第四章 投影与视图单元测试2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大版九年级上册第四章“投影与视图”单元卷，覆盖视图判断、投影计算等核心知识，以生活情境（如遮阳棚、标杆投影）和空间想象题为载体，适配单元复习，强化空间观念与几何直观。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|左视图、俯视图、中心对称图形视图|基础巩固，考查空间想象（如由俯视图判断主视图）| |填空题|5/20|中心投影面积比、平行投影影长计算|结合实际（如标杆投影、点光源成像），体现模型意识| |解答题|5/50|三视图作图、投影函数关系、几何体表面积|综合应用，如通过竹竿投影探究影长与高度关系，发展推理能力与应用意识|

暑季研思・九年级上册数学暑期培优专项讲义 第四章 投影与视图 单元测试 注意事项： 1．测试范围：北师大版（2024）九年级上册第四章。 2．考试时间：90分钟 试卷满分：100分。 第Ⅰ卷 选择题 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如图所示的几何体的左视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据从左侧看到的图形作答即可． 【详解】解：由图可知，左视图为： 2．如图所示的几何体，它的左视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据从左侧看到的图形进行作答即可． 【详解】解：左视图为： 3．如图是几个小正方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，则这个几何体的主视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 解：根据三视图的定义，可知这个几何体的主视图是． 4．下列几何体中，其主视图是中心对称图形的几何体有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：圆柱体的主视图为长方形，是中心对称图形， 正方体的主视图为正方形，是中心对称图形， 球体的主视图为圆，是中心对称图形， 圆锥体的主视图为等腰三角形，不是中心对称图形， 故其主视图是中心对称图形的几何体有3个． 5．下列几何体都是由棱长为1的小正方体组成，它们的主视图与其它三个不同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、B、C选项主视图均为 D选项主视图为 所以它们的主视图与其它三个不同的是选项D． 6．下列描述正确的是（    ） A．对角线垂直的四边形是菱形 B．匡衡“凿壁偷光”借灯光读书的影子是平行投影 C．若点C是线段的黄金分割点，，则 D．正三棱柱的俯视图为等边三角形 【答案】D 【分析】本题为概念辨析题，考查菱形判定、投影分类、黄金分割定义和几何体三视图的基础概念，逐一辨析选项即可得到结果． 【详解】解：∵对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，仅对角线垂直的任意四边形不一定是菱形，故A错误； ∵灯光属于点光源，点光源下的影子是中心投影，平行投影由平行光线形成，故B错误； ∵点C是线段的黄金分割点，题目未说明是较长线段，因此有两种情况，即或，故C错误； ∵正三棱柱上下底面为等边三角形，其俯视图为等边三角形，描述正确，故D正确， 综上，描述正确的是D． 7．小华同学画出了一个几何体的主视图和俯视图，则该几何体的左视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据主视图和俯视图判断几何体的形状，进而确定其左视图，用到了由三视图判断几何体的知识． 【详解】解：根据该几何体的主视图为长方形，俯视图为圆形可知， 该几何体可能是圆柱， ∴其左视图是长方形，选D． 8．下列命题中，为假命题的是（   ） A．矩形的四个角相等 B．线段的正投影是一条线段或一个点 C．正方形的对角线互相平分且垂直 D．菱形的对角线相等 【答案】D 【分析】此题主要考查了命题与定理，矩形、正方形、菱形的性质以及线段正投影的概念，需逐一分析各命题的真假性． 【详解】解：A、矩形的四个角都是直角，所以矩形的四个角相等，是真命题，故不符合题意； B、当线段与投影面垂直时，正投影是一个点，当线段与投影面不垂直时，正投影是一条线段，所以线段的正投影是一条线段或一个点，是真命题，故不符合题意； C、正方形是特殊的菱形，菱形的对角线互相平分且垂直，所以正方形的对角线互相平分且垂直，是真命题，故不符合题意； D、菱形的对角线平分且垂直，不一定相等，是假命题，故符合题意； 故选：D． 9．下图中，图2是图1长方体的三视图，若用S表示面积，则，，已知，a的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据俯视图和左视图的面积求得相应的边长，即可求解． 本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图与几何体的长、宽、高的关系，进而求得俯视图的长和宽是解答的关键． 【详解】解：设长方体的长为x，宽为y，高为m， 根据题意，得，，， 故，， 故， 解得， 解得或（舍去）， 故选：B． 10．由若干个（大于个）大小相同的正方体组成一个几何体，从正面和上面看到的形状图如图所示，则从左面看到的这个几何体的形状图不可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三视图的知识，熟练掌握三视图判断几何体是解题的关键． 根据从正面看和从上面看可以得出该几何体有三列两行三层，据此即可解答． 【详解】解：由主视图和俯视图知，该几何体有三列两行三层， 故B选项不可能是左视图,符合题意. 故选：B． 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 11．如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积________． 【答案】 【分析】本题先根据与投影平行，判定两个三角形相似，再由线段比例求出相似比，最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方，计算出的面积． 【详解】解：∵平行于投影面， ∴，且． ∵， ∴设，， 则， ∴， ∴，即相似比为． ∵相似三角形的面积比等于相似比的平方， ∴． ∵， ∴， 解得． 12．某店铺在窗户上方安装一个遮阳棚，如图所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚固定点A距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角为．在某一时刻，一位身高的顾客在太阳光下的影长，则此时遮阳棚在地面上的影长为______m． 【答案】() 【分析】作，作，可得四边形是矩形，进而得，再解直角三角形求出，然后求出，接下来说明，可求出，最后根据得出答案． 【详解】解：如图所示，过点B作于点N，作于点M， ∴四边形是矩形， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． 13．如图，乐乐将高为米的标杆竖立在地面上，某一时刻高为米的小树在太阳光下的投影为，此时标杆在太阳光下的投影为，米．已知，，点、、、在同一直线上，则投影的长为______米． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，灵活运用“同一时刻物高与影长成比例”的原理是解题的关键．根据平行光线照射下，垂直于地面的物体与其投影构成相似三角形，可得到，进而利用相似三角形对应边成比例的性质，求出小树的投影的长度． 【详解】解：，，点、、、在同一直线上， ， ， ， ， 即， ． 故答案为：． 14．如图，点光源射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，点光源到胶片的距离长为，长为，则胶片与屏幕的距离为_____． 【答案】10 【分析】证明，推出，构建方程求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．如图，设点O为投影中心，长度为2的线段平行于它在面H内的投影．已知点O到直线的距离为3，直线与距离为5，则的长___________________ ． 【答案】/ 【详解】根据中心投影的定义可知线段与其投影的比等于投影中心到线段和的距离之比，列比例式求解即可． 【分析】解：设点O到直线的距离为，点O到直线的距离为， ∵长度为2的线段平行于它在面H内的投影，点O到直线的距离为3，直线与距离为5， ∴，， ∵点O为投影中心， ∴，即， ∴． 三、解答题（本题共5小题，每小题10分，共50分） 16．阅读材料，解决问题． 通常，路灯、手电筒……的光线可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所形成的影子称为中心投影．某学习小组利用竹竿开展“投影”为主题的综合实践活动． 如图，在同一平面内，线段，表示两根垂直于水平地面的竹竿，它们在点光源下的影子分别为线段和，线段表示平行于地面并可移动的水平竹竿． (1)在所给的图形中，确定光源的位置，用点表示；画出水平竹竿在地面的影子，用线段表示． (2)在光源的照射范围内，移动竹竿，其影长的变化情况是：向左平移时的影长___________，向下平移时的影长___________．（填“变小”“变大”或“不变”） (3)已知竹竿的长度为2米，光源到地面的距离为5米．设与地面的距离为米，影长为米，求关于的函数关系式． 【答案】(1) 如图，点为光源的位置，为的影子； (2)不变，变小 (3) 【分析】本题考查了中心投影作图，相似三角形的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）分别连接，并延长交于点P，即可求出光源位置；分别连接，并延长，交地面于点M，N，即可得出影子； （2）根据光源和竹竿高度的变化情况进行判断即可； （3）过作直线，交直线于点，通过证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：在光源的照射范围内，移动竹竿， 向左平移时，光源和竹竿高度都没有发生变化，所以其影长不变； 向下平移时，光源高度没变，竹竿高度变低，竹竿到光源的距离变大，离光源越远，影长越短，所以其影长变小； 故答案为：不变，变小； （3）解：过作直线，交直线于点， 依题意，． ∵ ，且， ， ， ， ． 17．（1）由大小相同的小正方体搭成的几何体，请在方格中画出该几何体的三视图，并回答问题． 若在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和左视图都不变，那么最多可以再添加___________个小正方体． （2）楼房、旗杆在路灯下的影子如图所示．试确定路灯灯泡的位置，再作出小树在路灯下的影子．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）图见解析，4；（2）图见解析 【分析】本题考查了简单组合体的三视图、中心投影的性质，解题的关键是熟练掌握三视图的定义以及中心投影中“三点一线”的作图原理． （1）分别从正面、左面、上面观察几何体，数出每一列（或行）的小正方体个数，从而画出主视图、左视图、俯视图；要保持主视图和左视图不变，意味着在添加小正方体时，每一列的高度（对应主视图）和每一行的高度（对应左视图）都不能超过原来的高度．通过对比俯视图中每个位置的现有高度与允许的最大高度，计算出每个位置最多能添加的数量，最后求和． （2）确定路灯位置：根据中心投影的特点，连接物体的顶端和其影子的顶端，这两条连线的交点就是点光源（路灯灯泡）的位置，连接路灯灯泡的位置和小树的顶端，将这条线延长直到与地面相交，交点到树根的线段就是小树的影子． 【详解】解：（1）作图如下： 若在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和左视图都不变，那么最多可以再添加4个，如下图： 故答案为：4； （2）根据题意作图如下： ． 18．如图是由9个完全相同的小正方体搭成的一个几何体，已知小正方体的棱长为． (1)请画出从不同方向看该几何体得到的平面图形； (2)求该几何体的表面积． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题主要考查了几何体的三视图绘制和表面积计算，熟练掌握三视图的观察方法和几何体表面积的计算方法是解题的关键． （1）从正面、左面、上面三个方向观察几何体，分别数出每个方向能看到的小正方形数量和排列方式，画出对应的平面图形． （2）先算出单个小正方形的面积，再通过观察几何体各个方向露出的面的数量，计算出总面数，最后用单个面的面积乘以总面数得到几何体的表面积． 【详解】（1）解：如图， （2）解：单个小正方形面积， 总面数， 几何体表面积． 19．（1）下面图形分别是哪种几何体的表面展开图？请在横线上写出这些几何体的名称． 图1：___________，            图2：___________；            图3：___________ （2）一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 【答案】（1）三棱柱，圆锥，五棱柱 （2）如图： 【分析】本题考查了几何体的表面展开图以及画小立方块堆砌从不同方向看到的图形，关键是熟悉常见几何体的展开图特征，以及根据俯视图中数字确定各方向看到的图形的高度． （1）通过观察展开图的构成，结合常见几何体展开图的特征判断：图1由两个三角形底面和三个长方形侧面组成，对应三棱柱；图2由扇形侧面和圆形底面组成，对应圆锥；图3由两个五边形底面和五个长方形侧面组成，对应五棱柱． （2）观察从上面看到的几何体的形状图，想象立方块堆砌的情况即可． 【详解】（1）解：图1的展开图由两个三角形和三个长方形构成，符合三棱柱的展开图特征，故为三棱柱； 图2的展开图由扇形和圆构成，符合圆锥的展开图特征，故为圆锥； 图3的展开图由两个五边形和五个长方形构成，符合五棱柱的展开图特征，故为五棱柱； 故答案为：三棱柱，圆锥，五棱柱． （2）解：从正面看，该几何体有3列，第一列最大小立方块数为3，第二列为1，第三列为2，因此从正面看到的图形有3列，小正方形个数依次为3、1、2；从左面看，该几何体有2行，第一行最大小立方块数为3，第二行为3，因此从左面看到的图形有2列，小正方形个数依次为3、3；按此数量绘制图形． 20．一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，在上，，、、三点共线，.当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为， (1)的形状是______． (2)求落在地面上的投影的长．（精确到，，） 【答案】(1)等边三角形 (2) 【分析】（1）由图可推，等腰+可知是等边三角形； （2）由（1）可知是等边三角形，所以，又，所以，在中，根据可算出投影的长度． 【详解】（1）等边三角形．理由如下： ， ， 当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为， 即， 可得， ， 有一个角是的等腰三角形是等边三角形， 所以是等边三角形． （2）解：作于， 是等边三角形 ， ， ， 四边形是矩形， ， 在中， 落在地面上的投影的长为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・九年级上册数学暑期培优专项讲义 第四章 投影与视图 单元测试 注意事项： 1．测试范围：北师大版（2024）九年级上册第四章。 2．考试时间：90分钟 试卷满分：100分。 第Ⅰ卷 选择题 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如图所示的几何体的左视图是（     ） A． B． C． D． 2．如图所示的几何体，它的左视图是（     ） A． B． C． D． 3．如图是几个小正方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，则这个几何体的主视图是（     ） A． B． C． D． 4．下列几何体中，其主视图是中心对称图形的几何体有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．下列几何体都是由棱长为1的小正方体组成，它们的主视图与其它三个不同的是（   ） A． B． C． D． 6．下列描述正确的是（    ） A．对角线垂直的四边形是菱形 B．匡衡“凿壁偷光”借灯光读书的影子是平行投影 C．若点C是线段的黄金分割点，，则 D．正三棱柱的俯视图为等边三角形 7．小华同学画出了一个几何体的主视图和俯视图，则该几何体的左视图为（   ） A． B． C． D． 8．下列命题中，为假命题的是（   ） A．矩形的四个角相等 B．线段的正投影是一条线段或一个点 C．正方形的对角线互相平分且垂直 D．菱形的对角线相等 9．下图中，图2是图1长方体的三视图，若用S表示面积，则，，已知，a的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．由若干个（大于个）大小相同的正方体组成一个几何体，从正面和上面看到的形状图如图所示，则从左面看到的这个几何体的形状图不可能是（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 11．如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积________． 12．某店铺在窗户上方安装一个遮阳棚，如图所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚固定点A距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角为．在某一时刻，一位身高的顾客在太阳光下的影长，则此时遮阳棚在地面上的影长为______m． 13．如图，乐乐将高为米的标杆竖立在地面上，某一时刻高为米的小树在太阳光下的投影为，此时标杆在太阳光下的投影为，米．已知，，点、、、在同一直线上，则投影的长为______米． 14．如图，点光源射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，点光源到胶片的距离长为，长为，则胶片与屏幕的距离为_____． 15．如图，设点O为投影中心，长度为2的线段平行于它在面H内的投影．已知点O到直线的距离为3，直线与距离为5，则的长___________________ ． 三、解答题（本题共5小题，每小题10分，共50分） 16．阅读材料，解决问题． 通常，路灯、手电筒……的光线可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所形成的影子称为中心投影．某学习小组利用竹竿开展“投影”为主题的综合实践活动． 如图，在同一平面内，线段，表示两根垂直于水平地面的竹竿，它们在点光源下的影子分别为线段和，线段表示平行于地面并可移动的水平竹竿． (1)在所给的图形中，确定光源的位置，用点表示；画出水平竹竿在地面的影子，用线段表示． (2)在光源的照射范围内，移动竹竿，其影长的变化情况是：向左平移时的影长___________，向下平移时的影长___________．（填“变小”“变大”或“不变”） (3)已知竹竿的长度为2米，光源到地面的距离为5米．设与地面的距离为米，影长为米，求关于的函数关系式． 17．（1）由大小相同的小正方体搭成的几何体，请在方格中画出该几何体的三视图，并回答问题． 若在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和左视图都不变，那么最多可以再添加___________个小正方体． （2）楼房、旗杆在路灯下的影子如图所示．试确定路灯灯泡的位置，再作出小树在路灯下的影子．（不写作法，保留作图痕迹） 18．如图是由9个完全相同的小正方体搭成的一个几何体，已知小正方体的棱长为． (1)请画出从不同方向看该几何体得到的平面图形； (2)求该几何体的表面积． 19．（1）下面图形分别是哪种几何体的表面展开图？请在横线上写出这些几何体的名称． 图1：___________，            图2：___________；            图3：___________ （2）一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 20．一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，在上，，、、三点共线，.当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为， (1)的形状是______． (2)求落在地面上的投影的长．（精确到，，） 1 / 1 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