第1章勾股定理闯关练习卷-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 北师大版八年级上册第1章勾股定理单元闯关卷，含选择（10）、填空（6）、解答（6）题，覆盖定理应用与实际问题，注重生活情境与实践探究，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10小题|直角三角形判定、网格应用、最短距离|结合社区饮水点（第4题）、跳绳绳长（第10题）等生活情境，发展几何直观| |填空题|6小题|勾股定理计算、阴影面积、古算诗（第14题）、圆柱路径（第15题）|融入文化传承与空间观念，培养数学眼光| |解答题|6小题|证明、爆破安全距离（第18题）、旗杆测量（第21题）、k倍平方和三角形探究（第22题）|项目式学习与综合应用，体现推理能力与模型意识，契合核心素养要求|

第1章勾股定理闯关练习卷-2026-2027学年数学八年级上册北师大版（2024） 一．选择题（共10小题） 1．（2026春•东丽区期末）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　） A．2，3，4 B．3，3，6 C．6，8，10 D．5，7，9 2．（2025秋•长春期末）已知a，b，c为△ABC的三边长，在下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝∠C B．a＝6，b＝8，c＝10 C．a2+b2＝c2 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 3．（2026春•文登区期末）如图，在正方形网格中，点A，B，C，D在格点上，点E在网格线上．下列选项错误的是（　　） A．∠CAE＝∠DAE B．CE∥AD C．CE＝DE D．CB2+AD2＝AB2 4．（2026春•岱岳区期末）如图，某社区要在三角形健身区AB边上安装一个饮水点P，经测量AC＝8米，BC＝6米，AB＝10米，则饮水点P到三角形顶点C的最小距离为（　　） A．6米 B．4.8米 C．4米 D．9.6米 5．（2026春•西丰县期末）如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面2米的C点处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB＝3米，则树在折断前高为（　　） A．5米 B．米 C．（ 2）米 D．（ 2）米 6．（2026春•海淀区校级期中）如图，分别以Rt△ABC的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1、S2、S3．若S3+S2﹣S1＝40，则图中阴影部分的面积为（　　） A．10 B．15 C．20 D．25 7．（2026春•浦北县期中）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝9，BC＝12，CD＝8，AD＝17，则四边形ABCD的面积为（　　） A．108 B．114 C．122 D．158 8．（2025秋•安州区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC且AD⊥BC于点D，EF垂直平分AC，与BC交于点E，与AC交于点F，若AB＝5，BC＝8，则EC的长为（　　） A． B． C． D． 9．（2026春•亳州期中）如图，网格中小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点（即小正方形的顶点）上，以点A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点E，连接AE，则CE•DE的值为（　　） A． B．5 C．4 D． 10．（2026春•中原区校级期中）如图1，在跳绳时，小红按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：双脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲90°，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图1抽象成图2，若两手握住的绳柄两端的距离约为1m，小臂到地面的距离约为1.2m，则适合小红的绳长为（　　） A．2.2m B．2.4m C．2.6m D．3.4m 二．填空题（共6小题） 11．（2026秋•同步）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝25，BC＝24，则AC＝　 　 ． 12．（2026秋•同步）如图，阴影长方形的面积是 　 　 cm2． 13．（2026•朝阳二模）如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，点A，B，C，D均是格点，则∠AOC的度数为　 　 ． 14．（2026春•宁江区校级期末）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB＝AB′，AB⊥B′C于点C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺，设AC的长度为x尺，可列方程为 　 　 ． 15．（2026秋•同步）如图，一个圆柱的高是4cm，底面直径是cm，一只蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A处爬到与点A相对的点B处吃食物，则它要爬行的最短路程是　 　 cm． 16．（2026春•桥西区期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝1，BC＝2，则正方形ADEC的面积是　 　 ． 三．解答题（共6小题） 17．（2026春•同步）已知：AD为锐角三角形ABC的高．求证：AB2﹣AC2＝BD2﹣CD2． 18．（2026春•同步）如图，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有A处需要爆破．已知点A与公路上的停靠站B，C的距离分别为400m和300m，且CA⊥AB于点A．为了安全，爆破点A周围半径250m的区域内不能有车辆和行人，在进行爆破时，公路BC段是否需要暂时封闭？为什么？如要封闭，至少需要封闭多长距离？ 19．（2026春•顺城区校级期末）.某校为加强学生劳动教育，将劳动基地按班级进行分配，如图是八年级劳动实践基地的示意图形状，经过同学共同努力，测得AB＝4m，AD＝3m，BC＝12m，CD＝13m，∠A＝90°． （1）求B、D之间的距离； （2）求四边形ABCD的面积． 20．（2026•浙江竞赛）如图，四边形ABCD中，∠ACB＝90°（AC＞BC），∠ADC＝45°，AC、BD交于点E，2∠ADB＝∠DBC，若BD＝7，AB＝5，求CE的长． 21．（2026春•宁津县期中）小颖学习小组在活动课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格： 课题 利用旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度 模型抽象 测绘数据 ①绳子紧贴着旗杆AB垂直向下，再把多余的绳子BC拉直，测得多余的绳子长度为2m． ②拉直绳子AC，使绳子末端C刚好与地面上的点D重合，测量旗杆底部点B到绳子终点D的距离，即BD＝8m． 说明 点A，B，D在同一平面上． 请根据表格信息，解答下列问题．， （1）求旗杆的高度AB的长； （2）由于实际需要，现在要把旗杆增高4m，若绳子还能拉到点D处，则绳子至少要加长多少米？（结果保留一位小数） 22．（2026•太和县模拟）综合与实践． 【项目主题】特殊三角形的再探究 【项目准备】①勾股定理将“形转化为数”，应用的前提是在直角三角形中． 勾股定理的逆定理将“数转化为形”，作用是判断一个三角形是不是直角三角形，需要判断较小两边平方的和是否等于最大边的平方． 勾股定理及其逆定理揭示了“数形转化”思想． ②在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边平方的k倍（k为正整数），那么这个三角形叫做k倍“平方和”三角形，其中k的值称为“方和倍”． 例如：△ABC三边长分别为3，4，时，∵，∴△ABC是5倍平方和三角形，方和倍等于5． 又∵的正整数倍，的正整数倍，∴△ABC仅仅是5倍平方和三角形． 【项目实施】 （1）已知三角形三边长分别为2，3，，试说明该三角形是1倍平方和三角形； （2）在平方和△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，∠C＝90°，a2＝20，c2＝80，求方和倍的值； （3）在4倍平方和△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且a＞b，求a2：b2：c2的值． 第1章勾股定理闯关练习卷-2026-2027学年数学八年级上册北师大版（2024） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2026春•东丽区期末）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　） A．2，3，4 B．3，3，6 C．6，8，10 D．5，7，9 【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形的三边关系进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、∵22+32＝13，42＝16， ∴22+32≠42， ∴不能构成直角三角形， 故A不符合题意； B、∵3+3＝6， ∴不能构成三角形， 故B不符合题意； C、∵62+82＝100，102＝100， ∴62+82＝102， ∴能构成直角三角形， 故C符合题意； D、∵52+72＝74，92＝81， ∴52+72≠92， ∴不能构成直角三角形， 故D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，准确熟练地进行计算是解题的关键． 2．（2025秋•长春期末）已知a，b，c为△ABC的三边长，在下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝∠C B．a＝6，b＝8，c＝10 C．a2+b2＝c2 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 【分析】根据三角形内角和定理可得A、D选项；根据勾股定理逆定理可判断出B、C选项． 【解答】解：A、∵∠A+∠B＝∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC为直角三角形，不符合题意； B、∵62+82＝102， ∴△ABC为直角三角形，不符合题意； C、∴a2+b2＝c2， ∴△ABC为直角三角形，不符合题意， D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，且∠A+∠B+∠C＝180°， ∴最大角∠C75°， ∴△ABC不是直角三角形，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理、勾股定理的逆定理，熟知三角形内角和是180°；如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键． 3．（2026春•文登区期末）如图，在正方形网格中，点A，B，C，D在格点上，点E在网格线上．下列选项错误的是（　　） A．∠CAE＝∠DAE B．CE∥AD C．CE＝DE D．CB2+AD2＝AB2 【分析】设每个小方格边长为1，利用勾股定理计算各线段长度，通过SSS全等判定验证A、C、D选项；对B选项使用反证法，构造截线三角形，依据三角形边长不相等推出内错角不相等，证明两直线不平行，找出错误选项． 【解答】解：设单个小正方形网格边长为1． 选项A，∵，，AE＝AE， ∵△ACE≌△ADE（SSS）， ∴∠CAE＝∠DAE，故A项正确，不符合题意． 选项B，假设CE∥AD，则∠CEA＝∠DAE． ∵∠CAE＝∠DAE， ∴∠CEA＝∠CAE， ∴CE＝CA，这与矛盾， ∴CE与AD不平行．故B项错误，符合题意． 选项C，，故C项正确，不符合题意． 选项D，∵CB2＝12+22＝5，AD2＝42+22＝20，AB2＝25． ∴CB2+AD2＝AB2，故D项正确，不符合题意， 故选：B． 【点评】本题主要考查了勾股定理，平行线的判定，掌握其相关知识点是解题的关键． 4．（2026春•岱岳区期末）如图，某社区要在三角形健身区AB边上安装一个饮水点P，经测量AC＝8米，BC＝6米，AB＝10米，则饮水点P到三角形顶点C的最小距离为（　　） A．6米 B．4.8米 C．4米 D．9.6米 【分析】首先根据勾股定理的逆定理证明∠C＝90°，当CP⊥AB时，CP的值最小，然后利用等面积法求解． 【解答】解：∵AC2+BC2＝82+62＝100＝AB2， ∴∠C＝90°， ∴当CP⊥AB时，CP的值最小， ∴， ∴， ∴CP＝4.8， ∴饮水点P到三角形顶点C的最小距离为4.8米． 故选：B． 【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理证明∠C＝90°解答． 5．（2026春•西丰县期末）如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面2米的C点处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB＝3米，则树在折断前高为（　　） A．5米 B．米 C．（ 2）米 D．（ 2）米 【分析】在Rt△ACB中，根据勾股定理可求得BC的长，而树的高度为AC+BC，AC的长已知，由此得解． 【解答】解：Rt△ABC中，AC＝2米，AB＝3米； 由勾股定理，得：BC米； ∴树的高度为：AC+BC＝（2）米； 故选：C． 【点评】正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题的关键． 6．（2026春•海淀区校级期中）如图，分别以Rt△ABC的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1、S2、S3．若S3+S2﹣S1＝40，则图中阴影部分的面积为（　　） A．10 B．15 C．20 D．25 【分析】由题意可得：，再由勾股定理可得S1+S2＝S3，结合S3+S2﹣S1＝40，可求出S2＝20，进而求出阴影部分的面积． 【解答】解：由题意可得：， ∵△ABC是直角三角形， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴S1+S2＝S3， ∵S1+S2+S2﹣S1＝40，即2S2＝40， ∴S2＝20， ∵阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为， 故选：A． 【点评】本题考查勾股定理的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 7．（2026春•浦北县期中）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝9，BC＝12，CD＝8，AD＝17，则四边形ABCD的面积为（　　） A．108 B．114 C．122 D．158 【分析】连接AC，勾股定理求出AC的长，勾股定理逆定理得到△ACD为直角三角形，再利用分割法求出四边形的面积即可． 【解答】解：连接AC， ∵BC＝12，∠B＝90°，AB＝9， ∴， ∵CD2+AC2＝82+152＝172＝AD2， ∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°， ∴四边形ABCD的面积． 故选：B． 【点评】本题考查勾股定理的逆定理，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 8．（2025秋•安州区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC且AD⊥BC于点D，EF垂直平分AC，与BC交于点E，与AC交于点F，若AB＝5，BC＝8，则EC的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接AE，根据线段垂直平分线的性质得AE＝CE，再由等腰三角形的性质得由勾股定理得AD＝3，设AE＝CE＝x，则DE＝4﹣x，然后在Rt△ADE中，利用勾股定理列出方程，解方程即可． 【解答】解：如图，连接AE， ∵EF垂直平分AC， ∴AE＝CE， ∵AB＝AC，AD⊥BC，BC＝8， ∴BD＝CDBC＝4， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD3， 设AE＝CE＝x，则DE＝4﹣x， 在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2+DE2＝AE2， 即32+（4﹣x）2＝x2， 解得：x， ∴EC， 故选：A． 【点评】本题主要查了勾股定理、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质是解题的关键． 9．（2026春•亳州期中）如图，网格中小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点（即小正方形的顶点）上，以点A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点E，连接AE，则CE•DE的值为（　　） A． B．5 C．4 D． 【分析】由题意可得AD＝2，AE＝AB＝CD＝3，∠ADE＝90°，再由勾股定理计算得出，从而可得，代入CE•DE，结合二次根式的乘法法则计算即可得出结果． 【解答】解：由题意可得AD＝2，AE＝AB＝CD＝3，∠ADE＝90°， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点评】本题主要考查了，掌握其相关知识点是解题的关键． 10．（2026春•中原区校级期中）如图1，在跳绳时，小红按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：双脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲90°，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图1抽象成图2，若两手握住的绳柄两端的距离约为1m，小臂到地面的距离约为1.2m，则适合小红的绳长为（　　） A．2.2m B．2.4m C．2.6m D．3.4m 【分析】过点A作AD⊥BC于点D，则AD＝1.2m，由等腰三角形“三线合一”的性质得BD＝CDBC＝0.5m，然后根据勾股定理即可求得AC＝1.3m，即可得解． 【解答】解：如图，两手握住的绳柄两端的距离约为1m，小臂到地面的距离约为1.2m，过点A作AD⊥BC于点D，则AD＝1.2m， 由题意可知，AB＝AC，BC＝1m， ∴， 在直角三角形ACD中，由勾股定理得：AC1.3（m）， ∴适合小红的绳长为：2AC＝2×1.3＝2.6（m）， 故选：C． 【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 二．填空题（共6小题） 11．（2026秋•同步）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝25，BC＝24，则AC＝　7　 ． 【分析】根据勾股定理计算即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝25，BC＝24， 由勾股定理得：AC7， 故答案为：7． 【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． 12．（2026秋•同步）如图，阴影长方形的面积是 　45．　 cm2． 【分析】依题意得△ABE是直角三角形，且∠EAB＝90°，四边形ABCD是长方形，在Rt△ABE中，由勾股定理得AB＝15cm，由此得阴影长方形ABCD的面积为AB•BC＝45cm2． 【解答】解：如图所示： 依题意得：△ABE是直角三角形，且∠EAB＝90°，四边形ABCD是长方形， 在Rt△ABE中，AE＝8cm，BE＝17cm， 由勾股定理得：AB15（cm）， ∴阴影长方形ABCD的面积为：AB•BC＝15×3＝45（cm2）． 故答案为：45． 【点评】此题主要考查了长方形的性质，勾股定理，熟练掌握长方形的性质，勾股定理是解决问题的关键． 13．（2026•朝阳二模）如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，点A，B，C，D均是格点，则∠AOC的度数为　45°　 ． 【分析】将线段CD向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，至BE，可得∠AOC＝∠ABE，证明△AEB为等腰直角三角形即可解答． 【解答】解：如图，将线段CD向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，至BE， 则点D的对应点为点B，点C的对应点为E，CD∥BE， ∴∠AOC＝∠ABE， ∵BE2＝22+42＝20，AE2＝22+42＝20，AB2＝22+62＝40， ∴BE2+AE2＝AB2，BE＝AE， ∴△AEB为等腰直角三角形， ∴∠AOC＝∠ABE＝45°（等腰三角形的性质）， 则∠AOC的度数为45°， 故答案为：45°． 【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，关键是相关定理的熟练掌握． 14．（2026春•宁江区校级期末）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB＝AB′，AB⊥B′C于点C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺，设AC的长度为x尺，可列方程为 x2+22＝（x+0.5）2 ． 【分析】在Rt△AB'C中，由勾股定理得出方程即可．图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB＝AB′，AB⊥B′C于点C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺．设AC的长度为x尺，可列方程为 【解答】解：在Rt△AB'C中，由勾股定理得， AC2+B'C2＝AB'2， 即x2+22＝（x+0.5）2， 故答案为：x2+22＝（x+0.5）2． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． 15．（2026秋•同步）如图，一个圆柱的高是4cm，底面直径是cm，一只蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A处爬到与点A相对的点B处吃食物，则它要爬行的最短路程是　5　 cm． 【分析】将圆柱侧面展开为矩形，利用“两点之间线段最短”，把蚂蚁爬行的最短路程转化为矩形中直角三角形的斜边长度，需先计算矩形的长（底面半圆的弧长）和宽（圆柱的高），再用勾股定理求解． 【解答】解：展开图如下， ∵， 由勾股定理可得，， 即它要爬行的最短路程是5cm． 故答案为：5． 【点评】本题主要考查利用勾股定理求最短路径，熟练掌握利用勾股定理求最短路径是解题的关键． 16．（2026春•桥西区期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝1，BC＝2，则正方形ADEC的面积是　5　 ． 【分析】由勾股定理求出AC2＝5，即可得到正方形ADEC的面积． 【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝1，BC＝2， ∴AC2＝AB2+BC2＝5， ∴正方形ADEC的面积＝AC2＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查勾股定理，正方形的性质，关键是掌握勾股定理． 三．解答题（共6小题） 17．（2026春•同步）已知：AD为锐角三角形ABC的高．求证：AB2﹣AC2＝BD2﹣CD2． 【分析】首先根据三角形的高的定义得出∠ADB＝∠ADC＝90°．然后在Rt△ABD和Rt△ACD中，利用勾股定理，得出AB2＝AD2+BD2，AC2＝AD2+CD2，进而证明AB2﹣AC2＝BD2﹣CD2． 【解答】证明：∵AD为△ABC的高， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°． 在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理，得 AB2＝AD2+BD2，AC2＝AD2+CD2， ∴AB2﹣AC2＝（AD2+BD2）﹣（AD2+CD2）＝BD2﹣CD2， 即AB2﹣AC2＝BD2﹣CD2． 【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．即如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．也考查了三角形的高． 18．（2026春•同步）如图，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有A处需要爆破．已知点A与公路上的停靠站B，C的距离分别为400m和300m，且CA⊥AB于点A．为了安全，爆破点A周围半径250m的区域内不能有车辆和行人，在进行爆破时，公路BC段是否需要暂时封闭？为什么？如要封闭，至少需要封闭多长距离？ 【分析】过点A作AD⊥BC于D，根据勾股定理求出BC，根据三角形面积公式求出AD，再根据勾股定理求出DE、DF，得出结论． 【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于D， 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝400m，AC＝300m， 由勾股定理得：BC500（m）， S△ABCAB•ACBC•AD， 则AD240（m）， ∵240＜250， ∴在进行爆破时，公路BC段需要暂时封闭， 在Rt△ADE中，DE70（m）， 同理可得：DF＝70m， ∴至少需要封闭的距离为：70+70＝140（m）， 答：至少需要封闭140m． 【点评】本题考查的是勾股定理、三角形的面积计算，灵活运用勾股定理是解题的关键． 19．（2026春•顺城区校级期末）.某校为加强学生劳动教育，将劳动基地按班级进行分配，如图是八年级劳动实践基地的示意图形状，经过同学共同努力，测得AB＝4m，AD＝3m，BC＝12m，CD＝13m，∠A＝90°． （1）求B、D之间的距离； （2）求四边形ABCD的面积． 【分析】（1）由勾股定理得，即可求解； （2）可得BD2+BC2＝CD2，由勾股定理的逆定理得△BCD是直角三角形，求四边形的面积，即可求解； 【解答】解：（1）连接BD， ∵∠A＝90°， ∴ ＝5（m）， 故B、D之间的距离为5m； （2）∵52+122＝132， ∴BD2+BC2＝CD2， ∴△BCD是直角三角形， ∴∠CBD＝90°， ∴四边形ABCD的面积AB•ADBC•BD 4×312×5 ＝36（m2）． 【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 20．（2026•浙江竞赛）如图，四边形ABCD中，∠ACB＝90°（AC＞BC），∠ADC＝45°，AC、BD交于点E，2∠ADB＝∠DBC，若BD＝7，AB＝5，求CE的长． 【分析】在BD上取一点F，使BF＝BC，连接CF，通过证明△ADC≌△FCD，得到AC＝DF；设BC＝BF＝m，则DF＝AC＝7﹣m，利用勾股定理列出方程，解方程求得BC；设CE＝DE＝y，则BE＝7﹣y，利用勾股定理列出方程即可求解． 【解答】解：在BD上取一点F，使 BF＝BC，连接CF，如图， 设∠ADB＝x，则∠DBC＝2x， ∵∠ADC＝45°， ∴∠EDC＝45°﹣x， ∴∠CDB+∠CBD＝45°+x， ∴∠DCB＝180°﹣（∠CDB+∠CBD）＝135°﹣x， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ECD＝45°﹣x， ∴∠EDC＝∠ECD， ∴ED＝EC， ∵BC＝BF，∠DBC＝2x， ∴∠FCB＝∠CFB＝90°﹣x， ∴∠FCE＝x， ∴∠FCD＝∠ECD+∠FCE＝45°， ∴∠ADC＝∠FCD＝45° 又CD＝CD，∠ACD＝∠FDC， ∴△ADC≌△FCD（ASA）， ∴AC＝DF， 设 BC＝BF＝m，则 DF＝AC＝7﹣m， ∵AC2+BC2＝AB2， ∴（7﹣m）2+m2＝52， 解得：m＝3 或4， ∵AC＞BC， ∴BC＝3， ∴AC＝7﹣m＝4， 设 CE＝DE＝y，则 BE＝7﹣y， ∵CE2+BC2＝BE2， ∴y2+32＝（7﹣y）2， 解得：， ∴． 【点评】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，在BD上取一点F，使BF＝BC，连接CF，构造全等三角形是解题的关键，恰当设出未知数，利用勾股定理列出方程是解题的关键． 21．（2026春•宁津县期中）小颖学习小组在活动课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格： 课题 利用旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度 模型抽象 测绘数据 ①绳子紧贴着旗杆AB垂直向下，再把多余的绳子BC拉直，测得多余的绳子长度为2m． ②拉直绳子AC，使绳子末端C刚好与地面上的点D重合，测量旗杆底部点B到绳子终点D的距离，即BD＝8m． 说明 点A，B，D在同一平面上． 请根据表格信息，解答下列问题．， （1）求旗杆的高度AB的长； （2）由于实际需要，现在要把旗杆增高4m，若绳子还能拉到点D处，则绳子至少要加长多少米？（结果保留一位小数） 【分析】（1）设AB＝xm，则AD＝（x+2）m，根据勾股定理建立方程求解即可； （2）由（1）得AD＝17m，延长BA至点A′，使AA′＝4m，连接A′D，可得A′B＝A′A+AB＝19m，求解即可得到答案． 【解答】解：（1）由题意得，∠ABD＝90°， 设AB＝xm，则AD＝（x+2）m， 又∵BD＝8m， 在Rt△ABD中，AB2+BD2＝AD2， ∴x2+82＝（x+2）2， 解得x＝15 答：旗杆AB的长为15m． （2）由（1）得AD＝17m，B＝15m， 如图，延长BA至点A′，使AA′＝4m，连接A′D， 则A′B＝A′A+AB＝4+15＝19（m）， 在Rt△A′BD中，由勾股定理，得， 则绳子至少要加长：20.6﹣17＝3.6（m）， 答：绳子至少要加长3.6m． 【点评】本题考查的是勾股定理的应用，正确计算是解题的关键． 22．（2026•太和县模拟）综合与实践． 【项目主题】特殊三角形的再探究 【项目准备】①勾股定理将“形转化为数”，应用的前提是在直角三角形中． 勾股定理的逆定理将“数转化为形”，作用是判断一个三角形是不是直角三角形，需要判断较小两边平方的和是否等于最大边的平方． 勾股定理及其逆定理揭示了“数形转化”思想． ②在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边平方的k倍（k为正整数），那么这个三角形叫做k倍“平方和”三角形，其中k的值称为“方和倍”． 例如：△ABC三边长分别为3，4，时，∵，∴△ABC是5倍平方和三角形，方和倍等于5． 又∵的正整数倍，的正整数倍，∴△ABC仅仅是5倍平方和三角形． 【项目实施】 （1）已知三角形三边长分别为2，3，，试说明该三角形是1倍平方和三角形； （2）在平方和△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，∠C＝90°，a2＝20，c2＝80，求方和倍的值； （3）在4倍平方和△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且a＞b，求a2：b2：c2的值． 【分析】（1）根据k倍“平方和”三角形的定义说明即可； （2）先求出b2＝60，再分情况讨论即可； （3）根据勾股定理可知a2+b2＝c2，进而分当b2+c2＝4×a2时，当a2+c2＝4×b2时，两种情况讨论即可． 【解答】解：（1）根据k倍“平方和”三角形的定义可知： 22＝4，32＝9，，且， ∴该三角形是1倍平方和三角形； （2）根据勾股定理得AC2＝AB2﹣BC2＝c2﹣a2＝80﹣20＝60，即b2＝60，分情况讨论如下： ①∵a2+b2＝1×c2＝80， ∴方和倍k＝1； ②∵b2+c2＝140＝7×20＝7×a2， ∴方和倍k＝7； ③a2+c2＝100，不等于60的正整数倍； ∴平方和△ABC的方和倍的值是1或7； （3）在△ABC中，∠C＝90°， ∴a2+b2＝c2； 根据“△ABC是4倍平方和三角形”，再分两种情况考虑： ①当b2+c2＝4×a2时， ∴b2+a2+b2＝4×a2， ∴2b2＝3a2； 又∵a＞b， ∴不合题意，舍去； ②当a2+c2＝4×b2时， ∴a2+a2+b2＝4×b2， ∴2a2＝3b2， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握该知识点是关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $