第三章 图形的相似 单元测试题 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版九年级数学上册第三章“图形的相似”单元卷，通过选择（10/30）、填空（8/24）、解答（7/66）题全面考查相似三角形性质、比例线段、位似等核心知识，注重几何直观与推理能力，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|相似三角形面积与周长比、比例线段判定|结合图形考查基础概念，如第7题黄金比例应用| |填空题|8/24|相似条件补充、位似坐标变换|开放题与新定义结合，如第14题“理想点”| |解答题|7/66|动点相似判定、黄金分割证明、位似作图|综合应用与探究，如22题动点问题培养推理能力，23题黄金分割体现数学美|

2026-2027学年九年级数学上册第三章图形的相似单元测试题北师大版 一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（3分）若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（　　） A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：16 2．（3分）如图，在△ABC中，D是边AC上一点，下面四种情况中，△ABD∽△ACB一定成立的情况是（　　） A．AD•BC＝AB•BD B．AB2＝AD•AC C．∠ABD＝∠CBD D．AB•BC＝AC•BD 3．（3分）如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点，CD、BE相交于O，S△ODE＝a，则S△ABC等于（　　） A．8a B．10a C．12a D．6a 4．（3分）根据ab＝cd≠0，下面不能组成比例的是（　　） A．a：c和d：b B．d：a和b：c C．b：d和a：c D．以上都不对 5．（3分）已知线段AB＝16，点C在线段AB的延长线上，且线段AB：BC＝8：3，点E是AC的中点，点D是AB的中点，则DE的长为（　　） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 6．（3分）如图，把左边的平行四边形按比例放大后得到右边的平行四边形，放大后的平行四边形与原来平行四边形高的比是（　　） A．3：2 B．2：1 C．2：3 D．无法确定 7．（3分）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到美的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（　　） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 8．（3分）如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2：3，点A，B的对应点分别为点A′，B′．若AB＝6，则A′B′的长为（　　） A．8 B．9 C．10 D．15 9．（3分）如图，点O，F在直线AD上，点O，E在直线BC上，且AB∥EF∥CD，若AO＝4，OF＝2，FD＝4，CE＝3，则BE的值为（　　） A．3 B．4 C．4.5 D．6 10．（3分）如图，在▱ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，EF＝1，EC＝3，则GF的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 二．填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 11．（3分）如图，∠1＝∠2，请补充一个条件：　 　 ，使△ABC∽△ADE． 12．（3分）如果7x＝8y（x、y均不为0），那么x：y＝　 　 ． 13．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD．若点A（1，2），B（2，0），D（5，0），则点A的对应点C的坐标是　 　 ． 14．（3分）定义：已知点C是线段AB上的一个点，若点C到线段两个端点的距离之比为1：3，则称点C为线段AB的“理想点”．如图，A、B分别是数轴上的两点，A点表示的数是﹣5，B点表示的数是15，则线段AB的“理想点”C表示的数是　 　 ． 15．（3分）如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，则∠a的度数是　 　 ． 16．（3分）数学的美无处不在，顶角为36°的等腰三角形被称为“黄金三角形”（即底边长与腰长的比值为0.618的三角形）．如△ABC，△BDC，△DEC都是黄金三角形，若AB＝100cm，则DE＝　 　 cm． 17．（3分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别在BC与CD上，且CE＝2BE，CF＝2DF，连接BF，DF，相交于点G，过G作MN，PQ得到两个正方形MGQA和正方形PCNG，设正方形MGQA的面积为S1，正方形PCNG的面积为S2，则S1：S2＝　 　 ． 18．（3分）如图，已知△ABC，D，E分别是AB，AC边上的点．AD＝3cm，AB＝8cm，AC＝10cm．若△ADE∽△ABC，则AE的值为　 　 ． 三．解答题（共7小题，满分66分） 19．（8分）小青读一本名著，如果每天读20页，12天可以读完．小青想8天读完，那么平均每天要读多少页？（用比例知识解答） 20．（8分）在比例尺是1：5000000的地图上，量得甲、乙两地之间相距8cm，甲、乙两地之间的实际距离是多少千米？ 21．（8分）如图，将一张矩形纸片沿它的长边对折（EF为折痕），得到两个全等的小矩形．若小矩形与原来矩形相似，求原来矩形的长边与短边的比． 22．（10分）如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts． （1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的； （2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值． 23．（10分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CE平分∠ACB交AB于点E， （1）试说明点E为线段AB的黄金分割点； （2）若AB＝4，求BC的长． 24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D是BC上的任意一点（不与点B，点C重合），DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于点E，F． （1）试判断四边形AEDF的形状，并说明理由； （2）若AB＝5，BC＝13，求△BDE与△DCF的周长之和． 25．（12分）如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣4，0）、B（0，2）、C（﹣2，4）． （1）如图，△A1B1C1三个顶点坐标分别为A1（2，0）、B1（0，﹣1）、C1（1，﹣2），△A1B1C1是△ABC通过位似变换得到的，请写出位似中心　 　 ；△A1B1C1和△ABC位似比为　 　 ； （2）作图：请在线段AB上找一点M使得AM：BM＝2：3． 参考答案 一．选择题 1．解：∵两个相似三角形的面积之比为1：4， ∴它们的相似比为1：2， ∴它们的周长之比为1：2． 故选：A． 2．解：A、因为AD•BC＝AB•BD的夹角非∠A，所以不能判定两三角形相似，故本选项错误； B、因为符合两边及夹角法，故可判定两三角形相似，故本选项正确； C、因为无法确定三角形的对应角相等，故无法判定两三角形相似，故本选项错误； D、因为AB•BC＝AC•BD的夹角为∠C、∠B，不确定是否相等，无法判定两三角形相似，故本选项错误， 故选：B． 3．解：∵D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点， ∴DE∥BC，DE＝BC， ∴△ODE∽△OCB，△ADE∽△ABC， ∴，， ∵S△ODE＝a， ∴S△OBC＝4a，S△ODB＝S△OEC＝2a， ∴S梯形DBCE＝S△ODE+S△OBC+S△ODB+S△OEC＝9a， ∴， ∴S△ADE＝3a， ∴S△ABC＝12a． 故选：C． 4．解：A、∵a：c＝d：b， ∴ab＝cd，与已知一致，不符合题意； B、∵d：a＝b：c， ∴dc＝ab，即ab＝cd，与已知一致，不符合题意； C、∵b：d＝a：c， ∴bc＝ad，与已知ab＝cd不一致，符合题意； 故选：C． 5．解：线段AB＝16，点C在线段AB的延长线上，且线段AB：BC＝8：3， ∴， ∴AC＝AB+BC＝16+6＝22， ∵点E是AC的中点， ∴， ∵点D是AB的中点， ∴， ∴DE＝AE﹣AD＝11﹣8＝3． 故选：A． 6．解：由题知， 图中的两个平行四边形相似， 所以对应线段的比等于相似比． 因为放大后的平行四边形与原来平行四边形的对应边之比为6：4＝3：2， 所以对应边上的高之比是3：2． 故选：A． 7．解：根据已知条件得下半身长是165×0.60＝99cm， 设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得： ＝0.618， 解得：y≈8cm． 故选：C． 8．解：∵图形甲与图形乙是位似图形，位似比为2：3，AB＝6， ∴＝，即＝， 解得，A′B′＝9， 故选：B． 9．解：∵AB∥EF∥CD， ∴＝， ∵AO＝4，OF＝2，FD＝4， ∴＝， ∴BE＝4.5． 故选：C． 10．解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC， ∴△DEF∽△BEC， ∴， ∵EF＝1，EC＝3， ∴， 即， ∴， ∵AB∥CD， ∴△DFC∽△AFG， ∴， ∵EF＝1，EC＝3， ∴CF＝4， ∴， ∴GF＝8， 故选：C． 二．填空题 11．解：∵∠1＝∠2， ∴∠BAC＝∠DAE 又∵∠C＝∠E（或∠B＝∠ADE） ∴△ABC∽△ADE． 故答案为：∠C＝∠E或∠B＝∠ADE． 12．解：∵7x＝8y， ∴x：y＝8：7． 故答案为：8：7． 13．解：∵以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD，且B（2，0），D（5，0）， ∴， ∴点A的横纵坐标与点C的横纵坐标的比值也为． ∵A（1，2）， ∴点C的横坐标为，纵坐标为． ∴C． 故答案为：． 14．解：设C点表示的数是x，则CA＝x+5，BA＝15﹣x， ∵点C到线段两个端点的距离之比为1：3， ∴当CA：BA＝1：3时，3（x+5）＝15﹣x，解得：x＝0； 当CA：BA＝3：1时，x+5＝3（15﹣x），解得：x＝10； ∴C表示的数是0或10， 故答案为：0或10． 15．解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′， ∴∠B＝∠B′＝70°， ∴∠C′＝360°﹣130°﹣60°﹣70°＝100° ∴∠α＝∠C′＝100°， 故答案为：100°． 16．解：∵顶角为36°的等腰三角形被称为“黄金三角形”，即黄金三角形中， ∴BC＝100×0.618＝61.8（cm）， ∴CD＝DE＝61.8×0.618≈38.192（cm）． 故答案为：38.192． 17．解：设AM＝a，PC＝b，则BP＝DN＝a，GN＝PC＝b， ∴BC＝CD＝a+b， ∵CE＝2BE， ∴， ∵MN∥BC， ∴△DGN∽△DEC， ∴，即，整理得：， ∴． 故答案为：9：4． 18．解：由题可知，当△AED∽△ABC， ∴， ∴， ∴， 由题可知，当△ADE∽△ABC， ∴， ∴， ∴， 故答案为：和． 三．解答题 19．解：设平均每天要读x页， 20：x＝8：12， 8x＝20×12， 8x＝240， x＝30， 答：平均每天要读30页． 20．解：设甲、乙两地之间的实际距离是x千米，根据比例尺的意义可得 ＝ 解得x＝400 答：甲、乙两地之间的实际距离是400千米． 21．解：由折叠知，， ∵矩形AEFD∽矩形ADCB， ∴， ∴， ∴， ∴＝＝． ∴原来矩形的长边与短边的比为． 22．解：（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm， ∴△AMN的面积＝AN•AM＝×（12﹣2t）×t＝6t﹣t2， ∵∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm ∴△ABD的面积为AB•AD＝×6×12＝36， ∵△AMN的面积是△ABD面积的， ∴6t﹣t2＝， ∴t2﹣6t+8＝0， 解得t1＝4，t2＝2， 答：经过4秒或2秒，△AMN的面积是△ABD面积的； （2）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm， 若△AMN∽△ABD， 则有，即， 解得t＝3， 若△AMN∽△ADB， 则有，即， 解得t＝， 答：当t＝3或时，以A、M、N为顶点的三角形与△ABD相似． 23．（1）证明：∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠ACB＝（180°﹣36°）＝72°， ∵CE平分∠ACB， ∴∠BCE＝∠ACB＝×72°＝36°， ∴∠BCE＝∠A＝36°， ∴AE＝BC， 又∵∠B＝∠B， ∴△ABC∽△CBE， ∴＝， ∴BC2＝AB•BE， 即AE2＝AB•BE， ∴E为线段AB的黄金分割点； （2）∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠B＝∠ACB＝72°， ∴∠BEC＝180°﹣72°﹣36°＝72°， ∴BC＝CE， 由（1）已证AE＝CE， ∴AE＝CE＝BC， ∴BC＝•AB＝×4＝2﹣2． 24．解：（1）四边形AEDF是矩形．理由： ∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∵∠A＝90°， ∴四边形AEDF是矩形； （2）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝5，BC＝13， ∴， ∵四边形AEDF是矩形， ∴AE＝DF，DE＝AF， ∴△BDE与△DCF的周长之和＝BD+BE+DE+CD+DF+CF ＝BD+BE+AF+CD+AE+CF ＝AB+BC+AC ＝5+13+12 ＝30． 25．解：（1）连接AA1、BB1、CC1交于点O，则位似中心为点O（0，0）， 由勾股定理得：，， ∵△A1B1C1和△ABC位似， ∴位似比为对应边长之比，即， ∴位似比为：， 故答案为：点O（0，0），1：2； （2）使得AM：BM＝2：3的点M，如图2即为所求． 学科网（北京）股份有限公司 $