第三章 图形的相似 单元测试 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版九年级数学上册第三章“图形的相似”单元卷，以弘济桥化石测量、小提琴设计等生活情境及《九章算术》问题为载体，覆盖相似判定、位似变换等核心知识点，培养数学眼光与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|12题|相似多边形判定、位似坐标、比例线段|结合小提琴设计（题3）考查黄金分割| |填空题|8题|位似中心、动点相似、网格相似|以网格（题13）强化空间观念| |解答题|5题|相似证明、位似作图、黄金分割应用|《九章算术》问题（题12）体现文化传承，作图题（题25）培养动手能力|

第三章 图形的相似 单元测试2026-2027学年北师大版 九年级数学上册 一、单选题 1．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，她想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（   ） A． B． C． D． 2．下列图形一定是相似图形的是（  ） A．任意两个菱形 B．任意两个等边三角形 C．任意两个等腰三角形 D．任意两个矩形 3．在小提琴的设计中，蕴含着数学知识．如图所示，这三部分长度的比满足．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在大小为的正方形网格中，三角形的顶点都在网格点上，下列是相似三角形的是（   ） A．①和③ B．②和③ C．②和④ D．①和④ 5．已知线段、、，求作第四比例线段，则以下正确的作图是（   ） A． B． C． D． 6．以为位似中心，画出一个矩形，使得所画的矩形与矩形位似，且位似比为，则所画的矩形可以是（    ）    A．① B．② C．③ D．④ 7．如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，．以点O为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，则点C坐标为（   ） A． B． C． D． 8．如图所示是利用图形变换设计的一个美术字图案，这样设计的美术字更富有立体感，则该图案在设计的过程中用到的图形变换是（　　） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似 9．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点D的坐标为，若与是位似图形，则的值是（    ） A． B． C． D． 10．按如下步骤操作：如图，在中，平分．第一步：分别以点，为圆心，大于的长为半径在两侧作弧，交于，两点．第二步：连接，分别交，于点，．第三步：连接，．若，，，则（   ） A．5 B．6 C．8 D．7 11．如图所示，在中，点E在边上，且，连接交于点O，则的面积与的面积之比为（    ）． A． B． C． D． 12．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的意思是：如图，M，N分别是正方形的边，的中点，，，过点A，且步，步，那么该正方形城邑边长约为（    ）步． A．300 B．250 C．225 D．150 二、填空题 13．如图所示，网格中相似的两个三角形是______．（填序号）    14．在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，将缩小为原来的，则点的对应点的坐标是__________． 15．如图，在平面直角坐标中，与是位似图形，且它们的顶点都在格点上，则位似中心的坐标为______． 16．如图，与是位似图形，点O为位似中心，若，，则它们的位似比为________． 17．王明有一个闹钟，但它走时不准，这天下午王明把它对准北京时间，可到晚上时，它才走到，第二天早上王明看闹钟走到的时候赶去上学，这时候北京时间为_______． 18．如图，矩形ABCD的顶点D在反比例函数的图象上，且点D在第一象限，顶点B，C在x轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，若BCE的面积是12，则k＝___． 19．如果一个图形上的点和另一个图形上的点，．．．分别对应，并且它们的连线都经过同一点，那么这两个图形叫做位似图形，点是位似中心．如图，四边形和四边形是位似图形，点的坐标分别为、，如果的长为，那么的长为_____． 20．如图，中，，，点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动．其中一个动点到达终点时，另一个也相应停止运动．那么，当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是_____． 三、解答题 21．观察下面两组多边形： (1)在图（1）中，矩形和矩形相似吗？为什么？ (2)在图（2）中，多边形和多边形都是各边相等，各角相等的六边形，它们是相似图形吗？为什么？ 22．如图，在△ABC中，DF∥AC，DE∥BC． （1）求证：； （2）若AE＝4，EC＝2，BC＝10，求BF和CF长． 23．如图，在中，，点D，E在边上（在的左边），且． (1)求证：； (2)若，求BD的长． 24．如图所示： (1)写出“小鱼”与“大鱼”的位置关系； (2)已知“小鱼”上一个“顶点”的坐标为，写出“大鱼”上对应“顶点”的坐标． 25．黄金分割起源于古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了黄金分割比例这一问题，并建立起比例理论，后来欧几里得进一步系统论述了黄金分割，使《几何原本》（如图1）成为最早的有关黄金分割的论著．20世纪70年代，这种方法经过我国著名数学家华罗庚的倡导在我国得到大规模推广，取得了很大的成就．下面的作法是由《几何原本》中给出的： 如图2，已知正方形，求作边的黄金分割点． ①取的中点，连接； ②在的延长线上取点，使； ③以线段为边作正方形． 则点就是线段的黄金分割点． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图2中作出线段的黄金分割点（保留作图痕迹，不写作法）． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B C A D C C D B C C A 1．【答案】D 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了比例的性质，设该化石的实际长度为，根据题意得出，即可求解． 【详解】解：设该化石的实际长度为，依题意， ， 解得：． 故选：D． 2．【答案】B 【知识点】相似多边形 【分析】本题主要查了相似多边形的判定．根据相似多边形的判定定理，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、任意两个菱形的内角不一定相等，不一定是相似图形，故本选项不符合题意； B、任意两个等边三角形一定是相似图形，故本选项符合题意； C、任意两个等腰三角形的内角不一定相等，不一定是相似图形，故本选项不符合题意； D、任意两个矩形的长与宽不一定成比例，不一定是相似图形，故本选项不符合题意； 故选：B 3．【答案】C 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割点的定义和黄金比值是解题的关键．把线段分成两条线段和（），且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．依据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：∵这三部分长度的比满足，， ∴， 故选：C． 4．【答案】A 【知识点】利用三边对应成比例判定相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 分别求出三角形的边长，根据对应边成比例三角形相似，进行判断即可． 【详解】解：第一个三角形的边长分别为：，2，； 第二个三角形的边长分别为：，，； 第三个三角形的边长分别为：2，，； 第四个三角形的边长分别为：，3，； ∵，对应边成比例的是①和③． 故选：A． 5．【答案】D 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，主要考查了第四比例线段的作法，要熟练掌握并灵活运用．根据比例线段的定义列出比例式，再根据平行线分线段成比例定理对各选项图形列出比例式即可得解． 【详解】解：∵线段x为线段a、b、c的第四比例线段， ∴， A、根据作图可知，故本选项错误； B、根据作图可知，故本选项错误； C、根据作图可知，故本选项错误； D、根据作图可知，故本选项正确． 故选：D． 6．【答案】C 【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【分析】分别连接并延长，，，，即可根据位似的性质判断． 【详解】解：分别连接并延长，，，，根据图形可得只有③中矩形的各点在延长线上，如图：    故选：C． 【点睛】本题考查的是位似的性质，根据位似中心和能代表原图的关键点画出符合条件的位似图形是解题的关键． 7．【答案】C 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】因为与的位似比为，所以点与点的坐标之比为，又因为点在第三象限，所以点的横、纵坐标为负数． 【详解】解：与的位似比为，点的坐标为， 点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为． 8．【答案】D 【知识点】位似图形的识别 【分析】根据位似图形的定义，即可解决问题． 【详解】解：根据位似的定义可知：该图案在设计的过程中用到的图形变换是位似． 故选：D． 【点睛】本题考查了生活中位似的现象，解决本题的关键是熟记位似图形的定义． 9．【答案】B 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】根据位似图形的概念得到AC∥DF，证明△OAC∽△ODF，可得结果． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， ，，即， 与是位似图形， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查的是位似图形的概念和性质，掌握位似图形是相似图形、相似三角形的性质是解题的关键． 10．【答案】C 【知识点】作已知线段的垂直平分线、根据菱形的性质与判定求线段长、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了尺规作图、菱形的性质与判定、平行线分线段成比例定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．先证明四边形为菱形，得到，再利用平行线分线段成比例定理即可得出答案． 【详解】解：如图， 由作图可得，垂直平分， ∴，，， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∴， ∴，即， 解得． 故选：C． 11．【答案】C 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，证得成为解题的关键． 根据平行四边形的性质可得，进而证得，再根据相似三角形的性质可得，然后根据三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：∵， ∴,， ∵， ∴， ∵， ∴, ∴， 如图：过B作, ∴． 故选C． 12．【答案】A 【知识点】相似三角形实际应用、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查相似三角形解实际应用题，读懂题意，熟练应用相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．由题意可知，根据相似三角形性质得到，设，由分别是正方形的边的中点可知，则，解得，从而得到正方形城邑边长步． 【详解】解： ，， ， 正方形中，，过点， ，则， ， ， 分别是正方形的边的中点，设， ， 步，步， ，即，解得负舍去值， 正方形城邑边长步， 故选：A． 13．【答案】①③/③① 【知识点】分母有理化、勾股定理与网格问题、相似三角形的判定综合 【分析】分别求出四个三角形的三条边，然后根据三边对应成比例的两个三角形相似进行判定即可． 【详解】解：图①中三角形的三边长分别为：，2，； 图②中三角形的三边长分别为：，，3； 图③中三角形的三边长分别为：2，，； 图④中三角形的三边长分别为：，3，； ∵，， ∴， ∴网格中相似的两个三角形是①③， 故答案为：①③． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，分母有理化，解题的关键是熟练掌握勾股定理求出四个三角形的三条边． 14．【答案】或 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查了位似的性质．根据位似变换的性质，给点的坐标分别乘以即可． 【详解】解：由题可知，为位似中心，且相似比为，且， 点的对应点的坐标为或，即或． 故答案为：或． 15．【答案】 【知识点】在坐标系中画位似中心 【分析】直接利用位似图形的性质：对应点的连线都经过同一点，连接对应点，进而得出位似中心的位置． 【详解】解：如图所示， 位似中心点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题的关键． 16．【答案】 【知识点】求两个位似图形的相似比 【分析】本题主要考查图形的位似，与的位似比． 【详解】解：根据题意可知，与的位似比． 故答案为： 17．【答案】 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了比例的应用，根据实际时长和闹钟计的时长成比例列方程即可求解． 【详解】解：设第二天早上王明看闹钟上学时间距离前一天下午有小时， 实际时间从6∶00到9∶00为3小时，闹钟显示从6∶00到8∶45为小时．从下午到第二天早上，闹钟时间过了， 依题意得：，解得：， 小时=小时分， 从下午开始，过小时分后是第二天， 第二天早上王明看闹钟走到的时候赶去上学，这时候北京时间为． 故答案为． 18．【答案】24 【知识点】坐标与图形、根据矩形的性质求线段长、根据图形面积求比例系数（解析式）、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】先设点D坐标为（m，n），则OC=m，CD=AB=n，k=mn再根据三角形面积公式可求得BC·OE=24，根据AB∥OE得出，即BC·OE=AB·OC，进而求解mn即可． 【详解】解：由题中矩形可知， AB=CD，CD⊥x轴，AB∥CD∥OE， 设点D坐标为（m，n），则OC=m，CD=AB=n， ∵矩形ABCD的顶点D在反比例函数的图象上， ∴k=mn， ∵BCE的面积是12， ∴·BC·OE=12，即BC·OE=24， ∵AB∥OE， ∴，即BC·OE=AB·OC=24， ∴k=mn=CD·OC=AB·OC=24， 故答案为：24． 【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义、矩形的性质、坐标与图形、平行线分线段成比例、三角形面积公式，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合思想将△BCE的面积和点D坐标联系起来是解答的关键． 19．【答案】 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】本题考查坐标系下的位似．理解并掌握位似图形的定义，是解题的关键． 根据位似图形的定义，得到，求出位似比，即可得，求解即可． 【详解】解：∵点的坐标分别为、， ∴， ∵四边形和四边形是以坐标原点为位似中心的位似图形， ∴，即， ∴， 故答案为：． 20．【答案】4或 【知识点】利用相似三角形的性质求解、相似三角形——动点问题 【分析】设运动时间是t秒，根据题意得，，，根据相似三角形的性质可得或，进而求解即可． 【详解】解：设运动时间是t秒， ∵点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动． ∴，，， ∵，且以为顶点的三角形与相似， ∴或， ∴或 ∴或． 即当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是4或． 21．【答案】(1)不相似， ∵矩形和矩形， ∴矩形的四个角都是直角，即相等， ∵，， ∴矩形和矩形不相似； (2)是相似图形， ∵多边形和多边形都是各边相等，各角相等的正六边形， ∴它们各角相等，且各边成比例，是相似图形． 【知识点】相似多边形 【分析】本题主要考查相似多边形的概念，根据相似图形的概念可知，必须满足两个条件：①两个多边形的对应角相等；②两个多边形的对应边成比例； （1）根据相似多边形的概念判断即可； （2）根据相似多边形的概念判断即可． 【详解】（1）解：略． （2）略． 22．【答案】 （1）证明：∵DF∥AC， ∴， ∵DE∥BC，       ∴，       ∴； （2）， 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】（1）由平行线分线段成比例得出和，即推出． （2）设BF＝x，根据题意可求出，再根据（1）结论，即可求出x的大小，即可求出BF和CF的长． 【详解】（1）略 （2）解：设， ∵，      ∴， ∵，且AE＝4，EC＝2，        ∴，        解得：， ∴，      ∴． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 23．【答案】(1) 证明：， ， ， 又， ， 又， ； (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理： （1）根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，进而根据平角的定义求出的度数，再根据相似三角形的判定定理证明即可； （2）根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，即， ． 24．【答案】(1)位似变换 (2) 【知识点】求位似图形的对应坐标、位似图形的识别 【分析】本题考查的是位似变换的性质，解决本题的关键是找到所给图形中象限内的一对对应点的变化规律． （1）根据坐标系中，图形的位置即可解答； （2）先找一对对应点，观察所找对应点的变化规律，那么所求点也按照这个变化规律进行变化即可． 【详解】（1）解：“小鱼”与“大鱼”位置关系属于位似变换； （2）解：“小鱼”最大鱼翅的顶端坐标为，“大鱼”对应点坐标为； “小鱼”上一个“顶点”的坐标为，那么“大鱼”上对应“顶点”的坐标为． 25．【答案】如图，点就是线段的黄金分割点： 【知识点】作线段(尺规作图)、作已知线段的垂直平分线、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、黄金分割 【分析】本题考查线段中点以及正方形的尺规作图方法． 【详解】设，则， ， ， ， 所以点就是线段的黄金分割点 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $