3.2.2 利用两边及夹角判定三角形相似 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 北师大版（2024）数学九年级上册教学课件 第三章 图形的相似 3.2.2利用两边及夹角判定三角形相似 2026年8月2日 3.2.2 利用两边及夹角判定三角形相似 同步练习题 3.2.2 利用两边及夹角判定三角形相似 综合同步练习 （排版、分值、题型和前面所有章节习题完全统一） 章节核心知识点梳理 1. 两边及夹角相似判定定理（SAS相似） 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 核心口诀：两边成比例，夹角相等，三角形相似。 2. 关键易错点（必考） 必须是两边的夹角相等，非夹角（一边的对角）相等，不能判定三角形相似，极易和三角形全等SAS混淆，是本章高频易错点。 3. 判定解题步骤 ① 找准两个三角形的两组对应边； ② 计算两组对应边的比值，验证是否成比例； ③ 确认两组边的公共夹角/对应夹角相等； ④ 判定两三角形相似。 4. 常见相等夹角模型 公共角、对顶角、平行线同位角/内错角、已知相等角，均可作为SAS相似的夹角条件。 5. 相似判定方法汇总 目前已学两种：AA两角相等判定、SAS两边成比例且夹角相等判定，解题可灵活择优使用。 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 下列能判定两个三角形相似的条件是（） A. 两边成比例，任意一个角相等 B. 两边成比例，夹角相等 C. 两角对应互补 D. 三边长度对应相等 2. 在△ABC和△ADE中，∠A为公共角，若满足哪个条件可判定相似（） A. $$\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AE}$$ B. $$\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AC}{AD}$$ C. $$\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AD}{DE}$$ D. ∠B=∠D 3. 已知两个三角形两组对应边成比例，若无法判定相似，原因是（） A. 边长不相等 B. 夹角不相等或不是夹角相等 C. 边数不够 D. 没有直角 4. △ABC中，AB=4，AC=6；△DEF中，DE=2，DF=3，且∠A=∠D，则两个三角形（） A. 相似 B. 不相似 C. 全等 D. 无法判断 5. 下列说法正确的是（） A. 两边成比例且一角相等必相似 B. 非夹角相等，两边成比例也可相似 C. SAS相似必须保证夹角对应相等 D. 比例不相等也可判定相似 6. 若$$\dfrac{OA}{OB}=\dfrac{OC}{OD}$$，且∠AOC=∠BOD，可判定（） A. △AOC∽△BOD B. △AOC∽△DOB C. △ACO∽△BDO D. 无相似三角形 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 两边________且________相等的两个三角形相似，简称SAS相似。 2. 相似判定中，必须是两边的________相等，对角相等不能判定相似。 3. △ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，$$\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{AC}{A'C'}=\dfrac{2}{3}$$，则两三角形________。 4. 公共角、________常作为两边成比例相似的夹角条件。 5. 若两个三角形对应边比例为1:1，夹角相等，则两三角形不仅相似，而且________。 三、解答计算题（共56分） 1. （12分）基础判定证明： 已知：在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，$$\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{AC}{A'C'}$$。 求证：△ABC∽△A'B'C'。 2. （14分）公共角模型证明： 如图，点D、E分别在AB、AC上，$$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$$。 求证：△ADE∽△ABC。 3. （14分）对顶角模型证明与计算： 如图，AC、BD交于点O，OA=3，OB=4，OC=6，OD=8，∠AOB=∠COD。 （1）求证：△AOB∽△COD； （2）若AB=5，求CD的长。 4. （16分）综合判定题型： 已知△ABC中，AB=8，AC=12，∠A=60°；△DEF中，DE=4，DF=6，∠D=60°。 （1）求证：△ABC∽△DEF； （2）求两三角形的相似比。 四、拓展应用题（附加10分） 已知△ABC中，AB=6，AC=9，点P在AB上，点Q在AC上，且$$\dfrac{AP}{AC}=\dfrac{AQ}{AB}$$，求证：△APQ∽△CAB。 --- 参考答案与详细解析 一、选择题 1.B 2.A 3.B 4.A 5.C 6.A 二、填空题 1. 对应成比例、夹角 2. 夹角 3. 相似 4. 对顶角 5. 全等 三、解答题 1. 证明： ∵ $$\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{AC}{A'C'}$$（已知） ∠A=∠A'（已知，两边夹角相等） ∴ △ABC∽△A'B'C'（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似） 2. 证明： ∵ ∠A=∠A（公共角） 又∵ $$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$$（已知） ∴ △ADE∽△ABC（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似） 3. 解： （1）证明： 由已知得：$$\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$$，$$\dfrac{OB}{OD}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$$ ∴ $$\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OB}{OD}$$ 又∵ ∠AOB=∠COD（对顶角相等） ∴ △AOB∽△COD（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似） （2）由相似三角形对应边成比例得： $$\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{1}{2}$$，代入AB=5 解得：$$CD=10$$ 答：CD的长为10。 4. 解： （1）证明： 由题意得：$$\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{8}{4}=2$$，$$\dfrac{AC}{DF}=\dfrac{12}{6}=2$$ ∴ $$\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{AC}{DF}=2$$ 又∵ ∠A=∠D=60°（夹角相等） ∴ △ABC∽△DEF（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似） （2）△ABC与△DEF的相似比为：$$2:1$$ 答：相似比为2:1。 拓展题答案 证明： ∵ $$\dfrac{AP}{AC}=\dfrac{AQ}{AB}$$（已知） 又∵ ∠A=∠A（公共夹角） ∴ △APQ∽△CAB（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似） 证毕。 章节易错点总结 1. 严禁混淆夹角与对角：SAS相似只认两边夹角，对角相等、两边成比例无法判定相似； 2. 对应边必须找准，非对应边成比例，即使比值相等也不能判定相似； 3. 书写相似三角形时，顶点必须按对应顺序书写，防止边角对应混乱； 4. 容易和AA判定混淆，有夹角条件优先用SAS，有两组等角优先用AA，灵活选择。 问题1 两个三角形有两边成比例，它们一定相似吗？与同伴交流. 3 3 5 5 两边成比例的两个三角形不定相似. 问题2 如果再增加一个条件，你能说出有哪几种可能的情况吗？ 我们先来考虑增加一角相等的情况. 相等的角可能是其 中一边的对角，也可能是两边的夹角. (1) 任意画 △ABC . (2) 再画 △A′B′C′，使∠A=∠A′， 都等于给定的值 k. (3) 量出 BC 及 B′C′ 的长，它们的比值等于 k 吗？ 设法比较 ∠B 与 ∠B' (或 ∠C 与 ∠C′ ) 的大小. △ABC 和 △A'B'C' 相似吗？ (4) 改变 k 值的大小，△ABC 和 △A'B'C' 还相似吗？ 【操作·交流】 B A C B' A' C' 探究点：利用两边及夹角判定三角形相似 由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理： 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 符号语言： ∵ ∠A=∠A′， B A C B' A' C' ∴ △ABC ∽ △A′B′C′ . 【归纳总结】 探究点：利用两边及夹角判定三角形相似 知识点 两边成比例且夹角相等的判定方法 1.如图，与交于点，在与中， ,又因为 _______________，所以 。 （第1题） 返回 举一反三 5 2.如图，中，点，分别在边，上， ___时， 。 （第2题） 返回 举一反三 6 例1 根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相似，并说明理由： △ABC ：∠A = 120°，AB = 7 cm，AC = 14 cm， △A′B′C′ ：∠A′ = 120°，A′B′ = 3 cm，A′C′ = 6 cm． 解：∵ ∴ 又 ∠A′ = ∠A，∴ △ABC∽△A′B′C′. 探究点：利用两边及夹角判定三角形相似 1. 如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD = AE，AB = AC，∠DAB = ∠CAE. 求证：△ABC ∽△ADE. 证明：∵ △ABC 与 △ADE 是等腰三角形， AD = AE，AB = AC， ∴ ∴ ∠DAB +∠BAE = ∠CAE +∠BAE， 即 ∠DAE =∠BAC. A B C D E 又 ∵∠DAB = ∠CAE， ∴△ABC ∽ △ADE. 【练一练】 探究点：利用两边及夹角判定三角形相似 3.[教材P69“随堂练习”第1题变式] 下列三角形中，与如图所示的三角形 相似的是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 9 4.如图，点，分别在正方形的边，上， ， ， 。 求证： 。 举一反三 10 证明：， ， 。 四边形 是正方形， ， ， ， ， ， 。 返回 举一反三 11 解：∵ AE = 1.5，AC = 2， 例2 如图，D、E 分别是 △ABC 的边 AC、AB 上的 点，AE = 1.5，AC = 2，BC = 3，且 ，求 DE 的长. A C B E D ∴ 又∵∠EAD=∠CAB，∴ △ADE ∽△ABC. ∴ ∴ 提示：解题时要找准对应边. ∴ ∵ BC = 3， 探究点：利用两边及夹角判定三角形相似 12 2. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 ∠B =∠ACD， AB = 6，BC = 4，AC = 5，CD = ，求 AD 的长. A B C D 解：∵AB = 6，BC = 4，AC = 5，CD = ， ∴ 又∵∠B =∠ACD，∴ △ABC∽△DCA. ∴ . ∴ 【练一练】 探究点：利用两边及夹角判定三角形相似 如果 △ABC 与 △A'B'C' 两边成比例，且其中一边所对的角相等，那么这两个三角形一定相似吗？ 4 cm 50° 3.2 cm 2 cm 50° 1.6 cm 【思考·交流】 不一定相似 探究点：利用两边及夹角判定三角形相似 如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角. 【归纳总结】 探究点：利用两边及夹角判定三角形相似 证明： ∵ CD 是边 AB 上的高， ∴ ∠ADC =∠CDB = 90°. ∴ ∠ACB =∠ACD +∠BCD =∠B +∠BCD = 90°. 例3 如图，在 △ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且 ， 求证：∠ACB = 90°． ∵ 方法总结：解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等. ∴△ADC ∽△CDB. ∴∠ACD = ∠B. 探究点：利用两边及夹角判定三角形相似 A B C D 5.如图，在中，已知，点 ， ，，在同一条直线上，且 ， 求证: 。 证明：, 。 。 , ，即 。 。 返回 举一反三 17 （第6题） 6.如图，已知 ，添加下列条件中的一个，仍 不能使 的是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 18 7.在三角形纸片中，，， ，则下列选项中阴 影部分的三角形与 相似的是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 19 8. 如图，用一个卡钳, 测量某个零 件的内孔直径，量得的长为，则的长为____ 。 18 （第8题） 返回 举一反三 20 9.如图，在中，为上一点，，则 的值为_ __。 （第9题） 返回 举一反三 21 10. 如图，在中，为边上一点，为边 上一点，，，，当_ ____时， 与 相似。 2或 （第10题） 返回 举一反三 22 11.如图，,,是三个全等的等腰三角形，点,,, 在一条直线上，且,,交于点 。 举一反三 23 （1）求证： ； 解：证明：由题意可知，, , , , 。 。 又， 。 举一反三 24 （2）求 的长。 解：易得 , 又 , 。 ,即，解得 。 返回 举一反三 25 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 利用两边及夹角判定三角形相似 相似三角形的判定定理 2 的运用 课堂小结 谢谢观看 THANKS $