专题3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式（高效培优讲义）高一数学苏教版必修第一册

本讲义聚焦“从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式”核心知识点，以“三个二次”关系为纽带，串联一元二次不等式概念、解法（含参及不含参）、分式高次绝对值不等式拓展，结合零点、恒成立问题及实际应用，构建完整知识支架。 资料通过“三个二次”关系表直观呈现知识关联，分层设计即学即练与题型变式，培养数学眼光（抽象函数与方程联系）、数学思维（含参分类讨论）、数学语言（实际问题建模）。课中辅助教师突破重难点，课后助力学生巩固提升，查漏补缺。

专题3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 教学目标 1.经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的实际意义． 2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 4.掌握利用一元二次不等式解决含参数、恒成立问题的方法 教学重难点 1.重点 能借助二次函数求解一元二次不等式；利用一元二次不等式解决含参问题的方法 2.难点 通过从函数观点认识不等式，感悟数学知识之间的关联，能够解决有关参数的分类讨论问题 知识点01 一元二次不等式的概念及解法 1.一元二次不等式的概念： （1）定义：一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. （2）一般形式：ax2＋bx＋c>0（≥0），ax2＋bx＋c<0（≤0），（其中a≠0，a，b，c均为常数） （3）一元二次不等式的解与解集 使某一个一元二次不等式成立的x的值，叫作这个一元二次不等式的解； 一元二次不等式的所有解组成的集合，叫作这个一元二次不等式的解集； 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形。 2.不含参数的一元二次不等式的解法 ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． 3.解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 【即学即练】 1．不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】的解为或5， 故不等式的解集为或 2．当时，关于的不等式 的解集为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】由，不等式可化为，因为的解集为，，结合一元二次不等式解法可得结论. 【详解】因为，， 方程的解集为，且， 所以不等式的解集为，故D正确． 故选：D 知识点02 分式、高次、绝对值不等式的解法 1.分式不等式的定义： 与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 2.分式不等式的解法 设A、B均为含x的多项式 （1） （2） （3） （4） 【注意】当分式右侧不为0时，可过移项、通分合并的手段将右侧变为0；当分母符号确定时，可利用不等式的形式直接去分母 3.解分式不等式的一般步骤： ①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． ②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 4.解高次不等式的一般步骤： 高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. 5.解绝对值不等式的一般步骤： 对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 【即学即练】 1.不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由不等式，即， 则，解得，即， 所以不等式的解集为． 2.已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解不等式，即，解得或， 集合， 解不等式得：，即， ． 3.不等式的解集为________． 【答案】 【分析】由题得，再因式分解约分即可求解． 【详解】由不等式可得，且，所以． 知识点03 二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点. 【即学即练】 1．已知.满足，那么二次函数的零点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】D 【分析】利用判别式即可求解. 【详解】由于， 故二次函数与轴有1个或者两个交点， 故选：D 2．若二次函数的两个零点为2，3，则二次函数的零点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据零点定义，借助根与系数的关系求出的值，然后求出二次函数的零点. 【详解】的两个零点为2，3， ， ， 令，得或， 故选：B． 3.若，是二次函数的两个零点，则的值是（    ） A．3 B．9 C．21 D．33 【答案】C 【分析】根据根与系数的关系即可求解. 【详解】由，是二次函数的两个零点， ，所以，是的两个实数根， 所以， 故， 故选：C 知识点04 “三个二次”之间的关系 1.对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 2.解一元二次不等式的一般步骤 （1）判号：检查二次项的系数是否为正值，若是负值，则利用不等式的性质将二次项系数化为正值； （2）求根：计算判别式，求出相应方程的实数根； ①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②时，求根； ③时，方程无解 （3）标根：将所求得的实数根标在数轴上（注意两实数根的大小顺序，尤其是当实数根中含有字母时），并画出开口向上的抛物线示意图； （4）写解集：根据示意图以及一元二次不等式解集的几何意义，写出解集。 口诀：大于零取（根）两边，小于零取（根）中间 【即学即练】 1．已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件结合韦达定理得到参数关系，即可将问题转化为，结合进而，求解即可. 【详解】由不等式的解集为可知， 且，，所以， 所以不等式可化为， 又，则，解得或． 2．关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【答案】D 【分析】利用二次不等式与解集的关系可判断A选项；利用二次不等式的解法可判断B选项；利用韦达定理可得出、与的等量的关系，可判断C选项；利用一次不等式的解法可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意得关于的不等式的解集为，则，故A错误； 对于B选项，由题意可知，关于的方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，可得， 所以，不等式即为， 即，解得或， 因此不等式的解集为或，故B错误； 对于C选项，由题意得，故C错误； 对于D选项，不等式即为，即，解得， 因此不等式的解集为，故D正确. 故选：D. 知识点05 一元二次不等式恒成立与有解问题 1.一元二次不等式恒成立问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为 2．一元二次不等式恒成立问题的求解方法 (1)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立. (2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数. ①若ax2+bx+c>0恒成立，则有a>0，且△<0；若ax2+bx+c<0恒成立，则有a<0，且△<0. ②对第二种情况，要充分结合函数图象利用函数的最值求解(也可采用分离参数的方法). 3．给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题的解题策略 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数；即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解. 4．常见不等式恒成立及有解问题的函数处理策略 不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下： (1)对任意的x∈[m,n]，a>f(x)恒成立a>f(x)max； 若存在x∈[m,n]，a>f(x)有解a>f(x)min； 若对任意x∈[m,n]，a>f(x)无解a≤f(x)min. (2)对任意的x∈[m,n]，a<f(x)恒成立a<f(x)min； 若存在x∈[m,n]，a<f(x)有解a<f(x)max； 若对任意x∈[m,n]，a<f(x)无解a≥f(x)max. 【即学即练】 1．若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，原不等式化为，显然恒成立； 当时，不等式对一切恒成立，则有 且，即， 解得， 综上可得，. 2．若关于的不等式有解，则实数的最大值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【详解】由关于的不等式有解， 得，解得， 所以实数的最大值为2． 题型01 解不含参数的一元二次不等式 【典例1】解下列一元二次不等式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）由，得， 解得， 所以不等式的解集为； （2）由，得， 即，解得或， 所以不等式的解集为. 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 1.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正． 2.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． 3.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． 4.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． 5.根据图象写出不等式的解集 【变式1】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对原不等式变形，得， 得，解得， 所以不等式的解集为(−2,5). 【变式2】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，解得， 所以， 由，得，所以， 所以， 所以. 【变式3】解下列一元二次不等式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将二次项系数化为正数，再因式分解，结合一元二次函数的图象可得； （2）根据，且开口朝上，结合一元二次函数的图象可得. 【详解】（1），即，即， 则不等式的解集为； （2）因，且的开口朝上， 则不等式的解集为. 【变式4】解下列关于x的不等式； (1)； (2)； (3) 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）（2）根据一元二次不等式的解法求解； （3）换元之后结合一元二次不等式解法求解. 【详解】（1）不等式可化为：， 即， 解得或， 所以不等式的解集为或； （2）不等式可化为：， 解得， 所以不等式的解集为； （3）不等式可化为：， 即， 又因为，所以， 解得， 所以不等式的解集为 题型02 解含参一元二次不等式 【典例1】设，解关于x的不等式：． 【答案】答案见解析. 【分析】等价变形给定不等式，再按分类求解不等式. 【详解】不等式， 当时，不等式为，解得； 当时，不等式为，解得或； 当时，不等式为， 当时，，不等式无解；当时，，解得； 当时，，解得， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 对于含参数的一元二次不等式，按照下面思路解题 1.当含参一元二次不等式的二次项系数为定值时，优先对多项式因式分解，再针对参数分类讨论； 2.若不等式难以因式分解，则依据判别式△不同取值分类分析； 3.若一元二次方程的两根带有参数，需先分类讨论两根的大小关系； 4.结合一元二次不等式解集与对应方程根的对应关系，最终写出解集结论。 【变式1】关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】因为， 所以， 解得， 所以的解集为. 故选：A. 【变式2】当时，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简得，作差比较与的大小，利用一元二次不等式即可求解. 【详解】时，，不等式可化为， 因为，且， 则，故有， 则原不等式等价于， 所以原不等式的解集为. 【变式3】解下列关于x的不等式： (1)； (2)； 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）因式分解，分、、三种情况讨论，再结合根的大小和二次函数的图象可得； （2）按照根的大小分类讨论即可. 【详解】（1）可化为， 当时，不等式为，解集为； 当时，不等式可化为，此时解集为； 当时，不等式可化为， 当时，，此时解集为； 当时，，此时解集为； 当时，，此时解集为. 综上所述，时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为 （2）不等式可化为， ①当时，，解集为，或； ②当时，，解集为； ③当时，，解集为，或. 综上所述， 当时，原不等式的解集为，或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为，或. 题型03 解分式、高次、绝对值不等式 【典例1】求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）化成求解即得；； （2）利用绝对值不等式的解法即可得解； （3）利用分式不等式的解法即可得解. 【详解】（1）由得，解得， 所以原不等式的解集为； （2）因为，所以，解得， 所以的解集为. （3）因为，所以， 等价于，解得或， 所以不等式的解集为. 【典例2】解 【答案】或或 【分析】运用“穿针引线法”画出函数的大致图象，结合图象即可得解. 【详解】运用“穿针引线法”画出函数的大致图象如下： 由函数图象可知，的解集为或或． 1.解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式，进行求解． （1） （2） （3）且 （4）且 2.高次不等式解题技巧：数轴标根法（穿针引线） ①移项整理，将所有式子移到不等号左侧，右侧化为0 ②变形使最高次项系数为正数，再把左侧完整分解因式 ③求出所有因式等于0时的实数根，从小到大排列 ④在数轴标出所有根，从数轴右上方开始画线 ⑤遵循奇穿偶回规则，单根穿过数轴，偶数次重根触底折返 ⑥根据不等号方向取值，大于0取数轴上方区间，小于0取下方区间 【变式1】关于实数x的不等式的解集是________． 【答案】 【详解】， 即等价于且， 根据“穿针引线法”，可得解集为. 【变式2】解 【答案】或或 【分析】运用“穿针引线法”画出函数的大致图象，结合图象即可得解. 【详解】运用“穿针引线法”画出函数的大致图象如下： 由函数图象可知，的解集为或或． 【变式3】（1）求不等式的解集； （2）求不等式的解集 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）移项、作差转化为一元二次不等式即可； （2）对于绝对值不等式，平方后可去掉绝对值，然后解不等式即可. 【详解】（1）移项有，即，即，且， 解得或， 则其解集为. （2）由不等式，可得， 即，即， 解得，即原不等式的解集为. 【变式4】求下列不等式的解集． (1)； (2)． (3) 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）解不含参数的一元二次不等式. （2）利用公式法解含绝对值符号的不等式. （3）化不等式右边为0，通分并转化成一元二次不等式求解. 【详解】（1）不等式化为：，即， 解得或， 所以原不等式的解集为. （2）不等式化为：，则，解得， 所以原不等式的解集为. （3）不等式化为，即，则， 解得或， 所以原不等式的解集为. 题型04 由一元二次不等式的解集求参 【典例1】已知关于的不等式的解集为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】作出函数的图象，知，讨论和，数形结合求参数值． 【详解】由，函数的图象如下， 所以， 若，则不等式的解集是不连续的两段区域，不合题意， 所以，此时恒成立， 因为不等式的解集为， 所以，，即， 由，得或4， 若，则，解得或，不合题意， 所以，此时，则. 【典例2】若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】分、和三种情况分析解不等式即可求解. 【详解】不等式， 解方程得或， 所以当时，原不等式解集为， 解集中恰有3个整数，则该3个整数为，所以； 当时，原不等式解集为，不符合； 当时，原不等式解集为，解集中恰有3个整数，则该3个整数为， 所以. 综上，满足题意的实数的取值范围为. 故答案为：. 1.解集是两个数中间的区间 ①不等式小于零，解集在两根之间 ②二次项系数为正数，对应方程的两根就是解集两端数字，借助两根和与两根积建立等式算出参数 2.解集是两段分开的区间 ①不等式大于零，解集分为小于小数或大于大数两部分 ②二次项系数为正数，对应方程的两根就是解集两端数字，借助两根和与两根积建立等式算出参数 3.解集是全体实数 ①不等式恒大于零，二次项系数为正数，方程无实数根 ②不等式恒小于零，二次项系数为负数，方程无实数根 解集不存在没有解 ①不等式大于零无解，二次项系数为负数，方程最多一个实数根 ②不等式小于零无解，二次项系数为正数，方程最多一个实数根 【变式1】若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】当时，直接代入计算；当时，由关于的不等式的解集为空集，可得，求解不等式即可. 【详解】因为不等式的解集为空集，所以对任意实数，恒成立． 当时，原不等式化为，不等式不成立，所以原不等式的解集为空集，符合条件． 当时，结合二次函数的性质，得抛物线开口向上，与轴最多有1个公共点， 所以，且判别式，解得． 综上，实数的取值范围是． 【变式2】已知二次不等式的解集为，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】由题意可得，再结合解集可得有两根，从而可求解. 【详解】由二次不等式的解集为 可得，且有两根为，， 因为二次函数开口向下，则得，解得或， 又，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式3】（1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）分别按照和讨论求出实数的取值范围； （2）原不等式可化为，利用基本不等式求解，即可得到实数的取值范围. 【详解】（1）①当，即时， 不等式转化为， 此不等式无解，解集为，满足题设； ②当，即时， ， 解得； 综上：实数的取值范围为. （2）因为，所以， 解得，即， 因为，所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以，故实数的取值范围为. 【变式4】已知关于x的不等式. (1)若不等式的解集为，求k和m的值； (2)若不等式的解集为，求实数k的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由的解集为，得到的根为或，利用根与系数的关系求解即可； （2）由不等式的解集为，按照和两种情况讨论求解.当时，由不等式的解集为， 得到，计算得解. 【详解】（1）的解集为， 的根为或，且， ，， （2）不等式的解集为， 当时，不等式转化为，满足题意； 当时，不等式的解集为， ，解得， 综上可知实数k的取值范围为. 题型05 一元二次方程根的分布问题 【典例1】设二次函数． (1)若关于的方程有两个不相等的实数根，且两根都大于等于且小于等于2，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有一个根小于1，另一个根大于1且小于2，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助二次函数图像得到求解即可； （2）借助的图象与轴交点横坐标一个小于1，另一个大于1且小于2，得到求解即可. 【详解】（1）令，由题意可知： 的图象与轴有两个交点，且交点位于之间，包括端点， 所以即 解得：， 即实数的取值范围是 （2）由得： 令，由题意可得： 的图象与轴交点横坐标一个小于1，另一个大于1且小于2， 所以即，解得， 即实数的取值范围是. 1.依托二次函数图像分析，抓住开口、判别式、对称轴、区间函数值四大要点列限制条件 2.两根分居两数两侧，只需判断两端函数值乘积小于零，不用额外判别式与对称轴 3.两根同在单侧或夹在两数之间，必须同时满足有两实根、对称轴区间匹配、端点函数值符号一致 4.二次项含参数先讨论系数为零的一次方程特殊情形 5.区间含边界时端点函数值可取零，要求两不等实根则判别式必须大于零 【变式1】已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】设关于x的方程的两个根分别为，根据满足的条件列不等式组，解不等式组即可得实数的取值范围. 【详解】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系，知 所以由题意知， 即 ，解得. 故选：B. 【变式2】（多选）已知关于的方程，则下列结论中正确的是（   ） A．方程有一个正根一个负根的充要条件是 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的必要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为0 【答案】AB 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可判断各选项. 【详解】因为，可得或， 所以方程有两个根的充要条件是或， 则方程有一个正根一个负根的充要条件是，故A正确； 方程有两个正根的充要条件是，故B正确； 方程无实根的充要条件是，所以必要条件不可能是，故C错误； 当时，方程无实数根，故D错误； 故选：AB. 【变式3】已知关于x的方程，方程一根小于1，一根大于1且小于2，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】由二次函数的图像性质求解 【详解】若，则方程化为，只有一个解，与题意不符； 若，， 方程一根小于1，一根大于1且小于2，则大致图象： 所以，解得，即的取值范围是. 【变式4】已知，是方程的两个实根. (1)若，求实数的值； (2)若两根都大于1，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1) 根据给定条件，利用根的判别式求出范围，再利用韦达定理列式求解. (2) 利用一元二次方程实根分布求出的范围 【详解】（1）由，是方程的两个实根，得，， 且，解得或， 由，得，即， 解得或，又或，经检验，不满足应舍去， 所以. （2）由方程两根都大于1，得，解得， 所以的取值范围是. 题型06 一元二次不等式恒成立与有解问题 【典例1】若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式恒成立问题，分，，三种情况讨论即可. 【详解】当时，显然有成立，符合题意； 当时，二次函数开口向上，故总存在，使得，故时不合题意； 当时，要使不等式对一切实数都成立，需使， 即，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 【典例2】若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的最大值为（    ） A．6 B． C． D．8 【答案】A 【分析】参变分离可得，再根据基本不等式求解最小值即可. 【详解】由在区间恒成立，可得， 即在区间恒成立. 因为，则，当且仅当，时等号成立， 所以，故，即的最大值为， 故选：A. （1）转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立； （2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题． 【变式1】（多选）对于所有实数，使得不等式恒成立的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】若不等式对于所有实数恒成立，则，即， 的充分不必要条件可以是的子集，故A、C正确. 【变式2】若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【分析】不等式在上恒成立，则需区间都落在解集内，这等价于要求与开区间没有交集，从而得出的取值范围. 【详解】由化简得：， 不等式等价于， 解得 要使此不等式对任意恒成立， 则区间必须完全包含在解集中， 等价于与开区间的交集为空集， 区间在左侧，即，解得， 区间在右侧，即，解得， 当，则与必有交集，不满足条件， 综上，实数的取值范围是或， 故答案为： 【变式3】若对于，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】含参恒成立问题，通过，，可直接分离参数，转化为在上恒成立问题，即，计算即可. 【详解】要使 在上恒成立， 即 ，， 因为当时，，则有在上恒成立， 当，令，即， 所以在上恒成立，则， 即，故实数的取值范围为. 【变式4】已知关于的不等式． (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立； (2)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)不存在实数 (2) 【分析】（1）原不等式等价于，对二次项系数进行讨论，结合一元二次不等式恒成立求解即可. （2）设，则是关于的一次函数，得到联立求解即可. 【详解】（1）原不等式等价于． 当时，，解得，不满足题意， 当时，则，即，无实数解. 所以，不存在实数，使得不等式对恒成立． （2）设，当时，恒成立． 又是关于的一次函数， 所以恒成立，，解得， 所以. 所以实数的取值范围是． 题型07 利用一元二次不等式解决实际问题 【典例1】某工厂生产一种产品，其成本函数为（元），其中为产品数量（单位：件）.若每件产品的售价为元，求： (1)工厂至少生产多少件产品时，才能使平均成本不超过售价？ (2)若工厂希望利润不低于元，那么至少需要生产多少件产品？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题可知平均成本； 要使平均成本不超过售价50元则有； ∵，所以两边同乘以得； 化简得，解得； ∵， ∴至少生产2件产品. （2）∵利润=售价×数量-成本,所以利润， 即， 要使利润不低于100元，则有； 解得不等式的解集为， ∴至少需要生产件产品. 【变式1】某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到元.公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价. 【答案】(1)最多为元； (2)销售量至少达到11万件，此时定价30元满足题意. 【分析】（1）设每件定价，根据条件列不等式求解即可； （2）将问题转化为不等式定区间内有解，分离参数再结合基本不等式计算即可. 【详解】（1）设定价每件元，由题意可知， 整理得，解之得， 故该商品每件定价最多为元； （2）由上可知：当时，不等式有解， 整理得有解， 易知，当且仅当时取得等号， 此时， 所以改革后销售量至少达到11万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时每件商品定价为30元. 【变式2】某洗衣店今年年初，用万元购进一台新设备．已知使用年所需的总维护费用为万元，经估算该设备每年可为洗衣店创造收入万元．设该设备使用年的盈利总额为万元（盈利总额总收入成本总维护费用）． (1)该店从第几年开始盈利？ (2)若干年后，该洗衣店想在年平均盈利达到最大值时，以万元的价格卖出设备，请问总获利为多少？（总获利盈利总额设备卖出价格） 【答案】(1)第二年 (2)万元 【分析】（1）由已知条件得出的解析式，解不等式，结合可得出结论； （2）设年平均利润为，利用基本不等式求出的最大值，利用等号成立的条件求出的值，结合题意可求出总获利. 【详解】（1）由题可知， 若开始盈利即，所以，解得， 因为，所以第二年开始盈利. （2）设年平均利润为，则 当且仅当，即时等号成立， 当时，最终获利万元． 【变式3】如图，某蛋糕店制作一块长为，宽为的矩形双拼水果蛋糕，点、、、分别在线段、、、上（不包含端点），点、、、均在线段上，要在矩形与矩形两个区域中分别铺满蓝莓与芒果两种水果.设，铺满水果的区域面积为. (1)已知，求常数、的值； (2)已知蛋糕店内的芒果原料充足，但蓝莓至多能铺满，若要求该蛋糕铺满水果的区域面积不小于，求的取值范围. 【答案】(1)， (2)或（单位：） 【分析】（1）求出、，利用矩形的面积公式可得出关于的二次函数关系式，即可得出实数、的值； （2）根据题意列出关于的不等式组，解出的取值范围，再利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】（1）解：易知矩形与矩形全等， ，所以，， ，所以，， 又因为， 所以，， 所以，， 又因为，则，. （2）解：由（1）可知，，解得， 因为蓝莓至多能铺满，若要求该蛋糕铺满水果的区域面积不小于， 则，整理可得，解得或， 因为， 当时，；当时，. 所以，或（单位：）. 1．解不等式，其解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简分式不等式并两边同乘分母的平方即可求解. 【详解】，, 两边同乘得,解得. 2．不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D．． 【答案】D 【详解】该不等式对应的方程的两个根分别为， 则不等式解得. 3．若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知：一元二次方程的两个根为， 因为，则， 所以不等式的解集是. 4．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【详解】因关于的不等式的解集为， 则，即， 则，即， 所以，解得或． 5．（多选）已知关于的不等式 的解集为 ，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．关于的不等式的解集为或 D． 【答案】ABD 【分析】根据一元二次不等式的解集性质逐一判断即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以有. A：由上可知本选项说法正确； B：因为，所以本选项说法正确； C： ，因此本选项说法不正确； D：因为，所以本选项说法正确， 故选：ABD 6．若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】对任意，不等式都成立， 所以，即， 解得，即k的取值范围是. 7．已知二次函数 (1)若关于x的不等式的解集为，求实数a的值； (2)若，求不等式的解集. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题意知和是方程的两个根，结合韦达定理可求出的值； （2）利用分式不等式的解法可得出所求不等式的解集. 【详解】（1）由题意可知，和是方程的两个根，则，解得. （2）当时， 则不等式，即为，所以， 即，解得或， 即不等式的解集为或. 8．已知关于x的不等式，． (1)若，求不等式的解集； (2)若不等式的解集非空，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)代入，根据二次不等式的解法即可求解； (2)分，和三种情况讨论，时，结合二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）当，不等式， 即 解得：或， 故的解集是． 即不等式的解集是； （2）若，则，解得，此时符合题意； 若，二次函数开口向下，必然存在函数值小于0，此时符合题意； 若，二次函数开口向上， 若要不等式的解集非空，则需解得； 综上，的取值范围是． 1．若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知根据解集的形式判断二次函数的开口方向和方程根的大小关系，即可求解. 【详解】因为关于的不等式的解集是， 所以且， 解得，所以的取值范围是. 故选：. 2．若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用一元二次不等式恒成立问题求解. 【详解】当时，恒成立，则； 当时，，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D 3.关于的不等式（）解集中恰有2个整数，则实数取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由得，即可求解． 【详解】由得，， 因为，所以， 得， 由不等式（）解集中恰有2个整数， 得，得， 故实数取值范围是． 4.（多选）已知不等式，下列说法正确的是（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【分析】根据一元二次不等式的解集求解、二次函数的性质、一元二次方程的根等知识逐项计算即可. 【详解】对于A，时，不等式为， 化简得，令， 解得，即或， 所以不等式的解集为，所以A正确； 对于B，当时，不等式变为，恒成立，所以也符合，B错误； 对于C，令，因为不等式对恒成立， 且是关于的一次函数，所以只需满足且即可. 由恒成立，由，解得，C正确； 对于D，若恰有一个整数使得不等式成立，则，又因为， 所以使不等式成立的整数. 设对应的两个根为，则. 所以，解得，D正确. 故选：ACD. 5.当时，关于的不等式恒成立，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】先分和进行讨论，当时根据不等式讨论分析可知：为的零点，可得，结合基本不等式求解. 【详解】由可得. 当时，由可得，因为关于的不等式恒成立，所以， 因为是开口向上的抛物线，所以不恒成立，故舍去； 当时，则有当时，；当时，. 因为在时恒成立， 所以当时，；当时，. 即是 的零点. 所以，化简可得， 所以，当且仅当， 即等号成立. 故答案为： 6.若关于的不等式：的解集为全体实数，则_____. 【答案】4 【分析】根据已知得，问题化为的解集为全体实数，再结合二次函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】已知可得，即，且时等号成立， 故时，不等式为成立，即，得， 由的解集为全体实数， 等价于的解集为全体实数， 即的解集为全体实数， 整理得的解集为全体实数， 则，故. 故答案为：4 7.已知关于的不等式. (1)若，求这个关于的不等式的解集； (2)，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）整理可得，对二次项系数以及根的大小分类讨论，解不等式； （2）参变分离可得对恒成立，换元令，可得，构造，利用单调性求最值即可. 【详解】（1）因为，可得， 当时，原不等式即为，解得，解集为； 当时，原不等式化为，解集为； 当时，原不等式化为， ①若，可得，解集为； ②若，则，可得解集为； ③若，则，可得解集为. （2）因为，不等式恒成立， 整理可得对恒成立， 又因为，可得对恒成立， 令，则， 可得， 构建，可知在内单调递增， 则，即， 可得．所以a的取值范围是． 8．已知关于的不等式的解集为M，不等式的解集为 (1)若集合，求集合N； (2)若集合，求集合 (3)是否存在整数m，使得解集M中恰有3个整数？若存在，求出所有满足条件的整数m的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) 当时，； 当时，； 当时，； 当时， . (3)存在，m的值为或3 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集，确定参数，代入分式不等式中求解即可； （2）根据一元二次不等式无解的情况，由判别式确定参数范围，对分式不等式进行化简，对参数进行分类讨论，求出结果； （3）根据一元二次不等式有解的情况，由判别式和求根公式求出不等式的解集，根据仅有三个整数解的情况，列出不等式，求出符合条件的整数解. 【详解】（1）由集合，得方程的两根为1或5， 则，解得， 由，即为，则， 即，解得， 所以. （2）若，则方程，解得， 由，则，即， 当时，不等式为，解得，即； 当，不等式变形为， 令，解得或， 当时，，不等式解集为； 当时，，不等式解集为； 当时，，不等式解集为； 综上所述，当时，； 当时，； 当时，； 当时， . （3）由，解得或， 令，解得， 即的解集为， 若存在整数m，使解集M中恰有3个整数，则这三个整数解为， 可得，即，解得或， 又或，则满足条件的整数m的值为或3. 9.已知关于的不等式 的解集为． (1)求实数，的值； (2)若，求关于的不等式的解集； (3)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为 (3) 【分析】（1）根据和2是方程的两根，利用韦达定理可求的值. （2）对的取值分类讨论，结合一元二次不等式解集的形式解不等式. （3）问题转化为，恒成立，再求，的最大值即可. 【详解】（1）由题意，和2是方程的两根，且， 所以，解得. （2）因为，所以不等式可化为， 即. 当时，不等式可化为； 当时，不等式可化为. 若，即时，不等式的解为； 若，即时，不等式的解为； 若，即时，不等式的解为. 综上，当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为. （3）因为，所以不等式可化为， 因为时，不等式恒成立，即恒成立. 因为，所以，，，所以. 由恒成立，可得. 即所求的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 教学目标 1.经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的实际意义． 2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 4.掌握利用一元二次不等式解决含参数、恒成立问题的方法 教学重难点 1.重点 能借助二次函数求解一元二次不等式；利用一元二次不等式解决含参问题的方法 2.难点 通过从函数观点认识不等式，感悟数学知识之间的关联，能够解决有关参数的分类讨论问题 知识点01 一元二次不等式的概念及解法 1.一元二次不等式的概念： （1）定义：一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. （2）一般形式：ax2＋bx＋c>0（≥0），ax2＋bx＋c<0（≤0），（其中a≠0，a，b，c均为常数） （3）一元二次不等式的解与解集 使某一个一元二次不等式成立的x的值，叫作这个一元二次不等式的解； 一元二次不等式的所有解组成的 ，叫作这个一元二次不等式的 ； 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形。 2.不含参数的一元二次不等式的解法 ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． 3.解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 【即学即练】 1．不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 2．当时，关于的不等式 的解集为（   ） A． B． C．或 D． 知识点02 分式、高次、绝对值不等式的解法 1.分式不等式的定义： 与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 2.分式不等式的解法 设A、B均为含x的多项式 （1） （2） （3） （4） 【注意】当分式右侧不为0时，可过移项、通分合并的手段将右侧变为0；当分母符号确定时，可利用不等式的形式直接去分母 3.解分式不等式的一般步骤： ①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． ②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 4.解高次不等式的一般步骤： 高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. 5.解绝对值不等式的一般步骤： 对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 【即学即练】 1.不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 2.已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 3.不等式的解集为________． 知识点03 二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的 叫做二次函数的零点. 【即学即练】 1．已知.满足，那么二次函数的零点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 2．若二次函数的两个零点为2，3，则二次函数的零点是（    ） A． B． C． D． 3.若，是二次函数的两个零点，则的值是（    ） A．3 B．9 C．21 D．33 知识点04 “三个二次”之间的关系 1.对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 2.解一元二次不等式的一般步骤 （1）判号：检查二次项的系数是否为正值，若是负值，则利用不等式的性质将二次项系数化为正值； （2）求根：计算判别式，求出相应方程的实数根； ①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②时，求根； ③时，方程无解 （3）标根：将所求得的实数根标在数轴上（注意两实数根的大小顺序，尤其是当实数根中含有字母时），并画出开口向上的抛物线示意图； （4）写解集：根据示意图以及一元二次不等式解集的几何意义，写出解集。 口诀：大于零取（根）两边，小于零取（根）中间 【即学即练】 1．已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 知识点05 一元二次不等式恒成立与有解问题 1.一元二次不等式恒成立问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为 2．一元二次不等式恒成立问题的求解方法 (1)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立. (2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数. ①若ax2+bx+c>0恒成立，则有a>0，且△<0；若ax2+bx+c<0恒成立，则有a<0，且△<0. ②对第二种情况，要充分结合函数图象利用函数的最值求解(也可采用分离参数的方法). 3．给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题的解题策略 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数；即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解. 4．常见不等式恒成立及有解问题的函数处理策略 不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下： (1)对任意的x∈[m,n]，a>f(x)恒成立a>f(x)max； 若存在x∈[m,n]，a>f(x)有解a>f(x)min； 若对任意x∈[m,n]，a>f(x)无解a≤f(x)min. (2)对任意的x∈[m,n]，a<f(x)恒成立a<f(x)min； 若存在x∈[m,n]，a<f(x)有解a<f(x)max； 若对任意x∈[m,n]，a<f(x)无解a≥f(x)max. 【即学即练】 1．若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若关于的不等式有解，则实数的最大值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 题型01 解不含参数的一元二次不等式 【典例1】解下列一元二次不等式： (1)； (2). 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 1.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正． 2.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． 3.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． 4.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． 5.根据图象写出不等式的解集 【变式1】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】解下列一元二次不等式： (1)； (2). 【变式4】解下列关于x的不等式； (1)； (2)； (3) 题型02 解含参一元二次不等式 【典例1】设，解关于x的不等式：． 对于含参数的一元二次不等式，按照下面思路解题 1.当含参一元二次不等式的二次项系数为定值时，优先对多项式因式分解，再针对参数分类讨论； 2.若不等式难以因式分解，则依据判别式△不同取值分类分析； 3.若一元二次方程的两根带有参数，需先分类讨论两根的大小关系； 4.结合一元二次不等式解集与对应方程根的对应关系，最终写出解集结论。 【变式1】关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2】当时，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式3】解下列关于x的不等式： (1)； (2)； 题型03 解分式、高次、绝对值不等式 【典例1】求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3). 【典例2】解 1.解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式，进行求解． （1） （2） （3）且 （4）且 2.高次不等式解题技巧：数轴标根法（穿针引线） ①移项整理，将所有式子移到不等号左侧，右侧化为0 ②变形使最高次项系数为正数，再把左侧完整分解因式 ③求出所有因式等于0时的实数根，从小到大排列 ④在数轴标出所有根，从数轴右上方开始画线 ⑤遵循奇穿偶回规则，单根穿过数轴，偶数次重根触底折返 ⑥根据不等号方向取值，大于0取数轴上方区间，小于0取下方区间 【变式1】关于实数x的不等式的解集是________． 【变式2】解 【变式3】（1）求不等式的解集； （2）求不等式的解集 【变式4】求下列不等式的解集． (1)； (2)． (3) 题型04 由一元二次不等式的解集求参 【典例1】已知关于的不等式的解集为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【典例2】若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为______． 1.解集是两个数中间的区间 ①不等式小于零，解集在两根之间 ②二次项系数为正数，对应方程的两根就是解集两端数字，借助两根和与两根积建立等式算出参数 2.解集是两段分开的区间 ①不等式大于零，解集分为小于小数或大于大数两部分 ②二次项系数为正数，对应方程的两根就是解集两端数字，借助两根和与两根积建立等式算出参数 3.解集是全体实数 ①不等式恒大于零，二次项系数为正数，方程无实数根 ②不等式恒小于零，二次项系数为负数，方程无实数根 解集不存在没有解 ①不等式大于零无解，二次项系数为负数，方程最多一个实数根 ②不等式小于零无解，二次项系数为正数，方程最多一个实数根 【变式1】若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是______． 【变式2】已知二次不等式的解集为，则实数的取值范围为______. 【变式3】（1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【变式4】已知关于x的不等式. (1)若不等式的解集为，求k和m的值； (2)若不等式的解集为，求实数k的取值范围． 题型05 一元二次方程根的分布问题 【典例1】设二次函数． (1)若关于的方程有两个不相等的实数根，且两根都大于等于且小于等于2，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有一个根小于1，另一个根大于1且小于2，求实数的取值范围． 1.依托二次函数图像分析，抓住开口、判别式、对称轴、区间函数值四大要点列限制条件 2.两根分居两数两侧，只需判断两端函数值乘积小于零，不用额外判别式与对称轴 3.两根同在单侧或夹在两数之间，必须同时满足有两实根、对称轴区间匹配、端点函数值符号一致 4.二次项含参数先讨论系数为零的一次方程特殊情形 5.区间含边界时端点函数值可取零，要求两不等实根则判别式必须大于零 【变式1】已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【变式2】（多选）已知关于的方程，则下列结论中正确的是（   ） A．方程有一个正根一个负根的充要条件是 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的必要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为0 【变式3】已知关于x的方程，方程一根小于1，一根大于1且小于2，求实数的取值范围． 【变式4】已知，是方程的两个实根. (1)若，求实数的值； (2)若两根都大于1，求的取值范围. 题型06 一元二次不等式恒成立与有解问题 【典例1】若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D．或 【典例2】若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的最大值为（    ） A．6 B． C． D．8 （1）转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立； （2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题． 【变式1】（多选）对于所有实数，使得不等式恒成立的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是________. 【变式3】若对于，恒成立，求实数的取值范围. 【变式4】已知关于的不等式． (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立； (2)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围． 题型07 利用一元二次不等式解决实际问题 【典例1】某工厂生产一种产品，其成本函数为（元），其中为产品数量（单位：件）.若每件产品的售价为元，求： (1)工厂至少生产多少件产品时，才能使平均成本不超过售价？ (2)若工厂希望利润不低于元，那么至少需要生产多少件产品？ 【变式1】某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到元.公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价. 【变式2】某洗衣店今年年初，用万元购进一台新设备．已知使用年所需的总维护费用为万元，经估算该设备每年可为洗衣店创造收入万元．设该设备使用年的盈利总额为万元（盈利总额总收入成本总维护费用）． (1)该店从第几年开始盈利？ (2)若干年后，该洗衣店想在年平均盈利达到最大值时，以万元的价格卖出设备，请问总获利为多少？（总获利盈利总额设备卖出价格） 【变式3】如图，某蛋糕店制作一块长为，宽为的矩形双拼水果蛋糕，点、、、分别在线段、、、上（不包含端点），点、、、均在线段上，要在矩形与矩形两个区域中分别铺满蓝莓与芒果两种水果.设，铺满水果的区域面积为. (1)已知，求常数、的值； (2)已知蛋糕店内的芒果原料充足，但蓝莓至多能铺满，若要求该蛋糕铺满水果的区域面积不小于，求的取值范围. 1．解不等式，其解集为（   ） A． B． C． D． 2．不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D．． 3．若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 4．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 5．（多选）已知关于的不等式 的解集为 ，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．关于的不等式的解集为或 D． 6．若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是______． 7．已知二次函数 (1)若关于x的不等式的解集为，求实数a的值； (2)若，求不等式的解集. 8．已知关于x的不等式，． (1)若，求不等式的解集； (2)若不等式的解集非空，求实数m的取值范围． 1．若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3.关于的不等式（）解集中恰有2个整数，则实数取值范围是（   ） A． B． C． D． 4.（多选）已知不等式，下列说法正确的是（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 5.当时，关于的不等式恒成立，则的最小值为__________. 6.若关于的不等式：的解集为全体实数，则_____. 7.已知关于的不等式. (1)若，求这个关于的不等式的解集； (2)，不等式恒成立，求实数的取值范围. 8．已知关于的不等式的解集为M，不等式的解集为 (1)若集合，求集合N； (2)若集合，求集合 (3)是否存在整数m，使得解集M中恰有3个整数？若存在，求出所有满足条件的整数m的值，若不存在，请说明理由. 9.已知关于的不等式 的解集为． (1)求实数，的值； (2)若，求关于的不等式的解集； (3)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $