第1章 习题课 等差数列概念的综合问题（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

习题课　等差数列概念的综合问题 [学习目标]　1.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.2.掌握等差中项的设法． 一、等差数列的有关计算 例1　三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数． 解　设这三个数依次为a－d，a，a＋d， 则 解得 所以这三个数为4，3，2. 反思感悟　等差数列的计算技巧 (1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程(组)求出a1和d，即可解决等差数列的有关问题．另外亦可用等差中项及性质找到项与项之间的关系进行解题，此种解法计算量较小． (2)当已知数列有3项时，可设为a－d，a，a＋d，此时公差为d.若有5项、7项、…时，可同理设出． (3)当已知数列有4项时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，此时公差为2d.若有6项、8项、…时，可同理设出． 跟踪训练1　四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数． 解　设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)， 依题意得2a＝2且(a－3d)(a＋3d)＝－8， 即a＝1，a2－9d2＝－8， 所以d2＝1，所以d＝1或d＝－1. 又四个数成递增等差数列，所以d>0， 所以d＝1，故所求的四个数为－2，0，2，4. 二、等差数列的实际应用 例2　(多选)《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则(　　) A．冬至的日影子长最长，为15.5尺 B．立夏比谷雨的日影子长多1尺 C．大寒、雨水、春分的日影子长成等差数列 D．清明的日影子长为8.5尺 答案　ACD 解析　依题意，从冬至起，日影子长依次记为a1，a2，…，a12，则数列{an}(n∈N＋，n≤12)是等差数列，因此，a1＋a4＋a7＝37.5，而a1＋a7＝2a4，解得a4＝12.5，又a12＝4.5，设数列{an}的公差为d，于是得解得A正确；a10－a9＝－1，立夏比谷雨的日影子长少1尺，B不正确；而a3，a5，a7成等差数列，即大寒、雨水、春分的日影子长成等差数列，C正确；a8＝a1＋(8－1)d＝8.5，即清明的日影子长为8.5尺，D正确． 反思感悟　(1)解决数列实际应用问题的基本步骤 ①审题，即仔细阅读材料，认真理解题意；②建模，即将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题；③判型，即判断该数列是否为等差数列；④求解，即求出该问题的数学解；⑤还原，即将所求结果还原到实际问题中． (2)在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题． 跟踪训练2　《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种，这五种规格党旗的长a1，a2，a3，a4，a5(单位：cm)成等差数列，对应的宽为b1，b2，b3，b4，b5(单位：cm)，且长与宽之比都相等，已知a1＝288，a5＝96，b1＝192，则b3＝________. 答案　128 解析　由题意，五种规格党旗的长a1，a2，a3，a4，a5(单位：cm)成等差数列，设公差为d，因为a1＝288，a5＝96，可得d＝＝＝－48，可得a3＝288＋(3－1)×(－48)＝192，又由长与宽之比都相等，且b1＝192，可得＝，所以b3＝＝＝128. 三、等差数列的综合应用 例3　若关于x的方程x2－x＋m＝0和x2－x＋n＝0(m，n∈R，且m≠n)的四个根组成首项为的等差数列，则数列的公差d＝________，m＋n的值为________． 答案　　 解析　设x2－x＋m＝0，x2－x＋n＝0的根分别为x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＝x3＋x4＝1(且1－4m>0，1－4n>0)． 设数列的首项为x1，则根据等差数列的性质，数列的第4项为x2.由题意知x1＝， ∴x2＝，数列的公差d＝＝， ∴数列的中间两项分别为＋＝，＋＝. ∴x1·x2＝m＝，x3·x4＝n＝×＝. ∴m＋n＝＋＝. 反思感悟　解决等差数列综合问题的方法 (1)结合等差数列的性质或利用等差中项． (2)利用通项公式，得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程或不等式． (3)利用函数或不等式的有关方法解决． 跟踪训练3　在1和19之间插入n个数，使这n＋2个数成等差数列，若这n个数中第一个为a，第n个为b，当＋取最小值时，n的值是(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 答案　B 解析　设等差数列的公差为d，则a＝1＋d，b＝19－d，从而a＋b＝20， 由题意知，d>0，故a>0，b>0， 所以(a＋b)＝1＋16＋＋ ≥17＋2＝25， 即＋≥＝，当且仅当＝， 即b＝4a时取“＝”，又a＝1＋d，b＝19－d，解得d＝3，所以19＝1＋(n＋1)×3，所以n＝5. 1．知识清单： (1)等差数列的有关计算． (2)等差数列的实际应用． (3)等差数列的综合应用． 2．方法归纳：解方程组法、转化法、数学建模． 3．常见误区：对等差数列的性质不理解而致错． 1．已知{an}为等差数列，若a1＋a5＋a9＝π，则tan(a4＋a6)的值为(　　) A．－ B．－ C．－ D. 答案　C 解析　因为{an}为等差数列，a1＋a5＋a9＝3a5＝π，所以a5＝， 所以tan(a4＋a6)＝tan 2a5＝tan ＝－. 2．在等差数列{an}中，a2＋a5＝10，a3＋a6＝14，则a5＋a8等于(　　) A．12 B．22 C．24 D．34 答案　B 解析　设数列{an}的公差为d， 则d＝＝＝2， 故a5＋a8＝a5＋a2＋6d＝10＋6×2＝22. 3．“珠算之父”程大位是我国明代著名的数学家，他的应用巨著《算法统宗》中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节六升六，上梢四节四升四，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．”(注：六升六：6.6升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量)用你所学的数学知识求得中间两节竹的容积为(　　) A．3.4升 B．2.4升 C．2.3升 D．3.6升 答案　A 解析　设从下至上各节的容积分别为a1，a2，…，a9， 由题意知{an}为等差数列，公差为d， 因为 即 解得 所以a4＋a5＝2a1＋7d＝3.4. 4．三个数成等差数列，这三个数的和为6，积为－24，则这三个数为________． 答案　－2，2，6或6，2，－2 解析　设这三个数分别为a－d，a，a＋d. 由题意可得 解得或 故所求三个数为－2，2，6或6，2，－2.　　 　[分值：100分] 单选题每小题5分，共50分 1．已知各项不为0的等差数列{an}满足a6－a＋a8＝0，则a7等于(　　) A．1 B．8 C．4 D．2 答案　D 解析　由题意得2a7－a＝0， 解得a7＝2或a7＝0(舍去)． 2．已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么数列{an＋bn}的第37项为(　　) A．0 B．37 C．100 D．－37 答案　C 解析　设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2， 则(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2， 所以数列{an＋bn}仍然是等差数列． 又d1＋d2＝(a2＋b2)－(a1＋b1)＝100－(25＋75)＝0，所以a37＋b37＝a1＋b1＝100. 3．在等差数列{an}中，若a3＋a6＋a9＋a12＋a15＝120，则3a12－a18的值为(　　) A．24 B．36 C．48 D．60 答案　C 解析　设等差数列{an}的公差为d， ∵a3＋a6＋a9＋a12＋a15＝120＝5a9， ∴a9＝24， ∴3a12－a18＝3(a9＋3d)－(a9＋9d)＝2a9＝48. 4．已知等差数列{an}中，a1＝3，公差为d(d∈N＋)，若2 023是该数列的一项，则公差d不可能是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案　B 解析　由2 023是该数列的一项，得2 023＝3＋(n－1)d，所以n＝＋1，因为n∈N＋，所以d是2 020的约数，故d不可能是3. 5．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗一头细．在粗的一端截下一尺，重四斤；在细的一端截下一尺，重二斤．问依次每一尺各重几斤？”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，则中间三尺的质量为(　　) A．3斤 B．6斤 C．9斤 D．12斤 答案　C 解析　由题意可知金箠每尺的质量(单位：斤)构成等差数列{an}，设细的一端一尺的质量为a1斤，粗的一端一尺的质量为a5斤， 则a1＝2，a5＝4， 根据等差数列的性质可知a1＋a5＝2a3＝6，解得a3＝3， 所以中间三尺的质量为a2＋a3＋a4＝3a3＝9(斤)． 6．在等差数列{an}中，a1≠0，若存在正整数m，n，p，q满足m＋n<p＋q时有am＋an＝ap＋aq成立，则等于(　　) A．4 B．1 C. D．由等差数列的首项a1的值决定 答案　B 解析　设{an}的公差为d，由am＋an＝ap＋aq得(m＋n－p－q)d＝0. 因为存在正整数m，n，p，q满足m＋n<p＋q，所以d＝0， 又a1≠0，所以a2 022＝a2 023≠0， 所以＝1. 7．(5分)若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________． 答案　－21 解析　设这三个数为a－d，a，a＋d， 则 解得或 ∴这三个数为－1，3，7或7，3，－1. ∴它们的积为－21. 8．(5分)若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为________． 答案　1或2 解析　∵a，b，c成等差数列， ∴2b＝a＋c， ∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0. ∴二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为1或2. 9．(10分)四个数成递减的等差数列，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40.求这四个数． 解　设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)， 依题意，得 解得或 又四个数成递减的等差数列， 所以d<0， 所以d＝－， 故所求的四个数为11，8，5，2. 10．(12分)已知数列{an}满足an＋1＝(n∈N＋)，且a1＝0. (1)求a2，a3；(4分) (2)是否存在一个实数λ，使得数列为等差数列，请说明理由．(8分) 解　(1)因为a1＝0，an＋1＝(n∈N＋)， 所以a2＝＝，a3＝＝. (2)假设存在一个实数λ，使得数列为等差数列，所以＝＋，即＝＋，解得λ＝1. 因为－＝－ ＝－＝＝－， 又＝－1，所以存在一个实数λ＝1，使得数列是首项为－1，公差为－的等差数列． 11．若等差数列{an}的首项a1＝5，am＝3，则am＋2等于(　　) A．13 B．3－ C．3－ D．5－ 答案　B 解析　设等差数列{an}的公差为d， 因为a1＝5，am＝3， 所以d＝＝. 所以am＋2＝am＋2d＝3＋＝3－. 12．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的等于较小的两份之和，则最小的一份为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　设五个人所分得的面包个数为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，其中d>0， 则(a－2d)＋(a－d)＋a＋(a＋d)＋(a＋2d)＝5a＝100，∴a＝20. 由(a＋a＋d＋a＋2d)＝a－2d＋a－d， 得3a＋3d＝7(2a－3d)， ∴24d＝11a， ∴d＝， ∴最小的一份为a－2d＝20－＝. 13．设等差数列{an}的公差为d，若数列为递减数列，则(　　) A．d>0 B．d<0 C．a1d>0 D．a1d<0 答案　D 解析　由数列为递减数列，得， 再由指数函数的性质得a1an－1>a1an， 由等差数列{an}的公差为d知，an－an－1＝d， 所以a1an－1>a1an⇒a1an－a1an－1<0⇒a1(an－an－1)<0⇒a1d<0. 14．(5分)等差数列{an}，满足对任意n∈N＋都有＝，则＋＝________. 答案　1 解析　由等差数列的性质可得b3＋b9＝b4＋b8＝2b6，a7＋a5＝2a6， 所以＋＝＝＝＝1. 15．已知等差数列{an}递增且满足a1＋a10＝4，则a8的取值范围是(　　) A．(2，4) B．(－∞，2) C．(2，＋∞) D．(4，＋∞) 答案　C 解析　设公差为d，∵a1＋a10＝4，∴2a1＋9d＝4，∴a1＝2－d，∴a8＝a1＋7d＝2＋d，∵d>0，∴a8＝2＋d>2. 16．(13分)有一批电视机原销售价为每台800元，在甲、乙两家商场均有销售．甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，以此类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少20元，但每台最少不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售．某单位需购买一批此类电视机，则去哪一家商场购买花费较少？ 解　设某单位需购买电视机n台． 在甲商场购买时，所买电视机的单价构成等差数列{an}，an＝780＋(n－1)×(－20)＝－20n＋800， 由an＝－20n＋800≥440，得n≤18， 即购买台数不超过18台时，单价为(800－20n)元； 购买台数超过18台时，单价为440元． 在乙商场购买时，每台售价为800×75%＝600(元)． 比较在甲、乙两家商场购买此类电视机的费用 (800－20n)n－600n＝20n(10－n)． 当n＜10时，(800－20n)n＞600n，到乙商场购买花费较少； 当n＝10时，(800－20n)n＝600n，到甲、乙商场购买花费相同； 当10＜n≤18时，(800－20n)n＜600n，到甲商场购买花费较少； 当n＞18时，440n＜600n，到甲商场购买花费较少． 因此，当购买电视机台数少于10台时，到乙商场购买花费较少；当购买电视机10台时，到甲、乙商场购买花费相同；当购买电视机台数多于10台时，到甲商场购买花费较少． 学科网（北京）股份有限公司 $