第一章《特殊平行四边形》单元测试卷 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 《特殊平行四边形》单元卷聚焦菱形、矩形、正方形性质与判定，通过折叠、动点、中点四边形等综合问题，覆盖核心知识点，适配单元复习，强化几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|菱形边长计算、矩形对角线性质、中点四边形判定|基础概念辨析，如第8题结合中点四边形与原四边形对角线关系| |填空题|6/18|平行四边形折叠、矩形动点最值、正方形坐标|空间观念应用，如第14题矩形中EF中点O的PQ最小值| |解答题|8/72|菱形与矩形证明、正方形动态问题、折叠综合|分层设计，如第21题动点问题融合面积与对称，第23题折叠问题提升推理能力|

第一章《特殊平行四边形》单元测试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.如图，菱形ABCD的边长为2cm,∠ABC=120°，则BD的长度为() D B A.1.5cm B.2cm C.2.5cm D.3cm 2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,若∠OAD=60°，AD=4,则BD的长 为() B A.4 B.6 C.8 D.10 3.要使如图所示的oABCD成为菱形，需增加的一个条件是( ) B A.AC=BD B.AB=CD C.AC平分∠BAD D.∠ABC=∠ADC 4.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，添加的条件()使它变为矩形. A D A.AB=CD B.AD=BC C.AB=BC D.AC=BD 5.如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,点E是OA上一点，连接DE,若 OE=1 DE=3 ,则B的长为（) D E B A.2W2-1 B.V2-1 C.2-√2 D.2W2-2 6.如图，菱形ABCD的周长为40cm,∠BAC=60°，则该菱形的面积是() A D B A.50cm2 B.50v3cm2 C.100cm2 D.100W3cm2 7.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=8,将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则 BE 的长为() G ---1D A.3 B.25 C.3v2 D.25 8.定义：将顺次连接四边形各边中点所得到的四边形称为中点四边形.如果中点四边形是正 方形，那么原四边形的两条对角线一定满足() A.两条对角线互相平分且相等 B.两条对角线互相垂直且相等 C.两条对角线互相平分且垂直 D.两条对角线互相垂直且不等 9.如图，在△ABC中，点E、DF分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA,DF∥BA,下列四 个判断中，正确的个数有() ①如果点E,F分别是AB,AC的中点，那么四边形AEDF是菱形 ②如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形 ③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形 ④如果AD⊥BC,且AB=AC,那么四边形AEDF是正方形 E B D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10.如图，四边形4BCD是菱形，点4，么GD均在坐标轴上，∠M8C=120°，点1(-6,0)，点 是CD的中点，点P是OC上的一动点，则PD+PE 的最小值是() A.3 B.6 C.3v5 D.65 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.如图，四边形ABCD为平行四边形，且DB平分∠ABC,作DE⊥BC,垂足为E,若BD=24, AC=10,则 E= 12.如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上的一点，过点P作EF∥BC,分别交AB、CD于 E,F,连接PB,PD.若AE=l,PF=3,则图中阴影部分的面积是 D 13.如图，在平面直角坐标系中，正方形48CD的顶点40,3列，B(60)均在垒标转上，则点C 的坐标是 B 14.如图，在矩形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的动点，且EF=CD,O为EF的中点， O9⊥AD OP⊥AB 于点Q, 于点B连接P.若B=4,D=6,则P ,则的最小值为 0 15.如图，在矩形纸片ABCD中，已知BC=16,折叠纸片使边AB与对角线AC重合，点B落在 点F处，折痕为AE,且EF=6,则矩形纸片ABCD的周长为 D B-= 16.已知：如图，在正方形ABCD外取一点E,连接AE、BE、DE,过点A作AE的垂线交DE于 点P,若AE=AP=1,PB=V0,下列结论中正确的是 AEBE②ERL ED时③Nam+SaP2④SE边形ABD3 D B 三、解答题（共8小题，共72分) 17.(8分)如图，菱形ABCD对角线AC与BD交于点O,过点C作CE∥DB,过点B作 BE∥AC CE BE 与相交于点E. 0 B (1)求证：四边形OBEC是矩形； (2)若CD=10,OD=6,求四边形OBEC的面积. 18.(8分)如图，矩形AEBO的对角线AB、OE交于点F,延长AO到点C,使OC=OA,延 长BO到点D,使OD=OB,连接AD、DC、BC. D (I)求证：四边形ABCD是菱形. (2)若OE=4,∠BCD=60°，则菱形ABCD的面积为 19.(8分)已知：四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且 DE=BF,连接E、MF、EF. D E B (1)求证：△ADE≌△ABF: (2)证明：∠EAF=90°」 20.(I0分)如图，矩形ABCD中，AB>AD,把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落 在点E处，AE交CD于点F,连接DE. E D C B (I)求证：△AED2aCDE: (2)求证：△DEF是等腰三角形； (3)若AB=8,BC=4,求DF的长. 21.(10分)如图，在矩形ABCD中，AD=11,点E在边AD上，AE=5,点P从点A出发，沿 折线B-BC向终点C匀速运动，设点P运动的路程为(x>0),连接PE,当点P运动到点B 时，PE=V34 E E 备用图 (1)求AB的长； (2)当四边形APCE是平行四边形时，求x的值； (3)连接BE,当△BPE的面积为6时，求x的值； (4)作点A关于直线PE的对称点A',当点A恰好落在边BC上时，直接写出x的值. 22.(10分)如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在边AD,CD上，且DE=CF,AF与 BE 相交于点G. G (1)判断AF,BE的关系； (2)若AB=8,DE=2,求AG的长. 23.(9分)【问题背景】已知正方形ABCD,点E,F分别是BC,CD边上的点. y 图1 图2 图3 【问题解决】 (1)如图1，已知AE⊥BF,垂足为P.求证：AE=BF; (2)如图2，已知点G,H分别在AD,BC边上，连接AH,GE,且GE⊥BF,垂足为P, /G6,交F于点，若6E=0,求F的长度： 【深入探究】 (3)如图3，若将正方形ABCD折叠，使得点B恰好落在CD边上的点F处，点A的对应点为点 W,折痘分别交D,BC于点“，E.若正方形的边长为10，MB=1,求 CF ,求的长度. 24.(9分)如图，已知直线y=2x+8与x轴交于点A,与y轴交于点B,点C是线段AB的中 点，点M为x轴正半轴上一动点，点M的横坐标记作m,过点A作AN∥BM交MC的延长线 于N,CM交y轴于点D. B /AO M (I)判断四边形AMBN的形状为 ,并说明理由； (2)若四边形AMBN是菱形时，求m的值； (3)连接AD,若△ADN的面积是△BDM面积的3倍，求m的值. 参考答案 一、选择题 1.B 解：，菱形ABCD的边长为2cm,∠ABC=120°， ÷4B=AD=2m,∠AD3aC=60r, 2 ∴.△ABD是等边三角形， .BD=AB =2cm. 故选B 2.C 解：：四边形ABCD是矩形， ∴.OA=OD,BD=2OD, :∠0AD=60°， ∴.aOAD是等边三角形， ∴.OD=AD=4, ∴.BD=2OD=2×4=8 故选C 3.C 解：A、由AC=BD,则口ABCD是矩形，故不符合题意； 6、由B=CD B 不能判定BABCD】 是菱形，故不符合题意； C A 由 C平分BMD,则 D,因为4D/CB,所以 BAC=∠CAD DAC=∠ACB ，所以 ∠B1C=4CB,所以MB=BC,则BCD 是菱形，故符合题意； D、由46C=∠MDC,不能判定1BD是菱形，故不符合题意： 故选C. 4.D 解：四边形ABCD的对角线互相平分，则这是一个平行四边形，对角线相等的平行四边形 是矩形. 故选D. 5.A 解：，四边形ABCD是正方形， 4GL BD:AC=BD:0A=0C =7AC:0B=OD=-BD 2 ∴.∠AOD=90°，0A=OD, :0D=VDE2-0E2=V32-P=22 .0A=0D=22, .'AE=0A-OE=22-1. 故选A. 6.B 解：如图，连接BD交AC于点O, A D B ,菱形ABCD的周长为40cm, 48-BC40-10cm,ACLBD OA-OC.OB-OD ∠BAC=60° ∴.△ABC是等边三角形， ∴.∠ABC=60° ∠ABD=∠ABC=309 :0A=)AB=5m 2 :0B=VAB-0M=102-5=5v3cm .'.AC=204=10cm,BD=20B=103cm, 1 1 .菱形的面积为2 AC.BD=。×10×10W3=50√3cm2 2 故选B. 7.A 解：设BE=x,则由折叠性质知AE=CE=BC-BE=8-x, 由矩形的性质知∠ABE=90°， 在Rt△ABE中，由勾股定理得AB2+BE2=AE2, 即4+r=(8-x 解得x=3, 故BE的长为3. 故选A. 8.B 解：根据题意画出图形如下： ,E、F、G、H分别是四边形ABCD各边AB、BC、CD、AD的中点， ..EH I FG AC.EF BDII HG EF-BD-GH,FG-AC-E, :四边形EFGH是正方形， ∴.EF=FG=GH=HE∠EFG=∠FGH=∠GHE=∠FEH=90° .AC=BD,AC⊥BD,即两条对角线互相垂直且相等. 故选B 9.B 解：DE∥CA,DF∥BA, 四边形MEDF 是平行四边形. 对于O.若E:P分别是B:AC的中点，则，-4C,无法得出B=A, 2 故错误； 对于②，：∠BAC=90°，四边形AEDF是平行四边形， 四边形1BDF 是矩形，故②正确； 对于③，：AD平分∠BAC, ∴.∠EAD=∠FAD 又DF∥BA, .∠FDA=∠EAD .∠FAD=∠FDA .AF=DF 产四边形MEDF 是菱形，故③正确； 对于④，·AB=AC,AD⊥BC, :AD平分 BAC 由③知四边形AEDF是菱形，但无法得出∠BAC=9O°，故④错误. 综上所述，正确的有2个. 故选：B. 10.B 解：菱形ABCD,∠ABC=120°， AC⊥BD, ∠ABD=∠CBD=)∠ABC=60P .D,B关于直线AC对称， D B ∴.PD=PB, ∴.PD+PE=PB+PE, 连接BE, PB+PE≥BE, .B,P,E三点共线时，PB+PE取得最小值，且最小值为BE, 菱形ABCD, ∠ABD=∠CBD=-∠ABC=60° 2 ∴.AB=BC=CD=DA,∠ABD=∠CBD=60°，OA=OC, .△ABD,aCBD都是等边三角形， “点E是C的中点， ∴BE⊥CD, ”点1(-60) .∴.OA=OC=6 OCLBD:S.mm-CD-BE-BD-OC 2 .∴.BE=OA=OC=6 PB+PE的最小值为6， 故PD+PE的最小值为6； 故选B 二、填空题 120 11.13 解：，四边形ABCD为平行四边形， ∴.AD∥BC,AO=CO,BO=DO, ∴.∠ADB=∠CBD, .DB平分∠ABC, ∴.∠ABD=∠CBD, .∴.∠ABD=∠ADB, .'AB=AD, ∴四边形ABCD是菱形， ∴.AC⊥BD, :BD=24,AC=10, :0C=)4C=5OB=BD=12. 2 2 :.BC=V0C2+OB2=13 .DE⊥BC, .S菱形AD=)AC.BD=BC,DE 1 10×24 .DE=2 120 13 =13’ 120 故答案为：13· 12.3 解：如图，作PM⊥AD于M,交BC于N; 则有四边形AEPM,四边形DFPM,四边形CFPN,四边形BEPN都是矩形， .SADC=S.ABC SAMP=SABP S.PBE=SPBN SPED=SPDM,SPFC=S.PCN .S矩形EPNB=S矩形DMPe=1X3=3, .S.m=S.m=2xlx3=1.5, 影=1.5+1.5=3 故答案为：3. M A D B 13.(96) 解：如图，过点C作CE⊥x轴，垂足为E. D A B E :四边形16CD是正方形，点40,3引，B(60) ∴.AB=BC,∠ABC=90°，A0=3,OB=6, ∴.∠AOB=∠BEC=90°，∠ABO=∠BCE=90°-∠CBE ∴.△AOB≌△BEC(AAS) .BE=AO=3,EC=OB=6 ∴.OE=OB+BE=6+3=9, 点C9,6) 14.213-2 解：如图，连接OA、OC、AC, ABCD AB=4 AD=6 矩形 .∠BAD=∠B=∠BCD=90°AB=CD=4BC=AD=6 AC=VAB2+BC2=2√13 .EF=CD ..EF=4 “在R1CBF中，0为时的中点， :OQ⊥ADOP⊥AB ∴.∠APO=∠AQ0=∠BAD=90° ·四边形 APOO 是矩形， ...AO=PO :OA+OC≥AC ∴.OA≥AC-OC 即当点0在AC上时，OA有最小值为AC-0C=2V13-2. 15.56 解：由于翻折，得 ∠B=∠AFE=90°BE=EF=6AB=AF ∴EF⊥AC CE=BC-BE=10 在ACFE中， CF=VCE2-EF2=V102-62=8 设AB长为x,则AF=x 在△ABC中， AB2+BC2 AC2 即r+16=(+8} 解得x=12 即AB=12 .矩形ABCD的周长为2(AB+BC)=2×(12+16)=56 16.①②③④ 解：，四边形ABCD是正方形， .AB=AD,∠BAD=90°， AP⊥AE, ∴.∠BAE+∠BAP=90°， 又.∠DAP+∠BAP=∠BAD=90°， ∴.∠BAE=∠DAP, 在△APD和△AEB中， .AB=AD,∠BAE=∠DAP,AE=AP, .∴.△APD≌△AEB,故①正确； AE=AP,AP⊥AE, ∴.△AEP是等腰直角三角形， ∴.∠AEP=∠APE=45°， ∴.∠AEB=∠APD=180°-45°=135°， .△APD≌AAEB, .∠AEB=∠APD=135°， .∠BEP=135°-45°=90°， ∴EB⊥ED,故②正确； .AE=AP=1, .PE=2, BE=BP2-PE=(10)-(2)=22 S.APD+SAPB=SE+S4PB=SEP+SBEP :及m+8mX1x1+x22x5=,款@正确， 1 2 如图，过点B作BF⊥AE,交AE的延长线于点F, D B .∠AEB=135°， .∠BEF=45°， BF⊥AE, .LBEF=∠EBF=45°， ∴.EF=BF, BE=22, .∴.EF=2=BF, ∴.AF=AE+EF=3, 4B=VAF2+BF2=13 .S正方形n=AB2=13 故④正确， 如图，连接PC,过点P作MN⊥AD,交AD于M,交BC于N, .·∠DAB=∠ABC=90°，MN⊥AD .四边形ABNM是矩形， .AB=MN=V3,∠BWM=90°， 1 S,Am=SAs=2》 x/3xPM, 1×2=2 Iu-2V3 13, PW=Il/i3 13, 同型C10vg 13, :PC=Pw+C=i7,故⑤特误， 故答案为：①②③④ 三、解答题 17.(1) 证明：由题意得：AC⊥BD,即∠BOC=90°； CE∥DB,BE∥AC, ∴四边形OBEC是平行四边形； .∠B0C=90°； ∴四边形OBEC是矩形； (2)解：由题意得：B0=OD=6, .CD=10,OD=6, :.C0=VCD2-0D2=8 .∴.四边形OBEC的面积=BO×CO=48; 18.(1) 证明：，OC=OA,OD=OB, ∴四边形ABCD是平行四边形： ,四边形AEBO是矩形， .∠A0B=90°， 即AC⊥BD, ∴.四边形ABCD是菱形； (2)解：.四边形AEB0是矩形， ∴AB=OE=4; ,四边形ABCD是菱形，且∠BCD=60°， ∠B40=∠C1-=8D-30,OM1OB 0B=3B=2 2 由勾股定理得：OA=VAB2-OB=2V5 BD=20B=4,AC=20A=43. So-4C:BD-1x4x4-8 2 19.(1) 证明：，四边形ABCD是正方形， ∴.AD=AB,∠D=∠ABC=90°， ∴.∠D=∠ABF=90°， 在△ADE和△ABF中， AD=AB ∠D=∠ABF DE=BF 、△ADE2△ABF(SAS) (2) 证明：.△ADE≌△ABF .∴.∠DAE=∠BAF, ∴.∠EAF=∠EAB+∠BAF=∠EAB+∠DAE=∠DAB=90° 20.(1)证明：，把矩形ABCD沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处， .'AB=CD=AE,AD=BC=CE, 在△AED和△CDE中， AE=CD AD=CE DE=DE' ∴.△AED≌aCDE(SSS) (2)证明：由(1)可知，△AED≌aCDE, ∴.∠AED=∠CDE, ∴.EF=DF, ∴△DEF是等腰三角形. (3)解：：把矩形ABCD沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AB=8,BC=4, ∴.∠ADC=∠B=90°，AE=AB=CD=8,AD=BC=4, 由(2)可知EF=DF, 设DF=EF=x,则AF=8-x, 在Rt△ADF中，AF2=AD2+DF2, .8-x2=4+x2, 解得：x=3, ∴.DF的长为3. 21.(1)解：当点P运动到点B时，如图， E D B(P) 四边形ABCD是矩形， .∠A=90° .AB=√PE2-AE2=V34-25=3 (2)解：矩形ABCD, .∴.AD∥BC,AD=BC=11, AE∥CP ,当点P在BC时，且AE=PC=5,四边形APCE是平行四边形，如图， E A B P 由(1)知：AB=3, .x=AB+BC-PC=3+11-5=9 (3)解：当点P在AB上时，如图， .AB=3 AP=x :.BP=3-x Sm号p4E-g-x5=6, 2 3 当点P在BC上时，如图， E B P .AB=3 .PB=x-3, S雕)BPAB2 -xx-3)x3=6, x=7 3 综上所述，当。BPE的面积为6时，x的值为5或7； (4)解：①如图，当点A落在边BC上且靠近点B时， E A D B :点A关于PE对称点为A', ..EA=EA'=5 AP=A'P=x 过E作EF⊥BC于点F,则∠A=∠B=∠EFB=90°， ∴.四边形ABFE是矩形， .'EF AB=3,BF=AE=5, 在Rt△NEF中，AF=VAE2-EF2=4, A'B=1 .AB=3 :.BP=3-x 在Rt△A'BP中，AB2+BP2=A'P2, 即P+(3-x=平 部得： ②如图，当点A'恰好落在边BC上且靠近点C时， E P F A 同理，AF=4,BF=AE=5 ..A'B=BF+AF=9 .BP=x-3 .A'P='B-BP=9-x+3=12-x=AP 在RtAABP中，AB2+BP2=AP2, 即9+(x-3=(12-x2 解得x=7; 综上，x的值为3或7. 22.(1)解：在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD,∠DAB=∠D=90°， .DE=CF, .'AE=DF=AD-DE=DC-CF, 在△ADF和△BAE中， AB=AD ∠DAB=∠D=90° AE=DF ∴.△ADF≌△BAE(SAS), ∴.AF=BE,∠DAF=∠ABE,∠AFD=∠BEA, ,∠DAF+∠BAF=90°， ∴.∠ABE+∠BAF=90°， .∠AGB=90°，即AF⊥BE. (2)解：AB=8,DE=2, .'AB=AD=8,AE=AD-DE=6, 在Rt△ABE中，BE=VAB2+AE2=I0, AF⊥BE, SAAW=AB.AE=1AG-BE 1 .1x8x6=号x10×AG, .·2 2 :4Gs24 5. 23.(1)证明：，四边形ABCD为正方形， ∴.AB=BC,∠ABC=∠C=90°， ∴.∠ABP+∠CBF=90°， AE⊥BF, .∠APB=90°， ∴.∠BAE+∠ABP=90°， .∠BAE=LCBF, 、△ABE≌△BCF(ASA) ∴AE=BF; (2)解：四边形ABCD为正方形， .AD‖BC, .AH∥GE, ∴.四边形AHEG为平行四边形， ∴.AH=GE=10. .GE⊥BF, .∠GPF=90°， .AH∥GE, ∴.∠AIF=∠GPF=90°， ∴.AH⊥BF, 根据解析(1)，同理可得：BF=AH=10; (3)解：连接BF,交ME于点H,过点M作MG⊥BC于点G,如图所示： N H B 则∠MGE=∠MGB=90°， ,四边形ABCD为正方形， ∴.AB=BC=10,∠ABC=∠BCD=∠BAD=90°， ∴.四边形ABGM为矩形， ∴.MG=AB, ∴MG=BC, 根据折叠可得：ME⊥BF, .∠BHE=90°， .'∠EMG+∠MEG=∠MEG+∠CBF=90°， ∴.∠EMG=∠CBF, △MEG≌ABFC(ASA) .∴.BF=ME=I1, ∴在Rt△BCF中，根据勾股定理得：CF=VBF2-BC=V2I 24.(1)平行四边形， 证明：：点C是线段AB的中点， .AC=BC AN∥BM .∠AWM=∠NMB 又，∠NCA=∠BCM, :.△NCM≌aMCB(AAS) ..AN=BM 六四边形MMBN 是平行四边形； (2)解：令x=0,则y=2×0+8=8, .B(0,8) ∴.OB=8 令y=0,则2x+8=0, 解得x=4, ·A(-4,0) 又点M为x轴正半轴上一动点，点M的横坐标记作m, :.AM=m-(（-4)=m+4OM=m 在Rt△BOM中，BM2=BO2+OM2=82+m2, “四边形 MBN 是菱形， ∴.AM=BM .82+m2=(m+4)2 解得m=6; (3)“点C是线段4B的中点，1(-40，B0,8), 即C(-2,4) N(x,y)）M(m,0)D(0,a 设 ”四边形 AMBN 是平行四边形， 六点C是线段M 的中点， S.AMN =S.BMN x+m=-2 2 则x=-4-m, 设点A到MN边上的高为h,则点B到MN边上的高为h, 3n=3双u,p时0Nh=3 x-DM, 2 ∴.DN=3DM :.CN+CD=3(CM-CD) “四边形 MBN 是平行四边形， ∴.CW=CM ∴.CM=2CD D CM ,即点”是“的中点， -2+m=0 2 ∴.m=2 yA C D A M主