第15章 轴对称(随堂反馈)-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024 江西专版）

第十五章： 轴对称 15.1图形的轴对称 15.1.1轴对称及其性质 知识梳理 ①如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够 ,这个图形就叫 作轴对称图形，这条直线就是它的 ②把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与 重合，那么就说这两个图形 关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称.这条直线叫作 ,折叠 后重合的点是对应点，叫作 ③成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴 ④经过线段 并且 于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线.由轴 对称的性质可知，无论是成轴对称的两个图形，还是轴对称图形，其对称轴都是其任意 一对对称点所连线段的 当堂练习 1.下列安全图标不是轴对称图形的是 A B D 2.视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”是关于某 条直线成轴对称的是 EE mE 3m 3E A B C 3.如图，△ABC和△ADE关于直线l对称，有下列结论：①△ABC≌△ADE;②直线1垂 直平分BD;③∠C=∠E;④BC与DE的延长线的交点一定落在直线I上.其中错误 的有 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 100 100 12 20 (第3题图) (第4题图)》 (第5题图) 4.如图，若正方形的边长为6cm,则图中阴影部分的面积为 cm2. 5.如图，这两个四边形关于某直线对称，根据图中提供的条件，则x= ,y= ·15· 15.1.2线段的垂直平分线 第1课时线段垂直平分线的性质与判定 知识梳理 ①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离 ②与线段两个端点距离相等的点在这条线段的 上. ③两个命题的题设、结论正好相反，我们把具有这种关系的两个命题叫作 如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的 当堂练习 1.如图，已知AD垂直平分BC,BC=4,AB=5,则BD的长为，AC的长为 B D B (第1题图) (第3题图) 2.写出命题“如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题： 3.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交BC,AC于点D,E,连接AD.若AB= 6cm,BD=4cm,△ABD的周长为16cm,则CD的长为cm. 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2AC,AD为∠BAC的平分线.求证：点D在线 段AB的垂直平分线上. D ·16· 第2课时线段垂直平分线的有关作图 当堂练习 1,如图，已知线段AB,分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交 于C,D两点，作直线CD,交AB于点E,在直线CD上任取一点F,连接AF,BF.若 AF=5,则BF的长为 ( ) A.3 B.4 C.5 E D.6 2.下列图形中，哪些是轴对称图形？是轴对称图形的，画出它的所有对称轴. (1 (2) (3) 3.利用图形中的对称点，画出图形的对称轴 1 (2) 4.如图，在△ABC中，AC<BC,请用尺规作图的方法在BC上确定一点P,使PA十PC= BC,并说明理由. ·17· 15.2画轴对称的图形 第1课时画轴对称的图形 当堂练习 1.由两个半圆、一个三角形组成的图形如图所示，请你以直线AB为对称轴，把原图形补 成轴对称图形. 2.如图，在正方形网格中有一个△DEF. (1)作△DEF关于直线1对称的图形△DE'F'; (2)作△DEF的边EF上的高； (3)若网格中小正方形的边长均为1，求△DEF的面积. 第2课时用坐标表示轴对称 当堂练习 1.在平面直角坐标系中，点A(-4,3)与点B(4,3)关于 A.y轴对称 B.x轴对称 C.原点对称 D.直线y=x对称 2.将点A(2,3)向左平移5个单位长度后得到点B,点B关于y轴的对称点是点C,则点 C的坐标为 ( ) A.(3,3) B.(7,3) C.(-7,3) D.(-3,3) 3.在平面直角坐标系中，若点A(一7,6)与点B(a,b)关于x轴对称，则a十b的值为 ·18· 15.3等腰三角形 15.3.1等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质 知识梳理 ①等腰三角形的两个底角 (简写成“等边对等角”). 2等腰三角形 及 重合（简写成“三线合一”）， ③等腰三角形是 图形， )所在 直线就是它的对称轴。 当堂练习 1.如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC,下列结论不一定正确的是 A.∠B=∠C B.BD-CD C.AB=2BD D.AD平分∠BAC D (第1题图) (第2题图) (第3题图) (第4题图) (第5题图) 2.如图，在△ABC中，AB=AD=DC,∠B=70°，则∠C的度数为 A.35° B.40° C.45° D.50° 3.如图，a∥b,点A在直线a上，点C在直线b上，∠BAC=90°，AB=AC.若∠1=20°，则 ∠2的度数为 A.25° B.65° C.70 D.75° 4.如图，在△ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC,BC=3cm,则∠ADB的度数为 BD的长为 cm. 5.如图，在锐角三角形纸片ABC中，AB=AC,将底边BC沿着过点B的折痕BE折叠，使 点C落在腰AB上的点D处，这时△ADE是等腰三角形，则∠A的度数为 6.如图，在△ABC中，AB=AC,BD=CD,AD的延长线交BC于点E.求证：DE平分 ∠BDC. ·19· 第2课时等腰三角形的判定 知识梳理 ①有两个角 的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”） ②已知底边，作定高的等腰三角形的步骤：①先作底边的 ;②截取定高长； ③连接得到等腰三角形. 当堂练习 1.如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O,过点O 作EF∥BC,交AB于点E,交AC于点F,那么图中等腰三角形的个数为 ( A.3 B.5 C.6 D.7 北 东 65 (第1题图) (第3题图) 2.在△ABC中，∠B=∠C,D,E分别是AB,AC上的点，且DE∥BC.若AE=2cm,则 AD的长为cm. 3.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东50°方向的M处，它以每小时35 n mile的速度向 正南方向航行，4h后到达位于灯塔P的南偏东65°方向的N处，则M处与灯塔P的 距离为n mile.. 4.如图，AE∥BC,AE平分∠DAC.求证：△ABC是等腰三角形. 5.如图，点E,F在BC上，BE=CF,∠A=∠D,∠B=∠C,AF与DE交于点O.试判断 △OEF的形状，并说明理由. ·20· 15.3.2等边三角形 第1课时等边三角形的性质与判定 知识梳理 ①等边三角形的三条边都相等， ②等边三角形的三个角 ,并且每一个角都等于 ③三边 的三角形是等边三角形. ④三个角 的三角形是等边三角形. ⑤有一个角是60°的 是等边三角形 当堂练习 1.如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D,则∠BAD的度数为 ) A.60° B.50° C.40° D.30° B D B B D (第1题图) (第2题图) (第4题图) 2.如图，在等边三角形ABC中，D是AC的中点，延长BC到点E,使CE=CD,连接DE, 则∠E的度数为 ( A.15° B.20° C.30° D.40° 3.下列说法正确的有 ) ①三个内角都相等的三角形是等边三角形；②有两个角等于60°的三角形是等边三角 形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；④有两个角相等的等腰三角形是等 边三角形 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如图，在等边三角形ABC中，点D,E分别在边BC,AB上，且BD=AE,AD与CE交 于点F,则∠DFC的度数为 5.如图，D,E,F分别是等边三角形ABC各边上的点，且AD=BE=CF.求证：△DEF 是等边三角形 D ·21· 第2课时含30°角的直角三角形的性质 知识梳理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于 当堂练习 1.在Rt△ABC中，∠C=30°，斜边AC的长为5cm,则AB的长为 A.4 cm B.3 cm C.2.5 cm D.2 cm 2.在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3,则BC:AB等于 ) A.2:1 B.1:2 C.1:3 D.2:3 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB+BC=9cm,则AB的长为 ( A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm 北 西O B 东 南 (第3题图) (第4题图) 4.如图，一艘渔船向东航行，8点到达O处，灯塔A在其北偏东60°方向，距离16 n mile, 10点到达B处，灯塔A在其正北方向，此时渔船与灯塔A相距n mile.. 5.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点 E.求证：AE=2CE. ·22· 综合与实践最短路径问题 知识梳理 在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易 解决的问题，从而作出最短路径的选择。 当堂练习 1.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3,AC=4,BC=5,EF垂直平分BC,P为直线 EF上任意一点，则AP+BP的最小值是 A.3 B.4 C.5 D.6 BC N O (第1题图) (第2题图) 2.如图，∠AOB=40°，C为OB上的定点，M,N分别为OA,OB上的动点.当CM+MN 的值最小时，∠OCM的度数为 3.如图，E,F分别是△ABC的边AB,AC上的两个定点，在BC上找一点M,使△EFM 的周长最小. B 4.如图，点A是总局，想在公路11上建一分局D,在公路2上建一分局E,分局D,E修 建在何处能使AD十DE+EA的值最小？ ●A ·23·4证明DELAC.BF LAC.∠CED-∠AF-9:在R△ABF和△CnE中，2F-0E:.R:AABF ≌Rt△CDE(HL).∴.∠BAF=∠DCE,.AB∥CD. 14.3角的平分线 第1课时角的平分线的性质 知识梳理 ②相等 当堂练习 1.C2.C3.5:3 4.证明：，CD⊥AB,BE⊥AC,AO平分∠BAC,.OD=OE,∠BDO=∠CEO=90°.在△BOD和△COE中， í∠BDO=∠CEO, OD=OE, ∴.△BOD≌△COE(ASA)..OB=OC. ∠BOD=∠COE, 第2课时角的平分线的判定 知识梳理 ①角的平分线上②相等 当堂练习 1.C2.A3.40° 4.证明：过点D作DE⊥AB,DF⊥BC,DG⊥AC,垂足分别为E,F,G.BD平分∠ABC,∴.DE=DF.同理可得 DF=DG,∴.DE=DG.∴点D在∠BAC的平分线上.∴.∠BAD=∠CAD. 第十五章轴对称 15.1图形的轴对称 15.1.1轴对称及其性质 知识梳理 ①互相重合对称轴②另一个图形对称轴对称点3垂直平分④中点垂直垂直平分线 当堂练习 1.D2.D3.A4.185.70°6 15.1.2线段的垂直平分线 第1课时线段垂直平分线的性质与判定 知识梳理 ①相等②垂直平分线③互逆命题逆命题 当堂练习 1.252.如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等3.6 4.证明：过点D作DE⊥AB于点E,则∠AED=90°.，∠C=90°，.∠AED=∠C.,AD平分∠BAC,.∠EAD ∠AED=∠C, =∠CAD.在△AED和△ACD中，∠EAD=∠CAD,∴.△AED≌△ACD(AAS).∴.AE=AC..AB=2AC, AD=AD, ∴.AB=2AE..AB=AE+BE,∴.AE十BE=2AE..BE=AE.又，DE⊥AB,∴.DE是线段AB的垂直平分线， 即点D在线段AB的垂直平分线上. 第2课时 线段垂直平分线的有关作图 当堂练习 1.C 2.解：(2)(3)是轴对称图形，对称轴如图所示. (2) (3) (1) (2) P (第2题图) (第3题图) （第4题图) 3.解：如图，直线1,2即为所求. 4.解：如图，作线段AB的垂直平分线，交BC于点P,交AB于点D,点P即为所求作的点.理由如下：由作图知 PD为AB的垂直平分线，连接AP,则AP=BP,∴.PA十PC=BP+PC=BC. 39 15.2画轴对称的图形 第1课时画轴对称的图形 当堂练习 1.解：如图所示. (第1题图) (第2题图) 2.解：(1)如图，△D'EF'即为所求.(2)如图，线段DM即为所求.(3)△DEF的面积为 ×3x2=3, 第2课时用坐标表示轴对称 当堂练习 1.A2.A3.-13 15.3等腰三角形 15.3.1等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质 知识梳理 ①相等②底边上的中线高顶角平分线③轴对称底边上的中线顶角的平分线底边上的高 当堂练习 1.C2.A3.B4.90°1.55.36° 6.证明：AB=AC,BD=CD,AD的延长线交BC于点E,∴AE垂直平分BC,即DE⊥BC.又，BD=CD, ∴.DE平分∠BDC. 第2课时等腰三角形的判定 知识梳理 ①相等②垂直平分线 当堂练习 1.B2.23.140 4.证明：AE∥BC,∴.∠DAE=∠B,∠CAE=∠C.·AE平分∠DAC,∴.∠DAE=∠CAE.∴.∠B=∠C. ∴.△ABC是等腰三角形。 5.解：△OEF是等腰三角形.理由如下：BE=CF,∴BE十EF=CF+EF,即BF=CE.在△ABF和△DCE中， 1∠A=∠D, ∠B=∠C,∴.△ABF≌△DCE(AAS)..∴.∠AFB=∠DEC.∴.△OEF是等腰三角形. BF=CE. 15.3.2等边三角形 第1课时等边三角形的性质与判定 知识梳理 ②都相等60°3都相等④都相等⑤等腰三角形 当堂练习 1.D2.C3.C4.60° 5.证明：，△ABC是等边三角形，∴AB=BC=CA,∠A=∠B=∠C=60°.，AD=BE=CF,∴.AB-AD=BC -BE=CA-CF,即BD=CE=AF..∠A=∠B=∠C,∴.△ADF≌△BED≌△CFE(SAS).∴.DF=ED=FE '.△DEF是等边三角形. 第2课时含30°角的直角三角形的性质 知识梳理 斜边的一半 当堂练习 1.C2.B3.D4.8 5.证明：连接BE.,在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∴.∠ABC=90°-∠A=60°.DE是AB的垂直平分线， .AE=BE.∴.∠ABE=∠A=30°..∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°..BE=2CE..AE=2CE. 40 综合与实践最短路径问题 当堂练习 1.B2.10° 3.解：如图，作点E关于BC的对称点E',连接FE,交BC于点M,连接EM,EF,则点M即为所求. (第3题图) (第4题图) 4.解：如图，作点A关于l1的对称点A1,再作点A关于12的对称点A2,连接A1A2,交l1于点D,交L2于点E,连 接AD,AE,此时AD+DE+EA最小. 第十六章整式的乘法 16.1幂的运算 16.1.1同底数幂的乘法 知识梳理 am+n不变相加 当堂练习 1.解：1)原式=y*5=.(2)原式=3+=3.(3)原式=-（兮）“=-（号）广=-.(4）原式=a· (-a8)·（-a7)=a5+8+7=a20.(5)原式=32X3"X33X3m=32+m+3+m=32m+5.(6)原式=x6·(一x3)-x2·(-x7) =-x5·x3十x2·x=-x+x9=0.(7)原式=(x-2y)·(x-2y)3·(x-2y)=(x-2y)1+3+4=(x-2y)8. (8)原式=-x·x2·x2m+1-x2m+2·x2=-x2m+1+2+1-x2m+2+2=-x2m+4-x2m+4=-2x2m+4. 16.1.2幂的乘方与积的乘方 知识梳理 ①am不变相乘②a"b”乘方相乘 当堂练习 1.解：(1)原式=-a2x3=-a.(2)原式=y+y·y2=y8十y8=2y.(3)原式=(m-n)2·(m-n)15=(m-n)7 2.解：(1)原式=(-5)3a36=-125a36.(2)原式=(-1)2(xm)(ym)2=x2mym.(3)原式=4x2+9x2-4x2=9x2. 3.解：1原式=[0.125×(-8)]=(-1)=1.(2)原式=(3)×(-日)°=9×(-日)°=9×[9×(-号)门 =9×(-1)8=9×1=9. 16.2整式的乘法 第1课时单项式与单项式相乘 知识梳理 系数同底数幂指数 当堂练习 1.解：(1)原式=4×(-2)x·(y·y2)=-8xy3.（2)原式=3m2·4m=12m8.(3)原式=a2bc5·（-ab3)= -abc6.(4)原式=8a26-4a2b=4a2b4. 第2课时单项式与多项式相乘 知识梳理 ①ma十mb十mc分配②每一项相加 当堂练习 1.解：(1)原式=3a2b2·(-2ab3)+3a2b2·1=-6a3b+3a2b2.(2)原式=4m2n2·(6mn-1)=24m3n3-4m2n2. (3)原式=-b·号a6+(-ab)(-2ab)+(-b）·1=-3a6+a8-6,(4)原式=是xy: (2x-4y叶7y)=号ry-9ry+x. 第3课时多项式与多项式相乘 知识梳理 每一项每一项相加 41