函数的奇偶性专题练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数奇偶性定义与性质综合应用，通过多题型分层训练构建"定义判断-性质融合-导数应用"的解题方法体系，培养逻辑推理与数学抽象素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义应用|3题|定义法判断奇偶性、赋值法求参数|从奇偶性定义出发，结合定义域对称性推导函数关系| |性质综合|5题|单调性与奇偶性结合解不等式、周期性推导|以奇偶性为核心，关联单调性、周期性形成知识网络| |导数结合|2题|构造函数法分析导函数不等式|通过导数工具深化奇偶性在函数性质研究中的应用| |抽象函数|2题|函数符号变换与性质迁移|提升抽象函数情境下的数学语言表达与逻辑推理能力|

函数的奇偶性 常考考点专题练 2027届高中数学高考一轮复习备考 一、单选题 1．若函数是定义在上的奇函数，，则（    ） A．2 B．0 C．60 D．62 2．设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 3．若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 5．已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是奇函数 6．已知是定义在上的奇函数，也是定义在上的奇函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数 是定义在 上的奇函数， 是 的导函数. 当 时，有 恒成立，且 ，则不等式 的解集是（    ） A． B． C． D． 8．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 10．已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则下列结论正确的是（   ） A．的图象关于点对称 B． C．是周期函数 D． 11．（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记．若，均为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知是奇函数，且当时，.若，则__________. 13．已知是定义在上的奇函数，，若在上单调递增，则不等式的解集为______. 14．若是偶函数，则_______ 四、解答题 15．已知函数是定义域为的奇函数，满足． (1)求实数，的值； (2)求关于的不等式的解集． 16．已知定义在上的函数满足：对任意的，，，且当时，． (1)求，； (2)证明：是偶函数； (3)若在上单调递减，求不等式的解集． 17．已知函数是定义在上的偶函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若，求的取值范围. 18．已知奇函数在区间上是单调减函数，且，，，试判断与0的关系，并证明． 19．已知函数，且． (1)求k的值； (2)试求实数p，使函数在区间上为单调函数； (3)试判断函数的奇偶性． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D D B D A A D ABC ACD 题号 11 答案 BC 1．A 【分析】根据题意得出函数的周期性、对称性，进一步得出即可得解. 【详解】由题意，所以的周期为4， 且关于直线对称， 而， 所以. 故选：A. 2．D 【分析】解法一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可. 【详解】解法一：令，即，可得， 令， 原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点， 注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上， 可得，即，解得， 若，令，可得 因为，则，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点， 所以符合题意； 综上所述：. 解法二：令， 原题意等价于有且仅有一个零点， 因为， 则为偶函数， 根据偶函数的对称性可知的零点只能为0， 即，解得， 若，则， 又因为当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 即有且仅有一个零点0，所以符合题意； 故选：D. 3．D 【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果. 【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且，， 所以当时，，当时，， 所以由可得： 或或 解得或， 所以满足的的取值范围是， 故选：D. 【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题. 4．B 【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论. 【详解】因为函数为偶函数，则，可得， 因为函数为奇函数，则，所以，， 所以，，即， 故函数是以为周期的周期函数， 因为函数为奇函数，则， 故，其它三个选项未知. 故选：B. 5．D 【分析】通过对的赋值，结合奇函数、偶函数的定义逐项判断. 【详解】在函数中，2023， 当时，，解得， 若函数是上的奇函数，则该函数的图象必过原点，即有，B错误； 当时，，解得， 无法得到，A错误； 在函数中，由上可知，，且不一定恒为零， 因此是奇函数，C错误，D正确. 故选：D 6．A 【分析】根据为奇函数及为偶函数可求，利用导数可判断为上的减函数，从而可求不等式的解. 【详解】因为，故， 故， 因为是定义在上的奇函数，故， 故，故，故， 此时，故为上的减函数， 而等价于， 即即，故或 故选：A . 7．A 【分析】构造函数，由题设条件得到函数的单调性，将原不等式转化为 与 、的大小关系，分段讨论解集. 【详解】设，，求导得， 已知时，，且，因此时， 即在上单调递增. 又是奇函数，因此， 故是偶函数，且在上单调递减. 由得，故. 对原不等式 分两种情况讨论： 当时，不等式两边同乘，得， 两边同除以，得， 因为在上单调递增，故； 当时，不等式两边同乘，得， 两边同除以，得， 因为在递减，故. 综上，不等式的解集为. 8．D 【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案． 【详解】[方法一]： 因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 思路一：从定义入手． 所以． [方法二]： 因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 思路二：从周期性入手 由两个对称性可知，函数的周期． 所以． 故选：D． 【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果． 9．ABC 【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D. 方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可. 【详解】方法一： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误. 方法二： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，当时，对两边同时除以，得到， 故可以设，则， 当肘，，则， 令，得；令，得； 故在上单调递减，在上单调递增， 因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，    显然，此时是的极大值点，故D错误. 故选：. 10．ACD 【分析】根据已知等式结合函数奇偶性、对称性定义可判断A选项；在A选项中的等式中，利用赋值法求出的值，可判断B选项；利用奇偶性的定义可判断C选项；利用函数周期性的定义求出所求代数式的值，可判断D选项. 【详解】A选项，因为函数的定义域为，且为奇函数， 故对任意的，，即， 所以的图象关于点对称，故A正确； B选项，因为函数为偶函数，则对任意，， 令，则，故函数的图象关于直线对称， 在等式中，令可得，解得， 在等式中，令可得，故B错误； C选项，在等式中，用替代得， 即①， 在等式中，用替代可得， 即②， ②代入①可得，于是得出， 所以，即函数是周期为的周期函数，故C正确； D选项，因为，令可得， 又因为，，且函数是周期为的周期函数， 则 ，故D正确. 11．BC 【分析】由复合偶函数推出对称轴，利用原函数与导函数对称关系推导周期性，逐一验证四个选项 【详解】，均为偶函数， ，即，， ，，的图象关于直线对称，的图象关于直线2对称． 又， 函数的图象关于点对称，函数的图象关于点对称， 与都是周期为2的周期函数． ，故选项A错误； ，故选项B正确； ，，， ，故选项C正确； 又，即，无法判断与是否相等，故选项D错误． 【规律总结】若函数的图象关于直线对称，则函数的图象关于点对称；若函数的图象关于直线对称，则函数的图象关于点对称． 12． 【分析】当时，代入条件即可得解. 【详解】因为是奇函数，则当时，，故． 又因为，且，则， 两边取以为底的对数得，解得． 13． 【分析】根据给定条件，利用函数奇偶性定义及性质分段求解不等式. 【详解】由是定义在上的奇函数，得， 是上的偶函数，由，得， 则，由在上递增，得在上递减， 当时，，不等式成立，因此； 当时，，解得； 当时，，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 14．0或2 【分析】由偶函数的定义域关于原点对称可求，再证明为奇函数，由此可得函数为奇函数，结合正弦函数性质可求，由此可得，再求结论即可. 【详解】因为是偶函数，所以它的定义域关于原点对称， 所以不等式的解集关于原点对称， 所以不等式的解集关于原点对称， 所以方程的根互为相反数， 所以，此时定义域为， 设，则函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以， 所以，所以函数为奇函数，又是偶函数， 所以恒成立， 所以是奇函数，于是， 此时，于是或. 故答案为：0或2 15．(1)，． (2) 【详解】（1）因为，则， 由函数为奇函数得，即，解得． 又，则， 即，． （2）由（1）知． ，且， ． 因为，所以，，． 又，，所以，即， 所以在区间上是增函数． 所以，即， 则有解得， 即不等式的解集为． 16．(1)， (2)令，则， 即对任意的，，所以是偶函数． (3) 【详解】（1）令，则，又，所以． 令，则，即， 又，所以． （2）略 （3）由(2)知， 因为在上单调递减，，， 所以由，得，解得， 即不等式的解集为． 17．(1) (2)函数在上单调递增， 证明如下： 任取，且， 因为， 则 由， 则 即， 故函数在上单调递增. (3) 【详解】（1）函数是定义在上的偶函数，则，即，整理可得对任意的恒成立，故， 所以， 因为， 则，解得， 故. （2）略 （3）因为函数为上的偶函数，且该函数在上单调递增， 根据偶函数的对称性可知，在上单调递减， 由可得，得， 即，即， 可得或，解得或或. 因此，不等式的解集为. 18．，证明如下： 由得，因为在上是单调减函数，所以， 又因为为奇函数，所以，即， 同理，，， 所以，即， 所以． 【分析】利用函数单调性和奇偶性即可证明. 【详解】略. 19．(1)或1． (2) (3)当时，为偶函数；当时，为非奇非偶函数 【分析】（1）应用幂函数的单调性列式计算求解参数； （2）分类讨论结合函数单调性列式计算求解； （3）分类讨论结合函数奇偶性定义判断. 【详解】（1）， ，解得， ， 或1． （2），， ①当时，为单调函数，符合题意； ②当时，二次函数的对称轴为， 要使二次函数为区间上的单调函数，只需或，解得或． 综上所得，p的范围为． （3）当时，为偶函数；当时，为非奇非偶函数. 由题意知：，由于，故不可能为奇函数； ①当时，，对任意的x，满足，为偶函数； ②当时，，，，故不是偶函数； 综上可得， 当时，为偶函数； 当时，为非奇非偶函数． 学科网（北京）股份有限公司 $