第五章 二次函数 单元测试 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数单元核心知识，通过生活情境（如黄山毛峰销售额、商品利润）与几何问题（眼镜轮廓、拱桥抛物线），适配单元复习，培养抽象能力、模型意识与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|定义、图象平移、增长率模型|第4题结合绿茶销售考二次函数建模，体现应用意识| |填空题|6/24|对称轴、顶点式、不等式解集|第15题拱桥水位问题，融合几何直观与空间观念| |解答题|6/56|表达式求解、利润最值、函数综合|第20题商品销售利润分析，第22题函数图象综合，发展推理能力与创新意识|

第五章二次函数基础测试卷 一、选择题（每小题4分，共40分） 1.下列函数是二次函数的是 ( ) A. y=2x+1 B. C. D. 2.抛物线 与y轴的交点的坐标是 ( ) A. (0, -3) B. (0,3) C. (0, ) D. 3.在平面直角坐标系中，将抛物线y= 向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的表达式是 ( ) A. B. C. D. 4.黄山毛峰产于黄山一带，是安徽最具代表性的绿茶之一。新茶上市以来深受市场欢迎，某网上专卖店第一天的销售额为a（a>0）元，之后每天的销售额按相同的增长率增长，第三天的销售额为y元.设增长率为x，则y关于x的函数关系式为 ( ) A.y=a(1+2x) B. C. D. 5.关于抛物线 下列说法正确的是 ( ) A.开口向上 B.对称轴是直线x=-3 C.与y轴的交点坐标是(0，7） D.顶点坐标是(3,2） 6.抛物线 经过(-2,y₁），(0,y₂），(,);三点，则y₁，y₂，y₃的大小关系正确的是( ) A. y₁>y₂>y₃ B. y₂>y₃>y₁ C. y₃>y₁>y₂ D. 7.在同一坐标系内，一次函数y=kx+b与二次函数 的图象可能是 ( ) 8.已知二次函数 中部分x和y的值如表所示： x y 0.89 0.56 0.25 -0.04 则方程 的一个较大的根的范围是 ( ) A.-0.5<x<-0.4 B.-0.5<x<-0.6 C.2.4<x<2.5 D.2.5<x<2.6 9.图①是一副眼镜，其镜片下半部分轮廓线对应的两条抛物线关于y轴对称，如图②.AB∥x轴,AB=4cm,最低点C在x轴上,高CH=1cm,BD=2cm，则右轮廓线DFE 对应的抛物线的函数表达式为( ) A. B. C. D. 10.的图象如图所示，对称轴是直线x=-1,下列结论:①ab>0; 4ac;③a-b+2c<0;④8a+c<0;⑤若图象上有两点(-1.4,m),(-0.5,n),则有 m>n.其中正确的是 ( ) A.③④⑤ B.①②⑤ C.①②③④ D.①②④⑤ 二、填空题（每小题4分，共24分） 11.抛物线 的对称轴是y轴，则m的值为 . 12.抛物线y₁和抛物线 的形状和开口方向完全相同，且顶点坐标是(-3，-2)，则抛物线y₁的表达式为 . 13.如图，已知抛物线 与直线y= kx+m交于A(-3,-1),B(0,3)两点,则关于x的不等式 的解集是 . 14.已知二次函数 当-3≤x≤0时,y的取值范围是 . 15.如图所示的是一座拱桥的部分示意图，中间桥洞的边界线是抛物线形，涝季的最高水位线在AB处，此时桥洞中水面宽度AB仅为4米，桥洞顶部点O 到水面AB的距离仅为1米；旱季最低水位线在CD处，此时桥洞中水面宽度 CD为12米。那么最低水位CD与最高水位AB 之间的距离为 米。 16.如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB=90°,点A,B在抛物线 上,点 C 在y轴上,A,B两点的横坐标分别为1和b(b>1)，则b的值为 . 三、解答题(共56分) 17.(8分)已知二次函数 c的图象经过点(1,0),(2,-7). (1)求此二次函数的表达式. (2)写出此二次函数图象的对称轴和顶点坐标. 18.(8分)已知二次函数 2x+3. (1)将 化成 的形式，并写出图象的顶点坐标. (2)在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象. (3)当y<0时，直接写出自变量x的取值范围. 19.(8分)已知二次函数 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C，如图所示. (1)求点A,B,C的坐标. (2)求△ABC 的面积. 20.（10分）某商家正在热销一种商品，其成本为30元/件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少。商家决定当售价为60元/件时，改变销售策略，此时售价每增加1元/件需支付由此产生的额外费用150元。该商品销售量y（件）与售价x（元/件）满足如图所示的函数关系(40≤x≤70,且x为整数）。 (1)直接写出y与x的函数表达式并写出自变量x的取值范围。 (2)从改变销售策略开始，求当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少。 21.（10分）某公园人工湖上有一座拱桥，横截面呈抛物线形状，如图所示，现对此展开研究：跨度AB为4米，桥墩露出水面的高度AE为0.88米，在距点A水平距离为2米的地点，拱桥距离水面的高度为2.88米，建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y=a(x- (1)求抛物线的表达式. (2)公园欲开设游船项目，为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置航行警戒线，并且CE=DF，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为多少米? 22.（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与直线 交于A，B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为2.二次函数 综合运用 (1)点A 的坐标为 ,点B 的坐标为 . (2)求此抛物线所对应的函数表达式. (3)点P 是抛物线上一点，点P 与点 B 不重合，设点 P 的横坐标为m，过点 P作 轴,交直线AB 于点 C,设 PC的长为h. ①若点 P在直线AB的上方，求h关于m的函数表达式. ②若点P在x轴的上方，当h随m的增大而增大时，直接写出m的取值范围. 参考答案 1. B 选项A,y=2x+1,未知数的次数为1，不是二次函数，不符合题意. 选项B, 是二次函数，符合题意. 选项C 是分式，故 不是二次函数，不符合题意。 选项D, 不是二次函数，不符合题意.故选 B. 2. C 当x=0时, ∴抛物线 与y轴的交点的坐标为 故选C. 3. B 将抛物线 向上平移2个单位长度得到的抛物线的表达式是 再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的表达式是 故选B. 技巧归纳 抛物线的平移规律：上加下减常数项，左加右减自变量. 4. C根据第一天销售额为a(a>0)元，之后每天销售额按相同的增长率x增长，第三天的销售额为y元列出y关于x的函数关系式为 故选 C. 5. D ∵抛物线 ∴抛物线开口向下，故选项A错误，不符合题意； 对称轴为直线x=3，故选项B错误，不符合题意； 与y轴的交点坐标为(0，-7)，故选项C错误，不符合题意；顶点坐标为(3，2)，故选项D正确，符合题意.故选 D. 6. D∵抛物线的表达式为 ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，∴该抛物线上的点到对称轴的距离越小，其对应的函数值就越小，,∵1-(-2)=3,1-0=1 故选 D. 7. A由条件可知两个函数图象与y轴相交于同一点(0，b)，故B，D选项错误；由A，C选项图象可知，抛物线开口向上，∴k>0，∴一次函数中，y随着x的增大而增大，∴A 选项正确，C选项错误.故选 A. 8. C设方程的两个根为x₁,x₂(x₁<x₂),∵二次函数 2ax+c图象的对称轴为直线 由表可知，当x=-0.5时,y=0.25>0;当x=-0.4时,y=-0.04<0,∴-0.5<x₁<-0.4.∵方程 的两个根即为抛物线 2ax+c与x轴交点的横坐标，且抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称， 故选C. 9. C设左轮廓线ACB 对应的抛物线的函数表达式为 bx+c(a≠0),由题意知/A(-5,1),B(-1,1),C(-3,0), 解 左轮廓线ACB 对应的抛物线的函数表达式为 由左右两轮廓线对应的两条抛物线关于y轴对称，知右轮廓 线DFE 对应的抛物线的函数表达式为 故选C. 10. D ∵抛物线 的对称轴x=-1在y轴的左侧， 即a，b同号，∴ab>0，故①正确；由题图知抛物线与x轴有两个不同的交点， 故②正确;由题图知当x=-1时,y>0,∴a-b+c>0,又∵c>0,∴a-b+2c>0,故③错误;由题图知当x=2时,y<0,∴4a+2b+c< ,∴b=2a,∴4a+4a+c<0,即88a+c<0,故④正确;∵对称轴为直线：x=-1,|-1.4-(-1)|=0.4,|-0.5-(-1)|=0.5,∴点(-1.4,m)到对称轴的距离小于点(-0.5,n)到对称轴的距离,∴m>n,故⑤正确.综上,①②④⑤正确.故选 D. 11.答案 1 解析 ∵抛物线 的对称轴是y轴，∴m-1=0,解得m=1.故答案为1. 12.答案 解析 ∵抛物线y₁和抛物线 的形状和开口方向完全相同，∴y₁的二次项系数a=-1， 又∵抛物线y₁的顶点坐标为(-3,-2), 故答案为 13.答案 -3≤x≤0 解析 ∵ 抛物线 与直线y= kx+m 交于A(-3,-1),B(0,3)两点, ∴不等式 的解集是-3≤x≤0. 14.答案3≤y≤11 解析 ∴其图象的开口向上，对称轴为直线x=-2. ∴当x<-2时，y随着x的增大而减小，当x>-2时，y随着x的增大而增大， ∴当x=-2时，y取得最小值，最小值为3， 又∵当x=0时,y=11;当x=-3时,y=5,∴当-3≤x≤0 时,y的取值范围是3≤y≤11.故答案为3≤y≤11. 15.答案 8 解析 如图，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系， 设抛物线的函数表达式为 由题意可得B(2,-1), 将B(2,-1)代入 得 解得 ∴抛物线的表达式为 由题意知点D的横坐标为6，∴点D 的纵坐标为 ∴D(6,-9),∴OF=9,∴EF=OF-OE=9-1=8(米), ∴最低水位CD与最高水位AB 之间的距离为8米. 故答案为8. 16.答案 2 解析 如图,过A作AD⊥y轴于D,过B作BE⊥y轴于E, 在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,则AC=BC,∵A,B两点的横坐标分别为1 和b(b>1),∴AD=1,BE=b,∵点A，B在抛物线 上,∴A(1,1),B(b,b²),∵∠ACB=90°,∴ ∠ACD+∠BCE =90°,∵ ∠ACD+∠CAD =90°,∴∠BCE=∠CAD,∴△BEC≌△CDA(AAS),∴CE=AD=1,CD=BE=b,∴OE=OD+CD+CE=1+b+1=2+b, b，整理得 解得b=2或b=-1(舍去),∴b的值为2.故答案为2. 17.解析 (1)由条件可得 解得 即 故二次函数图象的对称轴为直线 顶点坐标为 18.解析 (1)将 化成顶点式为 则图象的顶点坐标是(-1，4). (2)列表如下： x ·· -3 -2 -1 0 1 y 0 3 4 3 0 描点、连线如图. (3)由图象知，,当y<0时,x<-3或x>1. 19.解析 (1)在 中， 当x=0时,y=-4, ∴C(0,-4), 当y=0时, 解得 ∵点A在点B的左边,∴A(-4,0),B(1,0). (2)如图,连接AC,BC. ∵A(-4,0),B(1,0),C(0,-4), ∴AB=1-(-4)=5,OC=4, 20.解析 详解:设线段AB 对应的函数表达式为y= kx+b(k≠0),把A(40,300),B(60,100)代入, 得解得 ∴线段AB对应的函数表达式为y=-10x+700(40≤x≤60),同理可得线段 BC 对应的函数表达式为y=5x-200(60≤x≤70). 综上所述， 且x为整数)，为整数). (2)当60<x≤70时,设销售利润为w元,则w=y·(x-30)-150(x-60)=(5x-200)(x-30)-150(x-60)=5x²- ∵二次函数图象开口向上，对称轴为x=50， ∴当60<x≤70时,w随x的增大而增大, ∴当售价为70元/件时，商家所获利润最大，最大利润是4 500元. 21.解析 (1)∵AB=4米,在距点A水平距离为2米的地点,拱桥距离水面的高度为2.88米， ∴抛物线的顶点坐标为(2,2.88), 则抛物线的表达式为 将A(0,0.88)代入得0.88=4a+2.88,解得 ∴ 抛物线的表达式为 (2)在 中,令y=2.16, 可得 解得x=3.2或x=0.8, 易知x=3.2不符合题意， ∴C 处距桥墩的距离CE 至少为0.8米. 22.解析 (1)对于 当x=2时, 故点B的坐标为(2,2), 当y=0时,得 解得x=-2,故点A的坐标为(-2,0).故答案为(-2,0);(2,2). (2)把(-2,0),(2,2)代入 得 解得 (3)①由题意知点P的坐标为 点C的坐标为 则 m<2). ②-2<m≤0或2<m<3. 详解：令 解得x=-2或3, 故抛物线和x轴的另外一个交点的坐标为(3，0)， 当点P在x轴的上方且在点B左侧时，易知 (-2<m<2), 此时抛物线h的对称轴为m=0， ∴m<0时，h随m的增大而增大， ∴-2<m≤0; 当点 P在x轴的上方且在点B的右侧时，易知m<3), 此时抛物线h的对称轴为m=0， ∴m>0时，h随m的增大而增大， ∴2<m<3. 综上,当h随m的增大而增大时,-2<m≤0或2<m<3. 学科网（北京）股份有限公司 $