第5章 §5.3 第2课时 函数的最值的综合应用（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦高中数学函数最值的综合应用，系统梳理最值概念及几何意义，以单调性为基础，通过图象法、单调性法及二次函数闭区间最值求解，构建从概念到方法再到应用的学习支架。 以喷泉抛物线情境引入，培养用数学眼光观察现实世界，通过问题链引导抽象概念发展数学思维，例题结合分类讨论、数形结合强化数学语言表达。课中助力教师系统授课，课后分层练习辅助学生查漏补缺。

第2课时　函数的最值的综合应用 学习目标　1.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.会借助单调性求最值.3.掌握求二次函数在闭区间上的最值的方法. 导语 喷泉喷出的抛物线型水柱到达“最高点”后便落下，经历了先“增”后“减”的过程，从中我们发现单调性与函数的最值之间似乎有着某种“联系”，这节课让我们来研究函数的最大值与最小值. 一、利用图象求函数的最大(小)值 问题1　如图所示是函数y=-x2-2x，y=-2x+1(x∈[-1，+∞))，y=f(x)的图象.观察并描述这三个图象的共同特征. 提示　函数y=-x2-2x的图象有最高点A，函数y=-2x+1，x∈[-1，+∞)的图象有最高点B，函数y=f(x)的图象有最高点C，也就是说，这三个函数的图象的共同特征是都有最高点. 问题2　你是怎样理解函数图象最高点的？ 提示　图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值. 知识梳理 1.函数的最大值与最小值 最大值 最小值 条件 一般地，设y=f(x)的定义域为A，如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有 f(x)≤f(x0) f(x)≥f(x0) 结论 那么称f(x0)为y=f(x)的最大值，记为ymax=f(x0) 那么称f(x0)为y=f(x)的最小值，记为ymin=f(x0) 几何 意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标 注意点： (1)最大(小)值的几何意义：最高(低)点的纵坐标. (2)并不是所有的函数都有最大(小)值，比如y=x，x∈R. (3)一个函数至多有一个最大(小)值，但取得最大(小)值时的x0可以有多个. (4)研究函数最值需先研究函数的定义域和单调性. 2.求函数最值的常用方法 (1)图象法：作出y=f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值. (2)运用函数的单调性：若y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，则ymax=f(b)，ymin=f(a)；若y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，则ymax=f(a)，ymin=f(b). (3)分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个. 例1　(课本例3)如图为函数y=f(x)，x∈[-4，7]的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间. 解　观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3，3)，最低的点是(-1.5，-2).因此，当x=3时，函数y=f(x)取得最大值，即ymax=3；当x=-1.5时，函数y=f(x)取得最小值，即ymin=-2.函数的增区间为[-1.5，3]，[5，6]；减区间为[-4，-1.5]，[3，5]，[6，7]. 例1　已知函数f(x)=求f(x)的最大值、最小值. 解　作出函数f(x)的图象，如图. 由图象可知，当x=±1时，f(x)取最大值1. 当x=0时，f(x)取最小值0， 故f(x)的最大值为1，最小值为0. 反思感悟　图象法求函数最值的一般步骤 跟踪训练1　已知函数y=-|x-1|+2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域. 解　y=-|x-1|+2= 图象如图所示， 由图象知， 函数y=-|x-1|+2的最大值为2，没有最小值，所以其值域为(-∞，2]. 二、利用函数的单调性求函数的最值 例2　已知函数f(x)=. (1)证明：函数f(x)在上单调递减； (2)求函数f(x)在[1，5]上的最值. (1)证明　设x1，x2是区间上的任意两个实数，且x2>x1> f(x1)-f(x2)=- =.由于x2>x1> 所以x2-x1>0，且(2x1-1)(2x2-1)>0， 所以f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 所以函数f(x)=在区间上单调递减. (2)解　由(1)知，函数f(x)在[1，5]上单调递减， 因此，函数f(x)=在区间[1，5]上的两个端点处分别取得最大值与最小值， 即最大值为f(1)=3，最小值为f(5)=. 延伸探究1　本例条件不变，求函数f(x)在[1，+∞)上的最值. 解　由(1)知函数f(x)在[1，+∞)上单调递减， 当x=1时，f(x)有最大值f(1)=3，无最小值. 延伸探究2　已知函数f(x)=求函数f(x)在[1，+∞)上的最值. 解　f(x)===2+ 由例2(1)可知，f(x)在[1，+∞)上单调递减， 所以当x=1时，f(x)有最大值为f(1)=5，无最小值. 反思感悟　利用函数的单调性求最值的关注点 (1)若函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a). (2)若函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b). (3)若函数y=f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出函数f(x)的最大(小)值.函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值. (4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势. 跟踪训练2　已知函数f(x)=x+. (1)求证：f(x)在[1，+∞)上单调递增； (2)求f(x)在[1，4]上的最大值及最小值. (1)证明　设1≤x1<x2， 则f(x1)-f(x2)=- =. ∵1≤x1<x2，∴x1-x2<0，x1x2>1， ∴x1x2-1>0， ∴<0，即f(x1)<f(x2). ∴f(x)在[1，+∞)上单调递增. (2)解　由(1)可知f(x)在[1，4]上单调递增， ∴当x=1时，f(x)取得最小值， 最小值为f(1)=2， 当x=4时，f(x)取得最大值， 最大值为f(4)=. 综上所述，f(x)在[1，4]上的最大值是最小值是2. 三、二次函数的最值问题 例3　已知函数f(x)=x2-ax+1. (1)求f(x)在[0，1]上的最大值m(a)； (2)当a=1时，求f(x)在闭区间[t，t+1](t∈R)上的最小值g(t). 解　(1)因为函数f(x)=x2-ax+1的图象开口向上，其对称轴为直线x= 所以区间[0，1]的哪一个端点离对称轴远，则在哪个端点取到最大值， 当≤即a≤1时， f(x)的最大值为f(1)=2-a； 当>即a>1时， f(x)的最大值为f(0)=1. 综上，m(a)= (2)当a=1时，f(x)=x2-x+1，其图象的对称轴为直线x=. ①当t≥时，f(x)在[t，t+1]上单调递增， 所以f(x)min=f(t)=t2-t+1； ②当t+1≤即t≤-时，f(x)在[t，t+1]上单调递减， 所以f(x)min=f(t+1)=t2+t+1； ③当t<<t+1，即-<t<时，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增， 所以f(x)min=f=. 综上，g(t)= 反思感悟　(1)含参数的二次函数最值问题的解法 解决含参数的二次函数的最值问题，首先将二次函数化为y=a(x+h)2+k的形式，再依a的符号确定抛物线的开口方向，依对称轴x=-h得出顶点的位置，再根据x的定义区间结合大致图象确定最大或最小值. (2)对于含参数的二次函数的最值问题，一般有如下几种类型： ①区间固定，对称轴变动(含参数)，求最值； ②对称轴固定，区间变动(含参数)，求最值； ③区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数. 通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论. 跟踪训练3　已知函数f(x)=x2+ax+3-a，x∈[-2，4]，求f(x)的最小值g(a)的表达式. 解　∵f(x)=x2+ax+3-a的图象开口向上，且对称轴为直线x=- ①若-≤-2，即a≥4时，f(x)在[-2，4]上单调递增， ∴f(x)min=f(-2)=7-3a； ②若-≥4，即a≤-8时，f(x)在[-2，4]上单调递减，∴f(x)min=f(4)=19+3a； ③若-2<-<4，即-8<a<4时， f(x)在上单调递减，在上单调递增， ∴f(x)min=f=--a+3； 综上所述，g(a)= 1.知识清单： (1)函数的最大值、最小值定义. (2)求解函数最值的方法. 2.方法归纳：配方法、分类讨论法、数形结合法. 3.常见误区： (1)在利用单调性求最值时，勿忘求函数的定义域. (2)求含参数的二次函数的最值时不要忘记按对称轴与区间的位置分类讨论. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.函数y=f(x)在[-2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　) A.-1，0 B.0，2 C.-1，2 D.2 答案　C 解析　由题图可得，函数f(x)在x=-2处取得最小值-1，在x=1处取得最大值2. 2.下列函数在区间[1，4]上的最大值为3的是(　　) A.y=+2 B.y=3x-2 C.y=x2 D.y=1-x 答案　A 解析　选项B，C在[1，4]上均单调递增，选项A，D在[1，4]上均单调递减，代入端点值，可知A正确. 3.函数f(x)=的最大值为(　　) A.1 B.2 C. D. 答案　B 解析　函数f(x)=在[1，+∞)上单调递减， 此时f(x)在x=1处取得最大值， 最大值为f(1)=1； 当x<1时，函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值，最大值为f(0)=2. 综上可得，f(x)的最大值为2. 4.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x(其中销售量x的单位：辆).若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为(　　) A.90万元 B.60万元 C.120万元 D.120.25万元 答案　C 解析　设公司在甲地销售x辆， 则在乙地销售(15-x)辆，公司获利为 L=-x2+21x+2(15-x)=-x2+19x+30 =-+30+ ∴当x=9或10时，L最大为120万元. 5.已知函数f(x)=-x2+4x+a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值-2，则f(x)的最大值为(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 答案　C 解析　因为f(x)=-(x2-4x+4)+a+4 =-(x-2)2+4+a， 所以函数f(x)图象的对称轴为x=2，且开口向下， 所以f(x)在[0，1]上单调递增. 又因为f(x)在[0，1]上的最小值为-2， 所以f(0)=-2，即a=-2. 所以f(x)的最大值为f(1)=-1+4-2=1. 6.(多选)已知函数f(x)在区间[-1，2]上单调递增，在区间[2，5]上单调递减.下列命题中正确的有(　　) A.f(0)<f(2) B.f(0)=f(3) C.f(x)在区间[-1，5]上的最大值是f(2) D.f(x)在区间[-1，5]上的最小值是f(5) 答案　AC 解析　因为函数f(x)在区间[-1，2]上单调递增，在区间[2，5]上单调递减，且-1<0<2，所以f(0)<f(2)，故A正确； 0和3不在同一个单调区间上，不能比较大小，所以B不正确；C显然正确； f(x)在[-1，5]上的最小值是f(-1)或者是f(5)，不能确定，所以D不正确. 7.(5分)设f(x)=若f(0)是f(x)的最小值，则实数a的取值范围是　　　　.  答案　(-∞，2] 解析　当x≤0时，f(x)的最小值为f(0)=a； 当x>0时，x+≥2，f(x)的最小值为f(1)=2. ∵f(0)是f(x)的最小值， ∴f(0)=a≤2. 8.(5分)已知函数f(x)=其中x∈[1，2]，则f(x)的值域是　　　　.  答案　 解析　令t=∈原函数可以转化为y=t2+t=- 则y在上单调递增， 当t=时，ymin= 当t=1时，ymax=2， 故f(x)的值域为. 9.(10分)已知函数f(x)=-(a>0，x>0). (1)用定义证明f(x)在(0，+∞)上单调递增；(5分) (2)若f(x)在区间上取得的最大值为5，求实数a的值.(5分) (1)证明　设任意x1，x2∈(0，+∞)，且x1<x2， 则f(x1)-f(x2)= ∵0<x1<x2， ∴x1-x2<0，x1x2>0， ∴f(x1)-f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)，故f(x)在(0，+∞)上单调递增. (2)解　由题意知，f(x)=-在区间上单调递增， ∴f(x)max=f(4)=-=5， 解得a=. 10.(11分)函数f(x)=2x2-2ax+3(a∈R)，当x∈[-1，3]时，f(x)的最小值为0，求a的值. 解　f(x)=2x2-2ax+3的图象开口向上，且对称轴为直线x= ①当≤-1，即a≤-2时，函数f(x)在[-1，3]上单调递增， 则f(x)min=f(-1)=5+2a=0，得a=-符合题意； ②当-1<<3，即-2<a<6时，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增， 则f(x)min=f =3-=0， 解得a=或a=-(舍)； ③当≥3，即a≥6时，函数f(x)在[-1，3]上单调递减， 则f(x)min=f(3)=21-6a=0， 解得a=不符合题意， 综上所述，a的值为-或. 11.已知函数f(x)=2x2-ax+1，x∈[-1，a]，且f(x)的最大值为f(a)，则实数a的取值范围为(　　) A.(-1，2) B.[1，+∞) C.[2，+∞) D.(-1，+∞) 答案　C 解析　函数f(x)=2x2-ax+1图象的对称轴方程为x=当-1<a≤0时，易得函数在[-1，a]上单调递减，则函数f(x)的最大值为f(-1)，不满足条件；当a>0时，要使f(x)的最大值为f(a)， 则f(a)≥f(-1)，即2a2-a2+1≥2+a+1， 解得a≤-1(舍)或a≥2. 综上，实数a的取值范围为[2，+∞). 12.(多选)对任意两个实数a，b，定义min{a，b}=若f(x)=2-x2，g(x)=x2-2，下列关于函数F(x)=min{f(x)，g(x)}的说法正确的是(　　) A.F(-2)=F(2) B.方程F(x)=0有两个解 C.函数F(x)在(-∞，-)上单调递减 D.函数F(x)有最大值0，无最小值 答案　ABD 解析　由题意知F(x)= 所以F(2)=F(-2)=-2，故A正确； 当x≤-或x≥时，根据F(x)=0解得x=±此时方程有两个解；当-<x<时，由F(x)=0，解得x=±不符合题意，所以方程F(x)=0有两个解，故B正确； 根据二次函数的性质，函数F(x)在(-∞，-)上单调递增，故C错误； 因为函数F(x)的单调递增区间为(-∞，-)和(0)，单调递减区间为(-0)和(+∞)，所以函数F(x)无最小值，最大值为F()=F(-)=0，故D正确. 13.(5分)当0≤x≤2时，a<-x2+2x恒成立，则实数a的取值范围是　　　　　　　　.  答案　(-∞，0) 解析　令f(x)=-x2+2x，0≤x≤2， 则f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1. 又∵x∈[0，2]， ∴f(x)min=f(0)=f(2)=0. ∴a<0. 14.(5分)已知函数y=x2-2x+3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则实数m的取值范围是　　　　　　　.  答案　[1，2] 解析　f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2， ∵f(x)min=2，f(x)max=3， 且f(1)=2，f(0)=f(2)=3， ∴1≤m≤2. 15.已知定义在R上的函数f(x)=x2-2tx+1，在(-∞，1]上单调递减，且对任意的x1，x2∈[0，t+1]，总有|f(x1)-f(x2)|≤2，则实数t的取值范围是(　　) A.[1] B.(-1，1] C.[0，1] D.[1，3] 答案　A 解析　二次函数f(x)=x2-2tx+1=(x-t)2+1-t2图象的对称轴为x=t，且开口向上， 所以f(x)在(-∞，t]上单调递减，在(t，+∞)上单调递增， 又已知f(x)在(-∞，1]上单调递减， 所以(-∞，1]⊆(-∞，t]，可得t≥1. 因为函数f(x)在[0，t]上单调递减，在[t，t+1]上单调递增， 又t-0≥1，t+1-t=1，由对称性可知f(0)≥f(t+1)， 所以当x=0时，f(x)取得最大值，即最大值为f(0)=1， 当x=t时，f(x)取得最小值，即最小值为f(t)=-t2+1， 要使对任意的x1，x2∈[0，t+1]，都有|f(x1)-f(x2)|≤2， 只要f(x)max-f(x)min≤2成立即可， 所以f(x)max-f(x)min=1-(-t2+1)≤2， 解得-≤t≤ 又t≥1，所以1≤t≤ 即t的取值范围为[1]. 16.(12分)已知函数f(x)=. (1)判断f(x)在[-2，2]上的单调性，并用定义证明；(5分) (2)设g(x)=kx2+2kx+1(k≠0)，若对任意的x1∈[-2，2]，总存在x2∈[-1，2]，使得f(x1)=g(x2)成立，求实数k的取值范围.(7分) 解　(1)f(x)在[-2，2]上单调递增，证明如下： ∀x1，x2∈[-2，2]，且x1<x2， f(x1)-f(x2)=-= 因为-2≤x1<x2≤2，所以x2-x1>0，x1x2<4， 所以x1x2-4<0， 所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 所以f(x)在[-2，2]上单调递增. (2)由于对任意的x1∈[-2，2]，总存在x2∈[-1，2]，使得f(x1)=g(x2)成立， 所以函数f(x)的值域是g(x)的值域的子集. 由(1)知f(x)在[-2，2]上单调递增，f(-2)=-f(2)= 所以f(x)的值域为. 当k>0时，g(x)在[-1，2]上单调递增，g(-1)=1-k，g(2)=8k+1， 所以g(x)的值域为[1-k，8k+1]，由解得k≥； 当k<0时，g(x)在[-1，2]上单调递减，g(-1)=1-k，g(2)=8k+1， 所以g(x)的值域为[8k+1，1-k]，由解得k≤- 综上所述，实数k的取值范围为∪. 学科网（北京）股份有限公司 $