第10课时 相似三角形的性质（二）——周长、面积比课件-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比平方及反向转化，通过复习对应高比、面积公式、周长与面积维度，搭建从一维到二维的学习支架，衔接旧知与新知。 其亮点是以校园标志放大、打印费用等情境冲突激发探究，结合格点图观察形成猜想，通过公式推导培养推理意识，用“一维k、二维k²”规范表达。体现数学眼光（现实情境发现问题）、数学思维（逻辑推导），帮助学生理解本质，教师可高效实施教学。

第10课时 相似三角形的性质（二）——周长、面积比 复习导入 3 1. 若△ABC∽△DEF，AB:DE=3:5，对应高的比是多少？ 2. 三角形面积公式是什么？ 3. 周长和面积分别由哪些量决定？ 对应高的比等于相似比，仍为3:5。 三角形面积S=×底×高。 周长是三条边长的和，属于一维量；面积由底和高共同决定，属于二维量。 本课任务 4 由“一维长度变化”走向“二维面积变化” 情境冲突 边长放大2倍，面积也只放大2倍吗 观察猜想 用格点图比较周长与面积变化 公式推导 由周长组成和面积公式证明性质 规范应用 一维用k，二维用k²，反求要开方 方法提示：性质深化课的关键，是解释“为什么面积变化比长度变化快”。 情境1：校园标志放大 5 把三角形校徽按相似比1:2放大制作展板：周长和面积分别怎样变化？ A B C D E F 思考： 1. 对应边都变成2倍，周长变成几倍？ 2. 面积也只变成2倍吗？ 3. 可以怎样验证？ 情境1：学生思考与教师解惑 6 1. 周长为什么可能与边长按同一倍数变化？ 2. 面积为什么可能不是同一倍数？ 3. 如果只凭直觉说“放大了”，够不够？ 周长是边长之和，每条对应边都放大2倍，和也放大2倍。 面积由两个方向决定：底变2倍，高也变2倍，所以面积可能变4倍。 直觉只能形成猜想，后面要用格点图和面积公式说明。 情境2：从打印费用到面积比 7 三角形图片边长按3:5缩放，打印费用按面积收费：费用应按哪个比例变化？ 1. 打印费用为什么不按边长收费？ 2. 若底按3:5变化，高会按什么比例变化？ 3. 面积比应如何由底和高得到？ 收费对象是面积，不是某一条边长。 相似三角形对应高的比等于相似比，也为3:5。 面积S=×底×高，因此面积比=(3×3):(5×5)=9:25。 方法提示：面积是二维量：底和高两个方向同时按相似比变化。 格点观察：从数据形成猜想 8 思考：在格点图中比较相似比1:2、1:3的三角形。 1. 相似比1:2时，周长比是多少？面积比是多少？ 2. 相似比1:3时，周长比是多少？面积比是多少？ 3. 周长变化和面积变化为什么不同？ 解：周长比依次为1:2、1:3；面积比依次为1:4、1:9。面积倍数等于边长倍数的平方。 性质推导一：周长比 9 已知△ABC∽△DEF，AB:DE=BC:EF=CA:FD=m:n。 1. 能否设AB=mx，BC=my，CA=mz？ 2. 两个周长怎样表示？ 3. 周长比为什么不是三条边比的和？ 解：可设AB=mx，BC=my，CA=mz，DE=nx，EF=ny，FD=nz。 =m(x+y+z)，=n(x+y+z)。 所以:=m:n。周长是边长的和，整体仍按同一比例变化。 相似三角形的周长比 = 相似比 性质推导二：面积比 10 已知△ABC∽△DEF，BC:EF=m:n，对应高AH:DK=m:n。 1. 面积公式中同时出现哪两个长度？ 2. 底与高分别按什么比例变化？ 3. 面积比为什么变成m²:n²？ 解：:。 因为，， 所以面积比。 底和高两个方向同时缩放，形成平方关系。 相似三角形的面积比 = 相似比的平方 性质建构：一维量与二维量 11 1. 边、高、中线、角平分线、周长属于几维量？ 2. 面积属于几维量？ 3. 已知面积比时，怎样反求相似比？ 边、高、中线、角平分线、周长都是一维量，用相似比k。 面积是二维量，用k²。 已知面积比a²:b²，反求相似比要开方，得到a:b，并保持对应方向。 一维量用k：周长比=k；二维量用k²：面积比=k²；面积比反求相似比要开方。 即时训练一：相似比转化 12 1. 相似比为5:7，周长比是多少？面积比是多少？ 2. 相似比小:大=2:5，较大三角形周长为30 cm，求较小周长。 3. 相似比小:大=3:4，较小面积为27 cm²，求较大面积。 1. 周长比5:7，面积比25:49。 2. 设较小周长为x，则x:30=2:5，x=12 cm。 3. 面积比为9:16，设较大面积为x，则27:x=9:16，x=48 cm²。 先判断量的类型，再决定是否平方。 即时训练二：面积比反求 13 两个相似三角形面积比为9:16。 1. 相似比是多少？ 2. 周长比是多少？ 3. 若较大三角形周长为40 cm，较小三角形周长是多少？ 面积比=相似比²，所以相似比=：=3:4。 周长比等于相似比，也为3:4。 设较小周长为x，则x:40=3:4，x=30 cm。 开方后仍要保持“小:大”的方向。 方法提示：面积比反求相似比：先开方，再转化为周长比或边长比。 例题1：由相似比求面积 14 两个相似三角形的相似比为2:3，较小三角形面积为20 cm²，求较大三角形面积。 1. 本题求的是周长还是面积？ 2. 面积比应写成2:3还是4:9？ 3. 20 cm²对应面积比中的哪一项？ 求面积，所以要把相似比平方。 小:大面积比=2²:3²=4:9。 20 cm²对应较小三角形，即4份。设较大面积为x，则20:x=4:9，x=45 cm²。 方法提示：求面积时，不能直接使用相似比，要先平方。 例题2：由面积比反求周长 15 两个相似三角形面积比为16:25，较大三角形周长为40 cm，求较小三角形周长。 1. 面积比16:25对应的相似比是多少？ 2. 周长比与相似比有什么关系？ 3. 40 cm对应比例中的哪一项？ 相似比==4:5。 周长比等于相似比，也为4:5。 40 cm是较大三角形周长，对应5份。设较小周长为x，则x:40=4:5，x=32 cm。 方法提示：面积比反求边长或周长时，第一步一定是开方。 边界澄清：什么时候平方，什么时候开方 16 判断下列做法： A. 已知相似比3:8，求面积比，写9:64。 B. 已知面积比25:36，求相似比，写25:36。 C. 已知周长比2:5，求面积比，写4:25。 解：A正确：面积比=相似比²。 B错误：由面积比求相似比要开方，应为5:6。 C正确：周长比等于相似比，所以面积比为2²:5²=4:25。 方向和量的类型要同时检查。 求面积：平方；由面积求边长或周长：开方；求周长：直接用相似比。 课堂检测一：选择、填空、判断 17 请独立完成，先写答案，再补理由。 1. 两个相似三角形的相似比为3:8，正确的是（ ） A. 周长比9:64 B. 面积比3:8 C. 周长比3:8，面积比9:64 D. 周长比8:3 2. 两个相似三角形面积比为25:36，则相似比为____，周长比为____。 3. 若两个相似三角形周长比为2:5，则面积比为2:5。（ ） C 5:6 5:6 错 课堂检测二：证明与解答 18 4. 已知△ABC∽△DEF，AB:DE=BC:EF=CA:FD=3:2。求证：两个三角形的周长比为3:2。 证明：设AB=3x，BC=3y，CA=3z，DE=2x，EF=2y，FD=2z，则=3(x+y+z)，=2(x+y+z)，所以周长比为m:n。 5. 两个相似三角形面积比为4:9，较小三角形周长为18 cm，求较大三角形周长。 解：面积比4:9，所以相似比小:大=2:3，周长比小:大=2:3。设较大周长为x，则18:x=2:3，x=27 cm。 课堂小结 19 今天的知识结构：相似比 → 周长比与面积比 → 计算或证明 核心性质：若相似比为k，则周长比为k，面积比为k²。 若相似比为m:n，则周长比=m:n，面积比=m²:n²。 反向转化：已知面积比a²:b²，求相似比或周长比要开方，得a:b。 易错提醒：周长是一维量，面积是二维量；求面积要平方，已知面积要求边长或周长要开方。 $