专题07 数列求和的常见技巧（高效培优专项训练）高二数学北师大版选择性必修第二册

专题07 数列求和的常见技巧 题型一：倒序相加求和 2 题型二：错位相减求和 3 题型三：裂项相消求和 3 题型四：分组/并项求和 5 题型五：数列的插项求和 6 题型六：数列求和与不等式的恒成立问题 8 题型七：数列的放缩求和 9 题型一：倒叙相加求和 1．（25-26高二上·湖北咸宁·期末）已知，数列满足：，数列满足，，，定义表示不超过的最大整数，则数列的前7项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题设易得，即可利用倒序相加求得，由可得，进而得到数列的奇数项是以2为首项，4为公比的等比数列，偶数项是以4为首项，4为公比的等比数列，可求得，即可得到，进而得到，再利用裂项相消法求和即可. 【详解】由， 则， 由， 得， 则 ，即， 由，得， 则数列的奇数项是以为首项，4为公比的等比数列， 偶数项是以为首项，4为公比的等比数列， 则数列为：， 显然数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 则，即，则， 所以， 则数列的前7项和为 . 故选：D 2．（25-26高三上·甘肃·月考）已知函数. (1)证明：为定值； (2)若数列的通项公式为，求数列的前项和； (3)若数列的通项公式为，记.若（2）中的满足，求及的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)；7. 【分析】（1）利用指数幂的运算性质计算即得； （2）由（1）推得，求得，再利用倒序相加法即可求得； （3）利用裂项相消法求出，由判断为递增数列，可得的最小值为，结合解不等式即得的最大值. 【详解】（1）由，得， 所以， 即为定值1. （2）由（1）知，所以， 即， 依题意得，又， 所以， ， 两式相加，得， 所以. （3）因为， 所以， 所以 ， 因为，所以数列为递增数列， 所以的最小值为， 因为恒成立，则，解得， 所以正整数的最大值为7. 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子．他年幼时，在的求和运算中，提出了倒序相加法的原理．现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先计算出的图像关于点成中心对称，利用倒序相加求出，从而得到，结合对勾函数的单调性得到，求出的取值范围. 【详解】因为 ，所以的图像关于点成中心对称． 因为， 所以， 两式相加得，所以． 由，得， 所以． 令， 则当时，在上单调递减； 当时，在单调递增． 又，所以，所以， 即的取值范围是． 故答案为：. 4．（25-26高二上·福建漳州·月考）德国大数学家高斯，被誉为数学界的王子，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律性，因此，此方法也称之为高斯算法．现有函数（），则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定，再利用倒序相加法求和即可. 【详解】由题意得，设， ， 设， 倒序得， 两式相加得到，解得，故只有A正确. 故选：A 5．（2024·浙江·一模）若，已知数列中，首项，，，则 . 【答案】 【分析】根据函数解析式得，应用作差法及已知得，则，最后利用对称性及倒序相加求和即可. 【详解】， ，即， ， 时，，两式相减得， 时，，故数列为常数列， 因为，故， 又时也符合上式，故， ， ． 记， 则， 两式相加得，，即，则． 故答案为： 题型二：错位相减求和 6．（2026·河南南阳·模拟预测）记数列的前项和为，已知为常数列. (1)求的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由为常数列，得到，利用及已知即可得到证明，从而求得通项公式； （2）先求出通项，再利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）由， 可得， 又为常数列， 所以， 即， 当时，， 所以，当时，，又， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列， 故； （2）因为，所以，， ， ， 所以 ， 所以 7．（25-26高二上·山东聊城·期末）已知数列满足，且，数列满足． (1)求证：为等比数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证为等比数列，可根据等比数列的定义，通过计算的值是否为常数来判断； （2）根据（1）的结论求出的通项公式，进而得到的通项公式，再根据的通项公式的特点选择裂项相消法求其前项和. 【详解】（1）因为，所以， 即，而， 所以数列为首项为，公比为的等比数列； （2）因为，所以， 所以， 又，所以， 所以数列的通项公式为. ， ， 两式作差得 ， 所以. 8．（25-26高二上·河南许昌·期末）已知数列中，. (1)证明：数列是等比数列； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）利用等比数列的定义求解即可； （2）利用错位相减法求出即可求解. 【详解】（1）由，可得，即， 则，所以， 因此是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）得， 因为， ① ② ①-②得， ， 所以. 9．（24-25高二上·江苏·期末）设数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与的关系推导出满足的关系式，再据此求解即可； （2）解法一：求出的通项表达式，结合错位相减法即可求解；解法二：对进行裂项，即，再直接求和相加即可． 【详解】（1）因为，当时，，∴， 当时，， ∴，即， 又，∴数列是首项为，公比为的等比数列， 故． （2）解法一：， 故， 所以， 错位相减得 ， 故． 解法二：∵， ∴． 10．（25-26高二上·浙江绍兴·期末）已知数列的前n项和为，且，数列满足，且的前n项和. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据作差计算可得； （2）根据前项和与项的关系作差得到，再由累加法及错位相减法计算可得. 【详解】（1）因为， 当时， 当时，所以， 当时也成立，所以； （2）因为的前n项和， 当时，又，，所以， 当时，， 所以， 所以， 所以 ，，，又， 所以， 令，则， 所以， 所以， 则，所以 ， 当时也成立，所以. 题型三：裂项相消求和 11．（2026·广东肇庆·二模）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式． (2)设，数列的前项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用与的关系结合等比数列的通项公式求解即可； （2）结合（1）可得，利用裂项相消即可求出. 【详解】（1）因为 所以令，可得， 解得. 当时，， 则，即， 所以是首项为2，公比为2的等比数列， 所以数列的通项公式为. （2）因为， 所以， 即， 所以 . 因为，所以，即， 所以. 12．（2026·贵州·模拟预测）已知等差数列的公差为成等比数列. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的性质和等比中项求出的通项公式; （2）利用裂项相消法求出数列的前项和. 【详解】（1）因为成等比数列，所以， 所以，得 因为，所以． 又，解得， 所以. （2）由（1）知    所以 . 13．（2026·安徽宿州·一模）已知各项均不为零的数列，且满足 . (1)若是公比为的等比数列，求数列的前项和； (2)若是公差为2的等差数列，记数列前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先应用已知转化为得出等比数列，再应用等比数列的求和公式计算求解； （2）先应用累乘法求出通项公式，再应用裂项相消法计算证明. 【详解】（1）由数列各项均不为零，且，所以， 因为是公比为的等比数列，所以， 因为，所以数列是首项为1，公比为3的等比数列， 所以； （2）证明：因为，且是公差为2的等差数列，所以， 即， 当，且时，， 所以，因为，所以， 所以， 所以， 因为，所以. 14．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知数列满足，，． (1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)若，记数列的前项和为，若恒成立，求的最大值． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）由题可得，则数列是首项为，公比为的等比数列，，再利用累加法求通项即可； （2）代入化简得，再利用裂项相消法求和即可． 【详解】（1）证明：， ，而， 故数列是首项为，公比为的等比数列， 当时，， ， 累加得， 解得，而满足上式，因此. （2）， ， 因为，所以， 即， 又因为函数为增函数，为减函数，则为增函数， 故数列为单调递增数列， 所以， 即的最大值为． 15．（2026高三上·广东深圳·专题练习）已知数列满足，（，）. (1)求证：是等比数列，并求； (2)设，数列的前项和，证明. 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）将变形为，进而利用等比数列的定义证明，然后利用等比数列通项公式求解即可； （2）利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）因为时，，又， 所以（）， 即数列是以4为首项，公比为4的等比数列， 所以，. （2）因为，所以, 所以 , 所以. 题型四：分组/并项求和 16．（2026·江西上饶·一模）已知递增的等差数列满足，数列的各项均为正数，，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设等差数列公差为，根据题意求得，，进而求得数列的通项公式为，再根据又，得，即数列为等比数列，最后根据等比数列通项公式求解即可； （2）分类讨论当为奇数和偶数时的各项，分别求和再求解即可. 【详解】（1）设等差数列公差为，则，由得， 由得，所以，所以， 所以数列的通项公式为； 又， 由数列的各项均为正数得，即， 又，所以数列为首项为2且公比为2的等比数列， 所以. （2）当为奇数时，记，则有 当为偶数时，． 所以，记，则有 所以. 17．（25-26高三上·山东东营·期末）记数列的前项和为，已知，（），则 . 【答案】 【分析】由得，由递推关系可得数列奇数项，偶数项都是等比数列，分组求和即可求解. 【详解】根据题意，数列中，（）， 则有①，可得②，①÷②可得. 又，得，故数列的奇数项为首项为1， 公比为2的等比数列，数列的偶数项为首项为2， 公比为2的等比数列，则 . 故答案为： 18．（25-26高二上·广东湛江·期末）设数列的前项和为，且，，设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序构成数列. (1)求数列的通项公式； (2)求； (3)设数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用与之间的关系式，得到，进而得到数列是首项为，公比为的等比数列，即可求出； （2）由（1）求出，分析数列和的通项，即可得到数列的前项是由数列的前项去掉数列的前项后构成的，即可求出结果； （3）根据（2）中分析，即可直接求解结果. 【详解】（1）在中， 令，得，即. 由，得， 以上两式相减，得，即， 所以， 又，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. 所以，即. （2）由（1）得， 因为，， 所以，都是中的项. 因为，， 所以数列的前项是由数列的前项去掉数列的前项后构成的， 即. （3）由（1）（2）得， ， 设数列的前项和为， 则， 所以. 19．（25-26高二上·宁夏·期末）已知等差数列的前项和为，满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 【答案】(1)； (2)30 【分析】（1）设出公差，根据通项公式和求和公式基本量得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式； （2）分组求和，得到答案. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得，解得，所以. （2）由（1）可得， 所以. 20．（25-26高三上·浙江宁波·期末）已知数列和满足，，，. (1)证明：数列是等比数列，并求出的通项公式； (2)将数列，中的所有项从小到大排列组成新数列，记的前n项和为，求. 【答案】(1)证明见解析， (2)5840 【分析】（1）根据条件及等比数列的定义、通项公式计算即可； （2）先判定为等差数列及其通项公式，结合数列的单调性确定新数列分别含两数列的项数，分组求和即可. 【详解】（1）因为，所以， 即，又， 所以数列是以3为首项，2为公比的等比数列， 于是. （2）由已知得，又， 所以数列是以为首项，4为公差的等差数列， 所以. 因为数列，均为单调递增数列， 且前一个数列均为偶数，后一个数列均为奇数，故无重复项， 又，，， 同时， 所以数列前60项中含数列的前7项，数列的前53项. 记数列前n项的和为， 则， 记数列前n项的和为，则， 于是. 题型五：数列的插项求和 21．（25-26高二上·福建福州·期末）已知数列的前项和为，且 (1)若数列不是等比数列，求； (2)若，在和中插入个数构成一个新数列，，插入的所有数依次构成首项为2，公差为2的等差数列，求的前30项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据式子特点，利用的关系式得出，再根据不是等比数列得出； （2）通过分析特征，确定最后3项为，再结合分组求和法即可求解. 【详解】（1）由， 得，则， 所以. ①当时，不是等比数列，符合题意； ②当时，， 所以，所以是首项为，公比为2的等比数列，与已知矛盾. 综上，由及可知，对任意成立， 故. （2）由（1）中推导可知，若，数列是首项为2，公比为2的等比数列， 故，， 可把新数列：，2，，4，6，，8，10，12，，…看作为第一组数，个数为2；看作第二组数，个数为3个，… 故第组数的个数为，前组数的个数和为， 即， 当时，， 故数列前30项为：，2，，4，6，，8，10，12， ， . 22．（25-26高三上·天津南开·期末）已知数列的前n项和．等比数列满足：，． (1)求数列，的通项公式； (2)保持数列中的各项顺序不变，在每两项与之间插入一项（其中）组成新的数列，记的前n项和为． （i）求； （ⅱ）证明：． 【答案】(1)， (2)（i）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）根据与之间的关系求数列的通项公式，根据等比数列的定义可得，即可得数列的通项公式； （2）（i）整理可得，讨论n的奇偶性，结合错位相减法求；（ⅱ）根据题意利用放缩法可得 ，结合裂项相消法分析证明. 【详解】（1）因为， 当时，； 当时，，满足上式； 所以； 设等比数列的公比为， 因为，即，解得， 且，所以． （2）（i）因为， 当n为偶数时，则 ， 可得， 两式相减得： ， 所以； 当n为奇数时，； 综上所述：； （ⅱ）由（i）可知： ， 则 所以. 23．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）已知数列是等差数列，是正项等比数列，且，，， (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）利用等差数列和等比数列的通项公式即可求解； （2）利用分组求和法即可求解； （3）由题意可得，所以对恒成立，令，通过作差研究的单调性求出的最大值，即可求出答案. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为，，， 则，解得或（舍去）， 所以；. （2）依题意， 设， ， 两式相减得 ， 所以， 设， 所以. （3）由题意可得， 由，得，所以对恒成立， 令，则 当时，，当时，，当时，， 所以最大，所以. 24．（25-26高三上·天津·月考）已知等差数列，是数列的前项和，满足，；数列的各项都是正数，且满足，，． (1)求数列和的通项公式； (2)记，求数列的前2n项和； (3)在和中插入个相同的数，构成一个新数列：，求的前2026项和． 【答案】(1)， (2) (3)2646 【分析】（1）由等差数列的基本量运算求得，求得通项；进而求得，再根据等比数列的基本量运算求得答案； （2）由（1）易得，分奇数项和偶数项，分别利用裂项相消法和公式法求解； （3）易得中截至共有项，再由时，有2016项，然后由求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，即，解得， 故； 所以，， 因为，所以数列为等比数列，设公比为， 则，得，又，所以， 所以. （2）由（1），可得， 设的前项和中，偶数项的和为，奇数项的和为， 所以，， 当为偶数时，， ， 当为奇数时，， ， 所以. （3）， 截至共有项， 当时，， . 25．（25-26高二上·宁夏·期末）已知数列满足，，数列满足. (1)求和的通项公式； (2)将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列求. 【答案】(1) (2)85 【分析】（1）根据递推关系可得数列是等比数列，可求出的通项公式，进而得的通项公式；设，当时，根据可得的表达式，验证时是否成立即可得的通项公式.（2）首先理解新数列的构成，可得到为止的总项数表达式，从而可知到为止的总项数，进而可知是的第几项. 【详解】（1）对于数列，由可得， 又， 所以， 所以数列是首项为3，公比为3的等比数列， 故，所以. 对于数列，设， 则当时，，得， 时，，也满足， 故. （2）新数列为：后插入1项，后插入3项，后插入项，到为止总项数为. 当时，到共项， 前共插入项，即到这36项， 新数列的第50项为后插入的第7项，即，则. 题型六：数列求和与不等式的恒成立问题 26．（25-26高二上·安徽宿州·期末）已知数列的前n项和为，，． (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的前n项和； (3)若对任意恒成立．求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题设递推关系有，结合等差数列定义判断证明： （2）应用错位相减法及等比数列前n项和公式求； （3）将问题化为恒成立，作差法判断右侧的最小值，即可得参数范围． 【详解】（1）证明：由，则，又， 所以数列是首项、公差均为的等差数列； （2）由（1）可得，即， 所以， 则， 所以， 所以． （3）由题可得，整理得恒成立， 令，则， 则当时，当时，当时， 所以，即的最小值为， 所以，即． 27．（25-26高二上·山东临沂·期末）已知数列的首项，前项和为，数列是公差为的等差数列；等比数列的前项和为，且满足. (1)求数列、的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式可得出数列的通项公式，可得出的表达式，再利用可得出数列的通项公式；当时，由可得，两式作差可推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可得出数列的通项公式； （2）求出数列的通项公式，利用错位相减法可求得； （3）由得，令，分析数列的单调性，分为奇数、偶数两种情况讨论，结合参变量分离法可求得实数的取值范围. 【详解】（1）的首项为，公差为， ，. 当时，， 也适合上式，. 当时，，   ① ，   ② ①②：，，即， 的公比， 令①式中得，即， ，. （2）由（1）得， ，③ 得：，④ ③－④得： ， . （3）由，得， 设， 可得：恒成立， 为递减数列， 当为偶数时，不等式对所有偶数恒成立， 需大于等于偶数项中的最大值， 又因单调递减，故最大值为，因此； 同理，当为奇数时，不等式对所有奇数恒成立， 需大于等于奇数项中的最大值， 又因单调递减，故最大值为，因此，即， 综上，实数的取值范围为. 28．（25-26高二上·江苏泰州·期末）设为数列的前项和.从下面三个条件中选择一个，使得数列满足，①；②；③. (1)求数列的通项公式； (2)设，若对任意，都有，求实数的取值范围. 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】(1)所选条件见解析，； (2). 【分析】（1）根据所选条件①②，应用的关系、等比数列的定义或累加法求数列通项，选③只需验证是否成立即可； （2）由（1）得，作差法研究数列的单调性，结合不等式恒成立求参数范围. 【详解】（1）选①：时，，则， 又，则是首项、公比均为2的等比数列，则； 选②：时， ，显然也满足，则； 选③：时，，与题设矛盾； （2）由（1），则， 所以时，时，则， 所以上，要使恒成立，只需. 29．（25-26高二上·天津河北·期末）已知是等差数列，其前项和为是等比数列，已知，是和的等比中项. (1)求和的通项公式； (2)对任意的正整数，设，求数列的前项和； (3)若对于恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】（1）利用及求出，再结合，是和的等比中项可求出； （2）利用错位相减法即可求出； （3）将不等式转化为，再构造数列，通过判断数列的单调性可得数列值，进而可得所求值的范围. 【详解】（1）设数列的公差为，等比数列的公比为， 则，得， 所以， 则，， 由是和的等比中项，则，解得， 又由，所以，所以. （2）由（1）可得， 则， ， 将两式相减得：， 解得； （3）由（1）知，，，代入 得，即对于恒成立. 令，则，则， 所以当时，，数列递增，即； 当时，； 当时，，数列递减. 所以或3时，数列有最大值， 要使对于恒成立，所以. 故实数m的取值范围. 30．（25-26高二上·内蒙古·期末）设是等差数列，是公比大于0的等比数列，其中． (1)求数列的通项公式； (2)令，记数列前项和为． （i）求； （ii）若对任意的，均有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)（i）（ii） 【分析】（1）根据等差数列、等比数列的通项公式列出方程求解公差、比即可得解； （2）（i）根据错位相减法求和即可（ii）代入后分离参数，转化为恒成立，根据数列单调性求最值即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，得，         由， 得由，解得         所以，． （2）（i）由（1）知,     所以①， 所以②，         ①-②得： ，     所以．         （ii）由题意，对任意的，均有恒成立， 所以，即恒成立．         设， 所以， 当时，，即；         当时，，即，         所以的最大值为，         所以． 故的取值范围是． 题型七：数列的放缩求和 31．（25-26高三上·广东珠海·月考）已知数列的前n项和为，且满足，，，数列的前n项和为，. (1)求数列的通项公式及数列的前n项和. (2)求数列的通项公式，并证明其前n项和 【答案】(1)， (2)，证明见解析 【分析】（1）根据题意得，由等差数列定义可得数列的通项公式，再由错位相减法求； （2）利用（1）可得，当时，，利用裂项相消法求和. 【详解】（1）根据题意，数列的前n项和为，且， 即，也就是， 所以数列为首项为1，公差为2的等差数列，则， 则， 所以， 可得， 两式相减得， 所以； （2）由（1）可得数列的前n项和， 则， 当时，， 所以数列的前n项和， 当时， ， 所以. 32．（25-26高三上·天津宝坻·月考）已知数列是等差数列，满足，，数列是首项为1的等比数列，且，，成等差数列. (1)求，的通项公式； (2)求数列的前n项和. (3)，求证：. 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）对等差数列，利用已知项的值列方程组解出首项和公差，对等比数列，利用，，成等差数列的条件建立方程求解出公比. （2）由（1）求解出数列的通项公式，并采用错位相减法求解. （3）将具体表达为，通过放缩法将求和转化为可裂项相消的形式，从而证明不等式. 【详解】（1）设首项为，公差为，因为， 即，化简可得：， 因为，即，则，解得，所以， 设首项为，公比为，则，， 因为，，成等差数列， 所以，即，求解得：， 所以. （2）由（1）可知，数列的通项公式为，所以，， 利用错位相减法可得： ， 两式相减可得： ， 其中，，代入上式可得： ， 所以. （3）由（1）可知，，则，所以， 即，因为 所以，对，有成立， 所以，， 两边同时乘以，则， 即，证明完毕. 33．（25-26高二上·四川宜宾·期末）已知函数，数列满足：，，数列的前n项和为，且． (1)求数列、的通项公式； (2)设数列，，前n项和为，若对一切正整数n，恒成立，求m的最小值； (3)设数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1)； (2)3 (3)证明见详解 【分析】（1）分析可知数列是等差数列，进而可得数列的通项公式，根据前n项和与通项之间的分析可知数列是等比数列，进而可得数列的通项公式； （2）整理可得，利用裂项相消法可得，结合恒成立问题分析求解； （3）分和两种情况，放缩可得，结合裂项相消法分析证明. 【详解】（1）因为函数，则，即， 可知数列是以首项，公差为2的等差数列， 所以； 又因为， 当时，则，解得； 当时，则，两式相减得，即， 可知数列是以首项，公比为2的等比数列， 所以. （2）由（1）可知：， 则， 因为，则， 若对一切正整数n，恒成立，则， 且，所以m的最小值为3. （3）由（1）可知：，则， 当时，； 当时，则， 可得； 综上所述：. 34．（25-26高二上·河南郑州·期末）已知首项为1的等差数列满足：成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：，求数列的通项公式； (3)记，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由等差等比的性质分析可得； （2）令，得出，根据等差等比的性质得出所以数列的前n项和； （3）裂项相消计算可得. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，因为成等比数列， 所以，或d＝－1， 当d＝1时，，显然成等比数列， 当d＝－1时，，显然不能成等比数列， 所以d＝1，于是. （2）令， ， 两式相减，得， 因为等差数列的公差为1，且， 所以， 设数列的前n项和为，则 ，所以数列的前n项和， 当n≥2，时，， 显然不适合，所以. （3） 于是 . 35．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知首项为1的等差数列满足：，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：，求数列的通项公式及前项和； (3)记，，证明：． 【答案】(1) (2)， (3)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列的通项公式，结合等比数列的性质进行求解即可； （2）对已知等式进行递推，结合等差数列的性质，利用前项和与第项之间的关系进行求解即可； （3）利用放缩法进行运算证明即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，，成等比数列， 所以，或， 当时，：，，，显然，，成等比数列， 当时，，，，显然，，不能成等比数列， 所以，于是； （2）令， ， 两式相减，得， 因为等差数列的公差为，且， 所以， 即，即， ，所以数列的前项和， 当时，， 显然不适合，所以； （3），即， 由， 于是 . 4 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 数列求和的常见技巧 题型一：倒序相加求和 2 题型二：错位相减求和 3 题型三：裂项相消求和 3 题型四：分组/并项求和 5 题型五：数列的插项求和 6 题型六：数列求和与不等式的恒成立问题 8 题型七：数列的放缩求和 9 题型一：倒叙相加求和 1．（25-26高二上·湖北咸宁·期末）已知，数列满足：，数列满足，，，定义表示不超过的最大整数，则数列的前7项和为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·甘肃·月考）已知函数. (1)证明：为定值； (2)若数列的通项公式为，求数列的前项和； (3)若数列的通项公式为，记.若（2）中的满足，求及的最大值. 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子．他年幼时，在的求和运算中，提出了倒序相加法的原理．现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是 ． 4．（25-26高二上·福建漳州·月考）德国大数学家高斯，被誉为数学界的王子，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律性，因此，此方法也称之为高斯算法．现有函数（），则等于（  ） A． B． C． D． 5．（2024·浙江·一模）若，已知数列中，首项，，，则 . 题型二：错位相减求和 6．（2026·河南南阳·模拟预测）记数列的前项和为，已知为常数列. (1)求的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和. 7．（25-26高二上·山东聊城·期末）已知数列满足，且，数列满足． (1)求证：为等比数列； (2)求数列的前项和. 8．（25-26高二上·河南许昌·期末）已知数列中，. (1)证明：数列是等比数列； (2)记，求数列的前项和. 9．（24-25高二上·江苏·期末）设数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 10．（25-26高二上·浙江绍兴·期末）已知数列的前n项和为，且，数列满足，且的前n项和. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式. 题型三：裂项相消求和 11．（2026·广东肇庆·二模）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式． (2)设，数列的前项和为，证明：． 12．（2026·贵州·模拟预测）已知等差数列的公差为成等比数列. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 13．（2026·安徽宿州·一模）已知各项均不为零的数列，且满足 . (1)若是公比为的等比数列，求数列的前项和； (2)若是公差为2的等差数列，记数列前项和为，证明：. 14．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知数列满足，，． (1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)若，记数列的前项和为，若恒成立，求的最大值． 15．（2026高三上·广东深圳·专题练习）已知数列满足，（，）. (1)求证：是等比数列，并求； (2)设，数列的前项和，证明. 题型四：分组/并项求和 16．（2026·江西上饶·一模）已知递增的等差数列满足，数列的各项均为正数，，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 17．（25-26高三上·山东东营·期末）记数列的前项和为，已知，（），则 . 18．（25-26高二上·广东湛江·期末）设数列的前项和为，且，，设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序构成数列. (1)求数列的通项公式； (2)求； (3)设数列的前项和为，求. 19．（25-26高二上·宁夏·期末）已知等差数列的前项和为，满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 20．（25-26高三上·浙江宁波·期末）已知数列和满足，，，. (1)证明：数列是等比数列，并求出的通项公式； (2)将数列，中的所有项从小到大排列组成新数列，记的前n项和为，求. 题型五：数列的插项求和 21．（25-26高二上·福建福州·期末）已知数列的前项和为，且 (1)若数列不是等比数列，求； (2)若，在和中插入个数构成一个新数列，，插入的所有数依次构成首项为2，公差为2的等差数列，求的前30项和． 22．（25-26高三上·天津南开·期末）已知数列的前n项和．等比数列满足：，． (1)求数列，的通项公式； (2)保持数列中的各项顺序不变，在每两项与之间插入一项（其中）组成新的数列，记的前n项和为． （i）求； （ⅱ）证明：． 23．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）已知数列是等差数列，是正项等比数列，且，，， (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若对恒成立，求实数的取值范围. 24．（25-26高三上·天津·月考）已知等差数列，是数列的前项和，满足，；数列的各项都是正数，且满足，，． (1)求数列和的通项公式； (2)记，求数列的前2n项和； (3)在和中插入个相同的数，构成一个新数列：，求的前2026项和． 25．（25-26高二上·宁夏·期末）已知数列满足，，数列满足. (1)求和的通项公式； (2)将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列求. 题型六：数列求和与不等式的恒成立问题 26．（25-26高二上·安徽宿州·期末）已知数列的前n项和为，，． (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的前n项和； (3)若对任意恒成立．求实数的取值范围． 27．（25-26高二上·山东临沂·期末）已知数列的首项，前项和为，数列是公差为的等差数列；等比数列的前项和为，且满足. (1)求数列、的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 28．（25-26高二上·江苏泰州·期末）设为数列的前项和.从下面三个条件中选择一个，使得数列满足，①；②；③. (1)求数列的通项公式； (2)设，若对任意，都有，求实数的取值范围. 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 29．（25-26高二上·天津河北·期末）已知是等差数列，其前项和为是等比数列，已知，是和的等比中项. (1)求和的通项公式； (2)对任意的正整数，设，求数列的前项和； (3)若对于恒成立，求实数的取值范围. 30．（25-26高二上·内蒙古·期末）设是等差数列，是公比大于0的等比数列，其中． (1)求数列的通项公式； (2)令，记数列前项和为． （i）求； （ii）若对任意的，均有恒成立，求实数的取值范围． 题型七：数列的放缩求和 31．（25-26高三上·广东珠海·月考）已知数列的前n项和为，且满足，，，数列的前n项和为，. (1)求数列的通项公式及数列的前n项和. (2)求数列的通项公式，并证明其前n项和 32．（25-26高三上·天津宝坻·月考）已知数列是等差数列，满足，，数列是首项为1的等比数列，且，，成等差数列. (1)求，的通项公式； (2)求数列的前n项和. (3)，求证：. 33．（25-26高二上·四川宜宾·期末）已知函数，数列满足：，，数列的前n项和为，且． (1)求数列、的通项公式； (2)设数列，，前n项和为，若对一切正整数n，恒成立，求m的最小值； (3)设数列的前n项和为，证明：． 34．（25-26高二上·河南郑州·期末）已知首项为1的等差数列满足：成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：，求数列的通项公式； (3)记，证明：． 35．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知首项为1的等差数列满足：，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：，求数列的通项公式及前项和； (3)记，，证明：． 4 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $