分段函数专题练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦分段函数核心考法，以题载法构建“定义-性质-应用”逻辑链，融合图像分析与分类讨论，培养数学思维与表达。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础求值|单选5-6、填空12|分段代入法、定义域分类|从定义到求值，强化对应关系理解| |性质综合|单选1-2、填空13|单调性分析、最值存在条件推导|结合二次函数/幂函数性质，构建分段性质判断框架| |图像与方程|单选7-8、多选9-10|图像平移、换元转化、零点分段|以图像为工具，关联周期性、奇偶性解决方程根问题| |创新拓展|解答18|新定义性质探究|迁移分段函数分析方法，提升数学抽象与逻辑推理能力|

分段函数 典型考点专题练 2027届高中数学高考一轮复习备考 一、单选题 1．已知函数若存在最小值，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．设，函数则（    ） A．有最小值且在上是单调递减的 B．有最小值且在上是单调递减的 C．无最小值且在上是单调递减的 D．无最小值，且在是单调递减的 3．已知函数，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知，则的解是（    ） A． B． C． D． 5．设,若,则 A．2 B．4 C．6 D．8 6．已知函数，则的值为（    ） A．24 B．4 C．12 D．8 7．已知函数是定义在上周期为4的奇函数，且，则不等式在上的解集为（    ） A． B． C． D． 8．设，若关于的方程有三个不同的实数解、、，则等于（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知定义在上的函数下列结论正确的为（    ） A．函数的值域为 B． C．当时，函数的最大值为4 D．函数在上单调递减 10．已知函数，，则下列说法正确的是（   ） A．函数有3个零点 B．函数在上单调递减 C．函数的零点之积为 D．方程最多有3个实数根 11．设函数，则（   ） A．是奇函数 B．是增函数 C． D．曲线与曲线有且仅有个交点 三、填空题 12．设函数则满足的x的取值范围是____________. 13．设函数，若，则的零点为________；若的值域为，则a的取值范围是________． 14．设，函数，给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，则； ④设．若存在最小值，则a的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是____________． 四、解答题 15．已知函数． (1)求的值； (2)若，求a的值； (3)求不等式的解集． 16．已知两个函数，． (1)当时，求的解析式； (2)当时，求的解析式． 17．已知， (1)用分段函数表示的解析式，并作出其图象； (2)指出函数的定义域与值域； (3)解不等式. 18．已知函数的定义域为，且的图象连续不间断．若函数满足：对于给定的m（且），存在，使得，则称具有性质． (1)已知函数，，判断是否具有性质，并说明理由； (2)已知函数，若具有性质，求m的最大值. 19．已知函数，. (1)求和的值； (2)求的值域； (3)求不等式的解集. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D B C A B A AC AC 题号 11 答案 ABD 1．A 【分析】运用二次函数的性质求得的最小值，再结合幂函数的单调性，由题意列出不等式，求解即可. 【详解】当时，， 故当时，有最小值为； 当时，单调递减，所以，由题意存在最小值， 则，解得，即c的最大值为. 故选：A. 2．C 【分析】分别分析各分段区间的单调性、端点函数值，结合趋向负无穷时取值趋势判断最值情况. 【详解】当时，，其中，故在上函数单调递增； 当时，，因此无最小值，直接排除A、B选项. 当时，，其中，故在上函数单调递减. 当时，，该函数在上单调递减，在处取值为； 当时，处的右极限为， 因为，所以，所以函数在上不是单调递减函数，D错误. 综上，C正确. 3．D 【详解】令，则，故，故, 所以或, 故． 4．B 【分析】先分区间求解的解集，结合函数单调性确定x的范围后，再代入解关于a的不等式即可. 【详解】 分情况讨论不等式的解： 当时，，不等式， 与前提矛盾，故此时不等式无解； 当时，，对其求导得. 当时，，即在上单调递增. 又， 因此. 综上，的解为. 将代入得，解得，即. 5．C 【详解】由时是增函数可知,若,则,所以,由得,解得,则,故选C. 【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围． 6．A 【分析】由，则，从而可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以. 故选：A. 7．B 【分析】由函数的图象向右平移1个单位长度，作出函数在上的图象，结合图象，即可求解. 【详解】因为函数是定义在R上周期为4的奇函数，且， 所以当时，； 当时，，所以； 当时，，所以， 函数的图象可由函数的图象向右平移1个单位长度得到， 作出函数在上的图象，如图所示． 由图可知不等式在上的解集为． 故选：B． 8．A 【分析】首先画出函数的图象，利用换元转化为讨论的实数解的情况，结合函数的图象，确定，再分别求出三个实数解，计算结果即可. 【详解】由题意可知，的图象如下： 令，则原方程变为， 若有两个不等实根，分别为，则或，设， 由图可知，与或的交点个数可能为个，个，个，个或个， 当交点个数为个时，，， 若有两个相等实根，由图可知， 综上所述，当且仅当，即时，关于的方程有三个不同的实数解、、， 解得三个根分别为，所以．故A正确． 9．AC 【分析】通过对函数的分析，作出其图象，即可求得函数的值域，判断各选项的正误. 【详解】因当时，， 故当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， ,以此类推，可作出函数的图象，如图，    对于A，由图可知，函数的值域为，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，由图知，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减， 故时，函数取得最大值，故C正确； 对于D，由图可知，函数在上先增后减，故D错误. 故选：AC. 10．AC 【分析】求解方程的根，即可得零点，进而可判断AC，根据函数的图像即可求解BD. 【详解】时，令，即，则， 当时，令，即，得或，故有3个零点，A正确， 当时，为开口向下的二次函数，且对称轴为，此时在单调递减，当时，，此时在单调递减，但，因此在上不是单调递减，B错误， 由于有3个零点，分别为或或，结合，故有3个零点，分别为，故的零点之积为，C正确， 作出的大致图像如下，当时，此时有四个交点，故有四个实数根，由于，故也有四个实数根，D错误. 11．ABD 【分析】先确定函数的定义域，再用函数的奇偶性的定义可得A对错；由函数的性质可判断B，根据函数的奇偶性及单调性可判断C；对D构造函数，用导数判断函数的零点可得. 【详解】由函数的定义域：由，，得， 即函数的定义域为. 对于A：，满足奇函数定义，A正确； 对于B ：化简，因为函数在上单调递增， 函数在上单调递减，由函数的性质得函数在单调递增，故B正确； 对于C，由奇函数性质，， 所以不等式可化为： ， ，，所以, 又因为在上单调递增，得，故原不等式错误，故C错误； 对于D，设，因为均为奇函数， 所以是奇函数，只需分析： 当时，，即是一个交点； 当时，求导得， 因为，所以，，所以， 所以在上单调递减，，因此在无零点； 因为是奇函数，所以在无零点， 因此函数在有且仅有零点，故D正确. 12． 【详解】由题意得： 当时，恒成立，即；当时， 恒成立，即；当时，，即.综上，x的取值范围是. 【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么，然后代入该段的解析式求值.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处的函数值. 13． 【分析】第一空，根据分段函数的解析式，分段求解，即可得答案；第二空，确定每段函数的函数值域情况，结合题意，即的值域为，即可确定参数的取值范围. 【详解】时，， 当时，，令， 解得，符合题意； 当时，，此时函数无零点， 故的零点为； 当时，，在上单调递减， 则，即， 要使整个函数值域为，则时的函数值域必须覆盖， 当时，， 若，此时，函数值域无法覆盖，不合题意； 若，此时，函数值域无法覆盖，不合题意； 当时，，要使函数值域覆盖，只需， 综合上述可知a的取值范围是. 14．②③ 【分析】先分析的图像，再逐一分析各结论；对于①，取，结合图像即可判断；对于②，分段讨论的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知的范围；对于④，取，结合图像可知此时存在最小值，从而得以判断. 【详解】依题意，， 当时，，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线； 当时，，易知其图像是，圆心为，半径为的圆在轴上方的图像（即半圆）； 当时，，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线； 对于①，取，则的图像如下，    显然，当，即时，在上单调递增，故①错误； 对于②，当时， 当时，； 当时，显然取得最大值； 当时，， 综上：取得最大值，故②正确； 对于③，易知当时，在，且接近于处，的距离最小，    当时，，当且接近于处，， 此时，， 当时，且接近于处，的距离最小， 此时；故③正确； 对于④，取，则的图像如下，    因为， 结合图像可知，要使取得最小值，则点在上，点在， 同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径， 此时，因为的斜率为，则，故直线的方程为， 联立，解得，则， 显然在上，满足取得最小值， 即也满足存在最小值，故的取值范围不仅仅是，故④错误. 故答案为：②③. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析得的图像，特别是当时，的图像为半圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可. 15．(1)，，； (2)或； (3) 【分析】（1）将分别代入求解即可； （2）分、分别求解即可； （3）分、分别求解即可. 【详解】（1）因为函数， 所以，，； （2）当时，，解得或（舍去）； 当时，，解得． 所以的值为或； （3）当时，，所以； 当时，，所以． 所以的取值范围为. 16．(1) (2) 【分析】根据复合函数的定义写出解析式． 【详解】（1）当时，，故； （2）当时，，故． 17．(1)， (2)函数的定义域为，值域为 (3) 【分析】（1）将函数的解析式表示为分段函数的形式，然后作出函数的图象； （2）根据（1）中的图象可得出函数的定义域和值域； （3）分、、三种情况解不等式，综合可得出不等式的解集. 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 所以，，作出函数的图象如下图所示： （2）解：由（1）中的图可知，函数的定义域为，值域为. （3）解：当时，由可得，此时，， 当时，由可得，此时，， 当时，由可得，此时，. 综上所述，不等式的解集为. 18．(1) 当时，设， 令，则，解得， 所以具有性质. (2) 【分析】（1）根据新定义可知，即，代入求即可进行判断； （2）分，讨论函数是否具有性质即得. 【详解】（1）略 （2）由题意可得： 当，则；当时，则； 当，则；当，则； 当时，；当时，， 当，则； 综上所述：当时，； 当时，； 当时，； 首先当时，取, 则，， 所以函数具有性质； 假设存在，使得函数具有性质，则， 当时，，则， 即，不合题意； 当时，，则， 即，不合题意； 综上所述：不存在，使得. 所以的最大值为. 19．(1)，； (2)； (3)或. 【分析】（1）根据给定的分段函数，分段判断代入求出和的值. （2）分别求出和的函数值的取值范围即可求的值域. （3）根据复合函数的关系式，按和分类讨论求出的表达式，再分段解不等式． 【详解】（1）由函数，，得，， 所以，. （2）当时，；当时，，则， 所以的值域为. （3）当时，，则； 当时，，， 因此， 不等式化为或，解得或， 所以原不等式的解集为或. 学科网（北京）股份有限公司 $