边缘距离处处相等，行驶不会颠簸 在这一章，我们将进一步认识圆，用图形变换等方法研究它，并用圆的知识解决一些实际问题. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 还记得如何用圆规画圆吗？试一试 环节一 探究圆的定义 圆规的两脚一个固定不动，另一个绕着固定点旋转一周，这样就画出了圆。 固定不动的点是圆的圆心， 圆规两脚间的距离是半径 O 半径 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 在画的过程当中需要注意什么？ 如果没有圆规，但有一根钉子，一段棉线和一支铅笔，你能用这三样工具画圆吗？试一试 环节一.探究圆的定义 方法：将棉线一段系在钉子上并固定，棉线另一端系在铅笔上，拉紧棉线，让铅笔绕着钉子旋转一周，这样就画出了圆 钉子要固定表示圆心， 棉线要拉直表示半径 O 半径 一个线段，固定一个端点，线段绕其另端点旋转一周形成封闭曲线 固定的点是圆心， 固定线段是半径； 圆的定义 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 组织学生动手操作，用圆规画圆，老师用棉线演示画图过程，引导学生观察画圆的过程 8 环节一.探究圆的定义 归纳 动态 O · A 在一个平面内，一条线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线叫做圆。 固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。 圆的旋转定义 圆的表示 以点O为圆心的圆， 记作“⊙O”，读作“圆O” 二是半径， 半径确定其大小 确定圆的要素 一是圆心， 圆心确定其位置 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节一.探究圆的定义 ♦点A、B、C、D、E是圆O上点，这些点到圆心的距离有什么特点？ O A B C D E ♦如果点F与O点距离等于半径，点F在圆上吗？ →OA=OB=OC=OD=OE=半径 →圆O上点到圆心的距离都等于半径 F →点F在圆上 →到圆心的距离都等于半径的点都在圆O上 学习活动 测量圆上点到圆心的距离 活动结论: 将圆看为无数个点组成的图形，那么这些点到圆心的距离相等，到圆心距离相等的点在圆上 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 学生测量圆上点到圆心的距离， 10 圆的集合定义的要点 归纳 静态 平面内到定点 (O) 的距离等于定长 (r) 的所有点组成的点的集合是以定点O为圆心，定长r为半径的圆. 圆的集合定义 ♦圆上各点到定点的距离等于定长 ♦到定点的距离等于定长的点都在圆上 O 环节一.探究圆的定义 A r 圆心 半径 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节一.探究圆的定义 圆是一条封闭的曲线，而不是“圆面”，圆上的点”指的是“圆周上的点” 圆面 圆周 圆周上的点 注意 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节一.探究圆的定义 众多记载表明，我们的祖先很早就能从具体事物中抽象出纯粹的形的几何概念，并会用规和矩这些工具绘制它们．如战国时的《墨子》中记载着 “圆，一中同长也”，即圆上各点到圆心的距离都相等；还记载着 “圆，规写交也”，即用圆规画图，使其两端相交便形成一个圆． 圆的定义溯源 《墨子》科学几何内容简介 1.给出圆、正方形、直线、平面等最早的定义； 2. 涉及点、线、面、体等基础几何元素； 3. 还有小孔成像、杠杆原理等物理学成果，是我国先秦少有的自然科学文献。 墨子 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 O r 环节二：点与圆的位置关系 ♦观察：平面上画了圆后，平面被圆分成几部分，相应地，平面内的点与圆有几种位置关系？ 平面被圆分成三部分 圆外 圆内 圆上 平面内的点与圆有三种位置关系 点C在圆内 点A在圆上 点B在圆外 B C A OC ＜ r OA = r OB ＞ r 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节二：点与圆的位置关系 点和圆的位置关系 归纳 设O的半径为r， 任意一点P到圆心的距离OP=d， 类似于用点到圆心的距离刻画点在圆上，可以用点到圆心的距离刻画点在圆外、点在圆内 点P在⊙O内 点P在⊙O上 点P在⊙O外 d d d r P d P r d P r d ＜ r r = ＞ r 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节二：点与圆的位置关系 点和圆的位置关系 归纳 设O的半径为r， 任意一点P到圆心的距离OP=d， 反过来，由 d 与 r 的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？ r P d P r d P r d d ＜ r d r = d ＞ r 点P在⊙O内 点P在⊙O上 点P在⊙O外 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 点和圆的位置关系 归纳 设O的半径为r， 任意一点P到圆心的距离OP=d， 环节二：点与圆的位置关系 r P d P r d P r d d ＜ r d r = d ＞ r 点P在⊙O内 点P在⊙O上 点P在⊙O外 符号“⇔ ”读作“等价于”， 它表示从符号“⇔”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节三：认识圆的基本线段元素 如图，A、B、C圆上三点， O C B A ＊连接圆上任意两点的线段叫做弦. ＊特别的，经过圆心的弦叫做直径. 连接圆上两点A、C，所得线段成为弦AC 1.圆的基本线段——弦与直径 注意： 1. 弦和直径都是线段； 2. 直径是特殊的弦，它经过圆心，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径. 3.直径作法：过圆心画直径AB 直径 连接圆上两点A、B，且过圆心O所得线段成为直径AB. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 18 环节三：认识圆的基本线段元素 直径和弦的关系是什么？一条直径对应几条半径？同圆中直径和半径的数量关系？ ＊直径是特殊的弦，弦不一定是直径； ＊直径是圆内最长的弦； ＊ 1条直径=2条半径； ＊同圆中直径长度是半径的2倍。 思考 O C B A 判断 ： ①弦是直径. （ ） ②直径是最长的弦.（ ） ①错误，只有过圆心的弦才是直径； ②正确，圆内所有弦中直径最长。 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节四：认识圆的弧类元素 （1）弧的定义： 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 O A C B 以 A、B 为端点的弧记作 读作“圆弧 AB”或“弧 AB” 2. 弧的类型 （2）半圆 直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； 大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的 ）叫做优弧． 小于半圆的弧（用两个字母表示，如图中的 　 ）叫做劣弧． （3）优弧与劣弧 思考 半圆是优弧或劣弧吗？优弧和劣弧的区别是什么？ 半圆既不是优弧也不是劣弧； 劣弧长度小于半圆，优弧长度大于半圆，书写字母数量不同。 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 结合圆形教具，演示圆上两点间的曲线部分， 20 环节四：认识圆的弧类元素 3.等圆、等弧概念： 等圆： 能够完全重合的两个圆是等圆（半径相等）； 注意：等圆只与半径的大小有关,与圆心的位置无关. 等弧： 在同圆或等圆中，能够完全重合的弧是等弧。 思考 长度相等的弧是等弧吗？ 如图，如果弧AB 和弧CD 的拉直长度都是 10 cm，移动并调整小圆的位置，是否能使这两条弧完全重合？ 注意： 等弧是全等的，而不仅仅是弧长相等； 等弧的弧长相等，但弧长相等的弧不一定是等弧. “等弧”≠“长度相等的弧” 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习  例题讲解 例1 矩形ABCD的对角线AC，BD，相交于点O. 求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上. 证明：∵ 四边形ABCD为矩形 ∴ OA=OC= AC，OB=OD= BD，AC=BD ∴ OA=OC=OB=OD ∴ A，B，C，D四个点在以点O为圆心， OA为半径的圆上. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习  例题讲解 例2 如图，两个等圆和相交于A，B两点，的延长线交于点C，若，求的度数 解：连接，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习  例题讲解 例3. （2026·江苏徐州·一模）如图，在菱形中，，E是射线上的动点，且，当点E到直线的距离最大时，四边形的面积为_______． 解：四边形为菱形， ，， ， ，，． E是射线上的动点， 如图，点E在以点C为圆心，半径为5的（除点F）上运动． 如图2，当时，点E到直线的距离最大． 四边形为菱形，且， 四边形为正方形，． F 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 1.圆的定义 圆的集合定义：圆心为O、半径为r的圆可以看成平面内所有到定点O的距离等于定长r的点的集合. 圆的旋转定义：在平面内，线段 OA绕着它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A所形成的封闭曲线叫做圆．固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA的长 r 叫做半径．以点 O 为圆心的圆，记作“⊙O” 读作“圆 O”. 课堂小结与知识梳理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 位置关系 点在圆内 点在圆上 点在圆外 图示 对应关系 点在圆内 d < r 点在圆上 d = r 点在圆外 d > r 2.点与圆的位置关系 课堂小结与知识梳理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 有关 概念 直径是圆中最长的弦 弧 半圆是特殊的弧 劣弧 半圆 优弧 弦（直径） 3.与原有关的元素 课堂小结与知识梳理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 课堂演练 1．（25-26九年级上·湖北宜昌·期末）在平面直角坐标系中到原点的距离等于2的所有的点构成的图形是（       ） A．直线 B．正方形 C．圆 D．菱形 C 解：根据题意得：到原点的距离等于2的所有的点构成的图形是圆． 2．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）根据圆的定义，平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．已知平面内点到定点的距离始终等于，则这个圆的半径为______． 解：由圆的定义可知，平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆，其中定点为圆心，定长为半径，故半径为． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 课堂演练 3.（2026九年级上·四川南充·专题练习）下列说法中，正确的是（   ） A．圆是由到圆心的距离大于半径的所有点组成的图形 B．圆心相同，半径不相等的两个圆叫等圆 C．弦是直径 D．圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小 解：∵圆是平面内到圆心的距离等于半径的所有点组成的图形，到圆心距离大于半径的点组成圆外区域，∴A选项错误，不符合题意； ∵等圆是半径相等、可以完全重合的两个圆，与圆心位置无关，圆心相同半径不等的两个圆是同心圆，不是等圆， ∴B选项错误，不符合题意； ∵连接圆上任意两点的线段叫做弦，只有经过圆心的弦才是直径，不是所有弦都是直径， ∴C选项错误，不符合题意； ∵圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，说法正确； ∴D选项正确． D 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 课堂演练 4.（25-26八年级上·广东深圳·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．任意两点之间的部分叫做弦 B．长度相等的两条弧是等弧 C．圆的两条弦所对的两条弧一定是等弧 D．圆上任意两点之间的部分叫做弧 解：A、弦的定义是连接圆上任意两点的线段，A选项中“任意两点之间的部分”表述不符合弦的定义，故此选项错误，不符合题意； B、等弧的定义是在同圆或等圆中能够互相重合的弧，长度相等的弧不一定在同圆或等圆中，也不一定能重合，故此选项错误，不符合题意； C、只有在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧与优弧、劣弧与劣弧才是等弧，两条弦不一定相等，即使相等所对的弧也可能一条是优弧一条是劣弧，故此选项错误，不符合题意； D、弧的定义是圆上任意两点之间的部分，与D选项表述一致，故此选项正确，符合题意． D 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 课堂演练 5.（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（　　） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 解：弦为、、． B 6.（2026·内蒙古呼和浩特·一模）如图，中，，，以为圆心，长为半径画弧，交边于点；则的长（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 解：∵在中， ∴,, 根据题意，得, ∴． A 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 课堂演练 7.（25-26九年级上·河南平顶山·期末）小华为一个长方形休闲场所提供了如图所示的设计方案，其中半圆形休息区和长方形游泳区外的地方都是绿地．如果这个休闲场所需要有一半以上的绿地，并且游泳区的长与宽之间满足． (1)游泳区的面积为______， 休息区的面积为______；（用含的代数式表示） (2)小华的设计方案符合要求吗？请说明理由； (3)当时，绿地的面积为______．（取） （1）解： 游泳区：， 休息区：； 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 课堂演练 7.（25-26九年级上·河南平顶山·期末）小华为一个长方形休闲场所提供了如图所示的设计方案，其中半圆形休息区和长方形游泳区外的地方都是绿地．如果这个休闲场所需要有一半以上的绿地，并且游泳区的长与宽之间满足． (1)游泳区的面积为______， 休息区的面积为______；（用含的代数式表示） (2)小华的设计方案符合要求吗？请说明理由； (3)当时，绿地的面积为______．（取） （2）答：符合，理由如下： 休闲场所面积为： ， 绿地面积： ， ∵ ， ∴绿地面积大于休闲场所的一半面积， ∴小华的设计方案符合要求 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 课堂演练 7.（25-26九年级上·河南平顶山·期末）小华为一个长方形休闲场所提供了如图所示的设计方案，其中半圆形休息区和长方形游泳区外的地方都是绿地．如果这个休闲场所需要有一半以上的绿地，并且游泳区的长与宽之间满足． (1)游泳区的面积为______， 休息区的面积为______；（用含的代数式表示） (2)小华的设计方案符合要求吗？请说明理由； (3)当时，绿地的面积为______．（取） （3）解：由（2）得： 绿地面积= 当时， 取 原式 ， 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 课堂演练 解：渔船应沿着射线 OP 的方向航行才能尽快离开危险区． 理由如下： 设射线 OP 交⊙O 于点 A，过点 P 任意作一条弦 CD，连接 OD. 在 △ODP中，OD－OP＜PD， 又∵OD = OA， ∴OA－OP＜PD. ∴ PA＜PD，即 PA 为最短路线， 故渔船沿射线 OP 方向航行才能尽快离开危险区. 8. 如图，点 O 处有一灯塔，警示⊙O 内部为危险区，一渔船误入危险区点 P 处，该渔船应该按什么方向航行才能尽快离开危险区？试说明理由． A D P C O 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 谢谢聆听 $