第一章 特殊平行四边形 单元测试2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版九年级数学上册第一章“特殊平行四边形”单元测试，全面覆盖菱形、矩形、正方形的性质与判定，通过图形直观、动态探究及实际应用，培养几何直观、空间观念与推理能力，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|12题|菱形面积计算、矩形判定、正方形角度计算等|结合尺规作图（第3题）与实际情境（第11题门框检测），强化图形性质应用| |填空题|8题|中点四边形判定、矩形动点全等、线段最小值等|动态几何问题（第17题动点与全等、第19题最值），培养空间观念| |解答题|5题|正方形折叠综合、筝形性质探究、二次根式应用等|多问探究设计（第21题折叠猜想证明、第25题筝形从定义到拓展），发展推理能力与创新意识|

第一章 特殊平行四边形 单元测试2026-2027学年 北师大版九年级数学上册 一、单选题 1．如图，在菱形中，对角线，，则菱形的面积为（    ） A．96 B．48 C．24 D．12 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点M，N，再分别以M、N为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点B，连接．若，则（    ）    A． B． C． D． 4．菱形中，对角线，，菱形边长为（     ） A． B．5 C．8 D．12 5．如图，四边形是平行四边形，添加下列条件后，可以得到四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，矩形的对角线与相交于点O，，已知，则该矩形的面积是（    ） A． B．2 C． D．3 7．下列命题中正确的是（     ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D．有一组邻边相等的四边形是菱形 8．如图，的对角线相交于点，下列条件不能判定是正方形的是（   ） A． B． C． D． 9．如图，延长正方形的边至点E，使得．连结交边于点F，则的大小是（    ） A．105度 B．112.5度 C．120度 D．135度 10．点E是矩形内一点，连接，已知，下列结论不正确的是（    ） A．若，则 B．的最小值为20 C．若的面积等于的面积，则的面积等于的面积 D．若，则 11．为检测如图所示的平行四边形门框是否为矩形，下列测量方法可行的是（     ） A．测量与的长度是否相等 B．测量与的长度是否相等 C．测量与的长度是否相等 D．测量与的长度是否相等 12．如图，四边形与四边形均为正方形，点在上，过点作，分别交，于，，则知道以下哪条线段的长度就可以求出阴影部分的面积（     ） A． B． C． D． 二、填空题 13．如图所示衣帽架由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节、之间的距离．已知调节完之后、间的距离为，、间的距离为，则与之间的距离为________． 14．如图，正方形ABCD中，点P在边AD上，于点E，于点F，，，则m，n满足的数量关系是__________． 15．顺次连接矩形的四边中点得到的四边形一定是________（填“矩形或菱形或正方形”）． 16．如图：，将沿着射线方向平移，得到．已知，，则阴影部分的面积为______． 17．如图，在长方形中，，．延长到，使，连接．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动．设点运动的时间为．当取某个值时，使得和全等，则满足条件的值是______． 18．如图，在中，，点在边上（不与点，重合），于点，于点，连接．若，，则的最小值为______． 19．如图，在矩形中，E、F分别为、上的动点，且，O为的中点，于点Q，于点P，连接．若，，则的最小值为______． 20．如图，E为菱形的对角线上的动点，以，为邻边作平行四边形．若，，则的最小值为__________． 三、解答题 21．四边形是一张正方形纸片，点E为边上一点，如图1，将沿翻折得到，点的对应点为，将纸片展平后，连接并延长交边于点，交于点M． (1)__________； (2)折痕与存在什么数量关系，并说明理由； (3)如图2，点G为边上一点，将四边形沿所在直线翻折得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点，将纸片展平后，连接交边于点，请你猜想线段，，之间的数量关系并证明． 22．已知点，是的对边，上的点，且，连接，与相交于点，． (1)如图，求证：； (2)如图，若，连接，，求证：四边形是菱形． 23．如图，某学校有一块形状为矩形的空地，米，米，现要在矩形空地中修建两个长为米，宽为米的矩形花坛（阴影部分）． (1)矩形空地的周长为______米；（结果化为最简二次根式） (2)除去修建花坛的地方，学校计划在其他地方铺上地砖，若铺地砖的造价为元/平方米，则铺完地砖需要花费多少元？ 24．图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表示一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题，比如：用图1所示的正方形与长方形纸片可以拼成一个图2所示的正方形． (1)【问题发现】利用不同的代数式表示图2中阴影部分的面积，写出你从中获得的等式为 (2)【类比探究】已知，，求的值； (3)【拓展延伸】学校计划在如图3的两块正方形草地间种些花，点是线段上的点，两块草地分别是以、为边的正方形，且两正方形的面积和，若，求用来种花的阴影部分的面积． 25．综合与实践 【问题背景】数学学习中，很多特殊图形具有共同的结构特征．某数学小组对角平分线定理、线段垂直平分线定理、垂径定理、切线长定理的基础图形进行研究，发现它们都包含一种特殊四边形模型，如图所示． 【归纳总结】 (1)定义：四边形中，若，则称该四边形为筝形．请写出筝形的两条性质（不需证明）： ①_____； ②_____． 【知识迁移】 (2)如图1，将正方形绕点A逆时针旋转任意角度，得到正方形，边与交于点E．求证：四边形是筝形； (3)若将（2）中“正方形”改为“菱形”，其余条件不变，如图2，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出关于四边形正确结论． 【拓展延伸】 (4)如图3，在（2）的正方形旋转图形中，连接、交于点O．若正方形边长为6，求的最小值． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B A A B C A B B A B A 1．【答案】C 【知识点】利用菱形的性质求面积 【分析】根据菱形的面积等于菱形对角线长度乘积的一半，即可求解． 【详解】解：根据题意得：菱形的面积为． 故选：C 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的面积等于菱形对角线长度乘积的一半是解题的关键． 2．【答案】B 【知识点】等边三角形的性质、利用平行四边形的性质求解、利用菱形的性质证明、轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称图形和轴对称图形的概念以及等边三角形、菱形、平行四边形和正多边形的性质求解即可． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 3．【答案】A 【知识点】作角平分线(尺规作图)、根据菱形的性质与判定求角度 【分析】本题考查了菱形的判定和性质．证明四边形是菱形，即可求解． 【详解】解：由作图知， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， 故选：A． 4．【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质得到直角三角形，再用勾股定理计算边长即可． 【详解】解：如图，设对角线与交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 在中，， ∴菱形的边长为． 5．【答案】B 【知识点】添一条件使四边形是矩形 【分析】本题考查了矩形的判定，根据矩形判定性质逐一判断即可，熟知矩形的判定法则是解题的关键． 【详解】解：A、 ，平行四边形是菱形，故该选项不符合题意； B、四边形是平行四边形，， ，， 平行四边形是矩形，故该选项符合题意； C、四边形是平行四边形，，故该选项不符合题意； D、四边形是平行四边形，，故该选项不符合题意； 故选：B． 6．【答案】C 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求面积 【分析】本题考查了矩形的性质，含的直角三角形，等边三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用． 根据矩形的性质可知，，，三角形为等边三角形，进而可求，含的直角三角形中，，再通过矩形面积公式计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积为：， 故选：C． 7．【答案】A 【知识点】证明四边形是菱形、证明四边形是平行四边形、矩形的判定定理理解、正方形的判定定理理解 【分析】根据平行四边形的判定定理、矩形的判定定理、正方形和菱形的判定定理，判断各选项进行分析即可． 【详解】解：A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，符合判定定理，正确. B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形，原命题未限定为平行四边形，错误. C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题不符合正方形判定条件，错误. D. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形，原命题未限定为平行四边形，错误. 8．【答案】B 【知识点】添一条件使四边形是矩形、添一个条件使四边形是正方形、添一个条件使四边形是菱形 【分析】此题主要考查了正方形的判定，关键是熟练掌握正方形的判定定理． 根据正方形的判定定理逐选项分别进行分析即可． 【详解】解：A． 由，可判断是矩形，由可判定矩形是正方形，此选项不合题意； B． 由可判断是菱形，由菱形可判定，此选项不能判定是正方形，符合题意； C． 由可判断是菱形，由可判定菱形为正方形，此选项不符合题意； D． 由可判定是菱形，由可得，进而可判定菱形为正方形，不符合题意； 故答案为：B． 9．【答案】B 【知识点】根据正方形的性质求角度、三角形的外角的定义及性质、等边对等角 【分析】由AC是正方形的对角线，可得AC平分∠BCD，∠ACD=∠ACB=45°，由∠DCE=∠BCD=90°，可求∠ACE=135°，由AC=CE，可求∠E=，利用三角形外角∠AFC=112.5°． 【详解】解：∵AC是正方形的对角线， ∴AC平分∠BCD，且∠BCD=90°， ∴∠ACD=∠ACB=45°， ∵∠DCE=∠BCD=90°， ∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=45°+90°=135°， ∵AC=CE， ∴∠E=∠CAE=， ∴∠AFC=∠FDE+∠E=90°+22.5°=112.5°． 故选择B． 【点睛】本题考查正方形性质，等腰三角形性质，三角形外角性质，掌握正方形性质，等腰三角形性质，三角形外角性质是解题关键． 10．【答案】A 【知识点】三角形三边关系的应用、用SSS证明三角形全等（SSS）、用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明 【分析】由全等三角形的性质得，无法证明对应边相等，得出无法证明，可判断A不正确；求出对角线的长，然后根据三角形三边的关系求出的最小值为20，可判断B正确；根据可判断C正确；由相似三角形的性质得出，，即可证明、、三点共线，利用等积法得出,可证明D正确． 【详解】解：如图， A∵，∴． ∵无法证明对应边， ∴无法证明，故该选项不正确； B．连接，∵，∴．∵，，∴的最小值为20，故正确； C．∵，的面积等于的面积，∴的面积等于的面积，故正确； D．如图， ∵， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴、、三点共线，， ∴，即， 解得：，故正确 故选A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，相似三角形的性质，难度一般． 11．【答案】B 【知识点】矩形的判定定理理解 【详解】解：A、测量与的长度是否相等，无法确定是矩形，故本选项的测量方法不可行； B、测量与的长度是否相等，对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项的测量方法可行； C、测量与的长度是否相等，不能判定是矩形，故本选项的测量方法不可行； D、测量与的长度是否相等，不能判定是矩形，故本选项的测量方法不可行． 12．【答案】A 【知识点】根据正方形的性质求面积、用勾股定理解三角形 【分析】连接，易得，进而得到，推出即可. 【详解】解：如图，连接， 由题意可知，四边形为矩形，， ∵， ∴， ． 故只要知道线段的长就可以求出阴影部分的面积. 13．【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查菱形的性质，面积，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 连接，交于点O，求出菱形的边长及面积，即可求出菱形的高，根据图形可知与之间的距离是菱形的高的3倍，即可解答． 【详解】解：连接，交于点O，如图, 有， ∴，，， ∴， 设菱形的高为h，则 ， 即， ∴与之间的距离为． 故答案为． 14．【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据矩形的性质与判定求线段长、正方形性质理解 【分析】根据正方形的性质可得∠CAD=∠BDA=45°，由等腰直角三角形的判定与性质以及矩形的判定和性质得PE=AE、PF=OE，由此可得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠CAD=∠BDA=45°，AC⊥BD， ∵PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F， ∴△APE为等腰直角三角形，四边形PEOF为矩形， ∴PE=AE，PF=OE， ∴AC=2OA=AE+OE=PE+PF， ∵AC=m，PE+PF=n， ∴． 故答案为：． ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，掌握其性质定理是解决此题的关键． 15．【答案】菱形 【知识点】利用矩形的性质证明、证明四边形是菱形、中点四边形 【分析】利用三角形中位线定理，结合矩形对角线相等的性质，可判定所得四边形的形状． 【详解】如图，矩形，连接对角线和，连接各个边的中点，得到线段、、、， ∵矩形， ∴， ∵为矩形各个边的中点， ∴分别是、、、的中位线， ∴，，， ∴， ∴四边形为菱形． 16．【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平移的性质求解、根据矩形的性质与判定求面积 【分析】此题主要考查了平移的性质，勾股定理，首先根据勾股定理求出，再计算三角形的面积和矩形的面积即可得阴影部分的面积，关键是掌握矩形和三角形的面积公式． 【详解】解：∵，，， ∴ ∵是沿着射线方向平移得到， ∴四边形为矩形，， ∴， ， ∴， 故答案为：． 17．【答案】或 【知识点】全等三角形综合问题、根据矩形的性质求线段长、（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】本题考查了全等三角形的判定、矩形的性质、动点问题，分情况讨论即可作答． 【详解】①当点在上时，由题意得 要使，则需 解得： ②当在上时，不构成 ③当在 上时，由题意得 要使，则需，即 解得： 综上，当或时， 故答案为或． 18．【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、垂线段最短、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】如图：连接，先利用勾股定理列式求出，再判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短可得时，线段的值最小， 此时，，即, 解得：， ∴． 19．【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、根据矩形的性质与判定求线段长、四边形中的线段最值问题 【分析】连接、、，根据矩形的性质和勾股定理，得出，利用直角三角形的斜边中线，得出，证明四边形是矩形，则，当点在上时，有最小值为． 【详解】解：如图，连接、、， 矩形，，， ，，， ， ， ， 在中，O为的中点， ， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， 即当点在上时，有最小值为． 20．【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、利用菱形的性质求线段长、垂线段最短 【分析】连接，，与交于点，根据可得当，最小，据此即可求解． 【详解】解：如图，连接，，与交于点， ∵菱形， ∴，， ， ， 四边形是平行四边形， ∴， 当，即时，最小， 此时，的最小值为． 21．【答案】(1) (2)，理由如下： ∵四边形是正方形，且， ∴有，即， ∴在和中有， ∵， ∴ ， ∴． (3)猜想：， 证明： 过点G作，交线段于点P， 由翻折的性质可得点B和点互为对应点， ∴对称轴，即， ∴， ∵， ∴有，即， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴在和中有， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、正方形折叠问题 【分析】（1）根据翻折的性质找出垂直平分线，利用垂直平分线的性质即可． （2）利用（1）的信息找出等角，进而找出全等三角形即可． （3）根据翻折的性质找出垂直平分线，得出，通过（2）的启发构造全等三角形转化线段，再结合正方形四边相等的性质进行代换即可. 【详解】（1）由翻折的性质可得由翻折的性质可得点B和点互为对应点， ∴对称轴，即， ∴． （2）略． （3）略． 22．【答案】(1) 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∴； (2) 证明：∵， ∴是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴，， 由（）得，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质证明、证明四边形是菱形、利用菱形的性质证明 【分析】（）由平行四边形的性质可得，，进而由即可证明； （）由得是菱形，即得，，可证，得到，同理可得，，再证明，得到，即得，即可求证； 本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，掌握菱形的判定和性质是解题的关键 ． 【详解】（1）略 （2）略 23．【答案】(1) (2)元 【知识点】二次根式的混合运算、运用平方差公式进行运算、根据矩形的性质求面积、二次根式的应用 【分析】（1）根据矩形的周长公式即可求出矩形空地的周长； （2）首先根据矩形的面积公式求出需要铺地砖的面积，再根据费用铺地砖的面积地砖的造价求出需要的费用． 【详解】（1）解：矩形空地的周长为： ； （2）解：根据题意得： （平方米）， 铺完地砖需要花费（元）， 答：铺完地砖需要花费元． 24．【答案】(1) (2) (3) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用、根据正方形的性质求面积 【分析】（1）由阴影部分的面积两个小正方形面积之和大正方形的面积个长方形的面积即可得； （2）利用完全平方公式变形即可解答； （3）设大正方形的边长为，小正方形的边长为，再由完全平方公式的变形：即可得． 【详解】（1）解：， ； （2）； （3）设大正方形的边长为，小正方形的边长为， 则，，， 用来种花的阴影部分的面积． 25．【答案】(1)①筝形的一条对角线垂直平分另一条对角线；②筝形的面积等于对角线乘积的一半（本题答案不唯一，只要正确即可） (2) 证明：如图1，连接， 由旋转知四边形和四边形为全等的正方形， ，， 在和中， ， ， ， ∴四边形是筝形． (3) 解：四边形是筝形， 理由：如图2，连接， 由旋转知四边形和四边形为全等的菱形， ，， ， ， ， ， ∴四边形是筝形． (4) 【知识点】证明四边形是菱形、根据正方形的性质求线段长、四边形中的线段最值问题、点与圆上一点的最值问题 【分析】（1）利用筝形的定义解答即可； （2）连接，利用正方形的性质得到，，利用全等三角形的判定与性质得到，依据筝形的定义解答即可； （3）连接，由旋转知，，得，，进而得，进而得，故可得结论； （4）利用筝形的性质和圆的有关性质得到点O在以为直径的半圆上运动，的中点M为该半圆的圆心，连接，结合图形得到当点M，O，C三点在一条直线上时，取得最小值，最小值为，利用正方形的性质和勾股定理解答即可得出结论． 【详解】（1）解：由筝形的定义可得：①筝形的一条对角线垂直平分另一条对角线；②筝形的面积等于对角线乘积的一半；③筝形是轴对称图形等；（本题答案不唯一，只要正确即可） （2）略 （3）略 （4）解：如图3， 由（2）知四边形是筝形， ，， 点A、E在线段的垂直平分线上， ， ， ∴点O在以线段为直径的半圆上运动， 取的中点M，则点M为该半圆的圆心，连接，， ， 当点M，O，C三点在一条直线上时，取得最小值，最小值为， ∵正方形的边长为6， ∴， ，且M为的中点， ， ∴， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $