第二章 一元二次方程 单元测试 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程单元卷，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，融合“县超”联赛等社会热点与《四元玉鉴》文化素材，全面覆盖单元核心知识，适配单元复习检测需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|12|方程定义、解法、根的判别式等|第9题“县超”联赛情境体现时代性，第10题《四元玉鉴》问题渗透文化传承| |填空题|8|解方程步骤、新定义方程、增长率等|17题“和谐”“美好”方程考查推理意识，19题根与系数关系培养符号意识| |解答题|5|韦达定理应用、几何与函数综合等|24题韦达定理提升运算能力，25题函数与几何结合发展模型观念|

第二章 一元二次方程 单元测试2026-2027学年北师大版 九年级数学上册 一、单选题 1．将方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（   ） A．2，3 B． C．2，7 D． 2．若方程是一元二次方程，则m的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．若用配方法解一元二次方程，则下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 5．已知方程的解是，，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 6．若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则点在平面直角坐标系中位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．已知菱形的两条对角线长是方程的两个根，则菱形的面积为（   ） A．6 B． C．10 D． 8．两个相邻奇数的积是，求这两个奇数，设较小的奇数为，则可列方程（    ） A． B． C． D． 9．广西首创的全区性县级足球主客场联赛（广西县超）正在火热开赛中，参加“县超”大区赛的每两个县队之间都要进行两场比赛，共要比赛60场，如果设有个队参加比赛，根据题意，列出方程为（   ） A． B． C． D． 10．元代数学著作《四元玉鉴》中有题为：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文（1贯文）．已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，求这匹锦的长和每尺锦的价格．设这匹锦的长为x尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 11．根据关于的二次函数，可列表如下： 0 0.5 1 1.1 1.2 1.3 0.84 2.29 方程的正数解满足（    ） A．解的整数部分是0，十分位是5 B．解的整数部分是0，十分位是8 C．解的整数部分是1，十分位是1 D．解的整数部分是1，十分位是2 12．对于代数式、，定义新运算♣，则下列说法正确的个数为（    ） ①若♣，则或1； ②若♣，则的值为3或； ③若方程的解为、，则♣的值为； ④若关于的方程♣有两个不相等的实数解，则． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 13．下面是小明同学解方程的过程： ∵，，（第一步） ∴（第二步） ∴，（第三步） ∴，（第四步） 小明是从第______步开始出错． 14．已知一个一元二次方程有一个根为，且常数项为0，请写出一个满足要求的方程：___________． 15．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是________________． 16．用换元法解方程，如果假设，则原方程可以化为关于y的整式方程是______． 17．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，则______ 18．某校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到万册，设图书馆的藏书平均每年增长的百分率是，可列方程____________． 19．写出一个两根之和为，两根之积为的一元二次方程：__________． 20．如图，根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过离地面的高度（单位：）为．根据物理学规律，物体经过______落回地面．（结果保留小数后两位） 三、解答题 21．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且两个根为连续偶数，那么称这样的方程是“连偶根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，则方程是“连偶根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“连偶根方程”； (2)已知关于的一元二次方程（是常数）是“连偶根方程”，求的值． 22．如图是一个三角点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，，第n行有n个点． (1)请你直接回答15是三角点阵中前几行的点数和？ (2)你能发现78是前几行的点数的和吗？用试验的方法，由上而下地逐行相加其点数，可以得到答案．但是这样寻找答案需要花费较多时间．你能用一元二次方程解决这个问题吗？（提示： ） 23．将下列方程化成一元方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 24．综合与实践 请仔细阅读并完成相应任务． 材料1：一元二次方程的根与系数的关系最早由法国数学家韦达（1540-1603年）发现，习惯上称为“韦达定理”．韦达定理更一般地揭示了一元二次方程的根与系数的关系． 材料2：关于x的一元二次方程的两个实数根、和系数a、b、c有如下关系：，． 材料3：已知一元二次方程的两个实数根分别为p、q，求的值． 解：、是一元二次方程的两个实数根， ，． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程的两个实数根为、，则________，________； (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为p、q，求的值； (3)提升：已知实数m、n满足，，且，求的值． 25．如图1，平面直角坐标系中，直线的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线的图象过点A，并且与y轴交于点C． (1)直接写出A点的坐标及b的值； (2)如图2，动点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动．过点P作x轴的垂线，分别交直线，于点D，E．设点P运动的时间为t，求当t为何值时，是直角三角形？ 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B D B A B A A A A C B 1．【答案】B 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是将方程化为（）的形式，从而确定二次项系数和一次项系数； 先展开方程左边的完全平方，再移项合并同类项，得到一般形式，进而确定二次项系数和一次项系数． 【详解】解： 二次项系数为2，一次项系数为，此选项B符合题意． 故选：B． 2．【答案】B 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的最高次项次数必须为2，因此令方程中最高次项指数等于2，求解m即可． 【详解】解：方程 是一元二次方程， ∴ 最高次项 的指数为2， 即 ， ∴ ， 故选：B． 3．【答案】D 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再配方得到完全平方形式，对比选项即可得到正确结果． 【详解】解：， 移项得， 配方得， 整理得． 4．【答案】B 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个相等的实数根，计算各选项的判别式即可判断． 【详解】解：A、对于方程，，方程没有实数根，不符合题意； B、对于方程，，方程有两个相等的实数根，符合题意； C、对于方程，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D、对于方程，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 5．【答案】A 【知识点】换元法解一元二次方程、一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及换元法求方程的解，熟练掌握换元法求方程的解是解题的关键． 令，即可得出，，计算求解即可． 【详解】解：令， 即， ∵方程的解是，， ∴，， ∴或， 解得，， 故选：A． 6．【答案】B 【知识点】判断点所在的象限、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限． 【详解】解：原方程展开并整理为标准形式：， 其中． ， ∴点，即，故位于平面直角坐标系的第二象限． 故选：B． 7．【答案】A 【知识点】利用菱形的性质求面积、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了菱形的面积公式及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握菱形的两个面积公式，菱形的面积等于对角线乘积的一半，或菱形的面积等于底乘以高．根据菱形的面积公式以及一元二次方程根与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：设菱形的两条对角线长度为， ∴ ∵菱形的两条对角线长是方程的两个根， ∴ ∴． 故选：A． 8．【答案】A 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由两个连续的奇数相差，得到较大的数为，再根据两数的积为即可列出方程，根据题意，找到等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：依题意得，较大的数为， 则有：， 故选：． 9．【答案】A 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】根据比赛规则计算总比赛场数，即可列出对应方程． 【详解】解：∵共有个队参加比赛，每个队需要与除自身外的个队进行比赛， 又∵每两个县队之间都要进行两场比赛， ∴总比赛场数可列方程为． 10．【答案】A 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据题意，用x分别表示出剩下锦的长度和每尺锦的价格，再根据“总售价长度单价”列方程即可． 【详解】解：∵设这匹锦的长为尺，且这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七， ∴每尺锦的价格为文； ∵先卖掉三尺， ∴剩下的锦长度为尺； ∵剩下的锦总售价为文，总售价长度单价， ∴列方程得． 11．【答案】C 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】观察表格得：一元二次方程的解位于与之间，故其正数解的整数部分是，十分位是即可求解． 【详解】解：观察表格得：一元二次方程的解位于与之间（不包括与）， 方程的正数解满足解的整数部分是，十分位是 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根据表格得到方程的解位于1.1与1.2之间是解题的关键． 12．【答案】B 【知识点】新定义下的实数运算、解一元二次方程——配方法、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】根据新定义的运算法则，将♣1化为一个关于x的一元二次方程求解，即可判断①；根据新定义得♣，则得出或，代入，即可判断②；根据一元二次方程根与系数的关系得出，则，求出，即可判断③；根据新定义和绝对值可得，根据一元二次方程的判别式，即可判断④． 【详解】解：①♣，解得：或1； 故①正确，符合题意； ②♣，整理得：， ∴， ∴或， ∴或， 故②正确，符合题意； ③♣， ∵方程的解为、， ∴， ∴，则 当时，♣， 当时，♣， ∴♣的值为或， 故③不正确，不符合题意； ④∵♣， ∴， 当时，整理得：， ∴，解得：； 当时，整理得：， ∴，解得：； ∴， 故④不正确，不符合题意； 综上：正确的有①②，共2个； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解一元二次方程，一元二次方程根于系数的关系，一元二次方程根的判别式，解题的关键是正确理解题意，明确新定义的运算顺序和运算法则，掌握一元二次方程根与系数关系：；当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 13．【答案】一 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】根据一元二次方程的解法步骤即可解答． 【详解】解：原方程化为：， ∴． 故答案为：一． 【点睛】本题主要考查用公式法解一元二次方程，将一元二次方程化成一般式是运用公式法解一元二次方程的关键． 14．【答案】（答案不唯一） 【知识点】一元二次方程的定义、一元二次方程的解 【分析】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义即可求出答案． 【详解】解∶∵一元二次方程的常数项为0， ∴设一元二次方程为， ∵一元二次方程有一个根为， ∴， ∴， 故该方程为（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 15．【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数 【分析】根据一元二次方程根的定义得到，再变形所求代数式代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 16．【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题考查解分式方程，掌握换元法解分式方程的方法是解答的关键．根据题意可得，则有，进而去分母化为整式方程即可． 【详解】解：设，则， ∴原方程化为， 去分母，得， 整理，得． 故答案为：． 17．【答案】0 【知识点】一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据一元二次方程的定义，可判定“和谐”方程的一个根为1，“美好”方程的一个根为，再由一元二次方程根与系数的关系可得，，然后求出m、n的值，即可． 【详解】解：∵一元二次方程满足， ∴ “和谐”方程的一个根为1， ∵一元二次方程满足， ∴“美好”方程的一个根为， ∵一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程， ∴一元二次方程的根为1和， ∴，， 解得， ∴． 故答案为：0 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 18．【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】设平均每年增长百分率为 ，根据题意，得． 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握列方程是解题的关键． 【详解】解：设平均每年增长百分率为 ，依题意，得 ． 故答案为 ：． 19．【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【详解】解：设这个一元二次方程为， ∵这个一元二次方程的两根之和为1，两根之积为， ∴，， ∴取时，， ∴此时这个一元二次方程为（答案不唯一）． 20．【答案】 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的实际运用，根据物体回落到地面，即，然后解方程求解即可，列出一元二次方程并求解是解题的关键． 【详解】解：根据物体落回地面，可得， 解得：（舍去），， 因此物体经过落回地面， 故答案为：． 21．【答案】(1)方程是“连偶根方程” (2)或 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，新定义： （1）利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“连偶根方程”的定义判断即可； （2）利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“连偶根方程”的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得， ∴方程是“连偶根方程”； （2）解：∵， ∴或， 解得， ∵关于的一元二次方程（是常数）是“连偶根方程”， ∴或． 22．【答案】(1) 是三角点阵中前行的点数和 (2) 是三角点阵中前行的点数和 【知识点】图形类规律探索、数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，图形变化的规律，能根据所给图形，用含的代数式表示出前行点数和是解题的关键． （1）依次求出前几行点数的和，根据发现的规律即可解决问题． （2）由（1）的发现即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知，第一行点的个数为：； 前两行点数和是：； 前三行点数和是：； … 所以前行的点数和是 当时， 解得或（舍去）， ∴15 是三角点阵中前行的点数和． （2）解：依题意，， 解得：或（舍去） ∴ 是三角点阵中前行的点数和． 23．【答案】(1)二次项系数为，一次项系数为，常数项为； (2)二次项系数为，一次项系数为，常数项为； (3)二次项系数为，一次项系数为，常数项为； (4)二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【详解】（1）解：由原方程得到：， 所以二次项系数为，一次项系数为，常数项为； （2）解：由原方程得到：， 所以二次项系数为，一次项系数为，常数项为； （3）解：由原方程得到：， 所以二次项系数为，一次项系数为，常数项为； （4）解：由原方程得到：， 所以二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 24．【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、分式化简求值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，分式的混合运算．理解题意，掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． （1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出，，，最后代入求值即可； （3）由题意可将m、n可以看作方程的两个根，即得出，，再根据，整体代入计算即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，． （2）解：∵一元二次方程的两根分别为p、q， ∴，， ∴ ； （3）解：由题意可将m、n可以看作方程的两个根， ∴，， ∴． 25．【答案】(1)， (2) 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由得，则，把代入即可得． （2）先用含有t的代数式表示出、、的长，然后根据勾股定理列方程即可求出t的值． 【详解】（1）解：由， 得， ∴， 把代入， 得， 解得． （2）解：由题意得直线的表达式为，直线的表达式为，， ∵轴， ∴，， ∴，，， ∴， ， ， ∵是直角三角形， ∴， ∴， 整理得， 解得，（舍去）， ∴t为时，是直角三角形． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $