3.2探索三角形相似的条件第4课时（教学课件）数学新教材北师大版九年级上册

该初中数学课件聚焦黄金分割概念、黄金比计算及应用，以五角星情境导入，联系国旗等现实实例激发兴趣，通过复习相似三角形判定定理搭建学习支架，引导学生从图形关系中抽象出黄金分割定义。 其亮点在于以情境探究培养数学眼光，如分析五角星线段关系；通过方程推导黄金比培养数学思维，如设AB=1列方程求解；结合黄金矩形、主持人站位等应用实例强化数学语言表达。采用“探究-例题-练习”分层设计，小结系统梳理知识，助力学生提升应用意识与计算能力，为教师提供完整教学资源。

第三章 图形的相似 3.2 探索三角形相似的条件 第4课时 学 习 目 标 1.理解黄金分割的概念，能确定一条线段的两个黄金分割点；(重点) 2.能根据黄金分割的概念计算出黄金比，能利用黄金比进行线段的计算;(难点) 3.能利用黄金分割的知识解决一些简单的实际问题，并在解题过程中提高数学的应用意识与计算能力. 知识回顾 相似三角形的判定定理1： 的两个三角形相似. 两角分别相等 相似三角形的判定定理2： 两边 且 相等的两个三角形相似. 成比例 夹角 相似三角形的判定定理3： 的两个三角形相似. 三边对应成比例 情境引入 五角星是非常美丽的，我们的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星，这是为什么？ 五角星最迷人的数学关系之一，是其与黄金分割的深刻联系。黄金比被认为是最具美感的比例。在正五角星中，所有线段之间的比例关系都符合这一神奇比例。例如，它的每条边与其对角线的比例就是黄金比。此外，由正五角星内部线条划分出的所有三角形，都是所谓的“黄金分割三角形”. 新知探究 探究一：黄金分割 一个五角星如图所示。 (1)在图中找出相等的角、相等的线段。 (1)相等的角有：∠A=∠B=∠E=∠G=∠K=∠ACD=∠KDC； ∠ALD=∠ADL=∠KLC=∠KCL=∠BCH=∠BHC=∠GHF=∠GFH=∠EFD=∠EDF=∠GCD=∠GDC; ∠ALK=∠DLC=∠KCB=∠ACG=∠BHG=∠EHK=∠EFG=∠AFB=∠ADE=∠KDG=∠ADC=∠DCK. 相等的线段有：AB=BE=EK=KG=GA； L=LK=KC=BC=BH=GH=GF=EF=ED=DA=DC； C=BL=BF=HE=EL=DK=KH=CG=GD=AF； DL=LC=CH= HF=DF。 新知探究 (2)在图中找出相似比不同的两对相似三角形。 (2)答案不唯一. 如△ACD∽△AGC，△DGC>FGH. (3)小亮认为，.你同意他的看法吗？说说你的理由. (3)同意.理由： 由图可知，∠A=∠ACD=∠B=36°， ∴△ADC∽△AFB， ∴. 由图可知，DC=KC=BC，AC=FB， ∴. 新知探究 黄金分割： 知识归纳 一般地，如图所示，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，那么称线段 AB被点C黄金分割，点C叫作线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫作黄金比。 不一定，一条线段有两个黄金分割点. 思考：如果点C是线段AB的黄金分割点，那么一定有AC>BC吗？一条线段有几个黄金分割点? 新知探究 1.已知点P在线段AB上，且点P是线段AB的黄金分割点(AP＞BP)，则下列比例式正确的是( ) A. B. C. D. A 新知探究 探究二：黄金比的计算 例 计算黄金比. 解：由，得AC2 = AB·BC. 设AB = 1，AC = x,则BC = 1 – x. ∴ x2 = 1 ×（1 - x）. 即 x2 + x – 1 = 0. 解这个方程，得 x1=，x2=(不合题意，舍去). 所以，黄金比. 新知探究 黄金比的值： 知识归纳 黄金比=. 黄金比=. 注意：①黄金比是一个比值，它没有单位. ②. 新知探究 2.已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB，若AB=8，则AP的长为( ) A. B. C. D. B 宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形.如图所示,已知矩形ABCD为黄金矩形,在边AB和边CD上分别取点E,F,使四边形AEFD为正方形。 (1)矩形EBCF是黄金矩形吗?为什么? 新知探究 探究三：黄金分割的应用 (1)是。理由:设矩形ABCD的长AB=a，宽 AD=b， 为它是黄金矩形，所以. 因为四边形AEFD是正方形， 所以AE=AD=b，则EB=AB-AE=a-b. 矩形 EBCF的长为b，宽为EB=a-b，宽与长的比为, 这个比为黄金比，所以矩形EBCF是黄金矩形。 新知探究 (2)在边EF和边BC上分别取点G，H，使四边形EBHG为正方形，那么矩形GHCF是黄金矩形吗? (3)在这个图中，你还能得到更多的黄金矩形吗?试一试! (2)矩形GHCF是黄金矩形。 能得到更多黄金矩形。 3.电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台AB长为20m，试计算主持人应走到离A点至少           m处，如果他向B点再走          m，也处在比较得体的位置．（结果精确到0.1m） 新知探究 7.6 4.8 典例分析 已知线段AB=6cm，点P为线段AB的黄金分割点，求线段AP的长. 例1 解：分两种情况讨论： 若 AP＞PB，则＝. ∵ AB=6cm， ∴ AP＝=6=(3)(cm). 若 AP＜PB，则＝. ∵ AB=6cm， ∴ PB＝=6=(3)(cm)， ∴AP=AB-PB=6-(3)==()(cm). 综上所述，AP的长为(3)cm或()cm. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，交AC于点D.试证明点D是线段AC的黄金分割点． 例2 典例分析 证明：∵ AB＝AC，∠A＝36°， ∴ ∠ACB＝∠ABC＝(180°－36°)＝72°. ∵ BD平分∠ABC，交AC于点D， ∴ ∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝×72°＝36°， ∴ ∠A＝∠DBC＝∠ABD， ∴ ∠BDC＝72°， ∴ AD＝BD＝BC. 又∠C＝∠C， ∴ △BCD∽△ACB， ∴ ， ∴ BC2＝AC·CD， ∴ AD2＝AC·CD. 即点D是线段AC的黄金分割点． 巩固练习 1.已知点C把线段AB分成两条线段AC和BC，且AC>BC，下列说法错 误的是( ) A.若，则线段AB被点C黄金分割 B.若AC2=AB·BC，则线段AB被点C黄金分割 C.若线段AB被点C黄金分割，则BC与AB的比叫作黄金比 D.一条线段有两个黄金分割点 C 2.若点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，则下列说法中正确的是(     ) A．AB＝　 B．AC＝AB C．AB∶AC＝AC∶BC D．AC≈0.618BC C 巩固练习 3.如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD.下列结论中错误的是(      )     A.∠C＝2∠A              B.BD平分∠ABC C.S△BCD＝S△BOD                 D.点D为线段AC的黄金分割点 C 4.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为20 cm，则它的宽约为( ) A.12.36 cm B.13.6 cm C.32.36 cm D.7.64 cm A 6.如图，已知点P是线段AB的黄金分割点，且PA>PB.若S1表示以PA为边的正方形的面积，S2表示长为AB，宽为PB的矩形的面积，那么S1            S2(填“>”“＝”或“<”). 巩固练习 5.如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割．已知AB＝10 cm，则AC的长约为         cm.(结果精确到0.1 cm) 6.2 = 8.顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，BD是三角形ABC的角平分线，那么BD＝________. 巩固练习 7.如图所示，乐器上的一根弦AB=80 cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则AC= cm，DC= cm. (4040) (80160) 巩固练习 9.采用如下方法可以得到黄金分割点:如图，设AB是已知线段，过点B作BD⊥AB，使BD=AB；连接DA，在DA上截取DE=DB；在AB上截取AC=AE.点C就是线段AB的黄金分割点.请说明其中的道理. A B D E C 解：设AB=a(a＞0)，则BD=. 由勾股定理，得AD=a, ∴AE=AD-DE=AD-BD=a-=a， ∴AC=AE=a， ∴BC=a-a=a， ∴， ∴点C为线段AB的黄金分割点. 10.如图，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上． （1）求AM、DM的长． 巩固练习 解:(1)∵正方形ABCD的边长为2，P是AB的中点， ∴AB=AD=2，AP=1，∠BAD=90°. ∴PD=. ∵PF=PD, ∴AF=. 在正方形ABCD中，AM=AF=. MD=AD-AM=3. （2）求证：AM2=AD·DM． 巩固练习 (2)由(1)得AD·DM=2(3)=6-2; AM2=(1)2=6-2， ∴AM2=AD·DM. （3）根据(2)的结论你能找出图中的黄金分割点吗? (3)∵AM2=AD·DM， ∴, ∴点M为线段AD的黄金分割点. 课堂小结 探索三角形相似的条件-第4课时 黄金分割 一般地，如图所示，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，那么称线段 AB被点C黄金分割，点C叫作线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫作黄金比。 黄金比 黄金比=. 黄金分割的应用 作业布置 1.必做题：习题3.2第12，15，16，17，18题。 2.探究性作业：习题3.2第19题。 感谢聆听! $