专题5.2 函数的表示方法（高效培优讲义）高一数学苏教版必修第一册

本讲义聚焦高中数学函数的表示方法，系统梳理解析法、列表法、图象法的特点及选用，深入探究分段函数的本质与应用，同步整合求函数解析式的多种方法，构建函数表示的完整知识支架。 资料以“龟兔赛跑”“电动车电费”等现实情境为载体，通过典例与变式训练，培养数学抽象、直观想象和逻辑推理素养。课中辅助教师分层教学，课后练习题助力学生巩固知识，有效查漏补缺。

专题5.2 函数的表示方法 教学目标 1.掌握解析法、列表法、图象法这三种函数的表示方法，明晰三种表示方法各自的优缺点，能够辨析不同表示形式的特点。 2.结合现实问题情境，能够根据实际需求灵活选择恰当的方式来表示函数，提升数学建模能力。 3.通过实例探究，认识分段函数的含义，理解分段函数 “一个函数，多段解析式” 的本质，能够完成分段函数的简单求值与应用。 4.熟练掌握求函数解析式的常用方法，能够根据条件求解出函数解析式。 5.在函数多种表示形式的转化、分段函数探究、解析式求解的过程中，发展学生数学抽象、直观想象、数学运算以及逻辑推理的核心素养 教学重难点 1.重点 函数解析式的求解；函数三种表示方法的辨析与选用；分段函数的基础应用 2.难点 深度理解分段函数的概念内涵，掌握分段函数图象绘制与求值运算 知识点一、函数的三种表示方法 1.函数的表示方法 函数的表示法 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 2.函数的三种表示方法的优点： ①解析法的优点：概括了变量间的关系，利用解析式可求任一函数值． ②图象法的优点：直观形象地表示出函数值随自变量的变化趋势，有利于通过图象来研究函数的性质． ③列表法的优点：不需计算便可以直接看出自变量对应的函数值 3.函数解析式的求法 （1）代入法，直接法：适用于①由求复合函数，②由、、、等求. 注意：由分段函数求复合函数时，首先需要根据中对的分段，替换为对的分段． （2）配凑法，整体替换法：适用于、、等类型． （3）换元法：如，等类型． （4）待定系数法：已知函数类型，就要设出该函数表达式，如是一次函数，则可设；然后，①利用条件由对应项的系数相等完成； ②或利用条件得方程（组），然后解方程（组）即可． （5）解方程组法给出的方程同时含： ①与，或与； ②一奇一偶函数与； ③与，或与； 方法：将原方程中的变量进行变量替换得新方程，联立原方程解方程组 注意：列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示． 【即学即练】 1．一个矩形的周长是10，则矩形的长关于宽的函数解析式为（  ）（默认） A． B． C． D． 2.根据表中数据，可得__________. 1 2 3 4 2 3 4 1 4 1 2 3 3.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉.当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点.用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是________.    知识点二、分段函数 1．分段函数就是在函数定义域内，对于自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． 2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． 注意：(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数． （2）分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如，其“段”是不等长的． （3）分段函数的图象要分段来画 【即学即练】 1．已知函数的解析式为 (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)求的值 (3)解不等式 题型01 解析法、图像法、列表法表示函数 【典例1】若函数的解析式满足下表，则（    ） 0 1 2 3 -3 3 1 2 A．-3 B．1 C．2 D．3 【典例2】如图，点在边长为1的正方形的边上运动，是的中点，当沿运动时，设点经过的路程为，的面积为，则函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【典例3】设二次函数满足，且其图象在轴上的截距为1，在轴上截得的线段长为，则的解析式为______. 解析法 适用场景：自变量多、变化连续，方便计算函数值。解题技巧：①写解析式后必须紧跟定义域，缺少定义域解析式不能完整代表函数；②实际问题，自变量范围要符合现实意义，例如购买物品数量只能取正整数。 列表法 适用场景：自变量个数有限、已知几组对应数值。解题技巧：①从表格求值：直接找横坐标对应行，读取函数值；②嵌套求值(f(f(x)))：由内向外算，先算出内层函数结果，再把该结果当作新自变量查表求值。 图象法 适用场景：需要直观观察函数变化趋势。解题技巧：①判断图像是不是函数图象：竖线检验法，画垂直于x轴的直线，直线和图像最多只能有1个交点，才是函数；②作图关键点：看清定义域区间，区间端点能取到画实心点，取不到画空心圈 【变式1】（多选）已知函数，分别由下表给出，若，则a的值可以是（    ） 1 2 3 4 2 3 1 2 3 4 1 4 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】为推进城市绿色出行，某市公交公司逐步将传统燃油公交车更换为新能源电动公交车、已知该公司更换的每辆新能源电动车每天固定损耗（如空调、照明、电池自耗等）为10千瓦时，行驶耗电为每公里0.8千瓦时，电价为0.6元/千瓦时，若某新能源电动车一天行驶（）公里，则每公里的平均电费为___________元（用含的式子表示） 【变式3】如图，某容器由两个高为的相同圆锥（去掉底面）构成，现将该容器竖直放置，且装满水，当容器底部的排水孔打开时开始计时，假设水从孔中匀速流出，记时刻时水面的高度为，则关于的函数图象大致为（   ） A．B．C． D． 【变式4】已知函数由下表给出 0 1 2 3 4 其中的值等于、、、和中所出现的次数，则______． 题型02 利用待定系数法求已知函数类型求解析式 【典例1】若一次函数满足，求的函数解析式. 待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式 【变式1】（多选）已知一次函数满足，则的解析式可能是（　　） A． B． C． D． 【变式2】设是二次函数，且，则_____. 【变式3】已知一次函数，满足，； (1)求的解析式； (2)求的解析式. 题型03 配凑法、换元法求解析式 【典例1】已知，求函数的解析式； 换元法：已知函数的解析式求的解析式，可用换元法，即令，反解出，然后代入中求出，从而求出 【变式1】已知函数，若，则实数a的值为（ ） A．5 B．10 C．11 D．2 【变式2】已知，求的解析式. 【变式3】已知，求的解析式 题型04 方程组法求函数解析式 【典例1】已知函数对任意的都有，则________． 【典例2】已知函数的定义域为，且，则（    ） A． B． C． D． 解方程组法：已知关于与或的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出 【变式1】已知函数满足，则函数的解析式为_______ 【变式2】若，满足，且，则_______． 【变式3】已知且，求函数的解析式． 题型05 求抽象函数的解析式 【典例1】设是定义在R上的函数，且满足，并且，都有，则________. 抽象函数的解析式 1.观察条件，找出题目已经给出的函数值，如\(f(0)\)； 2.选择恰当数值，代入抽象恒等式； 3.化简等式，得到f(单一变量) 的表达式； 4.字母等价替换，整理出\(f(x)\)解析式 【变式1】若函数满足：对任意实数x，y都有成立.写出函数的一个解析式__________. 【变式2】已知定义在上的函数 满足：① ； ②对 ，则 _____. 【变式3】已知函数，对，都有恒成立，且．求的解析式； 题型06 求分段函数的解析式或者值 【典例1】已知函数，则（    ） A． B．2 C．3 D． 分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决． 1.由实际问题决定的分段函数，要写出它的解析式，就是根据实际问题需要分成几类，就分成几段，求解析式时，先分段分别求出它的解析式，在综合在一起即可． 2.注意分段函数的解析式，最后要把各段综合在一起写成一个函数，分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数 【变式1】已知，则（　　） A．3 B．13 C．8 D．18 【变式2】已知，则． A． B． C． D． 【变式3】给定函数，用表示中的较小者，记为，例如，当时，，则用解析法可表示为__________． 题型07 已知分段函数的值求参数或自变量 【典例1】设函数，若，则______． 1.已知函数值，求自变量 ①分段讨论：自变量x落在不同区间，对应不同解析式； ②令每一段解析式等于给出的函数值，解方程； ③检验根：解出来的x必须落在本段对应的区间范围内，不在区间内的根要舍去。 2.已知函数值，求参数 ①判断参数所在区间，确定选用哪一段解析式； ②将自变量与函数值代入对应解析式，解方程求出参数； ③回代检验，验证参数是否满足本段区间条件 【变式1】已知，若，则实数a的值为________． 【变式2】已知，若，则________. 【变式3】已知函数，若，则实数a的值为__________． 题型08 分段函数与不等式 【典例1】已知函数若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 分段函数不等式求解集，要先分段讨论求得各分段的解集，最后将各种情况得出的结果求并集 【变式1】已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】设函数则________；若正实数满足，则的一个取值为________． 【变式4】已知函数. (1)求的值； (2)若，求的值； (3)解不等式. 1．已知一次增函数满足，则（    ） A．-1或3 B．-3或-1 C．3 D．-1 2.已知函数若，则（   ） A．或1 B．或0 C．或0 D．或 3．（多选）已知函数，分别由下表给出： 则（   ） A．的值为 B．函数的值域为 C．方程的解集为 D．满足的的值是 4.已知分段函数，，则实数________． 5．求下列函数解析式： (1)函数满足； (2)函数对任意的都有 ； (3)函数是一次函数且满足 . 6．已知函数，满足. (1)求实数的值； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围. 7．定义运算，函数. (1)写出的解析式； (2)在坐标系中画出的图象； (3)若时恒成立，求实数的取值范围. 8.已知函数． (1)求； (2)求函数的解析式； (3)若，求实数的值． 1．若函数，满足，且，则（   ） A． B．6 C．7 D． 2．设函数若，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3.（多选）狄利克雷函数是一个经典的函数，其解析式为，则（    ） A．定义域为R B． C．， D．不等式的解集为 4.（多选）甲、乙两人沿同一方向从A地去B地，途中都使用两种不同的速度 .甲一半路程使用的是，另一半路程使用的是；乙一半时间使用的是，另一半时间使用的是.则关于甲、乙两人从A地去B地的路程s和时间t的函数图象表示准确的是（    ） A．  B．  C．D．   5.函数 _____ _____ 6．给定函数，用表示中的较小者，记为，例如，当时，，则用解析法可表示为__________． 7．杨振宁是享誉世界的物理学家，为中国科学教育事业发展做出了卓越的贡献．在杨振宁先生的研究中，“杨—巴克斯方程”描述了一种“交换结合”性质，某些操作改变顺序后不变．可以用函数模拟这个过程，给定一个函数和一种运算“”，定义，若满足，称函数具有“交换结合”性质，写出一个具有“交换结合”性质的函数________． 8．高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数称为高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，如，． (1)求不等式的解集； (2)若，，，求m的取值范围； (3)若的解集为，求a的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.2 函数的表示方法 教学目标 1.掌握解析法、列表法、图象法这三种函数的表示方法，明晰三种表示方法各自的优缺点，能够辨析不同表示形式的特点。 2.结合现实问题情境，能够根据实际需求灵活选择恰当的方式来表示函数，提升数学建模能力。 3.通过实例探究，认识分段函数的含义，理解分段函数 “一个函数，多段解析式” 的本质，能够完成分段函数的简单求值与应用。 4.熟练掌握求函数解析式的常用方法，能够根据条件求解出函数解析式。 5.在函数多种表示形式的转化、分段函数探究、解析式求解的过程中，发展学生数学抽象、直观想象、数学运算以及逻辑推理的核心素养 教学重难点 1.重点 函数解析式的求解；函数三种表示方法的辨析与选用；分段函数的基础应用 2.难点 深度理解分段函数的概念内涵，掌握分段函数图象绘制与求值运算 知识点一、函数的三种表示方法 1.函数的表示方法 函数的表示法 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 2.函数的三种表示方法的优点： ①解析法的优点：概括了变量间的关系，利用解析式可求任一函数值． ②图象法的优点：直观形象地表示出函数值随自变量的变化趋势，有利于通过图象来研究函数的性质． ③列表法的优点：不需计算便可以直接看出自变量对应的函数值 3.函数解析式的求法 （1）代入法，直接法：适用于①由求复合函数，②由、、、等求. 注意：由分段函数求复合函数时，首先需要根据中对的分段，替换为对的分段． （2）配凑法，整体替换法：适用于、、等类型． （3）换元法：如，等类型． （4）待定系数法：已知函数类型，就要设出该函数表达式，如是一次函数，则可设；然后，①利用条件由对应项的系数相等完成； ②或利用条件得方程（组），然后解方程（组）即可． （5）解方程组法给出的方程同时含： ①与，或与； ②一奇一偶函数与； ③与，或与； 方法：将原方程中的变量进行变量替换得新方程，联立原方程解方程组 注意：列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示． 【即学即练】 1．一个矩形的周长是10，则矩形的长关于宽的函数解析式为（  ）（默认） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的周长可列出之间的关系式，求出x的范围，即得答案. 【详解】由题意可得，则， 其中，则，则， 故矩形的长关于宽的函数解析式为. 故选：A 2.根据表中数据，可得__________. 1 2 3 4 2 3 4 1 4 1 2 3 【答案】3 【分析】通过表格找到对应的的值，进而可以找到的值. 【详解】由题意得，则， 故答案为：3. 3.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉.当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点.用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是________.    【答案】④ 【详解】由题意可知，对乌龟而言，从起点到终点都没有停歇，其路程不断增加； 对兔子而言，开始跑得快，所以路程增加得快，中间睡觉路程保持不变，醒来时追赶乌龟路程增加，但晚于乌龟到达终点，故符合题意的是④. 知识点二、分段函数 1．分段函数就是在函数定义域内，对于自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． 2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． 注意：(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数． （2）分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如，其“段”是不等长的． （3）分段函数的图象要分段来画 【即学即练】 1．已知函数的解析式为 (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)求的值 (3)解不等式 【答案】(1)，最大值为4 (2) (3)或 【分析】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象，并根据图象求最值； （2）由分段函数各段定义域所对应的解析式，依次代入数值即可求解； （3）分别在各段解析式内解，并将结果取并集即可. 【详解】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象， 当时，取得最大值4． （2），，， 即. （3）当时，，所以恒成立， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上可知，或， 所以不等式的解集为或. 题型01 解析法、图像法、列表法表示函数 【典例1】若函数的解析式满足下表，则（    ） 0 1 2 3 -3 3 1 2 A．-3 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据对应法则找到对应的值即可. 【详解】由表可知：， 故选：C. 【典例2】如图，点在边长为1的正方形的边上运动，是的中点，当沿运动时，设点经过的路程为，的面积为，则函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分点在上时，点在上时，点在上时求得函数，再利用函数的性质来判断. 【详解】当点在上时，即，. 当点在上时，即，. 当点在上时，即，. 因此 由函数可知，有三段直线，又当点在上时是减函数，故A选项符合. 【典例3】设二次函数满足，且其图象在轴上的截距为1，在轴上截得的线段长为，则的解析式为______. 【答案】 【分析】根据题意设二次函数的解析式，由得，由得以及，即可得出解析式. 【详解】设. 由， 得得①. 设的根为， 则， 所以②， 又由已知得③， 由①②③解得， 所以. 解析法 适用场景：自变量多、变化连续，方便计算函数值。解题技巧：①写解析式后必须紧跟定义域，缺少定义域解析式不能完整代表函数；②实际问题，自变量范围要符合现实意义，例如购买物品数量只能取正整数。 列表法 适用场景：自变量个数有限、已知几组对应数值。解题技巧：①从表格求值：直接找横坐标对应行，读取函数值；②嵌套求值(f(f(x)))：由内向外算，先算出内层函数结果，再把该结果当作新自变量查表求值。 图象法 适用场景：需要直观观察函数变化趋势。解题技巧：①判断图像是不是函数图象：竖线检验法，画垂直于x轴的直线，直线和图像最多只能有1个交点，才是函数；②作图关键点：看清定义域区间，区间端点能取到画实心点，取不到画空心圈 【变式1】（多选）已知函数，分别由下表给出，若，则a的值可以是（    ） 1 2 3 4 2 3 1 2 3 4 1 4 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BCD 【分析】按复合函数的定义列出所有取值即可 【详解】因为，，，． 故选:BCD 【变式2】为推进城市绿色出行，某市公交公司逐步将传统燃油公交车更换为新能源电动公交车、已知该公司更换的每辆新能源电动车每天固定损耗（如空调、照明、电池自耗等）为10千瓦时，行驶耗电为每公里0.8千瓦时，电价为0.6元/千瓦时，若某新能源电动车一天行驶（）公里，则每公里的平均电费为___________元（用含的式子表示） 【答案】 【分析】求出总电费，再除以公里数即可. 【详解】由题意得总电费为， 则每公里的平均电费为. 故答案为：. 【变式3】如图，某容器由两个高为的相同圆锥（去掉底面）构成，现将该容器竖直放置，且装满水，当容器底部的排水孔打开时开始计时，假设水从孔中匀速流出，记时刻时水面的高度为，则关于的函数图象大致为（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】根据下降的快慢，判断选项. 【详解】因为水的流速一样，所以相同时间内流出水的体积一样， 因为容器的特征是上下细，中间粗，使得关于的变化是:下降由快到慢，再变快，只有C选项符合. 故选：C 【变式4】已知函数由下表给出 0 1 2 3 4 其中的值等于、、、和中所出现的次数，则______． 【答案】5 【分析】假设出现次数大于等于1次，即的值大于等于1，推出矛盾，由此得，从而，同理可得，由此可得，，从而讨论可得，于是可以得到，∈{1，2}，分类讨论即可得出答案. 【详解】（，1，2，3，4）等于在、、、和中k所出现的次数， 则， 若在“、、、、”中出现次数超过0次， 不妨设出现1次，则. 设，则在“、、”这3个数中出现4次，矛盾， 同理在“、、、、”中出现过2、3、4次也不可能， 即不能出现，所以. 同理，若出现次数超过0次，不妨设出现1次， 即，设，则在“、”这2个数中出现3次，矛盾， 故不可能出现，所以. 因为，， 以在“、、、，”中至少出现了2次， 所以， 若或4，即或出现了1次，则或不为0，矛盾， 所以，，， 所以，，所以“、、、和”仅有下列四种可能： ①、、、和， ②、、、和， ③、、、和， ④、、、和， 其中：①中，出现2次与矛盾，不可能； ②满足题意；③出现2次与矛盾； ④中，出现3次与矛盾； 故仅有“、、、、”满足题意， 故. 故答案为：5 题型02 利用待定系数法求已知函数类型求解析式 【典例1】若一次函数满足，求的函数解析式. 【答案】或 【分析】利用待定系数法求函数解析式即可得到答案. 【详解】由题意设， 则， 所以， 解得或， 所以的函数解析式为或. 待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式 【变式1】（多选）已知一次函数满足，则的解析式可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由函数的类型设，结合已知列方程求参数值，即可得解析式. 【详解】设，则， 因为，所以，解得或， 所以或. 故选：AC 【变式2】设是二次函数，且，则_____. 【答案】 【分析】利用题目条件构建函数结合，求出值后代入即可求出. 【详解】由， 可得： 代入， 所以. 故答案为： 【变式3】已知一次函数，满足，； (1)求的解析式； (2)求的解析式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）待定系数法求解一次函数解析式； （2）在（1）基础上进行求解即可. 【详解】（1）设，则， 解得，， ∴； （2）由（1）知， ∴. 题型03 配凑法、换元法求解析式 【典例1】已知，求函数的解析式； 【答案】； 【分析】利用换元法计算可得； 【详解】设，则，，. 所以， 所以. 换元法：已知函数的解析式求的解析式，可用换元法，即令，反解出，然后代入中求出，从而求出 【变式1】已知函数，若，则实数a的值为（ ） A．5 B．10 C．11 D．2 【答案】C 【分析】 由换元法求得函数的解析式，代入即可得解. 【详解】 令，则， 所以，即， 所以，解得. 故选：C. 【变式2】已知，求的解析式. 【答案】 【分析】应用换元法求解解析式； 【详解】， 又，当且仅当，即时等号成立. 设，则， ， 函数的解析式为 【变式3】已知，求的解析式 【答案】，；【分析】利用换元法求函数的解析式； 【详解】设，则，，且， 所以，. 用代替，得：，. 题型04 方程组法求函数解析式 【典例1】已知函数对任意的都有，则________． 【答案】 【分析】将原式中的替换为得到新方程，联立两个方程组成方程组，消去求解． 【详解】∵，① ∴，② 由得 解得：． 故答案为：． 【典例2】已知函数的定义域为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在条件式中以替代，得，代入原条件式，再令，求得答案. 【详解】由，代替,得， ， 令，得，解得. 故选：B. 解方程组法：已知关于与或的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出 【变式1】已知函数满足，则函数的解析式为_______ 【答案】 【分析】应用方程组法计算求解解析式. 【详解】因为函数满足， 所以，解得. 故答案为： 【变式2】若，满足，且，则_______． 【答案】8 【分析】利用解方程组法求得，，再根据求得，进而代值计算即可. 【详解】由，得， 联立上述两式解得，，即， 而， 则，即， 所以. 【变式3】已知且，求函数的解析式． 【答案】且 【分析】利用解方程组法，分别用，代换题设式子中的，得到方程组求解即可. 【详解】，① 将①中的用代换得② 再将①中的用代换得③ 则由得且． 题型05 求抽象函数的解析式 【典例1】设是定义在R上的函数，且满足，并且，都有，则________. 【答案】 【详解】法一：由已知条件得， 又， 令，则， 所以. 法二：令，得， 即， 将用代换得. 抽象函数的解析式 1.观察条件，找出题目已经给出的函数值，如\(f(0)\)； 2.选择恰当数值，代入抽象恒等式； 3.化简等式，得到f(单一变量) 的表达式； 4.字母等价替换，整理出\(f(x)\)解析式 【变式1】若函数满足：对任意实数x，y都有成立.写出函数的一个解析式__________. 【答案】（不唯一） 【分析】设，根据条件探究满足的条件即可. 【详解】先假设为一次函数，设， 则. 所以函数都满足条件. 故答案为：（不唯一） 【变式2】已知定义在上的函数 满足：① ； ②对 ，则 _____. 【答案】 【分析】通过赋值，得到，再令，得到，通过累加即可求解. 【详解】令， 可得：，又， 所以， 令，得， 所以，， 由， 令， 则， 两式相加可得： 所以， 当时，满足； 所以， 故答案为： 【变式3】已知函数，对，都有恒成立，且．求的解析式； 【答案】 【分析】根据条件，通过赋值，，得到，再令，即可求出结果. 【详解】令，，则， 又因为，所以， 令，则，所以． 题型06 求分段函数的解析式或者值 【典例1】已知函数，则（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【详解】， 所以. 分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决． 1.由实际问题决定的分段函数，要写出它的解析式，就是根据实际问题需要分成几类，就分成几段，求解析式时，先分段分别求出它的解析式，在综合在一起即可． 2.注意分段函数的解析式，最后要把各段综合在一起写成一个函数，分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数 【变式1】已知，则（　　） A．3 B．13 C．8 D．18 【答案】C 【分析】由已知中，将代入，可得，进而可求得的值． 【详解】解：∵， ， ∴， 故选C． 【变式2】已知，则． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分析：先求f(2),再求. 详解∵，∴，故答案为． 【变式3】给定函数，用表示中的较小者，记为，例如，当时，，则用解析法可表示为__________． 【答案】 【分析】根据函数的定义和分段函数的表示方法求解即可. 【详解】令，解得， 所以. 故答案为： 题型07 已知分段函数的值求参数或自变量 【典例1】设函数，若，则______． 【答案】1 【分析】根据分段函数性质代入计算得出方程，解方程可得. 【详解】函数，易知， 若， 当时，即，可得， 解得，不满足，舍去； 当，即时，可得， 解得，满足题意． 故答案为：1． 1.已知函数值，求自变量 ①分段讨论：自变量x落在不同区间，对应不同解析式； ②令每一段解析式等于给出的函数值，解方程； ③检验根：解出来的x必须落在本段对应的区间范围内，不在区间内的根要舍去。 2.已知函数值，求参数 ①判断参数所在区间，确定选用哪一段解析式； ②将自变量与函数值代入对应解析式，解方程求出参数； ③回代检验，验证参数是否满足本段区间条件 【变式1】已知，若，则实数a的值为________． 【答案】 【详解】若，则，解得 若，则，解得，不满足 综上 【变式2】已知，若，则________. 【答案】1 【分析】分段代入解析式可求答案. 【详解】当时，，解得（舍）； 当时，，解得. 故答案为：1 【变式3】已知函数，若，则实数a的值为__________． 【答案】或 【分析】分类讨论代入求值即可. 【详解】若，则，得或； 若，则，得（舍）， 故实数a的值为或. 故答案为：或 题型08 分段函数与不等式 【典例1】已知函数若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，. 若，即，，解得. 若，即，，解得. 综上所述，. 分段函数不等式求解集，要先分段讨论求得各分段的解集，最后将各种情况得出的结果求并集 【变式1】已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出函数的解析式，再分、两种情况解不等式即可． 【详解】解：由，则， ，解得， ，解得， 综上，不等式的解集是． 【变式2】已知函数，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先以分段点 划分 的讨论区间，再在每个区间代入对应函数表达式化简不等式，求解后取交集得到各区间有效解，最后合并所有解即可得到 的取值范围. 【详解】当 即 时， ，函数表达式为 ， 则， 所以， 所以，即， 所以 . 当 即 时，，， 所以，， 即，解得 或 ， 结合 ，得 . 当 时，，函数表达式为 ，该函数单调递减， 所以，即， 所以，因为，所以此式恒成立，故 满足条件. 综上所述：或或，即或. 所以 的取值范围是 . 故选：B. 【变式3】设函数则________；若正实数满足，则的一个取值为________． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】①由分段函数定义，将自变量转化到负半轴求值； ②利用分段函数分别表示正负半轴的函数值，代入待求式化简，解不等式确定参数范围并取一个值. 【详解】①因为，根据分段函数解析式，； 又，代入的解析式得，因此. ②已知，故，得； 因为，得. 将上述结果代入不等式 ， 由题意，结合求解， 解右侧不等式，化简得，两边同乘得，解得； 解左侧不等式，两边同乘得， 二次方程的正根为，故解得. 综上的取值范围是，可取（答案不唯一）. 【变式4】已知函数. (1)求的值； (2)若，求的值； (3)解不等式. 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）根据分段函数先求，再求即可； （2）由，根据的范围分类讨论即可求解； （3）根据分段函数，分类讨论，解不等式即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以； （2）当时，，又，所以，解得，舍去； 当时，，又， 所以，故. 综上，的值为； （3）当时，，所以； 当时，，所以. 综上，原不等式的解集为. 1．已知一次增函数满足，则（    ） A．-1或3 B．-3或-1 C．3 D．-1 【答案】D 【分析】根据条件，利用待定系数法，求出，即可求解. 【详解】由一次增函数，可设， 则， 所以，解得或（舍去）， 当时，，此时，， 故选：D 2.已知函数若，则（   ） A．或1 B．或0 C．或0 D．或 【答案】D 【分析】令，可得或，结合的取值范围分析求解. 【详解】令，则，若，则，解得， 若，则，解得， 故或， 当时，，与或矛盾， 故，所以， 所以或，解得或. 故选：D. 3．（多选）已知函数，分别由下表给出： 则（   ） A．的值为 B．函数的值域为 C．方程的解集为 D．满足的的值是 【答案】ACD 【分析】根据表格中的数据得到函数和，然后依次判断即可. 【详解】对于A，由表格可知，，，故A正确； 对于B，函数的定义域是． 则当时，； 当时，； 当时，． 所以函数的值域为，故B错误； 对于C，当时，，，不符合题意； 当时，，，不符合题意； 当时，，，符合题意， 综上，方程的解集为，故C正确； 对于D，，，，，，， ∴满足的值为，故D正确． 4.已知分段函数，，则实数________． 【答案】或2 【详解】当时，，解得； 当时，，解得（舍）或， 所以或. 5．求下列函数解析式： (1)函数满足； (2)函数对任意的都有 ； (3)函数是一次函数且满足 . 【答案】(1) (2) (3)或 ． 【分析】（1）用换元法，令，代入求出后即可得； （2）用替换已知式中的，然后解方程组可得； （3）设，代入已知条件求解. 【详解】（1）令，则， 所以，则． （2）∵ ，① ∴ ，② 由得 解得： ． （3）设 ，则 . 又 ，所以. 即，解得，或. 所以或 ． 6．已知函数，满足. (1)求实数的值； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)或； (3)或. 【分析】（1）根据给定的分段函数，分段判断代入列式求出值. （2）由（1）求出，再分段列式求解. （3）由（1）的函数，分段求解不等式. 【详解】（1）函数，则，， 所以. （2）由（1）知，函数，而， 当时，，解得； 当时，，解得， 所以或. （3）不等式，当时，恒成立，则； 当时，，解得或，因此或， 所以实数的取值范围是或. 7．定义运算，函数. (1)写出的解析式； (2)在坐标系中画出的图象； (3)若时恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 由（1）可得图象如下： (3) 【分析】（1）根据定义，先解，进而求解； （2）由（1）结合分段函数定义域可得函数图象； （3）根据分段函数，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）， 则或. 则. （2）略 （3）当时，，即，所以； 当时，，即，所以； 当时，，即，所以. 综上所述：. 8.已知函数． (1)求； (2)求函数的解析式； (3)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接取代入即可求解； （2）利用换元法即可求解； （3）根据条件列出方程即可求解． 【详解】（1）取，得． （2）由有意义可得 令，则，， 故，其中， 因此的解析式为． （3）由题意得，故，解得， 又因为，因此． 1．若函数，满足，且，则（   ） A． B．6 C．7 D． 【答案】D 【分析】利用方程组法计算函数解析式再求值即可. 【详解】由，可知，联立解得， 所以，则. 故选：D 2．设函数若，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，故，故， 而，故，故， 而即为或，故或， 故不等式的解集为. 3.（多选）狄利克雷函数是一个经典的函数，其解析式为，则（    ） A．定义域为R B． C．， D．不等式的解集为 【答案】AC 【分析】根据狄利克雷函数解析式逐项分析即可． 【详解】对于A选项，因为，即的取值范围在有理数和非有理数中，合起来就是全体实数，所以A正确； 对于B选项，，所以，，所以，所以，所以B错误； 对于C选项，无论是有理数还是无理数，都只取0或1，而0和1均为有理数， 所以恒成立，所以C正确； 对于D选项，当时，不等式为，此时， 因此上的所有有理数都是不等式的解， 同样当时，不等式为，没有无理数解， 所以不等式的解集为区间内的所有有理数，所以D错误． 4.（多选）甲、乙两人沿同一方向从A地去B地，途中都使用两种不同的速度 .甲一半路程使用的是，另一半路程使用的是；乙一半时间使用的是，另一半时间使用的是.则关于甲、乙两人从A地去B地的路程s和时间t的函数图象表示准确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】AB 【分析】求出甲乙所用的时间，比较大小知甲用时大于乙用时，排除C、D，进一步分析A、B符合要求. 【详解】甲的时间为，平均速度为； 设乙所有的时间为，则，所以，乙的平均速度为， 因为，所以，所以选项C、D不正确. 选项A为甲、乙两人先使用速度，后使用速度，因为,甲在一半路程处改换速度，此处用的时间过半；乙在一半时间处改换速度，此时不超过路程的一半，故选项A符合题意. 选项B为甲、乙两人先使用速度，后使用速度，因为,甲在一半路程处改换速度，此处用的时间不过半；乙在一半时间处改换速度，此时超过路程的一半，故选项B符合题意. 故选：AB. 5.函数 _____ _____ 【答案】 【分析】赋值解方程组即可求，令每个式子有意义则可求定义域. 【详解】由于①， 则，整理得②， 则，整理得③， 得， 设，则，则④， 则，即⑤， 得，则，即. ，，有意义可得， 则定义域为. 故答案为：；.． 6．给定函数，用表示中的较小者，记为，例如，当时，，则用解析法可表示为__________． 【答案】 【分析】根据函数的定义和分段函数的表示方法求解即可. 【详解】令，解得， 所以. 故答案为： 7．杨振宁是享誉世界的物理学家，为中国科学教育事业发展做出了卓越的贡献．在杨振宁先生的研究中，“杨—巴克斯方程”描述了一种“交换结合”性质，某些操作改变顺序后不变．可以用函数模拟这个过程，给定一个函数和一种运算“”，定义，若满足，称函数具有“交换结合”性质，写出一个具有“交换结合”性质的函数________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】结合运算“*”的定义可得，，考虑取特殊函数，验证其是否满足关系，由此可得结论. 【详解】因为，所以， 所以， ， 设，则， ， 此时， 所以具有“交换结合”性质， 故答案为：（答案不唯一） 8．高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数称为高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，如，． (1)求不等式的解集； (2)若，，，求m的取值范围； (3)若的解集为，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用十字相乘法得到，所以； （2），使得，又，则； （3）十字相乘得到，分，，三种情况，结合不等式解集为得到不等式，求出答案． 【详解】（1）由，即， ，所以． 所以的解集为； （2），，此时， 即，使得， 又， 则， 故的取值范围为； （3）不等式，即， 由方程可得或． ①若，不等式为， 即，所以，不符合题意； ②若，， 由，解得， 因为不等式的解集为， 所以，解得； ③若，， 由，解得， 因为不等式解集为， 所以，解得． 综上所述，的范围为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $