第一章 勾股定理 单元练习 2026－2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学上册勾股定理单元卷，通过选择、填空、解答题覆盖勾股定理应用、判定及实际情境（如感应门高度、公园绿化），培养几何直观与推理能力，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/32|勾股定理应用、勾股数、直角三角形判定|结合正方形面积等图形情境，基础巩固| |填空题|5/20|斜边计算、梯子滑动、等腰梯形边长|融入动态问题（梯子滑动），强化空间观念| |解答题|6/48|实际应用（拉杆箱、感应门）、网格作图、四边形面积|综合生活场景（医院感应门），发展模型意识与应用能力|

第一章勾股定理单元练习 2026一2027学年北师大版八年级数学上册 一、单选题 1.(24一25七年级上山东东营·期中)如图，所有阴影部 分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形 B、C、D的面积依次为8、6、18，则正方形A的面积为（) (4分) B D A.2B.3C.4D.5 2.(24一25八年级下·甘肃定西·阶段检测)以2和3为直角 边的直角三角形的斜边长为（)(4分) A.5B.5C.7D.7 3.（23一24八年级上·山西晋中·期末)下列数据能作为直 角三角形三边的是()(4分) A.11,5B.123C.号4月 D .12,16,20 4.（24一25八年级上·广东清远·期中)下面四组数中是勾 股数的一组是（)(4分) A.5、7、10B.6、8、10C.5、11、12D.10、20、 26 5.(22一23八年级上山东济南·阶段检测)直角三角形的 两直角边分别为5厘米、12厘米，则斜边上的高是（)(4 分) A.6厘米B.8厘米C.厘米D.g厘米 6.（25一26八年级上·江苏常州·阶段检测)下列四组线段 中，可以构成直角三角形的是（)（4分) A.4,5,6B.2,3,4C.2,3,D.7,3,4 7.（25一26八年级下·河北石家庄·期中)下列各组数中， 是勾股数的是（)（4分) A.24,25,8B.1.5,2,2.5C.1,2,93D.10,24,26 8.(25一26八年级下·安微芜湖·期末)如图，图中所有的 三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形.若正方形 A,C的面积分别为1和6，则正方形B的面积为（)（4 分) B A.7B.6C.4D.8 —2 二、填空题 9.（23一24八年级下·青海海东·阶段检测)已知△ABc的三 边a,b,c满足a=b2-c2,则△ABC的形状为 (4分) 10. (25一26八年级下·新疆昌吉·期中)已知直角三角形两 条直角边长分别为8和15，该三角形斜边长度为--- (4分) 11.如图所示，一架长为2.5米的梯子AB斜立在一竖直的墙 上，这时梯子的底端距离墙角c处1.5米，如果梯子顶端沿墙下滑 1.3米，梯子的底端沿水平方向滑动 米.(4分) 12.(23一24八年级上·重庆沙坪坝·期中)如图，2BAC=90 ,AB=4,AC=4,BD=7,DC=9,则∠DBA= (4 分) D B 13.等腰梯形ABCD中，AD=2,BC=4,高DF=2,则腰 CD长是--·(4分) —3 B F C 三、解答题 14.（23一24八年级上·广东佛山·期末)如图分别是某种型 号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息： 滑竿DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE=BC=AB=60cm,点 B、F在线段AC上，点C在DE上，支杆DF=30cm.若EC=24cm时，B ,D相距48cm,试判定BD与DE的位置关系，并说明理由.（10 分) 4 15.（23一24八年级下·陕西延安·期中)在△ABC中， ∠C=90°，AC=BC,AB=10,求AC的长.(10分) 16.（22一23八年级上·湖北咸宁.期中)如图是由边长为1 的小正方形组成的正方形网格，△ABc的顶点都在格点（正方形 的顶点)上.(12分) (1) △ABC的面积是； (2)请用无刻度直尺分别作出△ABC的高AD,BM;(保留 作图痕迹，作图过程用虚线，作图结果用实线) (3)△ABM的面积是. 17.（23一24八年级上·福建漳州·期末)某医院为了方便病 人进出，将门诊大厅的门改为自动感应门，感应门上方装有一个 —6 感应范围2.6米的感应器D.如图，一个身高1.6米的病人AB走到离 感应门2.4米处时，感应门刚好自动打开，请求出感应器离地面的 高度CD.(12分) D B 18.(24一25八年级下·湖南长沙期末)如图，4c=90, AC=3,BC=4,AD=12,BD=13.求：四边形ACBD的面积.（12 分) 7— D B 19.(24一25八年级上·江苏徐州·期中)某公园内有一块四 边形的空地ABCD,如图所示，为了绿化环境，计划在空地上种植 草皮，经测量∠A=90°，AB=6m,DA=8m,BC=24m,CD=26m.(12 分) 8— D B (1) 求出空地ABCD的面积； (2)若每种植1平方米草皮需要50元，问总共需投入多 少元？ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 8 答案 C D B 0 0 A 1.c 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形两直角边的平方 和等于斜边的平方. -9 根据勾股定理得，SE方形A+S正方形B=SE方E,SE方指D-SE方形C=SE方形E ,代入数值即可求解， 【详解】解：如图所示，标记正方形E, B E A 由题意可知，SE方形A+S正方形B=SE方形E,SE方楼DSE方&C=S正方形E, '.S正方形A+SE方形B=SE方形D一SE方形C, .正方形B、C、D的面积依次为8、6、18， '.SE方形A+8=18-6, ,.S正方形A=4, 故选：C 2.C 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本 题的关键.在直角三角形中，如果两条直角边分别为α和b,斜 边为c,那么a+b2=c.直接根据勾股定理求解即可. 【详解】解：2和3为直角边， ∵斜边长为：22+3=7. 故选C. 3.D 10 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握定理内容是解 题关键， 【详解】解：12+1≠3， ∴1,1,3不能作为直角三角形三边，故A不符合题意， ."12+2≠32， '1,2,3不能作为直角三角形三边，故B不符合题意； , ∴4不能作为直角三角形三边，故C不符合题意； .111 .‘122+162=202 ∴，12,16,20能作为直角三角形三边，故D符合意； 故选：D. 4.B 【分析】本题主要考查了勾股数，解题的关键是掌握勾股数 的定义， 利用勾股数定义逐项进行判断即可，即满足+b=c的三个 正整数，称为勾股数， 【详解】解：A..52+72=25+49=74,102=100, 52+7≠102 不是勾股数，不符合意； B.·.62+82=36+64=100,10=100, .62+82=102 该选项是勾股数，符合题意； 11 C.."52+112=25+121=146,12=144, .52+112≠122， 该选项不是勾股数，不符合题意； D.·.10+20=100+400=500,26=676, .102+202≠262 该选项不是勾股数，不符合题意： 故选：B, 5.D 【分析】本题考查勾股定理，直角三角形两直角边边长的平 方和等于斜边边长的平方；灵活运用三角形的面积的两种不同的 表示方法得到等量关系是解题关键.设斜边上的高为h厘米，利 用勾股定理可求出斜边的长，利用面积法即可求出的值，可得 答案 【详解】解：·.直角三角形的两条直角边分别为5厘米、12 厘米，， .'斜边长为122+52=13厘米， .直角三角形斜 设边的高为h,则2×5×12=×13h, 解得：h智 (厘米) 故选：D 6.C 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的 逆定理是解题的关键 -12 通过计算各组线段中两条较小边的平方和是否等于最大边的 平方，判断是否能构成直角三角形 【详解】解：选项A、由于42+52=16+25=41,62=36，则41≠36 ，不是直角三角形： 选项B、由于22+32=4+9=13,42=16，则13≠16，不是直角三角 形； 选项C、由于2}+3=2+3=5,5}=5，则5=5，是直角三角 形： 选项D、由于7}+3=7+3=10,42=16，则10≠16，不是直角 三角形， 故选：C 7.D 【分析】勾股数需同时满足两个条件：1、三个数都是正整 数；2、两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐项判断 即可求解 【详解】解：A..82+242=640,252=625,82+242≠252， 该组数不是勾股数，不符合题意： B..1.5,2.5不是正整数 该组数不是勾股数，不符合题意； C.“.2,3不是正整数， 该组数不是勾股数，不符合题意； —13 D.".‘102+242=100+576=676,262=676,即102+242=262，且10， 24,26都是正整数 .∴该组数是勾股数，符合题意 8.A 【分析】首先得到GE2=1,HF2=6,证明△GED≌△DFH(AAS, 得到DE2=HF2=6,然后利用勾股定理求解即可. 【详解】解：如图， H B 根据题意得，GE2=1,HF2=6 .'∠GED=∠GDH=∠DFH=90° ,∴.∠GDE+∠EGD=∠GDE+∠FDH=90 '.∠EGD=∠FDH 又'.GD=HD .∴.△GED≌△DFH AAS .∴.DE=HF .∴.DE2=HF2=6 .∴.DG2=GE2+DE2=1+6=7 正方形B的面积为7. 9.直角三角形 【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可. -14 【详解】解：a2=b2-c2, ∴.a2+c2=b2 ∴.△ABC是直角三角形. 10.17 【详解】解：由勾股定理得该三角形斜边长度为8+15=17 11.0.9 【分析】两次运用勾股定理可求得 【详解】解：在Rt△ACB中，BC=1.5米，AB=2.5米， AC=AB-BC2=2米， DC=AC-AD=2-1.3=0.7米 在Rt△DCE中，DC=0.7米，DE=AB=2.5米，CE=VDE2-DC=2.4 米， 所以BE=CE-CB=2.4-1.5=0.9米 即梯子底諯滑动了0.9米. 故答案为：0.9 【点睛】此题考查了学生对勾股定理的理解及运用能力，解 答此题时要注意梯子在滑动前后的长度不变 12.45°/45度 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理的逆 定理，利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理的逆定理即可解 答 —15— 【详解】解：∠BAC=90°，AB=4,AC=4, ∴.∠ABC=45°，BC=49V2, .BD=7,DC=9, ∴.BD2+BC2=49+32=81=92=DC2, ∴△DBC是直角三角形，∠DBC=90, ∴.∠DBA=∠DBC-∠ABC=45°， 故答案为：45°. 10.5 【详解】试题分析：先根据等腰梯形的性质求得C℉的长， 再根据勾股定理即可求得结果。 由题意得CF=(BC-AD)÷2=1 则CD=CF2+DF=5 考点：本题考查的是等腰梯形的性质，勾股定理 点评：解答本题的关键是熟练掌握等腰梯形的两条高所分的 两边的长相等，均等于上下底差的一半。 14. 解：BD⊥DE, 理由：连接BD,如图， ..EC=24cm,DE=60cm, .∴.CD=DE-EC=36(cm) ·.'BC=60cm,BD=48cm, .∴.CD2+BD2=362+482=3600,BC2=60=3600, -16 ..CD2+BD2=BC2, '.∠BDC=90° 'BD⊥DE 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理；根据题意求得cD的 长，勾股定理的逆定理证明△BCD是直角三角形即可求解， 【详解】略 15.5V2 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定 理是解题关键.根据题意勾股定理可得AC+BC2=AB,结合 AC=BC,AB=10,即可获得答案 【详解】解：由勾股定理，得AC2+BC2=AB, .'AC=BC,AB=10, .2AC2=100, ∴.AC=5V2 16. (1)3 (2) 如图，线段AD,BM即为所求； -17 (3)2 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，三角形的面积等 知识. (1) 利用三角形面积公式求解； (2)根据三角形的高的定义画出图形即可， (3)求出AM,BM,利用三角形面积公式计算可得结论. 【详解】(1)解：△ABC的面积=BcAD=号×2×3=3： 故答案为：3； (4)略 (5) 解：AM=2+2=22,BM=1P+T=2,AM1BM, ∴△ABM的面积=AM:BM=×22×2=2. 故答案为：2. 17.2.6米 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，掌握运用辅助线构 造直角三角形，运用勾股定理求线段长度的方法是解题的关键 过点B作BE⊥CD交CD于点E,构造Rt△BED,利用勾股定理求得DE 的长度即可. 【详解】解：如图，过点B作BE⊥CD交CD于点E, -18 D 则∠BED=90°，CE=AB=1.6,BE=AC=2.4, 在Rt△BED中，BD=2.6, 则ED=VBD2-BE2=2.62-2.42=1, '.CD=CE+ED=1.6+1=2.6 答：感应器离地面的高度cD为2.6米 18.S四边形ACBD=36 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，先利用 勾股定理求出AB,然后利用勾股定理的逆定理判断出△ABD是直 角三角形，然后分别求出两个三角形的面积即可. 【详解】解：.∠C=90°，AC=3,BC=4, ∴.AB=VAC2+BC2=32+42=5, .AD=12,BD=13, .AB2+AD2=52+122=169=132=BD2 '三角形△ABD是直角三角形， 小S影带m=5⅓m+56Ae-号×3×4+号×5×12=36， 19.(1)144m2 (2)总共需投入7200元 —19 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股 定理及其逆定理是解题的关键； (1)根据题意易得BD=10m,然后可得BD'+BC2=CD2,得到 ∠DC=90°，利用三角形的面积公式计算，问题可求解； (2)根据(1)中四边形的面积可进行求解， 【详解】（1)解：.'∠A=90°，AB=6m,DA=8m, ∴.BD=AB2+AD=10m, .'BC=24m,CD=26m, ,BD2+BC2=676=CD2, ∴.∠DBC=90°， .空地ABCD的面积为)AB·AD+号BD·BC=24+120=144m2; (3)解：由(1)可得： 144×50=7200（元)； 答：总共需投入7200元： 20