限时训练二-山西汾阳中学2026-2027学年高三数学上学期

**基本信息** 聚焦导数应用的系统性训练，以导数几何意义与函数性质为核心，构建从基础求导到综合应用的方法体系，培养数学思维与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |导数几何意义|5题（1-3,8-9）|切线斜率/方程求解、倾斜角范围分析|导数定义→几何意义（切线斜率）→距离最值| |导数应用|4题（4-7）|分离参数法、构造新函数、分类讨论|导函数符号→函数单调性→参数范围/根的个数| |综合解答|1题（10）|单调性讨论、恒成立问题转化|导数应用→函数性质→综合问题解决|

高三数学限时练一（2） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．曲线在处的切线斜率为（    ） A． B． C． D． 2．已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．曲线在点处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D．1 4．已知函数在定义域上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，，若有3个根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 6．下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 7．若，则__________． 8．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则______． 9．曲线上的点到直线的最短距离是______. 四、解答题 10．已知函数． (1)若，求函数的最小值； (2)讨论的单调性； (3)若在上恒成立，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《高三数学限时练一（2）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C D B B B BCD 1．C 【分析】根据导数的几何意义求解即可. 【详解】 . ，故曲线在处的切线斜率为0. 2．D 【分析】求导，结合基本不等式可得，得到答案 【详解】． 设，则， ， ， ∵， ∴． 3．B 【分析】令，求其导数，由条件分析出，求出值即可. 【详解】令，则. 因为曲线在点处的切线与直线垂直， 且直线的斜率为2， 所以曲线在处的切线斜率为， 即，解得. 故选：B 4．B 【分析】函数单调递减转化为导函数恒小于等于，分离参数构造新函数，利用导数求新函数最大值，再解出参数的取值范围． 【详解】的定义域为， ， 由在定义域上单调递减， 得，恒成立， 由，得， 令，， 由，得， 时，，单调递增； 时，，单调递减， 所以时，取最大值， 所以，解得， 即实数的取值范围为． 5．B 【分析】可以将问题分为和两部分来考虑，再将变量分离，对新得到的函数进行单调性分析，最后综合考虑求解. 【详解】当时，，令，得， 设，对求导，可得，令，得， 在上单调递增，在上单调递减，在处取到最大值， 当，，则， 当，增长速度远慢于的增长速度，则； 当时，，令，得， 设，对求导，可得， 则在上单调递增， 当，增长速度远快于的增长速度，则， 当，增长速度远快于的增长速度，则； 因此我们大致可以得到以下图像： 因此我们把问题有3个根，转变成了与的图象共有三个交点， 观察图象知，当时上述条件成立. 6．BCD 【分析】根据基本初等函数的导数及导数的四则运算、复合函数的求导法则逐一分析选项即可. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D： ，故D正确. 7．7 【分析】对给定等式两边求导，再赋值计算即得. 【详解】由，求导得， 取，得. 8． 【分析】求得，得到，求得切线方程为，再求得，设曲线的切点为，列出方程组，即可求解. 【详解】由函数，可得，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 又由函数，可得， 设曲线的切点为， 则，解得. 故答案为：. 9． 【分析】将直线平移，当直线与相切时，切点到直线的最短距离，利用导数的几何意义求出切点坐标，再根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】将直线平移， 当直线与相切时，切点到直线的最短距离，    设曲线在点处的切线与直线平行， 因为，则，解得， 所以，则切点坐标为， 切点到直线的距离， 即曲线上的点到直线的最短距离是， 故答案为： 10．(1) (2)当时，在 上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增. (3) 【分析】（1）求导后判断单调性，确定极小值点，代入求最小值； （2）对参数 分类讨论，根据导数符号确定单调区间； （3）先由对数有意义得 ，化简不等式为含参数的分式函数恒正，分情况讨论参数范围. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得 . 当 时，. 当 时，，单调递减； 当时，，单调递增. 故在 处取最小值，代入得. 因此函数的最小值为. （2）对导数分类讨论： 若，则对任意都有，即，故在上单调递增； 若，时，，单调递减； 时，，单调递增. 综上，当时，在 上单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增. （3）由题意，已知，则有意义需. 不等式 在 恒成立，化简不等式得， 消去同类项整理得，对任意恒成立. 令 . 若，则，故恒成立； 若，则，成立； 若，则 ，当时，，，不满足恒成立. 综上，的取值范围为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $