第4课时 探索三角形相似的条件（二）——两边成比例且夹角相等课件-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件核心内容为三角形相似的“两边成比例且夹角相等”（SAS）判定，通过复习相似图形本质、AA判定，提出边的条件需关注夹角，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生自然过渡。 其亮点是通过改变夹角观察形状变化、作图测量验证等情境探究，培养数学眼光（几何直观）和思维（推理意识），概念建构从经验到定理规范数学语言，帮助学生理解判定本质，教师可借助结构化流程提升教学效果。

1 第4课时 探索三角形相似的条件（二） ——两边成比例且夹角相等 复习导入 3 1. 相似图形的对应边、对应角要满足什么关系？ 2. 第3课时的 AA 判定需要什么条件？ 3. 如果今天换成“边”的条件，还要特别关注什么？ 相似图形的本质：对应角相等，对应边成比例。 AA 判定关注两组对应角。 今天研究边的比例，但边之间的夹角会影响三角形的开口和形状，所以“角”仍然不能丢。 情境1：两边成比例够不够 5 只给出 AB:DE=AC:DF，能直接判定 △ABC 与 △DEF 相似吗？ B A C E D F AB AC DE DF 1. 两边按同一比例变化，图形一定相似吗？ 2. 还缺少什么信息？ 3. 如何通过作图检验自己的判断？ 方法提示： 先不急着下结论，准备改变两边之间的角来检验。 情境1：改变夹角 6 固定两条边的长度，改变它们之间的角，观察三角形形状的变化。 夹角约为 35° 夹角约为 65° 夹角约为 100° 观察三幅图： 1. 两条边的长度是否保持不变？ 2. 夹角改变后，三角形的开口是否改变？ 3. 这三个三角形的形状是否完全相同？ 两边长度可以保持不变，但夹角一改变，开口大小和第三边都会改变。 所以两边成比例只能说明边的数量关系相同，不能单独锁定三角形的形状。 要继续寻找一个能控制开口的条件。 情境2：按条件作图 8 作出两个三角形，使 AB:DE=AC:DF=2:3，且 ∠A=∠D。 学生操作： 1. 先画两条对应边 2. 再作出这两边之间的角 3. 完成两个三角形 4. 标出对应点、对应边和对应角 注： 作图顺序不是形式要求。 先定边，再定夹角，正是在操作中体现“边—角—边”结构。 情境2：测量与比较 9 B A C E D F ∠A=∠D 作图后比较： 1. 测量第三边 2. 测量另外两个角 3. 比较对应边和对应角 4. 记录你的发现 完成作图后记录： 1. 第三边是否也按同一比例变化？ 2. 另外两个角是否分别相等？ 3. 两个三角形看起来有什么共同特征？ 测量结果可能显示：对应角相等，对应边大致保持同一比例。 这说明两个三角形具有相同的形状特征，但测量只是经验事实，还需要把发现提升为数学判定。 情境2：改变为非夹角 10 把“∠A=∠D”改成一个非夹角相等，再观察图形。 B A C E D F AB AC DE DF 两边比例没有改变，为什么图形可能不再相似？ 方法提示： 情境2的经验事实：边比相同 + 夹角相同，图形形状保持一致。 这个对比只用来确定条件边界，说 明非夹角不能代替夹角。 概念建构：从经验到定理 11 学生思考 1. 哪些条件共同出现？ 2. 这些条件之间是什么结构？ 3. 怎样用规范的数学语言表达？ 共同条件是：两组对应边成比例，且这两组边的夹角相等。 结构是“边—角—边”，即 SAS。 规范表达：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 SAS 相似判定 12 学生思考 请补完整： 若 AB:DE=AC:DF，且 ______， 则 △ABC ∽ △DEF。 应填：∠A=∠D。 完整定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 这里的“夹角”不能省略，也不能换成任意一个角。 SAS：两边成比例 + 这两边的夹角相等 ⇒ 两个三角形相似 方法提示： SAS 中的 A 专指两组对应边的夹角。 对应关系与规范书写 13 已知：AB:DE=AC:DF，∠A=∠D 对应关系： AB ↔ DE AC ↔ DF ∠A ↔ ∠D 结论：△ABC∽△DEF 方法提示： 先写对应边，再写夹角，最后按对应顶点顺序写相似结论。 B A C E D F ∠A=∠D 即时训练一：判断条件 14 判断下列说法是否正确，并说明理由。 ① 两边成比例且任意一角相等，两个三角形一定相似。 ② 两边成比例且夹角相等，两个三角形一定相似。 ③ “两边一角”就一定能使用 SAS。 ① 错。角必须是两边的夹角。 ② 对。这正是 SAS 判定。 ③ 错。要检查角的位置，非夹角不满足 SAS。 方法提示： 判断 SAS 的第一步：圈边；第二步：验角。 即时训练二：直接应用 15 已知 AB:DE=AC:DF=2:3，∠A=∠D，能否判定 △ABC∽△DEF？ 提示：请按三步作答： 1. 找对应边 2. 验证边比 3. 验证夹角并下结论 解：因为AB:DE=AC:DF=2:3，且 ∠A=∠D。 两边成比例且夹角相等， 所以 △ABC∽△DEF。 方法提示： 证明型判断不能只写“相似”，要把边比和夹角依据写出来。 例题精析：证明相似 16 已知 AB:DE=AC:DF=2:3，∠A=∠D，求证 △ABC∽△DEF。 B A C E D F AB AC DE DF ∠A=∠D 审题： 1. 哪两组边对应？ 2. ∠A、∠D 分别是哪两边的夹角？ 3. 适用哪一个判定？ 解：因为 AB:DE=AC:DF，且 ∠A=∠D， 所以两边成比例且夹角相等。 由 SAS 判定，得 △ABC∽△DEF。 例题精析：相似后的计算 17 若 △ABC∽△DEF，AB=4，DE=6，AC=8，求 DF。 提示：先写对应关系： AB ↔ DE，AC ↔ DF。 再列比例式： AB:DE=AC:DF。 解：由三角形相似可得4:6=8:DF， 所以4×DF=6×8， 即DF=12。 结果合理：较大的图形对应边应更长。 方法提示： 先确认相似和对应，再列比例式，最后检查结果是否合理。 边界辨析：非夹角不能代替夹角 18 已知 AB:DE=AC:DF=2:3，∠B=∠E，能否直接判定相似？ 提示：先圈出两组边 AB、AC，再看 ∠B 在不在这两边之间。 同样检查 ∠E 与 DE、DF 的位置。 ∠B 不是 AB 与 AC 的夹角，∠E 也不是 DE 与 DF 的夹角。 因此题目只给出“两边成比例、非夹角相等”，不能直接使用 SAS。 方法提示： SAS 的 A 不是任意角，而是两组对应边的夹角。 课堂检测一：选择、填空、判断 19 请独立完成，先写答案，再补理由。 1. 若 AB:DE=AC:DF，且 ∠A=∠D，则正确的是（ ） A. △ABC∽△DEF B. △ABC≌△DEF C. 不能判定相似 D. 面积相等 2. 已知 AB:DE=2:3，AC:DF=2:3，∠A=∠D， 则 △ABC 与 △DEF ______。 3. 两边成比例且任意一角相等的两个三角形一定相似。（ ） 答案：1.A；2.相似；3.×。理由：角必须是两边的夹角。 课堂检测二：证明与解答 20 4. 已知 AB:DE=AC:DF，且 ∠A=∠D， 求证：△ABC∽△DEF。 证明：因为 AB:DE=AC:DF，且 ∠A=∠D， 所以两边成比例且夹角相等，故 △ABC∽△DEF。 5. 已知 △ABC∽△DEF，AB=6，DE=10，BC=9，求 EF。 解：由相似得 AB:DE=BC:EF，即 6:10=9:EF， 解得 EF=15。 课堂小结 21 今天的知识结构：情境发现 → 概念建构 → 规范应用 情境发现 两边成比例不够 夹角改变，形状改变 概念建构 两边成比例 + 夹角相等 = SAS 相似判定 规范应用 找对应边 验夹角 写相似 列比例求边 方法提示： 判断路径：找对应边 → 验边比 → 验夹角 → 用 SAS → 写对应比例。 课后反思 23 1. 能否区分情境中的“观察发现”和定理中的“规范表达”？ 2. 能否指出 SAS 中的 A 为什么必须是夹角？ 3. 能否在证明题中先找对应关系？ $