14.2 三角形全等的判定 课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦三角形全等的判定，系统涵盖“SSS”“SAS”“ASA/AAS”“HL”四大判定方法。课堂导入通过问题链引导，先回顾全等三角形定义与性质，再逐步探究满足一个、两个条件不全等，进而实验验证三个条件的判定方法，构建递进式学习支架。 其亮点在于注重动手操作与逻辑推理，通过画图、剪拼等活动培养几何直观（数学眼光），规范的证明步骤训练推理意识（数学思维），结合生活实例（如测量池塘距离）强化应用意识（数学语言）。旧知总结模块梳理方法要点，助力学生系统掌握，教师可依托清晰结构提升教学效率。

三角形全等的判定 模块一： 全等三角形的判定一 A B C D E F 1.什么叫全等三角形？ 能够重合的两个三角形叫全等三角形. 3.已知△ABC ≌△DEF，你能得到哪些相等的边与角. ①AB=DE ③CA=FD ②BC=EF ④∠A=∠D ⑤∠B=∠E ⑥∠C=∠F 2.全等三角形有什么性质？ 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 如果只满足这六个条件中的一部分，那么能保证△ABC≌△A'B'C'吗？ AB = A'B' BC = B'C' AC = A'C' ∠A = ∠A' ∠C = ∠C' ∠B = ∠B' A C B A' C' B' C B 先任意画出一个△ABC.再画一个△A'B'C'，使△ABC与△A'B'C'满足上述六个条件中的一个（一边或一角分别相等）.你画出的△A'B'C'与△ABC一定全等吗? 一条边相等 一个角相等 A A B B C C A' A' B ' B ' C' C' 先任意画出一个△ABC.再画一个△A'B'C'，使△ABC与△A'B'C'满足上述六个条件中的两个（两边、一边一角或两角分别相等）.你画出的△A'B'C'与△ABC一定全等吗? 两边相等 两角相等 一边及一角相等 A B C A' B' C' A B C A' B' C' A B C A' B' C' 通过画图可以发现，满足上述六个条件中的一个或两个，△ABC与△A′B′C′ 不一定全等. 满足上述六个条件中的三个，有几种可能的情况呢？ _________________________________________________________________ 每种情况都能保证△ABC与△A′B′C′全等吗？ ①三个角； ②三条边； ③两边一角. ④两角一边 先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，B′C′=BC，C′A′=CA. 把画好的△A′B′C′ 剪下，放到△ABC上，它们全等吗？ 一定全等 A C B 画法： (1) 画 B 'C ' = BC; (2) 分别以点 B '，C ' 为圆心，线段 AB，AC 长为半径画弧，两弧相交于点 A'； (3) 连接线段 A'B '，A'C '. B ' C ' A' 大家有什么发现？ 文字语言：三边对应相等的两个三角形全等. （简写为“边边边”或“SSS”） 基本事实---“边边边”判定方法 在△ABC和△A′B′C′ 中， ∴△ABC≌△ A′B′C′ （SSS）. AB=A′B′， BC=B′C′， CA=C′A′， 几何语言： 例1、如图，有一个三角形钢架，AB =AC ，AD 是连接点A 与BC 中点D 的支架．求证：△ABD ≌△ACD ． C B D A 解题思路： 先找隐含条件 公共边AD 再找现有条件 AB=AC 最后找准备条件 BD=CD D是BC的中点 证明：∵ D 是BC中点， ∴BD =DC． 在△ABD 与△ACD 中， C B D A AB =AC, (已知） BD =CD ,（已证） AD =AD,（公共边） 准备条件 指明范围 摆齐根据 写出结论 ∴ △ABD ≌ △ACD （ SSS ）． ①分析已有条件,准备所缺条件： 证全等时要用的间接条件要先证好； ②三角形全等书写三步骤： 写出在哪两个三角形中 摆出三个条件用大括号括起来 写出全等结论 全等三角形证明的基本步骤： 作一个角等于已知角 已知：∠AOB. 求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB. 作法： 1.以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D； 2.画一条射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′； 3.以C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D′； 4.过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB. O D B C A O′ C′ A′ B′ D ′ 为什么这样作出的∠A′O′B′和∠AOB是相等的？ 在△OCD和△O′C′D′中， ∴△OCD ≌△O′C′D′(SSS), ∴∠AOB=∠A′O′B′. 1.如图(1) ，在△ABC中，AB=AC，BE=EC，则由“SSS”可判定（ ） A.△ABD≌△ACD B.△ABE≌△ACE C.△BED≌△CED D.以上答案都不对 2.如图(2)，在△ABC中，AB=AC，要根据“SSS”判定△ABO≌△ACO,还需添加条件（ ） A.AD=AE B.OD=OE C.OB=OC D.BD=CE B C 3．如图，AB＝CD，AD＝CB，判定△ABD≌△CDB的依据是　 　．  4.如图，已知点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，根据SSS还需要添加一个条件是 ．　 　SSS　 AD＝CF(或AC＝DF) 5.如图，AB＝AC，BD＝CE，AD＝AE，求证：△ABE≌△ACD． 证明：∵BD＝CE， ∴BD＋DE＝CE＋DE， ∴BE＝CD， 在△ABE和△ACD中， ∴△ABE≌△ACD(SSS)． 证明：∵AD＝CF， ∴AD＋DC＝CF＋DC， 即AC＝FD， 在△ABC和△FED中， AB＝FE，AC＝FD，BC＝ED， ∴△ABC≌△FED(SSS)． ∴∠A＝∠F， ∴AB∥EF． 6.如图，点A，D，C，F在同一直线上，AB＝EF，AD＝CF， BC＝ED．求证：AB∥EF． 边边边 内容 有三边对应相等的两个三角形全等（简写成 “SSS”) 应用 思路分析 书写步骤 结合图形找隐含条件和现有条件，证准备条件 注意 四步骤 1. 说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写. 2. 结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中. 模块二： 全等三角形的判定二 如果已知一个三角形的两边及一角，那么有几种可能的情况呢？ 每种情况下的两边及一角分别相等的两个三角形是否全等？ 1.边 角 边 2.边 边 角 “两边及夹角” “两边和其中一边的对角” 注意：边角位置关系 A B C A′ D E B′ C′ 作法： （1）画∠DA'E=∠A； （2）在射线A'D上截取A'B'=AB,在射线A'E上截取A'C'=AC； （3）连接B'C '. 思考: ① △A′ B′ C′ 与 △ABC 全等吗？如何验证？ ②这两个三角形全等是满足哪三个条件？ 在△ABC 和△ DEF中， ∴△ABC ≌△ DEF（SAS）． 文字语言： 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等. （简写成“边角边”或“SAS ”）． 几何语言： AB = DE， ∠A =∠D， AC =AF ， A B C D E F 必须是两边“夹角” 例1 如图，有一池塘，要测池塘两端 A、B 的距离，可先在平地上取一个点 C，从点 C不经过池塘可以直接到达点 A 和 B .连接 AC 并延长至点D，使 CD = CA，连接 BC 并延长至点E，使 CE = CB.连接 DE，那么量出DE 的长就是 A，B 的距离，为什么？ 分析:如果能证明△ABC≌△DEC，就可以得出AB=DE.由题意可知，△ABC和△DEC具备“边角边”的条件. 证明：在△ABC 和△DEC 中， ， ∴△ABC ≌△DEC ( SAS ). ∴AB = DE ( 全等三角形的对应边相等 ). 1.如图，a，b，c 分别是△ABC 的三边长，则下面与△ABC 一定全等的三角形是(　　) 　 　 B 2.如图，已知AB＝AE，AC＝AD，下列条件中能判定△ABC≌△AED 的是(　　) A．BC＝AE B．∠BAD＝∠EAC C．∠B＝∠E D．∠C＝∠D B 3.如图，点E，C，F，B在一条直线上，EC=BF,AB=DE,当添加条件 时，可由“边角边”判定△ABC≌△DEF 4. 如图，在△ABC中，D是BC上的一点，CA=CD，CE平分∠ACB,交AB于点E，连接DE，若∠A=100°，则∠BED= . ∠E=∠B 55° 5.如图，已知CA=CB , AD=BD, M，N分别是CA，CB的中点，求证：DM=DN. 在△ABD与△CBD中 证明: CA=CB (已知） AD=BD（已知） CD=CD （公共边） ∴△ACD≌△BCD（SSS） 连接CD，如图所示； ∴∠A=∠B 又M，N分别是CA，CB的中点， ∴ AM=BN 在△AMD与△BND中 AM=BN (已证） ∠A=∠B （已证） AD=BD （已知） ∴△AMD≌△BND（SAS） ∴DM=DN. 边角边 内容 有两边及夹角对应相等的两个三角形全等（简写成 “SAS”) 应用 为证明线段和角相等提供了新的证法 注意 1.已知两边，必须找“夹角” 2.已知一角和这角的一夹边，必须找这角的另一夹边 模块三： 全等三角形的判定三 思考： 两角一边分为哪几种情况？ 一种情况是边夹在两角的中间 ，形成两角夹一边 01 02 另一种情况是边不夹在两角的中间 ，形成两角一对边 角-边-角 角-角-边 先任意画出一个△ABC，再画一个△A ′ B ′ C ′ ， 使A ′ B ′ =AB， ∠A ′ =∠A， ∠B ′ =∠B (即两角和它们的夹边分别相等).把画好的△A ′ B ′ C ′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？ A C B B ′ A ′ C ′ D E 文字语言：有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等. (简写成“角边角”或“ASA”） 基本事实---“角边角”判定方法 在△ABC和△A′B′C′中， ∴△ABC≌△A′B′C′ （ASA）. ∠A=∠A′ ， AB=A′B′ ， ∠B=∠B′ ， 几何语言： 必须是两角“夹边” 例1 如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C. 求证AD=AE. 证明：在△ACD和△ABE中， ∴ △ACD ≌△ABE (ASA) ， ∴ AD=AE. 例2 如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF.求证：△ABC≌△DEF. A B E D C F 证明：在△ABC和△DEF中， ∵∠A=∠D，∠B=∠E， ∴∠C=180°-∠A-∠B，∠F=180°-∠D-∠E， 即∠C=∠F. 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF（ASA）. ◆文字语言：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等. (可以简写成“角角边”或“AAS”). ★“角角边”判定方法 在△ABC和△A′B′C′ 中， ∴△ABC≌△A′B′C′ （AAS）. ∠A=∠A′ ， ∠B=∠B′ ， BC=B′C′ ， 几何语言： 1. 下列各图中a,b,c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等 的是（　　） A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙 B 2. 在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A＝44°，∠B＝67°，∠C′＝69° ，∠A′＝44°， 且AC＝A′C ′，那么这两个三角形（　 ） A．一定不全等　 B．一定全等　 　 C．不一定全等　　 D．以上都不对 B 3.如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得ADC≌△BEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是___________. 4.如图，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC，那么图中全等三角形共有______对. 　 AC=BC 4 5.如图所示，在Rt△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，过A作任一条直线AN，BD⊥AN于D，CE⊥AN于E,求证:DE=BD-CE. 证明:∵∠BAC=90°，BD⊥AN， ∴∠1+∠2=90°，∠3+∠1=90°， ∴∠2=∠3， ∵BD⊥AN，CE⊥AN， ∴∠BDA=∠AEC=90°， 在△ABD和△CAE中, ∴△ABD ≌△CAE(AAS)， ∴BD=AE，AD=CE， ∵DE=AE-AD， ∴DE=BD-CE. 6.如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上两点C，D，使BC=CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长.为什么？ 解：∵ AB⊥BF，DE⊥BF， ∴ ∠ABC=∠EDC=90° ， 在△ABC和△EDC中， ∴ △ABC≌△EDC (ASA) ， ∴ AB=ED. 边角边 角角边 内容 应用 注意 有两角及夹边对应相等的两个三角形全等（简写成 “ASA”) 为证明线段和角相等提供了新的证法 注意“角角边”、“角边角”中两角与边的区别 模块四： 全等三角形的 判定四 任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°，再画一个Rt△A′B′C′，使得∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB. 把画好的Rt△A′B′C′ 剪下来，放到Rt△ABC上，它们全等吗？ 画法：（1）画∠MC′N=90°； （2）在射线C′M上截取B′C′=BC； （3）以B′为圆心、AB为半径画 弧，交射线C′N于点A′； （4）连接A′B′， A′C′ ． A B C A′ N M C′ B′ 现象：两个直角三角形能重合． 说明：这两个直角三角形全等． 文字语言：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. (可以简写成“斜边、直角边”或“HL”). 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， AB=A′B′ BC=B′C′ 几何语言： 【注意】 (1)“HL”定理是仅适用于Rt△的特殊方法. 因此，判定两个直角三角形全等的方法除了可以使用“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”外还可以使用“HL”. (2)应用HL定理时，虽只有两个条件，但必须先有两个Rt△. ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL ） 例1 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC=BD. 求证：BC=AD. 证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠C与∠D都是直角. 在Rt△ABC和Rt△BAD中， ∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）. ∴BC=AD. 应用“HL”的前提条件是在直角三角形中. 这是应用“HL”判定方法的书写格式. 利用全等证明两条线段相等，这是常见的思路. 例题2：如图，AC⊥BC，BD⊥AD，要证△ABC≌△BAD，需要添加一个什么条件？请说明理由. (1) AD = BC 理由: HL (2) AC = BD 理由: HL (3) ∠DBA =∠CAB 理由: AAS (4) ∠DAB =∠CBA 理由: AAS 1.如图，OD⊥AB于D，OP⊥AC于P，且OD＝OP，则△AOD与△AOP全等的理由是(　　) A．SSS　 B．ASA C．SSA　 D．HL 2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，ED⊥AB于点D，BD＝BC，若AC＝6 cm，则AE＋DE等于(　　) A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．7 cm D C 3.如图，∠ADC=∠ABC=90°，AD=AB，有下列结论：①DC=BC；②AC⊥BD；③DE=BE;④∠ACD=∠ACB.其中正确的是__________________.（填序号） 4.如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PN⊥OB于点N，点M是线段ON上一点，已知OM=3,ON=4，点D为OA上一点，若满足PD=PM，则OD的长度为 。 ①,②,③,④ 3或5 5.如图，AC⊥AD，BC⊥BD，AC=BD，求证：AD=BC. 证明:连接DC. ∵AC⊥AD，BC⊥BD， ∴∠A=∠B=90°， 在Rt△ADC和Rt△BCD中， ∴Rt△ADC≌Rt△BCD (HL)， ∴AD=BC. “斜边、直角边” 内容 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 前提条件 在直角三角形中 使用方法 只须找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等） $