专题01 等差数列的性质及其综合应用问题五类综合题型（压轴题专项训练）数学湘教版选择性必修第一册

**基本信息** 以“四大核心+六大原则”构建等差数列解题体系，通过8类题型分层突破性质应用，实现从概念到综合问题的逻辑递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1模块|围绕通项、公差等四大核心，提炼下标条件验证等六大底线原则|构建性质应用的底层逻辑框架| |题型归纳|8题型（每题型含典例+3变式）|针对判定、等距性质等8类问题，总结定义法、片段和转化等具体解法|从概念判定到综合应用，形成“性质-方法-变式”递进链条| |压轴挑战|15题|综合运用性质与函数、不等式等知识，强化复杂情境下的推理与运算|对接高考命题趋势，提升数学思维的系统性与创新性|

专题01 等差数列的性质及其综合应用问题六类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、等差数列的概念与判定 题型二、等差数列“等距性质”的应用 题型三、等差数列中Sn与an的关系 题型四、等差数列的片段和性质 题型五、等差数列奇偶项求和的性质应用 题型六、双等差数列的前n项和的比值问题 题型七、等差数列前n项和的最值与范围问题 题型八、与等差数列有关的恒成立求参问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 等差数列的综合应用是高中数列板块的核心题型，所有题型均围绕通项公式、公差、前n项和公式、二级结论性质四大核心展开，解题贯穿多条底线原则：一是留意下标条件再使用等差性质，二是区分n=1与n≥2的通项求解不同情形，三是前n项和求最值要兼顾二次函数与正整数n的限制，四是数列求值问题注意项与前n项和范围差异，五是巧用片段和、奇偶项结论简化运算，六是双数列比值问题优先转化为前2n1项和求解，所有参数结果与通项公式最终均需验证是否满足题干限制条件 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、等差数列的概念与判定 典例1 已知数列满足，，证明数列是等差数列，并求数列的通项公式． 【答案】证明见解析， 【分析】利用等差数列的定义证明数列是等差数列，再结合等差数列的通项公式求数列的通项公式. 【详解】当时，， 所以（因为若，则，这与矛盾）. ∴（常数）． 又．∴数列是首项为1，公差为1的等差数列． ∴，∴．． 题型模版 1.特征：题干给出数列的递推关系式，要求判定一个数列是否为等差数列，题型容易忽略后项减前项差值恒定需要对所有项都成立，遗漏验证首项的情况 2.方法：先利用等差数列的定义，检验相邻两项的差值是否为与序号无关的常数，也可以借助等差中项、通项公式的形式完成判定，最后检验数列首项是否符合条件 变式1-1设甲：数列满足，乙：数列是等差数列，则甲是乙的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等差数列的定义分析判断即可. 【详解】若成立，则，符合等差数列的定义， 所以能够推出数列是等差数列，故充分性成立. 若数列是等差数列,设其公差为，则,. . 所以, 所以.即必要性成立. 所以甲是乙的充分必要条件. 故选：A． 变式1-2已知数列和数列满足，，则下列数列为等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列的定义逐一判断即可. 【详解】依题意，对消去，得，等价于，所以， 所以是等差数列，故D正确，C错误；若是等差数列，则是等差数列，则是等差数列， 与是公差为1的等差数列矛盾，故B错误；因为，故A错误． 故选：D． 变式1-3设数列满足，.证明：为等差数列. 【答案】 证明：由题可知， 两边同时除以得：，又， 所以 是以为首项，为公差的等差数列. 【分析】由条件可得，结合等差数列定义即可证明结论. 【详解】略． 类型二、等差数列“等距性质”的应用 典例2 已知等差数列公差不为零，且，则“”是“”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分、必要条件的定义结合等差数列的通项公式判断即可. 【详解】设等差数列的公差为， 因为， ， 若，则可得， 所以，所以“”是“”的充分条件； 若，则， 所以，又因为，所以， 所以，所以“”是“”的必要条件； 综上所述：“”是“”的充要条件. 故选：C. 题型模版 1.特征：题干给出等差数列两项序号之间的等量关系，要求快速求出另外两项数值之和，解题容易记错下标和相等的适用条件，出现序号运算错误 2.方法：利用等差数列下标和相等则对应项之和相等的等距性质，先核对两边项的序号之和是否相等，再转化求值，无法直接使用性质时则回到通项公式进行计算 变式2-1无穷数列为各项均为正数的等差数列，、、、为正整数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先将利用等差数列的通项公式进行化简，再结合充分、必要条件即可判断出结果． 【详解】设正项等差数列的首项为，公差为. 则，， 两式作差得. 充分性：若，即. 若，则，即，无法推出结论，充分性不成立. 必要性：若，即. 因为，所以，即，必要性成立. 因此，""是""的必要不充分条件． 变式2-2在等差数列中，若，，则的值为______. 【答案】28 【分析】由等差中项可得，，结合等差数列通项公式求出和，再求出即可. 【详解】由题, ，， ,， ， ， . 故答案为：28． 变式2-3设公差的等差数列中，满足，则的值为________. 【答案】/ 【分析】先根据已知条件求得，再利用等差数列的性质化简、，即可求得比值. 【详解】因为为等差数列，所以， 所以，，， 因为，所以， 整理得：，即， 因为，所以，根据等差数列的性质，有： ， ， 所以. 故答案为：． 题型三、等差数列中Sn与an的关系 典例3 已知为数列的前项和，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由条件可得，再由与的关系可得，进而可得，从而可得所求和. 【详解】当时，，因为，所以. 当时，由，得， 两式相减可得，即. 因为，所以，又，所以. 因此数列是公差为0，首项为的等差数列， 可得，所以． 题型模版 1.特征：题干给出数列前n项和与通项的关系式，要求实现二者之间的互化求解，高频易错点是直接套用通项公式，忽略单独验证首项是否满足递推关系式 2.方法：利用通项与前n项和的转换公式进行计算，先求出n大于等于2时的通项表达式，再单独检验第一项，检验通过即可合并通项，不满足则写成分段形式。 变式3-1设为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据等差数列的通项公式求出的通项，得到与的递推关系，再利用推导数列的通项公式，最后逐一验证各选项即可. 【详解】∵ ，∴ ，可得的首项为. 又∵ 是公差为的等差数列， ∴ ，即 ①. 当时， ②. ①-②得，， 移项整理得，即. ∴ 当时，. 当时，满足上式，故. 对各选项逐一判断： 对于A选项，，故A错误. 对于B选项，由等差数列前项和公式得，而，显然，故B错误. 对于C选项，，故C正确. 对于D选项，∵ ， ∴ ，故D错误． 变式3-2设数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当时，求出的值，当且时，由可得，两式作差推导出为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求出的通项公式，进而可得出的表达式，逐项判断即可. 【详解】因为数列的前项和为，且， 当时，则，解得， 当且时，由可得， 上述两式作差可得，整理可得， 等式两边同时除以可得， 所以数列是以为首项，公差为的等差数列， 所以，所以， 对于AB选项，，，则，A错B对； ， 对于CD选项，，， 所以，，CD都错. 故选：B． 变式3-3已知数列满足，设，则数列的前2026项和（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先应用已知等式作差计算得出，再应用裂项相消法计算求解. 【详解】因为①， 当时， ②， 由①-②得到，得到， 又时，，满足， 所以，则， 所以 ， 则数列的前2026项和为. 故选：C. 题型四、等差数列的片段和性质应用 典例4 已知是等差数列的前项和，若，，则的值为（     ） A．35 B．45 C．55 D．60 【答案】B 【分析】根据等差中项的性质进行计算即可. 【详解】由题意知，，成等差数列， 又，， 所以，即， ． 题型模版 1.特征：题干给出等差数列连续几段的求和条件，求解某一段的和或者相关参数，解题时容易忽略每一个片段包含的项数必须相等，错误套用片段和性质 2.方法：先确认各个连续片段的项数相同，再使用片段和成新等差数列的结论快速求值，不满足等长条件时回归通项与求和公式进行基础计算，最后代入检验。 变式4-1等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差数列的性质与等差数列的前n项和的公式计算即可. 【详解】由题意可得：，则， 故. 故选：B. 变式4-2已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】A 【分析】利用等差数列片段和的性质，结合等差中项即可求解. 【详解】因为是等差数列的前项和， 所以成等差数列. 所以， 即. 变式4-3已知等差数列的前n项和为64，其前3项和为6，最后3项和为42，则此数列的项数n为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【详解】由题意得前3项和，最后3项和 将两式相加得 根据等差数列性质：若，则， 所以 因此 又， 所以 解得 题型五、等差数列奇偶项求和的性质应用 典例5 已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261，则此数列中间一项的值以及项数分别为（ ） A．29，19 B．31，18 C．29，20 D．27，19 【答案】A 【分析】利用等差数列奇数项和与偶数项和的差为中间项，和为项数与中间项的乘积，直接求出中间项和项数. 【详解】设该等差数列的项数为（），中间项为. 由等差数列性质，奇数项和，偶数项和. ，即，故中间项. 数列前项和，又， 代入得，解得，即项数为19． 题型模版 1.特征：题干给出等差数列各项总和，用来求解奇数项之和与偶数项之和，解题时容易混淆总项数为奇数、偶数两类情形，记错奇偶项之间的差值结论 2.方法：先判定数列总项数是奇数还是偶数，再选用对应的奇偶项求和性质进行运算，求出结果后代入原题核验。 变式5-1已知一个等差数列的项数为奇数，其中，，则项数为________． 【答案】19 【分析】根据给定条件，利用等差数列前项和公式，结合等差数列的性质列式求解. 【详解】设等差数列的项数为， 则， ， 因此，解得，所以所求项数为. 故答案为：19． 变式5-2已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则此数列的项数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质与其前项和的性质求解即可. 【详解】设该等差数列中有项，其中偶数项有项，奇数项有项， 设等差数列的前项和为，则， 为等差数列，，，解得， ，此数列的项数是项. 故选：． 变式5-3在等差数列中，奇数项之和为220，偶数项之和为165，若此数列的项数为10，则此数列的公差为____________；若此数列的项数为奇数，则此数列的中间项是____________ 【答案】 55 【分析】若此数列的项数为10，则根据奇数项与偶数项的关系可求公差；若此数列的项数为奇数，设项数为，则由等差数列前项和公式，奇数项之和，偶数项之和，建立方程可求得答案. 【详解】令，， 若此数列的项数为10，则，所以，所以； 若此数列的项数为奇数，设项数为，则 奇数项之和， 偶数项之和， 所以，解得， 所以第4项是此数列的中间项，． 故答案为：；55． 题型六、双等差数列的前n项和的比值问题 典例6 已知等差数列与的前n项和分别为，，且，则的值为________；的值为________． 【答案】 【分析】根据等差数列求和公式结合等差数列下标和性质，将所求项的比转化为和的比，计算求解. 【详解】； 因为数列是等差数列，所以均是的二次式，且常数项均为0. 由，可设，其中为常数. 所以. 又，所以， 所以． 题型模版 1.特征：题干给出两个独立等差数列，已知它们前n项和的比值，求解两项的比值，解题容易混淆项数与前n项和下标之间的对应关系，直接把项的比值等同于前n项和的比值 2.方法：先利用等差数列通项与前奇数项和之间的转化关系，将两项之比转化为对应奇数项的前n项和之比进行求解，无法套用结论时，则分别设出两个数列的前n项和表达式，求出通项后再算比值。 变式6-1已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，可设，，利用即可求解. 【详解】因为等差数列，的前n项和分别为，，所以， 因为，所以可设，，则，， 所以. 故选：D. 变式6-2已知等差数列，的前n项和分别为，，且，则使得为整数的正整数的值不能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．14 【答案】B 【分析】由等差中项的性质和等差数列的求和公式得出，进而可得出为15的正约数，由此可得出正整数的可能取值． 【详解】由题意可得， 则， 由于为整数，则为15的正约数，则的可能取值有3、5、15， 因此，正整数的可能取值有2、4、14． 变式6-3设与是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，则： (1)______________； (2)______________； (3)______________； (4)______________； (5)______________； (6)求使为整数的正整数的集合． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】根据等差数列的性质求解即可. 【详解】（1）因为等差数列，的前项和分别是，，所以； （2）若，不妨设，，时，， 同理可得，则． （3）； （4）； （5）； （6）结合（5）易知当为整数时，为整数. 因为为正整数，所以当时，，此时；当时，，此时． 因此符合为整数的正整数的集合为． 类型七、等差数列前n项和的最值与范围问题 典例7 （多选）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列结论正确的有（     ） A．， B．当时，最小 C．使得成立的最小自然数 D． 【答案】BCD 【分析】由题设不等式作差可得公差，数列递增，且，所以前14项为负，从15项起为正，由且可推出即可判断A选项；前14项均为负,15项后均为正，结合数列递增可判断B选项；计算，，据此判断满足的最小，从而判断C选项； 将等价化简为，而该式已知成立，即可判断D选项． 【详解】由得由得 故，因此公差， 由得 对于A选项：由于，且，所以，所以A错误； 对于B选项：因为，所以此数列为递增数列， 又，所以前项均为负数，15项以后均为正数， 所以当时，最小，所以B正确； 对于C选项：，而，故， 又，因为，所以， 又数列为递增数列，所以使的最小自然数为，所以C正确； 对于D选项：， 因为，所以；因为 ，所以， 所以，， 要证，即 而由，得，所以D正确． 题型模版 1.特征：给题干给出等差数列条件，求解前n项和的最大值、最小值或是n的取值范围，解题容易忽略项数n必须取正整数，直接套用二次函数顶点横坐标得出结果 2.方法：可以利用二次函数图像分析前n项和的最值，也可以通过判断数列项正负转折位置，找到最后一个非负项或非正项，确定取到最值时对应的n值，再计算最值结果. 变式7-1已知递增数列的各项均为正整数，且其前项和为，若，则的最大值为（   ） A．333 B．334 C．335 D．336 【答案】A 【分析】依题意，则，，，尽可能地小，再讨论进行求解． 【详解】因为数列单调递增，且各项均为正整数，若想使最大， 则，，，尽可能地小， 所以取，，，，则 ， 即， 因为数列单调递增，且各项均为正整数， 所以，，，，， 即，，，，， 所以 ， 即，所以， 又因为为正整数，所以的最大值为333．故选A． 变式7-2已知等差数列中，公差且，是方程的两个根，那么使得前项和为负值的最大的的值是________． 【答案】4017 【分析】根据韦达定理可得与的和、积关系，结合公差判断两项的正负性，再利用等差数列的性质与前项和公式，分别计算和的符号，即可得到使为负值的最大. 【详解】∵ ，是方程的两个根， ∴ ，. ∵ 等差数列的公差，∴ ，即，. 又因为，. ∴ . . ∴ 使得前项和为负值的最大的的值是． 变式7-3记是等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求使成立的的最小值． 【答案】(1) (2)9． 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和求和公式求解； （2）根据等差数列前n项和公式及等差数列通项公式结合条件即得. 【详解】（1）设的公差为． 由题可得，解得， 所以． （2）由（1）可知． 由，得， 整理得，解得或， 所以的最小值为9． 类型八、与等差数列有关的恒成立求参问题 典例8 已知等差数列的前项和，数列的前项和为，且，若不等式恒成立，则实数的最小值为___________. 【答案】/ 【分析】根据给定条件，求出数列的通项公式，进而求出并裂项，求出，再按分奇偶求出范围即得. 【详解】等差数列的前项和，当时，， 而满足上式，则， 则， 数列的前项和， 而不等式对恒成立， 当为偶数时，，数列单调递减，则，因此； 当为奇数时，，数列单调递增，则，因此. 则，所以实数的最小值为.． 题型模版 1.特征：给题干给出等差数列条件，求解前n项和的最大值、最小值或是n的取值范围，解题容易忽略项数n必须取正整数，直接套用二次函数顶点横坐标得出结果 2.方法：可以利用二次函数图像分析前n项和的最值，也可以通过判断数列项正负转折位置，找到最后一个非负项或非正项，确定取到最值时对应的n值，再计算最值结果. 变式8-1已知数列的首项为0，从第2项起，每一项减其前一项的差为1或2，记的前n项和为，则使一定成立的正整数k的最大值为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】把握数列的递推关系，对极端情形下不等式的最大值最小值构造. 【详解】由，得，要求使该式一定成立的的最大值， 就要考虑尽量＂严格＂的情况，即要尽可能大，尽可能小， 令不等号前面后一项减前一项的差尽可能多的为2，不等号后面后一项减前一项的差尽可能多的为1． 当时，若前6项为0，2，4，6，8，10，则后4项为11，12，13，14，此时前6项之和为30， 后4项之和为50，符合条件； 若前6项为0，2，4，6，8，9，则后4项为10，11，12，13，此时前6项之和为29，后4项之和为46，符合条件． 因此，可以使一定成立． 当时，若前7项为0，2，4，6，8，10，11，则后3项为12，13，14，此时前7项之和为41，后3项之和为39， 不符合条件．因此，不能使一定成立． 综上，满足条件的的最大值为6 变式8-2已知数列是递增的等差数列，且是函数的两个零点.设数列的前项和为，若不等式对任意正整数恒成立，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】先根据函数的零点求出等差数列的通项公式，再利用裂项相消法求出数列的前项和，最后根据数列的单调性求出的取值范围． 【详解】因为数列是递增的等差数列，且是函数的两个零点， 所以，则，． 因此，公差，首项，得． 因为，得，， 所以． 因为， 所以，由，易知单调递增． 因此，，由恒成立，得． 故答案为：． 变式8-3已知等差数列的各项均大于零，前n项和为，且． (1)求数列的通项公式和前n项和； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，． (2) 【分析】（1）利用等差数列前项和的性质，结合已知条件，求得的表达式，再利用等差数列前n项和公式求. （2）将（1）中求得的代入不等式，按n为奇数、n为偶数两种情况分类讨论，分别分离参数λ，得到λ与关于n的表达式的不等关系，再分别求解对应表达式的最值，最终确定λ的取值范围. 【详解】（1）等差数列中，，则， 故， ∵，∴，． （2）∵对任意，恒成立， ∴对任意，恒成立． 当n为奇数时，，∴对正奇数n恒成立． 设． ∵对正奇数n恒成立， ∴，∴，∴； 当n为偶数时，，∴对正偶数n恒成立． 设． ∵对正偶数n恒成立， ∴，∴，∴． 综上， 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．设是等差数列的前项和，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意及等差数列的片段和性质，设，从而求出，，进而即可得到答案． 【详解】由等差数列的片段和性质知，，，，···是等差数列， 由，不妨设，则， 所以，，，，···，依次为，，，，···， 所以， 所以． 2．已知等差数列的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列通项公式及求和公式可得结果. 【详解】因为为等差数列的前项和，所以可设，（等差数列前项和的二级结论） 同理因为为等差数列的前项和，所以可设． 又，所以，即， 整理得，解得． 不妨设，则，则，故， 故选：D． 3．已知数列满足，若，则数列的前10项和为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由递推关系求出，再由裂项相消法求解数列的前10项和即可. 【详解】因为， 所以， 两式相减可得，即，又也适合，所以， 所以， 所以. 故选：C 4．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则中下两层共有扇面形石板（    ） A．2699块 B．3474块 C．3402块 D．2997块 【答案】D 【分析】第n环天石心块数为，上层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，设为的前n项和，由题意可得，解方程即可得到n，进而求得答案. 【详解】设第n环天石心块数为，上层共有n环，为的前n项和， 则是首项为9，公差为9的等差数列，，， 上层、中层、下层的块数分别为， 由下层比中层多729块，得， 即，解得， 所以中下两层共有扇面形石板（块）. 故选：D 5．已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论中正确的有（    ）个 ①公差；②；③的最大值为；④满足的的最小值为． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由，，可得，从而判断①；由通项公式可得，从而判断②；根据数列的单调性及正负情况，可以判断③；求出令，解出的范围，从而判断④. 【详解】因为，，则， 即，即， 所以，则，故①正确； ，故②错误； 由，得，， 因为， 所以数列是递减数列，且当时，，当时，， 所以的最大值为，故③正确； ， 令，解得， 所以满足的的最小值为，故④错误． 6．（多选）已知数列的前项和为，且，则（     ） A．数列为等差数列 B． C．当或时，有最小值 D．数列有最小值，且最小值为 【答案】BCD 【分析】利用与的关系，求出数列的通项公式及前三项的相邻两项之差，即可判断A；根据通项公式求出，即可判断B；利用二次函数的对称性，求出取最小值时的值，即可判断C；利用基本不等式求出数列的最小值，即可判断D. 【详解】因为 ，当 时， ， 当时， ， 且当时， ，所以， 对于A，， ， 所以数列不是等差数列，故A错误； 对于B，当 时， ，故B正确； 对于C，因为的对称轴为， 又，所以当 或 时，同为最小值，故C正确； 对于D，因为 ， 当且仅当，即 时，等号成立， 所以的最小值为 ，故D正确． 7．（多选）已知 为等差数列{an}的前n项和， 则下列结论正确的是（    ） A．{an}是递增数列 B．使 成立的n的最大值为9 C．取最小值时，n=11 D． 【答案】ABD 【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式求出，依次判断选项即可. 【详解】设等差数列的公差为，由 ， 所以，即，解得：， 所以，则{an}是递增数列，故A正确； 则， 令，解得：，所以使 成立的n的最大值为9，故B正确； 当时，取最小值，故C错误； 由于，故D正确． 8．已知等差数列和的前项和分别为和，且，则____________． 【答案】 【详解】.． 9．已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和，有最大值，当时，的最大值为_____. 【答案】19 【分析】可判断数列是递减的等差数列，利用前项和公式和等差数列的性质可得进而可得的最大值． 【详解】因为，所以和异号， 又等差数列的前项和有最大值， 所以数列是递减的等差数列，则，， 所以， ， 所以当时，的最大值为19． 10．已知等差数列的前项和为，且，，若，则正整数的最小值为_____. 【答案】 【分析】设数列的公差为，根据所给条件求出与，从而求出，即可得到关于的不等式，解得即可. 【详解】设数列的公差为，由，得， 又，所以，则， 所以， 由，得，即， 解得或（舍去），所以正整数的最小值为. 故答案为：． 11．已知数列和满足，且. (1)当时，求数列的通项公式； (2)若，求证：数列是等差数列. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据以及题干，代入计算即可； （2）代入可知，然后根据等差中项进行判断即可. 【详解】（1）当时，， 由题意得， 所以的通项公式为． （2）因为，所以， 则， 两式相减，得， 所以，即， 当时，， 所以公差， 所以是以为首项，为公差的等差数列． 12．设是正项等差数列，公差为，前项和为，均为正整数．若，，，且，证明： (1)； (2)． 【答案】(1)记，则， . 又因为，，，令，代入得. 所以，， 所以，即. 所以，即. (2)，则, . 因为，及由（1）知. 所以 故. 【分析】（1）根据等差数列的定义分别表示出，再结合，，，且，即可证明，从而可证； （2）直接利用等差数列的前n项和公式计算，再结合及（1）中所证明即可证明不等式. 【详解】（1）略 （2）略． 13．记为数列的前项积，已知． (1)证明：数列为等差数列； (2)若，求的通项公式． 【答案】(1)由题可得，   因为， 所以，   所以数列是公差为3的等差数列． (2) 【分析】（1）由，代入，得到，即可证明； （2）利用等差数列通项公式求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）可得 ，则，   当时，，   所以． 14．已知数列的前项和为，，，，． (1)若，，求的值； (2)若数列的前项成公差不为的等差数列，求的最大值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知条件，赋值即可得解； （2）根据等差数列的定义，等差数列至少有项，得出，再设前项成等差数列，得出，进而求得，然后检查前项是否为等差数列即得. 【详解】（1）由，则， 取，得到， 又，，则， 代入可得， 化简得， 解得， （2）由等差数列的定义可知，，设公差为， 若，，则，进而， 在式中，取，得到， 整理可得①； 若，，于是， 在式中，令，得到， 整理可得②， 由②①，可得，因，则得， 代入①式，， 解得，符合题意，故； 若，由时的推导可知，， 又因，则，， 在式中，取，得到， 但，，产生矛盾，即， 综上可知，最多前项成等差数列，即的最大值是. 15．已知在正项数列中，且，其中为数列的前n项和. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围； 【答案】(1) 在数列中，①， 又因为②，，所以得． 又因为，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列； (2) (3) 【分析】（1）利用结合等差数列的定义即可得证； （2）由（1）先求，再由求出即可； （3）将恒成立问题转化为恒成立，设，研究数列的单调性得到其最大值，即可求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以． 当时，， 当时，，也满足上式， 所以数列的通项公式为； （3）由（2）知，， 因为对于任意恒成立，所以恒成立． 设，则， 当和时，，即； 当时，， 所以， 所以数列的最大项是，所以， 即实数的取值范围为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 等差数列的性质及其综合应用问题六类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、等差数列的概念与判定 题型二、等差数列“等距性质”的应用 题型三、等差数列中Sn与an的关系 题型四、等差数列的片段和性质 题型五、等差数列奇偶项求和的性质应用 题型六、双等差数列的前n项和的比值问题 题型七、等差数列前n项和的最值与范围问题 题型八、与等差数列有关的恒成立求参问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 等差数列的综合应用是高中数列板块的核心题型，所有题型均围绕通项公式、公差、前n项和公式、二级结论性质四大核心展开，解题贯穿多条底线原则：一是留意下标条件再使用等差性质，二是区分n=1与n≥2的通项求解不同情形，三是前n项和求最值要兼顾二次函数与正整数n的限制，四是数列求值问题注意项与前n项和范围差异，五是巧用片段和、奇偶项结论简化运算，六是双数列比值问题优先转化为前2n1项和求解，所有参数结果与通项公式最终均需验证是否满足题干限制条件 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、等差数列的概念与判定 典例1 已知数列满足，，证明数列是等差数列，并求数列的通项公式． 题型模版 1.特征：题干给出数列的递推关系式，要求判定一个数列是否为等差数列，题型容易忽略后项减前项差值恒定需要对所有项都成立，遗漏验证首项的情况 2.方法：先利用等差数列的定义，检验相邻两项的差值是否为与序号无关的常数，也可以借助等差中项、通项公式的形式完成判定，最后检验数列首项是否符合条件 变式1-1设甲：数列满足，乙：数列是等差数列，则甲是乙的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 变式1-2已知数列和数列满足，，则下列数列为等差数列的是（    ） A． B． C． D． 变式1-3设数列满足，.证明：为等差数列. 类型二、等差数列“等距性质”的应用 典例2 已知等差数列公差不为零，且，则“”是“”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 题型模版 1.特征：题干给出等差数列两项序号之间的等量关系，要求快速求出另外两项数值之和，解题容易记错下标和相等的适用条件，出现序号运算错误 2.方法：利用等差数列下标和相等则对应项之和相等的等距性质，先核对两边项的序号之和是否相等，再转化求值，无法直接使用性质时则回到通项公式进行计算 变式2-1无穷数列为各项均为正数的等差数列，、、、为正整数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式2-2在等差数列中，若，，则的值为______. 变式2-3设公差的等差数列中，满足，则的值为________. 题型三、等差数列中Sn与an的关系 典例3 已知为数列的前项和，，，则（    ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：题干给出数列前n项和与通项的关系式，要求实现二者之间的互化求解，高频易错点是直接套用通项公式，忽略单独验证首项是否满足递推关系式 2.方法：利用通项与前n项和的转换公式进行计算，先求出n大于等于2时的通项表达式，再单独检验第一项，检验通过即可合并通项，不满足则写成分段形式。 变式3-1设为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 变式3-2设数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 变式3-3已知数列满足，设，则数列的前2026项和（    ） A． B． C． D． 题型四、等差数列的片段和性质应用 典例4 已知是等差数列的前项和，若，，则的值为（     ） A．35 B．45 C．55 D．60 题型模版 1.特征：题干给出等差数列连续几段的求和条件，求解某一段的和或者相关参数，解题时容易忽略每一个片段包含的项数必须相等，错误套用片段和性质 2.方法：先确认各个连续片段的项数相同，再使用片段和成新等差数列的结论快速求值，不满足等长条件时回归通项与求和公式进行基础计算，最后代入检验。 变式4-1等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 变式4-2已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 变式4-3已知等差数列的前n项和为64，其前3项和为6，最后3项和为42，则此数列的项数n为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型五、等差数列奇偶项求和的性质应用 典例5 已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261，则此数列中间一项的值以及项数分别为（ ） A．29，19 B．31，18 C．29，20 D．27，19 题型模版 1.特征：题干给出等差数列各项总和，用来求解奇数项之和与偶数项之和，解题时容易混淆总项数为奇数、偶数两类情形，记错奇偶项之间的差值结论 2.方法：先判定数列总项数是奇数还是偶数，再选用对应的奇偶项求和性质进行运算，求出结果后代入原题核验。 变式5-1已知一个等差数列的项数为奇数，其中，，则项数为________． 变式5-2已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则此数列的项数是（    ） A． B． C． D． 变式5-3在等差数列中，奇数项之和为220，偶数项之和为165，若此数列的项数为10，则此数列的公差为____________；若此数列的项数为奇数，则此数列的中间项是____________ 题型六、双等差数列的前n项和的比值问题 典例6 已知等差数列与的前n项和分别为，，且，则的值为________；的值为________． 题型模版 1.特征：题干给出两个独立等差数列，已知它们前n项和的比值，求解两项的比值，解题容易混淆项数与前n项和下标之间的对应关系，直接把项的比值等同于前n项和的比值 2.方法：先利用等差数列通项与前奇数项和之间的转化关系，将两项之比转化为对应奇数项的前n项和之比进行求解，无法套用结论时，则分别设出两个数列的前n项和表达式，求出通项后再算比值。 变式6-1已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（   ） A． B． C． D． 变式6-2已知等差数列，的前n项和分别为，，且，则使得为整数的正整数的值不能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．14 变式6-3设与是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，则： (1)______________； (2)______________； (3)______________； (4)______________； (5)______________； (6)求使为整数的正整数的集合． 类型七、等差数列前n项和的最值与范围问题 典例7 （多选）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列结论正确的有（     ） A．， B．当时，最小 C．使得成立的最小自然数 D． 题型模版 1.特征：给题干给出等差数列条件，求解前n项和的最大值、最小值或是n的取值范围，解题容易忽略项数n必须取正整数，直接套用二次函数顶点横坐标得出结果 2.方法：可以利用二次函数图像分析前n项和的最值，也可以通过判断数列项正负转折位置，找到最后一个非负项或非正项，确定取到最值时对应的n值，再计算最值结果. 变式7-1已知递增数列的各项均为正整数，且其前项和为，若，则的最大值为（   ） A．333 B．334 C．335 D．336 变式7-2已知等差数列中，公差且，是方程的两个根，那么使得前项和为负值的最大的的值是________． 变式7-3记是等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求使成立的的最小值． 类型八、与等差数列有关的恒成立求参问题 典例8 已知等差数列的前项和，数列的前项和为，且，若不等式恒成立，则实数的最小值为___________. 题型模版 1.特征：给题干给出等差数列条件，求解前n项和的最大值、最小值或是n的取值范围，解题容易忽略项数n必须取正整数，直接套用二次函数顶点横坐标得出结果 2.方法：可以利用二次函数图像分析前n项和的最值，也可以通过判断数列项正负转折位置，找到最后一个非负项或非正项，确定取到最值时对应的n值，再计算最值结果. 变式8-1已知数列的首项为0，从第2项起，每一项减其前一项的差为1或2，记的前n项和为，则使一定成立的正整数k的最大值为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 变式8-2已知数列是递增的等差数列，且是函数的两个零点.设数列的前项和为，若不等式对任意正整数恒成立，则的取值范围为__________. 变式8-3已知等差数列的各项均大于零，前n项和为，且． (1)求数列的通项公式和前n项和； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．设是等差数列的前项和，若，则（   ） A． B． C． D． 2．已知等差数列的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 3．已知数列满足，若，则数列的前10项和为（ ） A． B． C． D． 4．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则中下两层共有扇面形石板（    ） A．2699块 B．3474块 C．3402块 D．2997块 5．已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论中正确的有（    ）个 ①公差；②；③的最大值为；④满足的的最小值为． A．1 B．2 C．3 D．4 6．（多选）已知数列的前项和为，且，则（     ） A．数列为等差数列 B． C．当或时，有最小值 D．数列有最小值，且最小值为 7．（多选）已知 为等差数列{an}的前n项和， 则下列结论正确的是（    ） A．{an}是递增数列 B．使 成立的n的最大值为9 C．取最小值时，n=11 D． 8．已知等差数列和的前项和分别为和，且，则____________． 9．已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和，有最大值，当时，的最大值为_____. 10．已知等差数列的前项和为，且，，若，则正整数的最小值为_____. 11．已知数列和满足，且. (1)当时，求数列的通项公式； (2)若，求证：数列是等差数列. 12．设是正项等差数列，公差为，前项和为，均为正整数．若，，，且，证明： (1)； (2)． 13．记为数列的前项积，已知． (1)证明：数列为等差数列； (2)若，求的通项公式． 14．已知数列的前项和为，，，，． (1)若，，求的值； (2)若数列的前项成公差不为的等差数列，求的最大值； 15．已知在正项数列中，且，其中为数列的前n项和. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围； 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $