1.2.2直线的两点式方程（课后练习小卷）-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦直线两点式方程，分层设计从概念辨析到综合应用，梯度合理，适配新授课知识巩固与能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|两点式方程概念及辨析|单选1-3考查方程适用条件，培养抽象能力与几何直观| |中档应用|截距关系与简单应用|单选4-6、填空9-10训练截距运算，发展推理能力与运算能力| |综合拔高|面积最值与参数方程综合|解答13-15结合基本不等式求最值，体现模型观念与应用意识|

1.2.2 直线的两点式方程（课后练习小卷） 姓名：___________班级：___________ 一、单选题 1．下列说法正确的是（   ） A．过点的直线方程都可以表示为 B．若直线在轴，轴的截距分别为，则该直线方程为 C．方程表示过两点的一条直线 D．若直线经过第一、二、四象限，则点在第三象限 2．条件：“直线在轴上的截距是在轴上的截距的两倍”；条件“直线的斜率为”，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知直线的两点式方程为，则直线的倾斜角为（   ） A．150° B．120° C．60° D．30° 4．直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为 （    ） A． B． C．或 D．或 5．已知为坐标原点，过点的直线分别与轴的正半轴交于两点，则当的面积取得最小值时，直线的纵截距为（ ） A．4 B．7 C．8 D．14 6．已知为坐标原点，直线过点，且与轴负半轴交于点，与轴负半轴交于点，则面积的最小值为（   ） A．16 B．20 C．24 D．40 二、多选题 7．过点，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（   ） A． B． C． D． 8．下列说法正确的有（    ） A．不经过原点的直线都可以表示为 B．若直线与两坐标轴交点分别为、，且的中点为，则直线的方程为 C．过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程为或 D．直线的截距式方程为 三、填空题 9．过点且在两坐标轴上的截距之差为3的直线的截距式方程是______. 10．若经过点的直线在轴上的截距之比为，则与两坐标轴围成的三角形的面积为______． 11．已知直线过点． （1）若在两坐标轴上截距相等，则的方程为___________ （2）设与两坐标轴的正半轴交点分别为，则为坐标原点）面积的最小值为___________． 四、解答题 12．分别写出经过下列两点的直线的方程： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，； (5)，； (6)，. 13．一条直线经过点，并且分别满足下列条件，求直线方程： (1)倾斜角是直线的倾斜角的2倍； (2)与x、y轴的正半轴交于A、B两点，且的面积最小（O为坐标原点）． 14．已知直线经过点. (1)若直线在x轴和y轴上的截距互为相反数，求直线的方程（写成一般式）； (2)若直线与两坐标轴的正半轴能够围成三角形，求该三角形面积最小时直线的方程（写成斜截式）. 15．已知关于的方程表示一个直线系. (1)证明：直线过定点，并求出定点坐标； (2)若该直线系中的某条直线分别与轴的正半轴交于两点，求面积的最小值. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《1.2.2 直线的两点式方程（课后练习卷）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A C D B CD CD 1．C 【分析】根据直线的点斜式方程的含义判断A；根据直线的截距式方程的含义判断B；根据直线的两点式方程的含义判断C；直线经过第一、二、四象限，确定的符号，即可判断D. 【详解】对于A，过点的直线斜率不存在时，表示为， 当直线的斜率存在时，方程才可以表示为，A错误； 对于B，直线在轴，轴的截距分别为， 当均不为0时，则该直线方程才可写为，B错误； 对于C，当时，直线的两点式方程为， 则可化为， 当或时，直线方程为或，依然满足上式，C正确； 对于D，若直线经过第一、二、四象限，则， 则点在第二象限，D错误， 故选：C 2．B 【分析】分类判断充分性和必要性，即可得到结果. 【详解】记直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 若直线的斜率为， 当截距均为时，直线在轴上的截距是在轴上的截距的两倍， 当截距均不为时，设直线方程为，变形为， 得，，则能推出，必要性成立； 若，当截距都不为时，斜率为， 当截距均为时，直线斜率可以是任何实数，不一定是， 所以不能推出，充分性不成立. 所以是的必要不充分条件. 3．A 【分析】首先根据两点式方程判断直线过点和，再利用斜率的坐标公式计算出斜率的值，最后利用斜率的几何公式计算出直线的倾斜角. 【详解】解：设直线的倾斜角为，； 由直线的两点式方程：得：直线过点和； 直线的斜率：，所以； 又因为，所以； 故选：A. 4．C 【分析】分截距为零与不为零两种情况讨论，分别计算可得. 【详解】当截距都为零，则经过坐标原点，设直线方程为，则，所以直线方程为， 当截距都不为零，设直线方程为，则， 所以直线方程为，即. 综上直线方程为：或. 故选：C 5．D 【分析】设直线，根据已知有，再应用基本不等式求得，即可得面积最小值，确定等号成立条件即可得. 【详解】设直线，其中， 因为直线过点， 所以， 而，解得， 当且仅当，即时等号成立， 故，此时直线的纵截距为14. 6．B 【分析】设直线的方程为，代入点坐标，得到的方程，用表示出的面积，利用基本不等式即可求解. 【详解】如图： 依题意设直线的方程为（，），则，且，， 所以，即，当且仅当，时，等号成立， 所以的面积，则面积的最小值为20. 故选：B 7．CD 【分析】根据直线在坐标轴上的截距是否为零进行分类讨论，结合截距互为相反数求得正确答案. 【详解】若直线在坐标轴上的截距为0，设直线方程为， 又直线过点，所以，即， 所以直线方程为，即； 若直线在坐标轴上的截距不为0， 设直线方程为，又直线过点， 所以，解得，所以直线方程为，即． 综上可知，所求直线方程为或． 8．CD 【分析】A选项，截距式方程不能表示与坐标轴垂直的直线，即可判断；B选项，举反例利用截距式方程判断；C选项，分直线是否过原点两种情况求解即可判断；D选项，直接化为截距式方程判断． 【详解】对于A：平行于坐标轴且不经过原点的直线不能用截距式表示，故A错误； 对于B：当的中点为时，可得，此时直线l的方程为，故B错误； 对于C：当直线过点且过原点时符合题意，此时直线为； 当直线过点且不过原点时，则直线在轴上的截距均不为0，其方程可设为， 由题意可得，解得，此时直线为， 综上，直线方程为或，故C正确； 对于D：方程可化为，为直线的截距式方程，故D正确． 故选：CD. 9．或 【详解】由题可知，直线过点，所以直线在x轴上的截距为， 又直线在两坐标轴上的截距之差为3，所以直线在y轴上的截距为1或， 则所求直线方程为或. 10．4 【分析】根据给定条件，设出直线的截距式方程，进而求出该直线方程，再求出直线与坐标轴围成三角形面积. 【详解】依题意，直线不过原点，设的方程为， 由直线过点，得，解得，直线的方程为， 则在轴上的截距分别为4，2，所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4. 故答案为：4 11． 或． 4 【分析】先分两种情况讨论，当直线过原点，代入求出参数的值，当直线不过原点时，设出直线截距式，代点即可求解；利用三角形面积公式、基本不等式，求得面积的最小值． 【详解】当直线经过原点时，直线的斜率为，所以直线的方程为，即； 当直线不过原点时，设直线的方程为，代入点可得， 所以所求直线方程为，即． 综上可得，所求直线方程为：或． （2）依题意，设点，（，），直线的方程为， 又点在直线上，于是有， 利用基本不等式，即，当且仅当，时等号成立， ，即的面积的最小值为4． 故答案为：或；4. 12．(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）求出斜率，由点斜式得直线方程并化简； （2）求出斜率，由斜截式得直线方程； （3）由斜率不存在得直线方程； （4）由纵坐标相等直接得直线方程； （5）由截距式得直线方程并化简； （1）由截距式得直线方程并化简； 【详解】（1），直线方程为，即． （2），直线方程为． （3）直线方程为； （4）直线方程为； （5）直线方程为，即； （6）直线方程为，得． 13．(1) (2)． 【分析】（1）设所求直线倾斜角为θ，已知直线的倾斜角为α，利用可得所求直线斜率，从而可用点斜式得到直线方程. （2）设直线方程为，将点代入得，利用基本不等式得，从而得到面积的最小值及此时的直线方程. 【详解】（1）设所求直线倾斜角为θ，已知直线的倾斜角为α，则，且，， 从而所求直线方程为，即． （2）设直线方程为，，， 代入，得，得， 当且仅当即时等号成立，从而， 此时直线方程为，即． 14．(1)或； (2). 【分析】（1）按直线的截距为0及不为0分类，结合直线的截距式方程求解. （2）设出直线的截距式方程，结合均值不等式得到面积最小时参数满足的条件，从而得到直线的方程. 【详解】（1）当直线的截距为0时，该直线方程为； 当直线的截距不为0时，设该直线方程为：， 则，解得，因此直线方程为：. 所以直线的方程为或. （2）依题意，设直线方程为：，则， ，解得，当且仅当，即时取等号， 因此三角形面积，即当时，三角形面积取得最小值4，直线方程为， 所以所求直线方程为. 15．(1)依题意，直线的方程可化成，由，得， 所以直线过定点，且定点坐标为； (2)面积的最小值为12 【分析】（1）将直线的方程改写成的形式，解方程组，求出定点坐标后即可得证； （2）结合条件（1）中的定点，可将直线设为，求出两点的坐标并得到的关系式，表示出的面积，利用基本不等式即可求出面积的最小值. 【详解】（1）略 （2）依题意，直线分别与轴的正半轴交于两点，所以直线在两坐标轴上的截距均存在且为正， 故可设直线的方程为，则，； 由（1）知，直线过定点，所以； 因为，所以， 所以面积，当且仅当，即时取等号； 故面积的最小值为12. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $