3.4 第1课时 相似三角形中的对应线段之比（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦相似三角形对应线段性质，核心知识点为相似三角形对应高、中线、角平分线及n等分线的比等于相似比。课堂通过复习三角形几何元素导入，结合模型房立柱情境问题，从相似三角形定义判定过渡到性质探究，经证明形成结论后应用解决实际问题，搭建完整学习支架。 其亮点在于情境创设与探究活动结合，通过模型房问题抽象数学关系培养数学眼光，严格证明过程发展推理能力体现数学思维，例题与反馈训练提升用数学语言解决问题的能力。采用探究式学习与分层练习，课堂小结清晰归纳性质，助力学生理解本质、提升应用，为教师提供完整教学流程与丰富素材。

第1课时 相似三角形中的对应线段之比 第三章 图形的相似 3.4 相似三角形的性质 北师版 九年级（上） 1.明确相似三角形中对应线段与相似比的关系. （重点） 2.能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题．（难点） 素养目标 思考：三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几 何元素？ 高、角平分线、中线，周长、面积等 高 角平分线 中线 复习导入 如图，小王依据图纸上的 △ABC，以 1 : 2 的比例建造了模型房的房梁 △A'B'C'，CD 和 C'D' 分别是它们的立柱. 如果 CD = 1.5 cm，那么模型房的房梁立柱有多高？ 情境导入 解：∵△ABC ∽△A′B′C′， 又 ∠ADC =∠A'D'C' = 90°. ∴△ACD ∽△A'C'D'. ∵ CD = 1.5 cm， ∴C'D' = 3 cm. ∴∠A =∠A'， 情境导入 【思考·交流】 探究点：相似三角形中的对应线段之比 (1) 如图，已知△ABC∽△A'B'C'，△ABC 与△A'B'C' 的相似比为 3，那么这两个三角形的两条中线 AD，A'D' 有怎样的关系？你还能提出类似的问题吗？与同伴进行交流. A B C D A' B' C' D' 新知探究 解：∵△ABC ∽△A′B′C′， ∵ AD，A'D' 是△ABC 与△A'B'C' 的两条中线， ∴△ACD∽△A'C'D'. ∴∠B =∠B'， A B C D A' B' C' D' ∴BC = 2BD，B'C' = 2B'D'. 探究点：相似三角形中的对应线段之比 新知探究 (2) 如果两个三角形相似，那么它们对应高的比是多少？对应角平分线的比是多少？对应中线的比呢？请说明你的理由. A B C A' B' C' 探究点：相似三角形中的对应线段之比 新知探究 ∵△ABC ∽△A′B′C′， ∴∠B =∠B' . 解：如图，分别作出 △ABC 和 △A'B'C' 的高 AD 和 A'D'． 则∠ADB =∠A'D'B' = 90°. ∴△ABD ∽△A'B'D'. A B C D A' B' C' D' 如图，已知△ABC∽△A′B′C′，AD，A'D' 分别为对应边 BC，B′C′上的高， 那么 吗？ 探究点：相似三角形中的对应线段之比 新知探究 证明：∵△ABC ∽ △A′B′C′， ∴ ∠A′B′C′ =∠ABC， ． 又 ∵AD，AD′ 分别为对应边的中线， ∴BC = 2BD，B'C' = 2B'D'. ∴△ABD∽△A′B′D′. A B C D A' B' D' C' 已知△ABC∽△A′B′C′，AD、A′D′ 分别为对应边上的中线， 那么 吗？ 探究点：相似三角形中的对应线段之比 新知探究 证明：∵△ABC∽△A′B′C′， ∴∠A′B′C′ =∠ABC，∠B′A′C′ =∠BAC． 又∵AD、AD′分别为对应角的角平方线， ∴∠ABE =∠A′B′E′. ∴ △ABE∽△A′B′E′. A B C E A' B' C' E' 已知 △ABC∽△A′B′C′，AD、A′D′ 分别为对应角的角平分线， 那么 吗？ 探究点：相似三角形中的对应线段之比 新知探究 相似三角形对应边上的高的比、对应角的角平分线的比、对应边上的中线的比都等于相似比． 【归纳总结】 探究点：相似三角形中的对应线段之比 新知探究 如图，过点 C 作 CD⊥PQ，垂足为点 D.设 CD 交 AB 的延长线于点 E， 例1 如图，AB∥PQ，AB = 100，PQ = 120. 点 P，A，C 在一条直线上，点 Q，B，C 也在一条直线上. 若 AB 与 PQ 的距离是 40，求点 C 到直线 PQ 的距离. A B C D E P Q 解 因为AB∥PQ，所以△CAB∽△CPQ. 因此 CE⊥AB，DE = 40. 探究点：相似三角形中的对应线段之比 新知探究 又 AB = 100，PQ = 120，DE = 40， 因此 CD = 240. 即点 C 到直线 PQ 的距离是 240 . A B C D E P Q 由“相似三角形对应高的比等于相似比”可得， 于是 探究点：相似三角形中的对应线段之比 新知探究 1. △ABC ∽ △A1B1C1 ，BD 和 B1D1 是它们的中线，已知 ，B1D1 = 4 cm，则 BD = cm. 6 【练一练】 2. 相似三角形对应边的比为 2 : 3，那么对应角的角平分线的比为______. 2 : 3 新知探究 如图，已知 △ABC∽△A'B'C'，△ABC 与 △A'B'C' 的相似比为 k；点 D，E 在 BC 边上，点 D'，E' 在 B'C' 边上. (1) 若∠BAD = ∠BAC，∠B'A'D' = ∠B'A'C'， 则 等于多少？ 【操作·思考】 新知探究 证明：∵ △ABC∽△A′B′C′， ∴∠B =∠B′， ∠BAC =∠B′A′C′. ∴△ABD∽△A′B′D′. ∵∠BAD = ∠BAC，∠B′A′D′= ∠B′A′C′， ∴∠BAD =∠B′A′D′. 新知探究 (2) 若 BE = BC，B'E' = B'C'，则 等于多少？ (3) 你还能提出哪些问题？与同伴交流. 易证 △ABE ∽ △A′B′E′. 若将 (2)、(3) 中的 换成 、 或 (n ≠ 0)，结论还成立吗？ (1) 中的线段 AD 与 A'D'、(2) 中的线段 AE 与 AE' 有什么共同的特点？ 新知探究 例2 如图，AD 是 △ABC 的高，AD = h，点 R 在 AC 边上，点 S 在 AB 边上，SR⊥AD，垂足为 E. 当 SR = BC 时，求 DE 的长. 如果 SR = BC 呢？ S R E D C B A 解：∵ SR⊥AD，BC⊥AD，∴ SR // BC. ∴∠ASR =∠B，∠ARS =∠C. ∴△ASR ∽△ABC (两角分别相等的两个三角形相似) 新知探究 S R E D C B A ∴ (相似三角形对应高的比等于相似比). 即 . ∴当 SR = BC 时，得 . 解得 . ∴当 SR = BC 时，得 . 解得 . 新知探究 相似三角形对应角的 n 等分线的比，对应边的 n 等分线的比都等于相似比. 新知探究 相似三角形的性质 相似三角形对应边上高的比等于相似比 相似三角形对应角的角平分线的比等于相似比 相似三角形对应边上的中线的比等于相似比 课堂小结 2. 已知△ABC∽△A'B'C'，AD是△ABC的中线， A'D' 是△A'B'C' 的中线. 若 ＝，且△A'B'C'的高 A'E'为 20 cm，则△ABC的高AE为 cm. 1. 已知△ABC∽△A'B'C'， ＝ ，AB边上的中 线 CD＝4 cm，则 A'B' 边上的中线 C'D' 的长 为 cm. 6　 10　 当堂反馈 3. 两个相似三角形的两条对应边的长分别是 3 cm 和 2 cm，如果它们对应的两条角平分线的和为 15 cm， 那么这两条角平分线的长分别是 . 9 cm，6 cm　 当堂反馈 4. 已知△ABC∽△DEF，AB＝5cm，DE＝ 2.5cm，BC＝8cm，DF＝5cm. (1)求△ABC和△DEF的相似比； 解：(1)△ABC和△DEF的相似比为AB∶DE＝ 5∶2.5＝2. (2)若AG，DH分别为△ABC和△DEF的高，求 AG∶DH； 解：(2)AG∶DH＝2∶1. 解：(1)△ABC和△DEF的相似比为AB∶DE ＝5∶2.5＝2. 解：(2)AG∶DH＝2∶1. 当堂反馈 (3)若△ABC中∠C的平分线长为a，求△DEF中 ∠F的平分线长.∠F的平分线长为 a. 解：(3)△DEF中∠F的平分线长为 a. 4. 已知△ABC∽△DEF，AB＝5cm，DE＝2.5 cm， BC＝8cm，DF＝5cm. 当堂反馈 5. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AH⊥BC于点 H，AH 交DE于点G. 已知DE＝10， BC＝15，AG＝12，求GH 的长. 解：∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C. ∴△ADE∽△ABC. 又∵AH⊥BC，DE∥BC， ∴AH⊥DE， 即AH，AG分别为△ABC，△ADE的高. ∴ ＝ ，即 ＝ . ∴AH＝18. ∴GH＝AH－AG＝18－12＝6. 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $