5.2 函数的表示方法-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦函数的表示方法这一核心知识点，系统梳理列表法、图象法、解析法的特点及转化，衔接分段函数的定义、图象与应用，构建从基础表示到复杂函数模型的学习支架，为函数性质探究奠定基础。 资料以商场售彩电、土地沙化等实际情境为例，引导学生用数学眼光发现数量关系，通过方法比较与转化训练数学思维，规范解析与分层练习助力数学语言表达。课中辅助案例教学，课后帮助学生回顾强化，查漏补缺，提升应用意识与创新意识。

5．2　函数的表示方法 ► 对应学生用书P74 [课程标准]　1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用．　2.通过具体示例，了解简单的分段函数，并能简单应用． 一、函数的表示方法 微点拨：函数三种表示法的优缺点比较 二、分段函数 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值范围，有不同的对应关系，则称其为分段函数． 微点拨：(1)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． (2)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象． 【基点小试】 1．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于(　　) x 1≤x<2 2 2<x≤4 f(x) 1 2 3 A.1 B．2 C．3 D．不存在 解析：选C.∵当2<x≤4时，f(x)＝3，∴f(3)＝3. 2．二次函数的图象的顶点为(0，－1)，对称轴为y轴，则二次函数的解析式可以为(　　) A．y＝－x2＋1 B．y＝x2－1 C．y＝4x2－16 D．y＝－4x2＋16 解析：选B.把点(0，－1)代入四个选项可知，只有B正确． 3．若一次函数f(x)的图象经过点(0，1)和(1，2)，则该函数的解析式为________． 解析：由题意设f(x)＝kx＋b，则 解得k＝b＝1，所以f(x)＝x＋1. 答案：f(x)＝x＋1 4．(苏教版必修一P107例2改编)函数y＝的值域是________． 答案：[0，＋∞) 5．函数f(x)＝则f(f(4))＝________． 解析：∵f(4)＝－4＋3＝－1，f(－1)＝－1＋1＝0， ∴f(f(4))＝f(－1)＝0. 答案：0 题型一　函数的三种表示方法 例1.某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来． 解： (1)列表法如下： x(台) 1 2 3 4 5 y(元) 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 x(台) 6 7 8 9 10 y(元) 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000 (2)图象法：如图所示． (3)解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}． [总结] 　列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．在用三种方法表示函数时要注意：(1)解析法必须注明函数的定义域；(2)列表法中选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；(3)图象法中要注意图象是离散点还是连续的曲线． 【练一练】 1．已知函数f(x)＝－x－1，x∈{1，2，3，4}，试分别用图象法和列表法表示函数y＝f(x). 解：用图象法表示函数y＝f(x)，如图所示． 用列表法表示函数y＝f(x)，如表所示． x 1 2 3 4 y －2 －3 －4 －5 题型二　函数图象的画法及应用 例2.作出下列函数的图象并求出其值域． (1)y＝2x＋1，x∈[0，2]； (2)y＝，x∈[2，＋∞)； (3)y＝x2＋2x，x∈[－2，2]； (4)y＝ 解：(1)当x∈[0，2]时，图象是直线y＝2x＋1的一部分，观察图象可知，其值域为[1，5]. (2)当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分，观察图象可知其值域为(0，1]. (3)当－2≤x≤2时，图象是抛物线y＝x2＋2x的一部分． 由图可得函数的值域是[－1，8]. (4)函数对应图象如图所示： 由图可得其值域为(－6，6]. 例3.已知函数f(x)＝x2－2x(x>1或x<－1)， (1)求函数f(x)的值域； (2)若函数f(x)的图象与y＝m有两个交点，求实数m的取值范围． 解：f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1或x<－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线．如图所示． (1)由图可知，函数f(x)的值域为(－1，＋∞). (2)f(x)的图象与直线y＝m有2个不同交点，由图易知m>3. [总结] 　画函数图象的两种常见方法 (1)描点法 一般步骤：①列表——先找出一些(有代表性的)自变量x，并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来； ②描点——从表中得到一系列的点(x，f(x))，在坐标平面上描出这些点； ③连线——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来． (2)变换作图法 常用的有水平平移变换、竖直平移变换、对称变换、翻折变换等． 【练一练】 2．作出下列函数的图象： (1)y＝1－x(x∈Z)； (2)y＝x2－4x＋3，x∈[1，3]. 解：(1)因为x∈Z，所以图象为直线y＝1－x上的孤立点，其图象如图①所示． (2)y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，当x＝1，3时，y＝0； 当x＝2时，y＝－1，其图象如图②所示． 题型三　求函数的解析式 例4.求下列函数的解析式． (1)已知f(x)为一次函数，f(2x＋1)＋f(2x－1)＝－4x＋6，求f(x)； (2) 已知函数f(x＋1)＝x2＋2x，求f(x)； (3)已知f(x)为一次函数，且f(f(x))＝4x－1，求f(x)； (4)若f(x)＋2f(－x)＝，求f(x). 解：(1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)， f(2x＋1)＝a(2x＋1)＋b， f(2x－1)＝a(2x－1)＋b， f(2x＋1)＋f(2x－1)＝4ax＋2b＝－4x＋6， 所以解得 即函数f(x)的解析式为f(x)＝－x＋3. (2) 法一(换元法)　令x＋1＝t，则x＝t－1，t∈R，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，即f(x)＝x2－1. 法二(配凑法)　因为x2＋2x＝(x2＋2x＋1)－1＝(x＋1)2－1，所以f(x＋1)＝(x＋1)2－1，即f(x)＝x2－1. (3)设所求函数f(x)＝kx＋b(k≠0)， 所以f(f(x))＝f(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝4x－1，则 解得或 所以f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1. (4)∵f(x)＋2f(－x)＝，① 用－x替换x得f(－x)＋2f(x)＝－，② ②×2－①得3f(x)＝－－＝－， ∴f(x)＝－. [总结] 　求函数解析式的常用方法 (1)待定系数法：已知函数f(x)的函数类型，求f(x)的解析式时，可根据类型设出其解析式，将已知条件代入解析式，得到含待定系数的方程(组)，确定其系数即可． (2)换元法：令t＝g(x)，注明t的范围，再求出f(t)的解析式，然后用x代替所有的t即可求出f(x)，一定要注意t的范围即为f(x)中x的范围． (3)配凑法：已知f(g(x))的解析式，要求f(x)时，可从f(g(x))的解析式中拼凑出“g(x)”，即用g(x)来表示，再将解析式两边的g(x)用x代替即可． (4)方程组法(消去法)，适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如：互为倒数，互为相反数(f(－x)，f(x))，相加为常数(f(a－x)，f(x))的函数方程，通过对称构造一个对称方程组，解方程组即可．在构造对称方程时，一般用或－x或a－x替换原式中的x即可． 【练一练】 3．(1)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)； (2)已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x)； (3)已知函数f(x)对于任意的x都有2f＋f(x)＝x(x≠0)，求f(x). 解：(1)法一(换元法)　令t＝＋1， 则x＝(t－1)2，t≥1， 所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)， 所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1). 法二(配凑法)　f(＋1)＝x＋2 ＝x＋2＋1－1＝(＋1)2－1. 因为＋1≥1， 所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1). (2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则f(x＋1)＋f(x－1) ＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c ＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x， ∴∴ ∴f(x)＝x2－2x－1. (3)f(x)＋2f＝x，令x＝， 得f＋2f(x)＝， 于是得关于f(x)与f的方程组 解得f(x)＝－(x≠0). 题型四　分段函数 例5.已知函数f(x)＝ 试求f(－5)，f(－)，f 的值． 解：由－5∈(－∞，－2]，－∈(－2，2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4， f(－)＝(－)2＋2×(－) ＝3－2. 因为f ＝－＋1＝－， －2<－<2， 所以f ＝f ＝＋2× ＝－3＝－. 【母题探究】　(1)(变结论)本例条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值． 解：①当a≤－2时，f(a)＝a＋1，所以a＋1＝3，所以a＝2>－2不合题意，舍去． ②当－2<a<2时，a2＋2a＝3， 即a2＋2a－3＝0. 所以(a－1)(a＋3)＝0， 所以a＝1或a＝－3. 因为1∈(－2，2)，－3∉(－2，2)， 所以a＝1符合题意． ③当a≥2时，2a－1＝3，所以a＝2符合题意． 综合①②③，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2. (2)本例条件不变，若f(x)>3，求x的取值范围． 解：①当x≤－2时，x＋1>3得x>2， 又x≤－2，所以x∈∅. ②当－2<x<2时，x2＋2x>3得x>1或x<－3，又－2<x<2，所以1<x<2. ③当x≥2时，2x－1>3，得x>2， 又x≥2，所以x>2， 综上有x的取值范围是1<x<2或x>2. 例6.已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者). (1)分别用图象法和解析式表示φ(x)； (2)求函数φ(x)的定义域，值域． 解：(1)在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图①. 由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图②. 令－x2＋2＝x，得x＝－2或x＝1. 结合图②，得出φ(x)的解析式为φ(x)＝ (2)由图②知，φ(x)的定义域为R，φ(1)＝1， ∴φ(x)的值域为(－∞，1]. [总结] 　1.分段函数求值的方法 (1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间． (2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值． 2．已知函数值求字母取值的步骤 (1)先对字母的取值范围分类讨论． (2)然后代入不同的解析式中． (3)通过解方程求出字母的值． (4)检验所求的值是否在所讨论的区间内． 3．分段函数图象的画法 (1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象． (2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． 【练一练】 4．函数f(x)＝则f(7)＝________． 解析：f(7)＝f(f(12))＝f(9)＝f(f(14))＝f(11)＝8. 答案：8 5．设x∈R，则函数y＝2|x－1|－3|x|的值域为________． 解析：当x≥1时，y＝2(x－1)－3x＝－x－2； 当0≤x<1时，y＝－2(x－1)－3x＝－5x＋2； 当x<0时，y＝－2(x－1)＋3x＝x＋2. 故y＝ 根据函数解析式作出函数图象，如图所示． 由图象可以看出，函数的值域为{y|y≤2}． 答案：{y|y≤2} 题型五　分段函数的实际应用 例7.如图，在等腰梯形OABC中，OA＝BC＝2，AB＝3.记等腰梯形OABC位于直线x＝t(t>0)左侧的图形的面积为f(t). (1)求函数f(t)的解析式； (2)画出函数f(t)的图象(可不写作图过程)；并由此写出函数f(t)的值域． 解：(1)因为xA＝＝1，xB＝5－1＝4，cos ∠AOC＝，∠AOC＝60°， 当t∈时，f＝＝t2； 当t∈时，f＝＋·＝t－； 当t∈时，f＝＋3×＋＝－t2＋5t－； 当t∈时，f＝＝4； 所以 f＝ (2)作出f的图象如下图所示： 因为t≥5时，f＝4， 由图象可知f的值域为. [总结] 　分段函数的实际应用 (1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画． (2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式． 【练一练】 6．由于某地受荒漠化危害的影响，如图1表示该地区土地沙化总面积在1970－2020年的变化情况，由图1中的相关信息，试将上述有关年份中，该地区从1970－1990、1990－2010、2010－2020年的平均土地沙化面积在图2中表示出来． 解：由题图1可知： 1970－1990：土地沙化面积增加了3.2(平方千米)， 年平均沙化面积为：＝0.16(平方千米). 1990－2010：土地沙化面积增加了4.2(平方千米)， 年平均沙化面积为：＝0.21(平方千米). 2010－2020：土地沙化面积增加了2.5(平方千米)， 年平均沙化面积为：＝0.25(平方千米). 如图： 培优拓展系列(四)·函数的新定义问题 例8.若某些函数的对应关系相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y＝－x2，值域为{－4，－9}的“同族函数”共有(　　) A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 解析：选C.由题意知，问题的关键在于确定函数定义域的个数．函数解析式为y＝－x2，值域为{－4，－9}．当x＝±2时，y＝－4；当x＝±3时，y＝－9.所以定义域是集合{－2，－3，2，3}的子集，且子集中至少应该含有－2，2中的一个和－3，3中的一个，则定义域可以为{2，3}，{2，－3}，{－2，3}，{－2，－3}，{2，－2，3}，{2，－2，－3}，{－2，3，－3}，{2，－3，3}，{2，－2，3，－3}，因此“同族函数”共有9个． 【练一练】 7．对于函数y＝f(x)，若存在x0，使得f(x0)＋f(－x0)＝0，则称点(x0，f(x0))是曲线f(x)的“优美点”．已知f(x)＝则曲线f(x)的“优美点”的个数为(　　) A.1 B．2 C．4 D．6 解析：选C.由“优美点”的定义，可知若(x0，f(x0))是曲线f(x)的“优美点”，则(－x0，f(－x0))也是曲线f(x)的“优美点”．作出函数y＝x2＋2x(x<0)的图象关于原点对称的图象，即作出函数y＝－x2＋2x(x>0)的图象，如图所示．由得或 所以点(1，1)和(2，0)是曲线f(x)的“优美点”， 所以(－1，－1)和(－2，0)也是曲线f(x)的“优美点”， 所以f(x)的“优美点”的个数为4，故选C. [课后分层练(二十二)]　函数的表示方法 （单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分） 【基础巩固题组】 1．购买某种饮料x听，所需钱数为y元．若每听2元，用解析法将y表示成x(x∈{1，2，3，4})的函数为(　　) A．y＝2x B．y＝2x(x∈R) C．y＝2x(x∈{1，2，3，…}) D．y＝2x(x∈{1，2，3，4}) 解析：选D.题中已给出自变量的取值范围，x∈{1，2，3，4}． 2．如图，函数f的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为，，(3，1)，则f的值等于(　　) A．1 B．2 C．3 D． 解析：选B.由图象可知f＝1，f＝2, ∴f＝f＝2. 3．函数f(x)＝|x－1|的图象是(　　) 解析：选B.法一　函数的解析式可化为y＝画出此分段函数的图象，故选B. 法二　由f(－1)＝2，知图象过点(－1，2)，排除A，C，D. 4．已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的解析式是(　　) A．f(x)＝x2＋6x B．f(x)＝x2＋8x＋7 C．f(x)＝x2＋2x－3 D．f(x)＝x2＋6x－10 解析：选A.法一　设t＝x－1，则x＝t＋1. ∵f(x－1)＝x2＋4x－5， ∴f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t， ∴f(x)的解析式是f(x)＝x2＋6x. 法二　∵f(x－1)＝x2＋4x－5＝(x－1)2＋6(x－1)， ∴f(x)＝x2＋6x， ∴f(x)的解析式是f(x)＝x2＋6x. 5．函数f(x)＝的定义域为________，值域为________． 解析：定义域为各段的并集， 即(0，1)∪{0}∪(－1，0)＝(－1，1). 值域为各段的并集(0，1)∪{0}∪(－1，0)＝(－1，1). 答案：(－1，1)　(－1，1) 6．若一个长方体的高为80 cm，长比宽多10 cm，则这个长方体的体积y(cm3)与长方体的宽x(cm)之间的表达式是________． 解析：由题意可知，长方体的长为(x＋10)cm，从而长方体的体积y＝80x(x＋10)，x>0. 答案：y＝80x(x＋10)，x∈(0，＋∞) 7．(1)已知f(x)是一次函数，且满足2f(x＋3)－f(x－2)＝2x＋21，求f(x)的解析式； (2)已知f(x)为二次函数，且满足f(0)＝1，f(x－1)－f(x)＝4x，求f(x)的解析式； (3)已知f ＝x2＋＋1，求f(x)的解析式． 解：(1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)， 则2f(x＋3)－f(x－2)＝2[a(x＋3)＋b]－[a(x－2)＋b]＝2ax＋6a＋2b－ax＋2a－b＝ax＋8a＋b＝2x＋21， 所以a＝2，b＝5，所以f(x)＝2x＋5. (2)因为f(x)为二次函数， 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 由f(0)＝1，得c＝1. 又因为f(x－1)－f(x)＝4x， 所以a(x－1)2＋b(x－1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝4x，整理，得－2ax＋a－b＝4x，求得a＝－2，b＝－2， 所以f(x)＝－2x2－2x＋1. (3)因为f ＝＋2＋1＝＋3，所以f(x)＝x2＋3. 【能力提升题组】 8．(多选)已知函数f(x)＝关于函数f(x)的结论正确的是(　　) A．f(x)的值域为(－∞，4) B．f(1)＝3 C．若f(x)＝3，则x的值是 D．f(x)<1的解集为(－1，1) 解析：选AC.当x≤－1时，f(x)的取值范围是(－∞，1]，当－1<x<2时，f(x)的取值范围是[0，4)，因此f(x)的值域为(－∞，4)，故A正确；当x＝1时，f(1)＝12＝1，故B错误；当x≤－1时，由x＋2＝3，解得x＝1(舍去)，当－1<x<2时，由x2＝3，解得x＝或x＝－(舍去)，故C正确；当x≤－1时，由x＋2<1，解得x<－1，当－1<x<2时，由x2<1，解得－1<x<1，因此f(x)<1的解集为(－∞，－1)∪(－1，1)，故D错误．故选AC. 9．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是(　　) A．(0，4] B． C． D． 解析：选C.因为y＝x2－3x－4＝－，所以对称轴为直线x＝，当x＝时，y＝－. 因为x＝0时，y＝－4，由二次函数图象可知解得≤m≤3，所以m的取值范围是. 10．在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________． 解析：在同一平面直角坐标系内，作出函数y＝2a与y＝|x－a|－1的大致图象，如图所示． 由题意，可知2a＝－1，则a＝－. 答案：－ 11．如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x＝t左侧的图形的面积为f. (1)求函数f解析式； (2)若a，b为正实数，f(t0)＝，已知2a＋2b＝t0，求＋的最小值． 解：(1)当0≤t≤1时，设直线x＝t与△OAB分别交于C、D两点如图，则＝t， ∵△OAB是正三角形，∠AOB＝60°， 又∵＝tan 60°，∴＝t， ∴f＝·＝t·t＝t2； 当1<t≤2时，设直线x＝t与△OAB分别交于M、N两点，则＝t，＝2－t， 又∵＝tan 60°， ∴＝， ∴f＝S△OAB－S△AMN＝×－·＝－×，∴f＝－t2＋2t－； 当t>2时，f＝S△OAB＝，不符合题意； 综上所述： f＝ (2)∵f＝ 且f(t0)＝， 当0<t≤1时，f＝t2＝， ∴t0＝±，不符合题意； 当1<t≤2时，f＝－t＋2t0－＝，∴t0＝2，符合题意； 当t>2时，由f＝可知，t0＝不符合题意； 综上：t0＝2. ∵2a＋2b＝t0，且t0＝2，∴2a＋2b＝2， ∴a＋b＝1， ∴＋＝＋＝＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当a＝b＝时取等号， ∴＋的最小值为3. 学科网（北京）股份有限公司 $