14-3 角的平分线 课件2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件围绕角的平分线展开，涵盖概念、性质、判定及尺规作图，通过折纸操作和角平分仪演示导入，结合全等三角形证明原理，构建“概念-原理-作图-应用”的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于以几何直观和推理能力为核心，折纸操作培养空间观念，全等证明发展推理意识，规范几何语言表达。实例如市场选址问题联系实际，能力训练分层设计，助力学生深化理解，教师可高效开展教学。

角的平分线 模块一： 角的平分线 1.角平分线的概念 从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线. ∵ ∠1=∠2 ∴ BD是∠ABC的平分线 2.通过折纸的方法做一个角的平分线 下面是利用角平分仪平分一个角的演示过程.你能说明它的道理吗？ 其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE为∠α的角平分线. 你能用学过的知识说明为什么吗？ 证明：在△ABC与△ADC中， ∴△ABC≌△ADC (SSS) ∴∠BAC=∠DAC 即 AE是∠α的角平分线 上述平分角的方法告诉了我们一种作已知角的平分线的方法. 已知：∠AOB 求作：∠AOB 的平分线. A O B M 作法: (1)以点 O 为圆心，适当长为半径作弧，交 OA 于 M，交 OB 于点 N； N (2) 分别以 M，N 为圆心，大于 MN 的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部相交于点 C； (3) 作射线 OC. 则射线 OC 即为所求. A O B M N C 为什么要大于MN呢？ 作角平分线是最基本的尺规作图，大家一定要掌握! 任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，过点P画出OA和OB的垂线，分别记垂足为D，E，PD和PE有什么关系？ D P E A O B C 猜想：PD=PE 你能结合三角形全等的知识证明这个结论吗？ 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E.求证：PD=PE 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知） ∴∠PDO=∠PEO=90（垂直的定义） 在△PDO和△PEO中 ∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等） ∴ △ PDO≌ △ PEO（AAS） D P E A O B C 文字语言：角平分线上的点到角的两边的距离相等. ※角平分线的性质 几何语言： ∵点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥OA，PE⊥OB. ∴PD=PE 定理应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离。 定理的作用： 证明线段相等。 例1 已知：如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且 BD = CD，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为 E，F. 求证：EB = FC. A B C D E F 证明：∵AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB， DF⊥AC， ∴ DE = DF，∠DEB =∠DFC = 90°. 在Rt△BDE 和 Rt△CDF 中， DE = DF， BD = CD， ∴ Rt△BDE≌Rt△CDF (HL). ∴ EB = FC. 1．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点 A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA＝2，则PQ的最小值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于点D.如果∠A＝30°，AE＝6 cm，那么CE等于( ) A.1 cm B．2 cm C．3 cm 　 D．4 cm B C 3.如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 度，BE= . 4.△ABC中, ∠C=90°, AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距是 . 60 BF 3 5.如图，在 Rt△ABC 中，AC＝BC，∠C＝90°，AP 平分∠BAC 交 BC 于点 P，若 PC＝m，AB＝14. (1) 求△APB 的面积 (用含 m 的式子表示)； 解：如图，过点P作PD⊥AB于点D， ∵AP 平分∠BAC ，PC⊥AC, ∴ PD = PC = m， ∴AB · PD = 7m. A B C P D A B C P D (2) 求△PDB 的周长. 解：在Rt△ACP和Rt△ADP中， PD = PC AP = AP ∴△ACP≌△ADP， ∴ AC = AD. ∴PD+PB+DB=PC+PB+DB =BC+DB=AC+DB=AD+DB=AB=14 6.如图，在四边形ABCD 中，∠B＝90°，AB∥CD，M 为BC边上的一点，且AM 平分∠BAD，DM 平分∠ADC. 求证：M 为BC的中点． 证明：如图，过点M作MN⊥AD于点N. ∵∠B＝90°，AB∥CD， ∴BM⊥AB，CM⊥CD. 又∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC， ∴BM＝MN，MN＝CM. ∴BM＝CM， 即M为BC的中点． 角平分线的性质 性质定理 一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等 过角平分线上一点向两边作垂线段 辅助线 添加 角平分线的画法 模块二： 角平分线的判定 如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路的距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？ S 角的平分线上的点到角的两边距离相等。那么，到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？请你试着证明一下。 已知，如图，P为∠AOB内部一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE. 求证：点P在∠AOB的角平分线上. 猜想：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 证明：经过点P作射线OC. ∵PD⊥OA，PE⊥OB , ∴∠PDO=∠PEO=90°, 在Rt△PDO和Rt△PEO中， ∴Rt△PDO ≌Rt△PEO (HL) , ∴∠POD=∠POE ,即点P在∠AOB的角平分线上. 角平分线的判定定理 判定定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. P A O B C D E 应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. 判断点是否在角的平分线上. 应用格式： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE， ∴ 点 P 在∠AOB 的角平分线上. 定理的作用： 　角的平分线的性质与判定定理的关系： (1)都与距离有关，即垂直的条件都应具备． (2)点在角的平分线上 点到这个角两边的距离相等．　 (3)性质反映只要是角平分线上的点，到角两边的距离就一定相等； 判定定理反映只要是到角两边距离相等的点，都应在角的平分线上． D E F A B C P N M 例1: 如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P， 求证：点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等. 证明：过点 P 作 PD，PE，PF 分别垂直于 AB，BC，CA，垂足分别为 D，E，F. ∵ BM 是△ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上， ∴ PD = PE. 同理，PE = PF. ∴ PD = PE = PF. 即点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等. 1.如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为(　　) A．110° B．120° C．130° D．140° 2.若△ABC内一点O到三角形三条边的距离相等，则O为△ABC( )的交点． A．角平分线 B．高线 C．中线 D．边的垂线 A A 3.如图，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=6cm，当PE=____cm时,点P在∠AOB的平分线上. 4.如图,已知PA⊥ON于A,PB⊥OM于B,且PA=PB,∠MON=50°,∠OPC=30°, 则∠PCA=______. 6 55° 5.如图，∠MON=60°，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A、B不与点O重合），在∠MON的内部，△AOB的外部有一点P，且AP=BP，∠APB=120°. 求证：点P在∠MON的平分线上. C D 证明：过点P分别作PC⊥OM，PD⊥ON，垂足分别为C，D， 则∠ACP=∠BDP=90°. 在四边形OCPD中， ∠CPD=360°-∠OCP-∠COD-∠ODP=120°， ∴∠APB=∠CPD. ∴∠APB-∠APD =∠CPD-∠APD，即∠APC=∠BPD. 在△APC和△BPD中， ∴△APC≌△BPD（AAS）. ∴PC=PD，即点P在∠MON的平分线上. 6.如图，有一块三角形的闲地，其三边长分别为30m、40m、50m，现要把它分成面积比为3:4:5的三部分，分别种植不同的花，请你设计一种方案，并简要说明理由. 解:点P即为所求，即△ABC分为△ABP、△ACP、△BCP三个小三角形，即可符合面积比为3:4:5. 结论 作用 三角形的角平分线相交于内部一点， 该点到三角形三边的距离相等 角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 角平分线的判定 判断一个点是否在角的平分线上 内容 Lavf57.83.100 $