第1章 再练一课(范围：§1.3)（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

**基本信息** 聚焦等比数列核心知识，从基本量运算到综合应用，逻辑递进，覆盖高频考点，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |等比数列基础|5题（1-3,10-11）|基本量计算、等比中项|从定义出发，通过通项公式、求和公式构建运算体系| |等差等比综合|4题（4-5,7-8）|性质比较、Sn与an关系|结合等差数列性质，深化数列间逻辑联系，发展推理能力| |数列求和与应用|4题（6,9,12-15）|裂项求和、实际问题|从数学模型到实际应用，体现应用意识，完善知识网络|

再练一课(范围：§1.3)　 [分值：100分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.等比数列{an}中，若a2=，a5=，则a8等于(　　) A.12 B.10 C.8 D.4 答案　D 解析　设等比数列{an}的公比为q， 则解得 所以a8=a1×q7=×27=4. 2.方程x2-5x+4=0的两根的等比中项是(　　) A.-2和2 B.1和4 C.2和4 D.2和1 答案　A 解析　由一元二次方程根与系数的关系可知方程x2-5x+4=0的两根之积为4， 又因为4=(±2)2，故方程x2-5x+4=0的两根的等比中项是±2. 3.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2=2，a5=16，则S10等于(　　) A.1 023 B.511 C.-1 023 D.-511 答案　A 解析　设{an}的公比为q，由题意可得q3==8，所以q=2， 由题意可得a1==1， 故S10===1 023. 4.已知等差数列{an}的公差d为正数，等比数列{bn}的公比为q，若a1=b1=1，a2=b2，a14=b4，则d+q等于(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 答案　B 解析　由a2=b2，a14=b4，得 ∵d>0，∴q>1，所以=13，∴q2+q-12=0，解得q=3，d=2，d+q=5. 5.已知数列{an}是公差不为零的等差数列，{bn}是等比数列，a1=b1>0，a4=b4>0，则下列说法正确的是(　　) A.a2+a3>b2+b3 B.a2+a3<b2+b3 C.a2+a3=b2+b3 D.a2+a3与b2+b3的大小不确定 答案　A 解析　∵数列{an}是公差不为零的等差数列，{bn}是等比数列，设公差、公比分别为d，q， ∴a2+a3=a1+a4=b1+b4=b1(1+q3) =b1(1+q)(1-q+q2)，b2+b3=b1q(1+q)， ∵数列{an}是公差不为零的等差数列，a1=b1>0，a4=b4>0，∴q>0，q≠1， ∵q2-q+1-q=q2-2q+1=(q-1)2>0， ∴a2+a3>b2+b3. 6.设数列{an}的通项公式为an=2n+1，数列的前m项和Tm=，则m的值为(　　) A.8 B.10 C.12 D.20 答案　A 解析　==-，Tm=+++…+=-， 则-=，得2m+1+1=513，解得m=8. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且2Sn=3an+m，则(　　) A.m=-1 B.{an}是等差数列 C.an= D.Sn= 答案　AD 解析　当n=1时，2S1=2a1=3a1+m，因为a1=1，所以m=-1，故A正确； 于是2Sn=3an-1，当n≥2时，2Sn-1=3an-1-1，所以2an=2Sn-2Sn-1=3an-1-(3an-1-1)=3an-3an-1，即an=3an-1，即=3， 所以数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，故an=3n-1，Sn=，故BC错误，D正确. 8.设Sn是公比为正数的等比数列{an}的前n项和，若a2=，a3a5=，则(　　) A.a1= B.S3= C.an+Sn为常数 D.{Sn-2}为等比数列 答案　CD 解析　设等比数列{an}的公比为q(q>0)，所以a3a5=a2qa2q3=q4=q4=，则q=，又因为a2=a1q=a1=，则a1=1，故A错误；an=a1qn-1=，Sn==2=2-，S3=2-=，故B错误；an+Sn=+2-=2，故C正确；Sn-2=2--2=-，因为==，故{Sn-2}为等比数列，故D正确. 9.《张丘建算经》是中国古代众多数学名著之一.书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何？”其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了9匹3丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”已知1匹=4丈，1丈=10尺，若这个月有30天，记该女子这个月中第n天所织布的尺数为an，bn=，则(　　) A.b10=8b5 B.数列{bn}是等比数列 C.a1b30=105 D.= 答案　BD 解析　由题意可知，数列{an}为等差数列，设数列{an}的公差为d，首项a1=5， 则30a1+=9×4×10+30=390， 解得d=，∴an=a1+(n-1)d=. ∵bn=，∴===2d， ∴数列{bn}是等比数列，B选项正确； ∵5d=5×=≠3，∴==25d≠23，A选项错误； a30=a1+29d=21，∴a1b30=5×221>105，C选项错误； a4=a1+3d=5+3×=， a5=a1+4d=5+4×=， ∴===，D选项正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.已知数列{an}为递增的等比数列，a1，a2是关于x的方程x2-3x+2=0的两个实数根，则其前5项和S5=　　　　.  答案　31 解析　由x2-3x+2=0，解得x=1或x=2， ∵数列{an}为递增的等比数列，a1，a2是关于x的方程x2-3x+2=0的两个实数根， ∴a1=1，a2=2，∴公比q=2， ∴其前5项和S5==31. 11.已知等比数列{an}的公比为q，且16a1，4a2，a3成等差数列，则q=　　　　　.  答案　4 解析　因为{an}为等比数列，且公比为q，所以a2=a1q，a3=a1q2且a1≠0，q≠0.因为16a1，4a2，a3成等差数列，所以16a1+a3=2×4a2，即16a1+a1q2=2×4a1q，整理得q2-8q+16=0，解得q=4. 12.已知数列{an}的首项为2，且满足an+1=，则=　　　　.  答案　3- 解析　由题知，==+，则-3=， 所以=，因为-3=-， 所以数列是以-为首项，为公比的等比数列， 所以-3=×=-， 则=3-. 四、解答题(共37分) 13.(12分)在等比数列{an}中， (1)已知a1=1，公比q=-2，求前8项和S8；(4分) (2)已知a1=-，a4=96，求前4项和S4；(4分) (3)已知公比q=，前5项和S5=，求a1，a5.(4分) 解　(1)S8=1×=-85. (2)由a4=a1q3，得96=-·q3，解得q=-4，所以S4=-×=. (3)由S5=a1×=，得a1=2，所以a5=a1q4=. 14.(12分) 在公差为2的等差数列{an}中，a1+1，a2+2，a3+4成等比数列. (1)求{an}的通项公式；(6分) (2)求数列{an-2n}的前n项和Sn.(6分) 解　(1)∵{an}的公差为d=2， ∴a2=a1+2，a3=a1+4. ∵a1+1，a2+2，a3+4成等比数列， ∴(a1+1)(a1+8)=， 解得a1=8， 从而an=8+2(n-1)=2n+6. (2)由(1)得an=2n+6， ∴an-2n=2n+6-2n， ∴Sn=(8+10+…+2n+6)-(2+22+…+2n) =- =n(n+7)-(2n+1-2) =n2+7n-2n+1+2. 15.(13分)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=-，且4Sn+1=3Sn-9. (1)求数列{an}的通项公式；(6分) (2)设数列{bn}满足3bn+(n-4)an=0，求{bn}的前n项和Tn.(7分) 解　(1)当n=1时，由4S2=3S1-9，得4(a1+a2)=3a1-9，则4a2=-9=-，解得a2=-， 当n≥2时，由4Sn+1=3Sn-9， ① 得4Sn=3Sn-1-9， ② ①-②得4an+1=3an， ∵a2=-≠0，∴an≠0，∴=， 又=，∴{an}是首项为-，公比为的等比数列， ∴an=-×=-3×. (2)由3bn+(n-4)an=0， 得bn=-an=(n-4)·， ∴Tn=-3×-2×-1×+0×+…+(n-4)·， Tn=-3×-2×-1×+…+(n-5)·+(n-4)·， 两式相减得Tn=-3×++++…+-(n-4)· =-+-(n-4)· =-+-4×-(n-4)· =-n·， ∴Tn=-4n·. 学科网（北京）股份有限公司 $