第四章 投影与视图 单元测试 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版九年级数学上册第四章投影与视图单元卷，以文化传承（商代原始瓷尊）、生活实践（露营帐篷、置物架）和科技应用（液面监视器、汽车盲区）为情境，覆盖投影与视图核心知识，适配单元复习，培养空间观念与应用意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|12题|中心投影（第1题）、视图判断（第6题）、相似应用（第10题）|基础概念与空间想象结合，如第8题通过原始瓷尊三视图考查几何直观| |填空题|7题|三视图辨析（第13题）、投影计算（第14题）、规律探索（第18题）|联系生活场景，如第15题以凯歌楼影子考查平行投影| |解答题|5题|由三视图求体积（20题）、综合实践（22题投影与轴对称、24题置物架设计）|突出跨知识应用，如23题结合相似三角形解决汽车盲区问题，体现推理意识与应用能力|

第四章 投影与视图 单元测试2026-2027学年北师大版 九年级数学上册 一、单选题 1．夜晚，当你走近一盏路灯时，你发现自己的影子（    ） A．不变 B．由短变长 C．由长变短 D．无法判断 2．如图，从点观测建筑物的视角是（    ） A． B． C． D． 3．在一张桌子上放着几叠碗，如图．小红分别从上面、前面、左面观察所得到的图形，那么桌子上一共放着（    ）只碗 A．5 B．6 C．7 D．8 4．如图，数学实验小组在水平放置的木板中央竖直钉一枚钉子．从早晨到傍晚，钉子在阳光照射下，投在木板上的影子长度的变化情况是（    ） A．一直变短 B．短一长一短 C．一直变长 D．长一短一长 5．如图，一块含角的直角三角形木板，将它的直角顶点放置于直线上，点，点在直线上的正投影分别是点，点，若，，则在直线上的正投影的长是（    ） A． B． C． D． 6．三本相同的书本叠成如图所示的几何体，它的左视图是（     ） A． B． C． D． 7．下面两幅图是由5个小正方体搭成的几何体的主视图与俯视图，则搭成这个几何体的左视图为（    ） A． B． C． D． 8．如图，一件商代原始瓷尊，光亮晶莹，细腻坚硬，不仅掀开了3600多年前商王朝的神秘面纱，也以清脆的金石之声，拉开了我国瓷器发展的序幕，具有极高的历史价值、文化价值．关于原始瓷尊的三视图，下列说法正确的是（    ） A．主视图与左视图的图形相同 B．主视图与俯视图的图形相同 C．左视图与俯视图的图形相同 D．主视图、左视图、俯视图的图形都相同 9．如图的几何体是一个空心圆柱，以下给出这个几何体的两种视图正确的是（　　） A． B． C． D． 10．如图，一块三角板与投影面平行放置，测得，，边的中心投影长为，则边的中心投影的长为（    ）    A． B． C． D． 11．如图所示是一种液面微变监视器的基本原理图，光束发射器从点处始终以一定角度向被监视的液面发射一束细光，光束在液面的处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点，光电转换器将光信号转换为电信号并通过显示器显示出来．当液面上升至时，入射点就沿着入射光线的方向平移至处，反射光线也跟着向左平移至处，交于点，在处的法线交于点处的法线为．若，，则液面从上升至的高度为（    ） A． B． C． D． 12．如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的表面积为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 13．如图所示的是由4个相同的小正方体构成的一个组合体，该组合体的三视图中，完全相同的是_______视图和_________视图． 14．如图1是我们小时候常玩的手影游戏．在一次游戏中，小明的手距离墙壁3米，光源与小明手的距离为1米，如图2，在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，则小明的手与光源的距离应______（填“增加”或“减少”）______米． 15．凯歌楼是神木古城的标志性建筑，凯歌楼在太阳光下的影子属于______投影．（填“中心”或“平行”） 16．露营越来越受大众喜爱．如图是一个帐篷的示意图，其高，某时刻帐篷顶端E在阳光下的影子为点F，，交于点G，，在同一时刻，附近一根长为的标杆在地面的影长为，则为______． 17．如图是三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子，现测得，，这个三角尺的面积与它在墙上形成的影子的面积的比是________． 18．若干个正方体形状的积木摆成如图所示的塔形，平放于桌面上，上面正方体的下底四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点，最下面的正方体棱长为1． 如果塔形有2个正方体组成，则露在外面的面积是____________，如果露在外面的面积是超过8，则正方体的个数至少是____________个． 19．如图是某几何体的三视图，其俯视图由两个正方形组成，则该几何体的体积为_____． 三、解答题 20．如图，这是由两个长方体组合而成的一个立体图形的主视图和左视图，根据图中所标尺寸（单位：）解答下列问题． (1)直接写出上下两个长方体的长、宽、高分别是多少； (2)求这个立体图形的体积． 21．如图所示是一个直四棱柱及其主视图和俯视图（等腰梯形）． (1)根据图中所给数据，可得俯视图（等腰梯形）的高为______； (2)在虚线框内画出其左视图，并标出各边的长； (3)求这个几何体的侧面积． 22．综合与实践 主题：利用投影生成轴对称图形． 素材：一根5米长的木棍倾斜固定在半空，点A离地面高度为4米，点A，B之间的水平宽度为4米．如图（1），白天的某一时刻，阳光下（图中虚线为太阳光线）木棍在地面上投影为．如图（2），点B的正上方有一路灯P，夜晚在路灯P的照射下木棍在地面上的投影为． 【问题解决】 (1)如图（1），测得米，为验证木棍，投影线，投影线，影长组成的四边形是轴对称图形，请你帮助证明：． (2)如图（2），发现木棍，投影线，投影线，影长组成的四边形也是轴对称图形，请求出路灯P距地面的高度． 23．为进一步确保汽车安全性能，技术人员对汽车前视野盲区做了研究，研究时简化模型：如图2，线段为驾驶员，与地面垂直，车头近似看成矩形，驾驶员视线被车头遮挡形成视野盲区，发现视野盲区在地面上不是一条线段，而是一个区域（梯形）． 测量数据：驾驶员眼睛距地面的高度为，车头的高度为，宽度为，车头到点的水平距离为． 问题解决： (1)根据以上信息，参考立体图形，在图3上用无刻度直尺补全汽车主视图的视野盲区平面图形，并求出盲区长度（视野盲区的前沿到车头的水平距离为盲区长度）； (2)在问题1的基础上，在图4上补全汽车俯视图的视野盲区平面图形，并求出视野盲区的面积； (3)①若调高主驾驶座椅，使得驾驶员眼睛距地面的高度增大，其余条件不变，则前视野盲区的面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”）； ②若设计时增加整车宽度（包括车头），其余条件不变，则视野盲区面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”） 24．综合与实践 根据以下素材，完成任务． 某校为解决书籍收纳问题，学校计划为学生统一定制一款桌边置物架如图1．该置物架的结构与尺寸蕴含着丰富的数学知识，该校数学兴趣小组以此为背景开展探究活动． 【素材1】如图1所示的桌边置物架，上面是多层斜插板的置物板，用于放书和资料，最下面是独立储物空间，可以用来存放雨伞或水瓶等物品． 【素材2】为了让购买回来的桌边置物架更适配同学们的课桌尺寸，给教室留下更多的活动空间，经过数学兴趣小组研究，决定跟厂家定制高为，长为，宽为的桌边置物架（如图1）． 【素材3】如图2，相邻两层斜插板之间的距离都为，每层斜插板与水平线之间的夹角为． 任务1： (1)求最底层置物区开口的长； 任务2：如图3，小李将一本长为，宽为，厚度为的课本横放在书架上．其中，矩形为课本的横截面，线段为课本的宽． (2)每层斜插板之间最多能放几本这样的书？ (3)放书后整个书架占地面积为多少？ 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A C D C A B A D B B D 1．【答案】C 【知识点】中心投影 【分析】本题考查中心投影的有关知识，结合中心投影的概念及实际得出结论是解题的关键．根据中心投影的特点，距离点光源越近，影子越短即可解答． 【详解】解：∵根据中心投影的特点，距离点光源越近，影子越短，夜晚当人走近一盏路灯时，人与光源的距离变小， ∴影子会由长变短． 故选C． 2．【答案】A 【知识点】视点、视角和盲区 【分析】根据视角的定义，由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角，即可判断． 【详解】如图所示，根据视角的定义，建筑物两端发出的光线在眼球内交叉的角为， 故选：A． 【点睛】本题考查了视角的定义，解题的关键是熟悉并掌握视角的定义． 3．【答案】C 【知识点】由三视图，判断小立方体的个数 【分析】由从上面看到的形状可知一共有3叠碗，再由前面、左面看到的形状可知第一排有2叠碗，左面一叠3个，右面一叠2个；第二排有1叠碗靠左面2个，由此计算得出答案即可． 【详解】解：由上面看到的形状可知一共有3叠碗， 3+2+2=7（只） 所以桌子上一共放着7只碗． 故选：C． 【点睛】此题考查从不同方向观察几何体，注意看的位置与物体之间的联系． 4．【答案】D 【知识点】平行投影 【分析】本题考查了投影，根据题意可得投在木板上的影子长度的变化情况是从长变短再变长． 【详解】解：根据题意可得，钉子在阳光照射下，投在木板上的影子长度的变化情况是长一短一长， 故选：D． 5．【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形实际应用、正投影 【分析】根据角所对的直角边等于斜边的一半，可得，求出的长，再根据勾股定理可得的长；通过证明，再根据相似三角形的性质可得的长，进而得出的长． 【详解】解：在中，，， ，， 在中，， ，， ， ， ， ， ， 即在直线上的正投影的长是， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行投影，掌握相似三角形的判断与性质以及勾股定理是解答本题的关键． 6．【答案】A 【知识点】判断简单组合体的三视图 【详解】解：从左面看该几何体是竖直一列三个矩形，只有选项A符合． 7．【答案】B 【知识点】已知一种或两种视图，判断其他视图 【分析】本题考查了小立方块搭成的几何体的三视图，由主视图和俯视图可判断各个位置立方块的个数，再由左视图的定义即可求解；能由主视图和俯视图可判断各个位置立方块的个数是解题的关键． 【详解】解：由主视图和俯视图可得 ， 左视图为， 故选：B． 8．【答案】A 【知识点】判断简单几何体的三视图 【分析】本题考查从不同方向看几何体．根据从不同方向看到的图形解答即可． 【详解】解：这个几何体的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同． 故选：A． 9．【答案】D 【知识点】判断非实心几何体的三视图 【分析】利用正视图可排除A与C，利用俯视图可排B，符合要求便可知． 【详解】主视图是从前向后看，由于几何体是一个空心圆柱，看到两个实圆，即圆环，则A、C不正确，俯视图是从上向下看是长方形，空心圆柱有厚度，但看不到用虚线长方形画在实长方形的里边，则B不正确，D正确． 故选择：D． 【点睛】本题考查正视图与俯视图，立体图形的视图问题，掌握三视图的概念，会用视图选图是解题关键． 10．【答案】B 【知识点】相似三角形实际应用、求两个位似图形的相似比、中心投影 【分析】本题考查了位似变换、中心投影，中心投影得到的阴影与原图形是位似图形，两个位似图形的位似比等于它们的对应边的比，根据、，可得位似比为，因为，所以边的中心投影的长为． 【详解】解：三角板与阴影是位似图形， 它们的位似比为， ， 解得：． 故选： B． 11．【答案】B 【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的判定与性质求解、平行投影 【分析】本题考查了平行光线，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．先证明四边形是平行四边形，求得，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 12．【答案】D 【知识点】已知三视图求侧面积或表面积 【分析】本题考查了几何体的三视图，圆柱体的表面积，由三视图，其表面积外侧面积内侧面积上下底面积，据此计算即可求解，由三视图得出圆柱体的直径和高是解题的关键． 【详解】解：由三视图可知该几何体是空心圆柱体，底面外圆直径是，内圆直径是，高是， ∴空心圆柱体的表面积为， 故选：． 13．【答案】 主 左 【知识点】判断简单组合体的三视图 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图中左视图、主视图的定义解题即可． 【详解】解：主视图：从正面观察，有两层，底层两个小正方形，上层左边一个小正方形； 左视图：从左面观察，有两层，底层两个小正方形，上层左边一个小正方形； 俯视图：从上面观察，有两行，第一行两个小正方形，第二行左边一个小正方形． 故答案为：①主②左． 14．【答案】 增加 1 【知识点】相似三角形实际应用、中心投影 【分析】本题考查了中心投影、相似三角形的判定与性质，解题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题，根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可． 【详解】解：如图：点为光源，为小明的手，表示小狗手影，则，作，延长交于，则， ， ， ， ， ， ， 令，则， ∵在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，如图， 即， ，即， ， ∴光源与小明的距离应增加米， 故答案为：增加，1． 15．【答案】平行 【知识点】平行投影 【分析】本题考查投影，根据太阳光可视为平行光，得到影子是平行投影，作答即可. 【详解】解：太阳光由于光源距离远，光线近似平行，属于平行投影， 故凯歌楼在太阳光下的影子属于平行投影； 故答案为：平行 16．【答案】3 【知识点】相似三角形实际应用、平行投影、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的应用，平行投影．关键是掌握相似三角形的对应边成比例． 相似三角形的对应边成比例得到，求出，即可得到的长． 【详解】解：由题意得：， ， ， （m）． 故答案为：3． 17．【答案】 【知识点】相似三角形实际应用、中心投影 【分析】本题考查了相似三角形的应用，中心投影，根据题意可求出与的比，证明得到，再由三角尺与其在墙上形成的影子相似，结合相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 如图所示，由中心投影的性质可得， ∴， ∴， ∵三角尺与其在墙上形成的影子相似， ∴这个三角尺的面积与它在墙上形成的影子的面积的比是， 故答案为：． 18．【答案】 7 4 【知识点】图形类规律探索、求小立方块堆砌图形的表面积 【分析】本题考查了立体图形的表面积问题，解决本题的关键是得到上下所有正方体露在外面的上面面积之和为1，每增加一层相当于增加4个侧面． 若只有一层（即只有一个）时，每个面的面积是1，共露出5个面；若有两层，则第二层每个侧面的面积是，与一层相比，多了4个侧面；若有三层，则第三层的每个侧面的面积是，与两层相比，多了4个侧面；根据规律分别计算外露面积即可． 【详解】解：若只有一层（即只有一个）时，每个面的面积是1，共露出5个面，所以外露面积为：； 若有两层，则第二层每个侧面的面积是，与一层相比，多了4个侧面，所以外露面积为：； 若有三层，则第三层的每个侧面的面积是，与两层相比，多了4个侧面，所以外露面积为：； ∴塔形有2个正方体组成，则露在外面的面积是7；如果露在外面的面积是超过8，则正方体的个数至少是4个． 故答案为：7，4． 19．【答案】162 【知识点】由三视图还原几何体、已知三视图求体积 【分析】本题主要考查三视图还原几何体，根据几何体的三视图，得出该几何体是一个正方体里面挖了一个长方体，再根据图中数据求出它的体积即可． 【详解】由三视图可知，该几何体是一个正方体里面挖了一个长方体，如图： 则该几何体的体积为：． 故答案为：． 20．【答案】(1)上面的长方体长，宽，高，下面的长方体长，宽，高 (2)这个立体图形的体积 【知识点】由三视图还原几何体、已知三视图求体积 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图： （1）根据组合图形的主视图和左视图解答即可； （2）用上面长方体的体积加上下面长方体的体积，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：上面的长方体长，宽，高，下面的长方体长，宽，高； （2）解：此立体图形的体积是． 21．【答案】(1) (2) 解：左视图如下图所示： (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、画简单组合体的三视图、已知三视图求侧面积或表面积 【分析】本题主要考查了三视图、勾股定理，三视图是从几何体的正面、左面、上面观察到的几何体的平面图形． （1）过点作，根据等腰梯形的性质求出，利用勾股定理求出等腰梯形的高； （2）从左面看，左视图是矩形,宽等于（1）中梯形的高，高等于主视图中棱柱的高； （3）几何体的侧面是四个矩形，其中左侧和右侧的矩形的长是宽是，正面的矩形长是宽是，后面的矩形长是宽是，根据矩形的面积公式求出四个矩形的面积之和即为几何体的侧面积． 【详解】（1）解：如下图所示，过点作， 四边形是等腰梯形， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）解：， 这个几何体的侧面积是． 22．【答案】(1) 证明：如图所示，过点作交于点G， 由题意得， 又∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴米， ∵米， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)米 【知识点】平行投影、中心投影、根据成轴对称图形的特征进行求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）过点作交于点，证明四边形为平行四边形可得，即可证明； （2）过点作于点，于点，可知四边形是矩形，由题意可知，，三点在同一直线上，且，根据轴对称图形得到米，证明，进而求出，求出的长即可． 【详解】（1）略； （2）解：如图，过点作于点，于点，则四边形是矩形． 路灯在点正上方． ，，三点在同一直线上，且， 米，米， 米，（米）． 四边形是轴对称图形， （米）． ，， ， ， ， 米， （米）， 答：路灯距地面高度为米． 23．【答案】(1)如图所示： 盲区长度为； (2)如图所示 ； (3)①减小；②增大 【知识点】相似三角形实际应用、视点、视角和盲区 【分析】（1）根据题意补全汽车主视图的视野盲区平面图形，证明，根据相似三角形的性质列式计算即可求解； （2）根据题意补全汽车主视图的视野盲区平面图形，证明，根据相似三角形的性质列式计算即可求解； （3）结合（1）（2）求解即可． 【详解】（1）解：图略 ∵，， ∴， ∴，即，解得， ∴盲区长度为； （2）解：图略 作于，交于， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴（平方米）； （3）解：①∵，即， ∴， 当增大时，减小，则前视野盲区的面积会减小； ②∵，增加整车宽度即增大，则也增大，其余条件不变， ∴视野盲区面积会增大． 24．【答案】(1) (2)3本 (3) 【知识点】判断简单组合体的三视图、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】（1）直接解即可； （2）用相邻两层斜插板之间的距离除以书的厚度，即可得出结果； （3）过点作，交于点，过点作，分别解和，求出的长，进而求出的长，再利用分割法求出面积即可． 【详解】（1）解：由题意，， ∴； （2）解：∵相邻两层斜插板之间的距离都为，厚度为的课本， ∴， 故每层斜插板之间最多能放3本这样的书； （3）解：过点作，交于点，过点作，如图3，则， 由题意，， ∴， ∴， 在中，， ∴； 在中，，，， ∴， ∴， 放一本书后的俯视图如图： ∴放书后整个书架占地面积为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 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