专题03 数列求通项问题（含周期数列及不动点法）八类综合题型（压轴题专项训练）数学湘教版选择性必修第一册

**基本信息** 以“通法引领-题型突破-压轴提升”为框架，系统整合数列求通项八类核心题型，提炼五大通法与底线原则，实现方法迁移与思维进阶。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1（通法总结）|累加累乘、Sₙ与aₙ转换等五大核心解法，首项检验等四原则|从基础通法到变式应用，构建完整方法论| |八类题型|每题型1典例+3变式|累加法“逐项相加”、构造法“新数列转化”等题型专属方法|按难度梯度编排，从单一递推到复杂综合| |压轴挑战|15题（含多选/解答）|多法融合（如不动点+周期）、跨知识综合|对接高考压轴命题，提升逻辑推理与创新意识|

专题03 数列求通项问题（含周期数列及不动点法）八类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、累加法求数列通项 题型二、累乘法求数列通项 题型三、由Sn与an关系求数列通项 题型四、构造法求数列通项 题型五、隔项等差或等比的数列通项 题型六、取对数法求数列通项 题型七、不动点法求数列通项 题型八、周期型数列求通项 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 数列求通项是高中数列板块的核心题型，所有题型均围绕累加累乘、前n项和与通项转换、构造变形、隔项数列、周期规律五大核心展开，解题贯穿多条底线原则：一是利用前n项和求通项务必检验首项，二是区分递推式适用的起始项，三是构造新数列后看清新数列首项，四是周期数列找准完整循环周期，所有求出的通项结果均需带回题干验证是否满足递推条件 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、累加法求数列通项 典例1 若，则（    ） A．55 B．56 C．45 D．46 【答案】D 【分析】在数列递推式中依次取，得到个等式，累加后求出数列的通项公式，即可求出答案. 【详解】由， 得，， ，，， 累加得， ， 当时，上式成立， 则， 所以. 故选：D 题型模版 1.特征：已适用于，求 2.方法：定两边分别相加得 变式1-1已知数列的前项和为（    ） A．276 B．272 C．268 D．266 【答案】A 【分析】令得，当时，结合题干作差得，从而利用累加法求解即可. 【详解】，又， 当时，，解得； 当时，，作差得， . 故选：A 变式1-2若数列满足，（，），则的最小值是 . 【答案】6 【分析】利用累加法求得，计算，由对勾函数的性质求最小值，注意是正整数. 【详解】由已知，，…，，， 所以，， 又也满足上式，所以， 设，由对勾函数性质知在上单调递减，在递增， 因此在时递减，在时递增， 又，， 所以的最小值是6， 故答案为：6. 变式1-3已知数列满足：，，数列是以4为公差的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知条件求数列的通项，再用累加法求数列的通项公式； （2）由数列的通项，利用裂项相消法求前n项和为. 【详解】（1）根据题意可得，     则 ； 又符合上式，所以； （2）∵， ∴. 类型二、累乘法求数列通项 典例2 已知，则（    ） A．506 B．1012 C．2024 D．4048 【答案】D 【详解】， ， ，， ，， 显然，当时，满足， ∴， . 故选D. 题型模版 1.特征：累乘法：适用于，求 2.方法：等，两边分别相乘得 变式2-1已知数列满足，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得，再利用累乘法计算可得； 【详解】解：由，得， 即，则，，，…，， 由累乘法可得，所以， 又，符合上式，所以. 故选：D． 变式2-2在数列中，，前项和，则数列的通项公式为 【答案】 【分析】当时，由已知的等式可得，与已知的等式相减化简可得，然后利用累乘法可求出. 【详解】由于数列中，，前项和， 所以当时，， 两式相减可得：， 所以， ， 所以， 所以， 所以 ， 符合上式， 因此. 故答案为： 变式2-3已知数列满足，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得，再利用累乘法计算可得； 【详解】解：由，得， 即，则，，，…，， 由累乘法可得，所以， 又，符合上式，所以. 故选：D． 题型三、由Sn与an关系求数列通项 典例3-1 已知数列的前n项和为，则（    ） A．81 B．162 C．243 D．486 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用列式计算即得. 【详解】数列的前n项和为，所以. 故选：B 典例3-2已知正项数列满足，求的通项公式. 【答案】 【详解】（1）解：因为， 当时，， 两式相减得，因为，可得，， 令，可得，满足， 所以的通项公式为 题型模版 1.特征：给在已知数列中存在：的关系，可以利用项和公式，求数列的通项. 2.方法：①先利用求出;②用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式;③注意检验时的表达式是否可以与的表达式合并。 变式3-1已知数列满足，设数列的前项和为，则满足的实数的最小值为 ． 【答案】 【分析】先将代入题干表达式计算出的值，当时，由，可得，两式相减进一步计算即可推导出数列的通项公式，再根据数列的通项公式及等比数列的求和公式推导出前项和的表达式，最后根据不等式的性质即可计算出实数的最小值． 【详解】由题意，当时，， 当时，由， 可得， 两式相减，可得，解得， 当时，不满足上式， ，则当时，， 当时， ， 当时，也满足上式， ，， ，且对任意恒成立， ，即实数的最小值为． 故答案为：. 变式3-2已知各项均为正数的数列的前项和为，且，（且），求的通项公式； 【答案】(1) 【分析】（1）根据的关系可得为等差数列，即可求解，进而可得， 【详解】（1）当时，， 即，解得． 因为（）， 所以（）， 又（，），， 所以（）， 又， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以． 当时，， 当时，，满足上式， 所以数列的通项公式为． 变式3-3已知正项等差数列的前项和为，满足，求数列的通项公式； 【答案】 【分析】利用与的关系式及公差概念即可求解. 【详解】①， 时，②， ①②得， ， ，可得， 或（舍）， 又验证时，符合， . 题型四、构造法求数列通项 典例4-1 在数列中，，且，则的通项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，即可得到是以2为首项，2为公比的等比数列，再根据等比数列的通项公式计算可得； 【详解】解：∵，∴， 由，得，∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，∴，即． 故选：A 典例4-2已知数列中，，若，则正整数的值为 . 【答案】8 【分析】推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列的通项公式，进而可得，解方程即可得解 【详解】因为，可得， 因为，则，即，可得， 对任意的，所以，等式两边取倒数可得，则， 所以，数列为等差数列，且其首项为，公差为1， 所以，故， 由可得. 故答案为：8. 典例4-3已知数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取倒数法求通项，将变形可得数列为等差数列，计算即可得. 【详解】，即， 可得，又， 即有数列是首项为1，公差为4的等差数列， 可得， 即. 典例4-4已知数列，则的通项公式为 . 【答案】 【详解】因为当时，，所以， 又，则， 所以是以为首项，4为公比的等比数列， 所以， 从而， 当时，满足上式， 所以. 题型模版 1.特征：递推式不能直接用累加法、累乘法；常见形式的形式，一次线性递推）；也可出现含n、指数项等复杂递推，通过变形构造出新的等差或等比数列 2.方法：比①形如整式，两边同时除以 ②形如且，两边同除,得,令,得,转化为利用累加法求（若为常数,则为等差数列） ③形如且 方法:化为的形式，令,即得为等比数列,从而求得数列的通项公式. 变式4-1已知数列满足，，则满足不等式的k（k为正整数）的值为 ． 【答案】6 【分析】求出数列的通项公式，再解不等式求得的值. 【详解】依题意，， 即，而， 于是数列是首项为，公比为的等比数列，，即， 由，得，即， 解得，而数列是递减数列，， 因此，而，则，经验证符合题意，所以. 故答案为：6 变式4-2已知数列，则数列的通项公式 【答案】 【分析】取倒数后得为等差数列，再由等差数列的通项公式求解． 【详解】由题意得，故是首项为1，公差为1的等差数列， 得，即 变式4-3已知数列满足，且，则________ 【答案】 【分析】对所给式子化简、变形，构造新数列，通过等比数列的定义求出新数列的通项公式，再用累加法求出，进而得到数列的通项公式，即可得到答案. 【详解】因为，由递推知，，所以， 则，有， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，所以 则 变式4-4若数列满足，，则数列的通项公式________. 【答案】 【详解】 由，可得，设 则，则 所以是以1为首项，3为公比的等比数列. 则，则，所以 故答案为： 题型五、隔项等差或等比的数列通项 典例5-1已知各项均为正数的数列满足：，,求数列的通项公式. 【答案】 【详解】解：由， 当时，， ∴，又，，∴。 当时，， ∴为奇数时， ；当时，， ∴为偶数时，，∴ 典例5-2已知数列满足，，，，求数列的通项公式 【答案】 【分析】由 得,分奇偶项分别求通项，最后写出通项公式； 【详解】由 ，得 以上两式相比，得, 由，得, 所以，数列是首项为3，公比4为的等比数列，, 数列是首项为6，公比为4的等比数列，, 综上，数列的通项公式为 . 题型模版 1.特征：给递推关系式为相邻两项的关系式an+1与an，无法直接判断整体等差、等比；奇数项自成一个等差 /等比数列，偶数项自成另一个等差/等比数列，奇偶通项表达式不一样 2.方法：①写出n和n+1\对应的递推式，两式作差或者作除，消去公共项，得到隔项关系式：an+2与an的等式；②判断：奇数项a2k-1、偶数项a2k分别是什么数列，找出各自的首项、公差或者公比；③分奇偶分别写出通项：当n为奇数时，令n=2k-1，代入奇数项通项；当n为偶数时，令n=2k，代入偶数项通项；④最终结果写成分段形式；⑤检验前几项，核对结果是否正确 变式5-1已知数列中，对任意的,都有，，求的通项公式． 【答案】 【解析】由条件，可得： 两式相减得： 因为，所以，数列的奇数项是首项为3，公差为4的等差数列； 偶数项是首项为1公差为4的等差数列． 综上： 变式5-2（多选）已知数列中，，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．是等比数列 C． D． 【答案】ABC 【分析】根据给定的递推公式，探讨数列的特性，再逐项计算判断作答. 【详解】，，，即，则，A正确； 显然有，于是得， 因此数列，分别是以1，2为首项，2为公比的等比数列，B正确； 于是得，， 则，，C正确，D不正确. 变式5-3已知数列满足，求数列的通项公式 【答案】(1)； 【分析】（1）由题可得的奇数项和偶数项分别是等比数列，利用等比数列的通项公式即得； （2）由题可得，然后根据裂项相消法即得. 【详解】（1）由，可得， 两式相除得， 所以的奇数项和偶数项分别是以4为公比的等比数列， 由，，可得， 当为奇数时，， 当为偶数时，， 所以 类型六、取对数法求数列通项 典例6 数列中，，，则下列结论中正确的是（　　） A．数列的通项公式为 B．数列为等比数列 C．数列为等比数列 D．数列为等差数列 【答案】C 【详解】数列中，，，则，，显然不成等比数列，A，B都不正确； 依题意，，由两边取对数得：， 因此，数列是首项为，公比为2的等比数列，C正确，D不正确. 故选C 题型模版 1.特征：形如 2.方法：先这种类型一般是等式两边取对数后得：，再进行求解 变式6-1数列中，若，，则的通项公式为 . 【答案】 【详解】由，两边取对数，可得，即， 又由，则，所以数列是以为首项，公比为3等比数列， 则，所以. 故答案为： 变式6-2已知数列满足，则________ 【答案】 【详解】，， ，设，则，，两边取对数， ， ，所以是首项，公比的等比数列， ， ， 故答案为：。 变式6-3已知数列满足，，证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； 【答案】 【详解】因为，所以， 则， 又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则， 所以； 类型七、不动点法求数列通项 典例7 已知数列{an}中，a1=2，，求{an}的通项。 【答案】an=1+. 【详解】因为{an}的特征函数为：, 由, ∴ ∴数列{an-1}是公比为的等比数列, ∴an-1=an=1+. 题型模版 1.特征：给递推式为分式线性递推：，累加法、构造一次型无法直接求解，适合不动点法 2.方法：先如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程. （1）当特征方程有两个相同的根（称作特征根）时， 若则 若，则其中特别地，当存在使时，无穷数列不存在. （2）当特征方程有两个相异的根、（称作特征根）时，则，其中 变式7-1已知数列满足，则 . 【答案】 【详解】因为，由，解得， 所以有 是首项为3，公比为3的等比数列，得，所以 变式7-2已知数列满足，，则 ． 【答案】 【详解】设，令得：，解得：； ，化简得，， 所以，从而， 故， 又，所以是首项和公差均为的等差数列， 从而，故． 变式7-3已知数列{an}中，a1=3，，求{an}的通项。 【答案】 【详解】解：因为{an}的特征函数为：, 由 设 即, ∴数列是公比为的等比数列. ∴ ∵a1=3,∴. . 类型八、周期型数列求通项 典例8在数列中，，则等于 . 【答案】2 【分析】根据数列的周期性求解. 【详解】由可得： ， 故数列为周期性数列，每3项为一循环， 而，故. 故答案为：2 题型模版 1.特征：已递推关系式经过有限次计算后，数列的值重复出现，即an+T=an，T为最小正周期；常见来源：分式递推、分段递推、含(-1)n、三角函数递推 2.方法：①依次算出数列前几项：a1,a2,a3,a4； ②观察数值重复规律，找出最小正周期T；③用项数除以周期，求余数若余数为0：对应周期内第T项：若余数为k：对应周期内第k项。④得到结果；⑤如需通项，则结合(-1)n、三角函数分段写出周期数列通项；⑥代入检验前几项验证周期是否正确 变式8-1在数列中，，（），则 . 【答案】 【分析】由和数列的递推公式，计算，得到数列的周期，可求. 【详解】由（），得（）， 又，得，，， 所以数列是以3为周期的数列，得. 故答案为： 变式8-2数列满足，，则 ． 【答案】/0.5 【分析】由题意，可得数列的最小正周期为，即可求出结果． 【详解】由题意，数列满足，， 所以，得，由，得， 由，得，所以为，数列的最小正周期为， 故.故答案为：． 变式8-3已知数列的前n项和为，且，则=______； 【答案】2500 【分析】 由题意得到，进而得到，再分组进行求和. 【详解】由，得到，于是，，因此 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知数列满足，，设，则数列的前6项和为（    ） A．127 B．255 C．31 D．63 【答案】D 【分析】原式变形得，即，结合等比数列通项公式求解即可 【详解】由及，得，又，所以数列是等比数列，于是前6项和为， 故选：D. 2．已知正项数列中，，则数列的通项（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一：给已知等式两边同除以，令则可得，从而得数列是等比数列，求出，进而可求出；解法二：设，化简后与已知等式比较可得，从而可得数列是首项为，公比为2的等比数列，进而可求出. 【详解】解法一：在递推公式的两边同时除以，得①， 令，则①式变为，即， 所以数列是等比数列，其首项为，公比为， 所以，即， 所以， 所以， 解法二：设，则， 与比较可得， 所以， 所以数列是首项为，公比为2的等比数列， 所以，所以， 故选：D 3．已知数列满足，，则的通项为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先把，利用累加法和裂项相消法可求答案. 【详解】因为，所以，则当时，， 将个式子相加可得， 因为，则，当时，符合题意， 所以. 故选：D. 4．已知数列满足，，则的通项为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】先把，利用累加法和裂项相消法可求答案. 【分析】因为，所以， 则当，时，， 将个式子相加可得， 因为，则， 当时，符合上式， 所以，，， 故选：D. 5．设是无穷数列，若存在正整数，使得对任意的，均有，则称是间隔递增数列，是的间隔数.若是间隔递增数列，则数列的通项不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据间隔递增数列的定义求解即可. 【详解】对于A：， 化简得：， 存在正整数，使得对任意的，恒成立， 所以是间隔递增数列； 对于B：， 因为为正整数且，所以， 所以，所以是间隔递增数列； 对于C：， 因为为正整数且，所以， 所以，所以是间隔递增数列； 对于D： ， 当正奇数，时，， 的正负由的奇偶性决定，此时不恒成立， 不符合间隔递增数列的定义； 当正偶数，时，， 的正负由的奇偶性决定，此时不恒成立， 不符合间隔递增数列的定义； 故选：D. 6．（多选）若数列满足，对任意正整数n，恒有，则的通项可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，由，可判断A；对于B，，可判断B；对于C，当时，可得，当时，可得，可判断C；对于D，数列是以3为周期的周期数列，可判断D. 【详解】对于A，，当时最小，满足题意，A正确； 对于B，， 当，，所以，B错误； 对于C，，当时，， 当时，，且随n的增大而减小，符合题意，C正确； 对于D，， 数列的前7项依次为，，1，，，1，， 该数列是以3为周期的周期数列，故D正确． 故选:ACD. 7．（多选）函数是取整函数，也被称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，例如：，.若在函数的定义域内，均满足在区间上，是一个常数，则称为的取整数列，称为的区间数列.下列说法正确的是（    ） A．的区间数列的通项 B．的取整数列的通项 C．的取整数列的通项 D．若，则数列的前项和 【答案】BD 【分析】由在上，得到，可判定A错误；根据，可判定B正确；结合， 可判定C错误；得到，利用乘公比错位相减法求和，可判定D正确. 【详解】对于A中，因为在上，，，所以； 在上，，所以， 在上，，，所以，所以A错误； 对于B中，由选项A知，，所以B正确. 对于C中，因为， 所以，所以C错误； 对于D中，由选项A知，可得， 则， 所以， 两式相减，所以D正确. 故选：BD. 8．若数列的前n项和为，，，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，结合变形等式，再构造常数列求出通项. 【详解】数列中，，当时，， 两式相减得，即，则有， 因此数列是常数列，则， 所以数列的通项公式为. 9．已知数列满足，求数列的通项_____． 【答案】 【详解】其特征方程为，即，解得， 令， 由，得，求得， 数列是以为首项，以为公差的等差数列，， . 10．已知数列满足：，则通项________． 【答案】 【分析】取倒数得到数列是等差数列，根据数列的通项公式得到数列的通项公式. 【详解】取倒数后得，即， 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列， 所以， 所以， 故答案为：. 11．在数列中，，则数列的通项__________ 【答案】 【分析】 讨论，，且，结合等差数列和等比数列的通项公式、求和公式，可得所求通项． 【详解】分情况讨论． 若，可得，即； 若，可得，即有， 则，可得； 若且，则， 当时，， 时上式成立，于是，上式对和同样成立， 故答案为：，． 12．已知正项数列满足：.证明是等比数列，并求通项； 【答案】证明： 由，得， 因为是正项数列，所以，即，又， 所以是公比为的等比数列，又，得， 所以，即. 【分析】根据递推关系即可证明等比数列，进而求得通项公式. 【详解】证明略，. 13．已知，点在函数的图象上，其中． (1)证明数列是等比数列； (2)求数列的通项． 【答案】(1)证明: 因为点在函数的图象上， 所以， ， ， ， 两边取对数得，即 是公比为，首项为的等比数列． (2) 【分析】（1）由已知可得，化为，由于，两边取对数得，从而可得结论； （2）利用等比数列的通项公式求解即可. 【详解】（1）略； （2）由（1）可得　 ，即. 14．已知有穷数列共有项（，），首项．设该数列的前项和为，且，其中常数．求数列的通项． 【答案】 【分析】对进行变形，利用推导出数列的递推关系，进而求出通项公式. 【详解】由，得， 再写一行，作差探求：，， 由得，整理得， 故数列是以为首项，公比为的等比数列，即． 15．已知数列满足，，，. (1)求数列的通项公式； (2)证明:数列中的任意三项均不能构成等差数列. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【分析】(1) 由 得,分奇偶项分别求通项，最后写出通项公式； (2) 假设数列中存在三项数列 (其中）成等差数列，应用反证法得出矛盾证明即可. 【详解】（1）由 ，得 以上两式相比，得, 由，得, 所以，数列是首项为3，公比4为的等比数列，, 数列是首项为6，公比为4的等比数列，, 综上，数列的通项公式为 . （2）假设数列中存在三项数列 (其中）成等差数列，则 . 由（1）得，即,两边同时除以，得(*) (*）式左边为奇数，右边为偶数 (*）等式不成立，假设不成立. 所以，数列中得任意三项均不能构成等差数列 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 数列求通项问题（含周期数列及不动点法）八类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、累加法求数列通项 题型二、累乘法求数列通项 题型三、由Sn与an关系求数列通项 题型四、构造法求数列通项 题型五、隔项等差或等比的数列通项 题型六、取对数法求数列通项 题型七、不动点法求数列通项 题型八、周期型数列求通项 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 数列求通项是高中数列板块的核心题型，所有题型均围绕累加累乘、前n项和与通项转换、构造变形、隔项数列、周期规律五大核心展开，解题贯穿多条底线原则：一是利用前n项和求通项务必检验首项，二是区分递推式适用的起始项，三是构造新数列后看清新数列首项，四是周期数列找准完整循环周期，所有求出的通项结果均需带回题干验证是否满足递推条件 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、累加法求数列通项 典例1 若，则（    ） A．55 B．56 C．45 D．46 题型模版 1.特征：已适用于，求 2.方法：定两边分别相加得 变式1-1已知数列的前项和为（    ） A．276 B．272 C．268 D．266 变式1-2若数列满足，（，），则的最小值是 . 变式1-3已知数列满足：，，数列是以4为公差的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和为，求的值． 类型二、累乘法求数列通项 典例2 已知，则（    ）A．506 B．1012 C．2024 D．4048 题型模版 1.特征：累乘法：适用于，求 2.方法：等，两边分别相乘得 变式2-1已知数列满足，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 变式2-2在数列中，，前项和，则数列的通项公式为 变式2-3已知数列满足，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 题型三、由Sn与an关系求数列通项 典例3-1 已知数列的前n项和为，则（    ） A．81 B．162 C．243 D．486 典例3-2已知正项数列满足，求的通项公式. 题型模版 1.特征：给在已知数列中存在：的关系，可以利用项和公式，求数列的通项. 2.方法：①先利用求出;②用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式;③注意检验时的表达式是否可以与的表达式合并。 变式3-1已知数列满足，设数列的前项和为，则满足的实数的最小值为 ． 变式3-2已知各项均为正数的数列的前项和为，且，（且），求的通项公式； 变式3-3已知正项等差数列的前项和为，满足，求数列的通项公式； 题型四、构造法求数列通项 典例4-1 在数列中，，且，则的通项为（    ） A． B． C． D． 典例4-2已知数列中，，若，则正整数的值为 . 典例4-3已知数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 典例4-4已知数列，则的通项公式为 . 题型模版 1.特征：递推式不能直接用累加法、累乘法；常见形式的形式，一次线性递推）；也可出现含n、指数项等复杂递推，通过变形构造出新的等差或等比数列 2.方法：比①形如整式，两边同时除以 ②形如且，两边同除,得,令,得,转化为利用累加法求（若为常数,则为等差数列） ③形如且 方法:化为的形式，令,即得为等比数列,从而求得数列的通项公式. 变式4-1已知数列满足，，则满足不等式的k（k为正整数）的值为 ． 变式4-2已知数列，则数列的通项公式 变式4-3已知数列满足，且，则________ 变式4-4若数列满足，，则数列的通项公式________. 题型五、隔项等差或等比的数列通项 典例5-1已知各项均为正数的数列满足：，,求数列的通项公式. 典例5-2已知数列满足，，，，求数列的通项公式 题型模版 1.特征：给递推关系式为相邻两项的关系式an+1与an，无法直接判断整体等差、等比；奇数项自成一个等差 /等比数列，偶数项自成另一个等差/等比数列，奇偶通项表达式不一样 2.方法：①写出n和n+1\对应的递推式，两式作差或者作除，消去公共项，得到隔项关系式：an+2与an的等式；②判断：奇数项a2k-1、偶数项a2k分别是什么数列，找出各自的首项、公差或者公比；③分奇偶分别写出通项：当n为奇数时，令n=2k-1，代入奇数项通项；当n为偶数时，令n=2k，代入偶数项通项；④最终结果写成分段形式；⑤检验前几项，核对结果是否正确 变式5-1已知数列中，对任意的,都有，，求的通项公式． 变式5-2（多选）已知数列中，，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．是等比数列 C． D． 变式5-3已知数列满足，求数列的通项公式 类型六、取对数法求数列通项 典例6 数列中，，，则下列结论中正确的是（　　） A．数列的通项公式为 B．数列为等比数列 C．数列为等比数列 D．数列为等差数列 题型模版 1.特征：形如 2.方法：先这种类型一般是等式两边取对数后得：，再进行求解 变式6-1数列中，若，，则的通项公式为 . 变式6-2已知数列满足，则________ 变式6-3已知数列满足，，证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； 类型七、不动点法求数列通项 典例7 已知数列{an}中，a1=2，，求{an}的通项。 题型模版 1.特征：给递推式为分式线性递推：，累加法、构造一次型无法直接求解，适合不动点法 2.方法：先如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程. （1）当特征方程有两个相同的根（称作特征根）时， 若则 若，则其中特别地，当存在使时，无穷数列不存在. （2）当特征方程有两个相异的根、（称作特征根）时，则，其中 变式7-1已知数列满足，则 . 变式7-2已知数列满足，，则 ． 变式7-3已知数列{an}中，a1=3，，求{an}的通项。 . 类型八、周期型数列求通项 典例8在数列中，，则等于 . 题型模版 1.特征：已递推关系式经过有限次计算后，数列的值重复出现，即an+T=an，T为最小正周期；常见来源：分式递推、分段递推、含(-1)n、三角函数递推 2.方法：①依次算出数列前几项：a1,a2,a3,a4； ②观察数值重复规律，找出最小正周期T；③用项数除以周期，求余数若余数为0：对应周期内第T项：若余数为k：对应周期内第k项。④得到结果；⑤如需通项，则结合(-1)n、三角函数分段写出周期数列通项；⑥代入检验前几项验证周期是否正确 变式8-1在数列中，，（），则 . 变式8-2数列满足，，则 ． 变式8-3已知数列的前n项和为，且，则=______； 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知数列满足，，设，则数列的前6项和为（    ） A．127 B．255 C．31 D．63 2．已知正项数列中，，则数列的通项（　　） A． B． C． D． 3．已知数列满足，，则的通项为(    ) A． B． C． D． 4．已知数列满足，，则的通项为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．设是无穷数列，若存在正整数，使得对任意的，均有，则称是间隔递增数列，是的间隔数.若是间隔递增数列，则数列的通项不可能是（    ） A． B． C． D． 6．（多选）若数列满足，对任意正整数n，恒有，则的通项可以是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）函数是取整函数，也被称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，例如：，.若在函数的定义域内，均满足在区间上，是一个常数，则称为的取整数列，称为的区间数列.下列说法正确的是（    ） A．的区间数列的通项 B．的取整数列的通项 C．的取整数列的通项 D．若，则数列的前项和 8．若数列的前n项和为，，，则数列的通项公式为 ． 9．已知数列满足，求数列的通项_____． 10．已知数列满足：，则通项________． 11．在数列中，，则数列的通项__________ 12．已知正项数列满足：.证明是等比数列，并求通项； 13．已知，点在函数的图象上，其中． (1)证明数列是等比数列； (2)求数列的通项． 14．已知有穷数列共有项（，），首项．设该数列的前项和为，且，其中常数．求数列的通项． 15．已知数列满足，，，. (1)求数列的通项公式； (2)证明:数列中的任意三项均不能构成等差数列. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $