第五章 二次函数 单元测试 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版九年级数学上册二次函数单元卷，通过选择、填空、解答题梯度设计，融合中条山隧道、喷泉等真实情境，考查函数性质、实际应用及综合建模，适配单元复习，培养抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|12题|二次函数图象性质、识别、实际应用（如隧道截面）|结合中条山隧道等真实情境，考查抽象能力| |填空题|8题|函数求值、取值范围、交点坐标、运动路径|投球高度等问题，体现模型意识| |解答题|5题|解析式求解、实际建模（喷泉、大棚）、几何综合（动点、平行四边形）|融合喷水、蔬菜大棚等生活场景，培养应用意识与推理能力|

第五章 二次函数 单元测试2026-2027学年北师大版 九年级数学上册 一、单选题 1．关于二次函数的图象和性质，下列说法中不正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是 C．当时，随的增大而减小 D．顶点是 2．下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间是二次函数关系的是（　　） A．铅笔的单价不变，总价y与支数x B．路程一定，列车运行的平均速度y与时间x C．正方体的表面积y与它的棱长x D．速度一定，列车的行驶路程y与行驶时间x 3．线段．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿线段运动至点B，以线段为边作正方形，线段长为半径作圆．设点的运动时间为t，正方形周长为y，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（    ） A．正比例函数关系，一次函数关系 B．一次函数关系，正比例函数关系 C．正比例函数关系，二次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系 4．已知是二次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．中条山隧道位于山西省运城市盐湖区，这一隧道的建设开创了全省普通公路特长隧道工程建设的先河，也是全国单洞里程最长的隧道工程．如图1是中条山隧道，其截面近似为抛物线型，如图2为截面示意图，线段表示水平的路面，以O为坐标原点所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．经测量，抛物线的顶点P到的距离为，则抛物线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 6．某市公园欲修建一个圆型喷泉池，在水池中垂直于地面安装一个柱子，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图所示），水平距离与水流喷出的高度之间的关系式为，则水流喷出的最大高度是（    ）    A． B． C． D． 7．为了解决药价虚高给老百姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品分两次降价．若设平均每次降价的百分率为x，该药品的原价是50元，降价后的价格是y元，则y与x之间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 8．如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点和，则使不等式成立的的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 9．根据下列表格的对应值，判断方程（，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（   ） 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 10．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．如图，抛物线的部分图像，对称轴为直线，则的值（    ） A．－3 B．－2 C．－1 D．0 12．已知二次函数为实数，点是该函数图象与轴的一个交点，若，则的取值范围是（     ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 13．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（米）与小球的运动时间（秒）之间的关系式是，运动2秒时，小球的高度是_______米． 14．二次函数，当时，y的取值范围为________． 15．已知的图象与轴的一个交点为，则另一个交点为______． 16．如图，在平面直角坐标系中，、、三点的坐标分别为，，点为线段上的一个动点，连接，过点作交y轴于点B，当点从运动到时，点随之运动，点经过的路径长是______． 17．已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，则m关于n的函数解析式为________． 18．请选择一组你喜欢的a，b，c的值，使二次函数的图象同时满足下列条件： ①开口向下； ②当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 这样的二次函数的解析式可以是______． 19．如图是搭建一座蔬菜大棚的横截面，其形状可以用抛物线表示，施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，点在抛物线上，若，则脚手架的高度为_________米． 20．若抛物线与直线交于A，B两点，则点A与点B之间的距离__________ 三、解答题 21．如图，已知经过原点的抛物线与轴交于另一点A(2，0)． （1）求的值和抛物线顶点的坐标； （2）求直线的解析式． 22．某幢建筑物，从米高的窗口用水管向外喷水（米），喷的水流呈抛物线（抛物线所在平面与墙面垂直），如图，如果抛物线的最高点离墙米，离地面米，求水流落地点到墙的距离． 23．如图，在中，，、的长为方程的两根，且．    (1)求的值． (2)动点从点出发，以每秒5个单位的速度，沿的路线向点B运动；动点从点出发，以每秒3个单位的速度，沿的路线向点运动，若点、同时出发，当其中有一点到达终点时整个运动随之结束．设运动时间为秒． ①在整个运动过程中，设的面积为，试求与之间的函数关系式； ②是否存在这样的，使得的面积为3？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 24．如图，二次函数（m是常数，且）的图象与轴交于A，B两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求A，B，C三点的坐标（用数字或含的式子表示），并求的度数； (2)若，点在抛物线上，且，求点的坐标． 25．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．    (1)直接写出抛物线的解析式； (2)点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点，如果，求点的坐标； (3)点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，如果以点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C C D D D D B D A D C 1．【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的顶点式 解析式的性质，分析开口方向、对称轴、增减性和顶点坐标． 【详解】解：二次函数为， ，开口向上， 故A选项正确； 二次函数为， 对称轴为 ， 故B选项正确； 二次函数为， ，对称轴为， 当时，随的增大而减小， 故C选项正确； 二次函数为的顶点坐标是， 故D选项错误． 故选：D． 2．【答案】C 【知识点】二次函数的识别 【分析】根据各选项的实际数量关系列出y与x的函数关系式，再结合二次函数的定义判断，二次函数定义为形如 (a，b，c为常数，且)的函数是二次函数． 【详解】解：对选项A，∵设铅笔单价为定值，可得，∴y是x的正比例函数(一次函数)，不是二次函数，故A不符合题意； 对选项B，∵设路程为定值，可得，即，∴y是x的反比例函数，不是二次函数，故B不符合题意； 对选项C，∵正方体棱长为x，表面积为y，正方体有6个大小相等的正方形面，每个面面积为，∴，符合二次函数定义，故C符合题意； 对选项D，∵设速度为定值，可得，∴y是x的正比例函数(一次函数)，不是二次函数，故D不符合题意． 3．【答案】C 【知识点】正比例函数的定义、列二次函数关系式、二次函数的识别 【分析】根据题意分别列出与，与的函数关系，进而进行判断即可． 【详解】解：依题意：AP=t，BP=5-t, 故y=4t，S=（5-t）2 故选择：C 【点睛】本题考查了列函数表达式，正比例函数与二次函数的识别，根据题意列出函数表达式是解题的关键． 4．【答案】D 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】根据二次函数二次项系数不为的要求，列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数不能为，是二次函数， ∴， 解得． 5．【答案】D 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】根据题意得出，，设抛物线的表达式为，把代入得，再把代入求出a的值，即可得出抛物线表达式．本题主要考查了求抛物线的表达式，解题的关键是掌握用待定系数法求函数表达式的方法和步骤，以及二次函数的顶点式． 【详解】解：∵，抛物线的顶点P到的距离为， ∴，， 设抛物线的表达式为， 把代入得：， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线表达式为， 故选：D． 6．【答案】D 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数)、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】将配方成顶点式求解即可． 【详解】 ∴当时，y取得最大值4， ∴水流喷出的最大高度是． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 7．【答案】D 【知识点】增长率问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用．根据题意，得出第一次降价后的价格为元，第二次降价后的价格为元，再根据两次降价后的价格为元，即可得出与的函数关系式． 【详解】解：∵该药品的原价是元，平均每次降价的百分率为， ∴第一次降价后的价格为元， ∴第二次降价后的价格为元， 又∵两次降价后的价格为元， ∴与的函数关系式为：． 故选：D． 8．【答案】B 【知识点】根据交点确定不等式的解集 【分析】利用数形结合的数学思想即可解决问题．本题考查二次函数与不等式（组，巧用数形结合的数学思想是解题的关键． 【详解】解：由函数图象可知， 当时，二次函数的图象在一次函数图象的下方， 即， ∴不等式的解集为：． 故选：B． 9．【答案】D 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，令（，a，b，c为常数），根据表格信息，进而可求解． 【详解】解：令（，a，b，c为常数）， 当时，， 当时，， 时，二次函数的函数值范围为， 即方程的一个解x的范围是， 故选：D． 10．【答案】A 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，根据二次函数与y轴交于y轴的正半轴得到，根据对称轴计算公式得到，即，则在x轴负半轴上；由二次函数顶点在第二象限，得到当时，，再由二次函数与x轴无交点，得到，则点在第四象限，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数与y轴交于y轴的正半轴， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， ∴在x轴负半轴上； ∵二次函数顶点在第二象限， ∴当时，， ∵二次函数与x轴无交点， ∴， ∴点在第四象限， ∴经过点和点的直线一定经过第二、三、四象限，不经过第一象限， 故选：A． 11．【答案】D 【知识点】根据二次函数的对称性求函数值、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，解题关键是掌握二次函数的性质． 根据二次函数关于对称轴对称，可以求出与轴另一个交点坐标，再将坐标代入解析式中即可求解． 【详解】解：设抛物线与轴交点的横坐标为，， 由图像得，， 对称轴为直线， ，． 抛物线经过点． ． 故选：D． 12．【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、利用不等式求自变量或函数值的范围 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，根据二次函数图象与x轴有交点，则求出或，由二次函数为实数，点是该函数图象与轴的一个交点，且，从而得到或或，最后计算即可得解． 【详解】解：二次函数为实数的图象与x轴有交点， ∴， ∴或， ∴或， ∵点是该函数图象与轴的一个交点，且，且二次函数的开口向下， ∴，解得； 或，解得； 或，解得； 综上，或． 故选：C． 13．【答案】40 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数求值．将代入函数解析式中进行计算求解． 【详解】解：，运动2秒时， （米）． 故答案为：40． 14．【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，先求出对称轴，然后确定和2哪个离对称轴较远，从而代入确定y的范围． 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴是直线，抛物线开口向上， ∴当时有最小值是7， ∵， 当时有最大值是， ∴当时，y的取值范围是， 故答案为：． 15．【答案】 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题考查了二次函数和x轴交点的问题．求出二次函数图象的对称轴为直线，即可求解． 【详解】解：∵， ∴二次函数图象的对称轴为直线， ∵的图象与轴的一个交点为， ∴的图象与轴的另一个交点为． 故答案为： 16．【答案】/4.5/ 【知识点】坐标与图形、列二次函数关系式、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，得出y与x之间的函数解析式是解题的关键． 延长交y轴于P点，则 轴．作，交的延长线与Q．证明，得出 ，设，则，设，代入整理得到，根据二次函数的性质以及，求出 y的最大与最小值，可得结论． 【详解】解：如图，延长交y轴于P点，则 轴．作，交的延长线与Q． 在和中， ， ， 设，则，设， ， ， 时，y有最大值4，此时 ． , y有最小值0，此时点B与点P重合， 综上所述，点B的运动路径的长为． 故答案为：． 17．【答案】 【知识点】列二次函数关系式 【分析】根据n个球队都要与除自己之外的球队个打一场，因此要打场，然而有重复一半的场次，即可求出函数关系式． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了函数关系式，理解题意是解题的关键． 18．【答案】（答案不唯一） 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】根据开口向下确定，根据二次函数的增减性确定对称轴为直线，选取满足条件的参数即可得到符合要求的解析式． 【详解】解：∵开口向下， ∴， ∵当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小， ∴对称轴为直线， ∴满足题意的二次函数的解析式可以是． 19．【答案】6 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用问题，设出点D的坐标并代入解析式是解题的关键．设，然后用m表示D点的坐标，将D点坐标代入抛物线解析式求出m，从而可得到的值． 【详解】解： ，矩形脚手架在大棚正中， 设，，则， D点坐标为， 将代入， 得， 解得或（舍）， ， 故答案为：6． 20．【答案】 【知识点】求x轴与抛物线的截线长 【分析】联立方程组得，确定,，计算即可． 【详解】根据题意，得， 解得， ∴, ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与直线交点间距离计算，熟练掌握解方程组是解题的关键． 21．【答案】（1），M (1，-2)；（2） 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】（1）将A(2，0)代入抛物线的解析式，可求得m的值，再配成顶点式即可求解； （2）利用待定系数法即可求得直线AM的解析式． 【详解】解  （1）∵抛物线过点A(2，0)， ，解得， ， , ∴顶点M的坐标是(1，-2)； （2）设直线AM的解析式为， ∵图象过A(2，0)，M (1，-2)， ，解得， ∴直线AM的解析式为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 22．【答案】水流落地点到墙的距离为米 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查二次函数的实际运用，理解题意，确定二次函数的顶点坐标，设抛物线的函数解析式为，运用待定系数法即可求解，掌握运用待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． 【详解】解：设抛物线的函数解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的函数解析式为， 令，得，， ∴， ∴水流落地点B到墙的距离OB为5米． 23．【答案】(1) (2)①；② 【知识点】用勾股定理解三角形、列二次函数关系式、因式分解法解一元二次方程、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）首先用因式分解的方法解出方程的两个根，根据题意得出，的长，再利用勾股定理求出的长； （2）①过点作，先证明出，利用相似三角形性质表示出、的长，根据即可表示出与之间的函数关系式；②根据题意得到方程，利用公式法求出方程根，根据实际取舍即可． 【详解】（1）解：， ， ，， 、的长为方程的两根，且， ，， ； （2）①如图，过点作，   ， ， ， ， ，， ， 解得：， ； ②使得的面积为3，则， 整理得：， 解得：，， ， 不符合题意舍去， ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的求解，相似三角形的判定与性质，勾股定理，列函数关系式，选取合适的方法求解方程是解答本题的关键． 24．【答案】(1)，，， (2)或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、角度问题(二次函数综合) 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是学会分类讨论． （1）令，解方程可得，两点坐标，令，可得点的坐标，证明，可得； （2）分两种情况，即点在轴上方或点在轴下方，利用等腰三角形的判定和性质即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 解方程，得，， 点在点的左侧，且， ，， 当时，， ， ， ， ； （2）解：当时，，，，， 当点在轴上方时，如图，过点作的垂线段交于点， ，，， ， 设， ， 解得， ； 当点在轴下方时，如图，过点作的垂线段交于点， ， 同理可得， 设， ，即 解得， ； 综上所述，的坐标为或． 25．【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、特殊四边形(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的解析式求解、二次函数与线段及特殊四边形的综合问题，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据抛物线与轴的交点，利用交点式即可求解； （2）求出直线的解析式，设点，则，表示出即可求解； （3）分类讨论为平行四边形的对角线时为平行四边形的对角线时为平行四边形的对角线，根据平行四边形的对角线互相平分即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的解析式为： （2）解：如图所示：    令，可得， ∴ 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设点，则 ∴ ∴ 解得： ∴点的坐标为或 （3）解：由两点可得抛物线的对称轴为：直线， 设 为平行四边形的对角线时： ， 解得：， ∴ 为平行四边形的对角线时： ， 解得：， ∴ 为平行四边形的对角线时： ， 解得：， ∴ 综上所述，点的坐标为 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $