分段函数问题 高频考点专项练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦分段函数核心考法，以题型分层构建方法体系，通过单调性判定、值域求解、方程根分析等模块培养逻辑推理与数学抽象能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|2题|分段代入求值法|从定义理解到简单运算，夯实概念基础| |性质应用|6题（单选3-8）|单调性判定（区间单调+分段点衔接）、奇偶性转化法|性质判定→参数范围求解，体现知识生成逻辑| |方程与图像|5题（多选9-11、填空12）|换元法拆解复合方程、图像交点分析法|方程根问题→图像性质应用，强化数形结合思维| |综合解答|5题|分段函数解析式构建、最值分类讨论|从性质应用到综合问题解决，形成完整知识链|

分段函数问题 高频考点专项练 2027届高中数学高考一轮复习备考 一、单选题 1．已知函数，则（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 2．已知函数，则（   ） A． B． C． D． 3．定义一种运算，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 4．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 5．函数是上的严格减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知函数是偶函数，当时，若的图象与轴恰有4个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．设函数的定义域为，且，则（     ） A．函数的值域为 B．函数在上单调递减 C．方程有3个不同的解 D．若方程有10个不同的解，则 10．已知函数则（    ） A．∃a∈R，使得f（x）为偶函数 B．∃a∈R，使得f（x）存在零点 C．∀a∈R，f（x）为增函数 D．∃a∈R，使得f（x）的最小值为0 11．已知函数在R上单调递减，则函数的大致图象可能为（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知函数．若关于的方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围为_____． 13．已知函数，则 ______ 14．已知函数的值域为，则a的取值范围是____________． 四、解答题 15．已知是定义在上的偶函数，当时，. （1）用分段函数形式写出的解析式； （2）写出的单调区间； （3）求出函数的最值. 16．已知函数，（其中）. (1)若对任意，都有恒成立，求的值； (2)设关于x的函数的最小值为. ①若，解不等式，并直接写出的值； ②试判断是否为的函数？若是，直接写出的函数表达式（用分段函数形式表示）；若不是，说明理由. 17．已知函数为增函数，实数的取值集合为． (1)求集合； (2)设集合，若是的充分条件，求实数的取值范围． 18．已知二次函数满足，且的解集为，若函数. (1)求的解析式； (2)若实数满足，求的取值范围. 19．已知函数． (1)当时，求的单调递增区间． (2)如果函数的最小值与函数的最小值相等，就称满足“性质”． （i）当时是否满足性质？请说明理由． （ii）若满足性质，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C A C D D B BCD ABD 题号 11 答案 BC 1．B 由题意得：当时，， 所以， 则. 2．C 结合函数的解析式计算可得的值. 因为函数，则. 3．C 当时，，， 因为在上是单调递增函数，所以，即； 当时，，， 因为在上是单调递减函数，所以，即； 综上可知，的值域为.故选项C正确. 4．A 分别求出在上的值域以及在上的值域可得答案. 因在上单调递增，则时，， 又在上单调递增，则时，， 则的值域为，故A正确． 5．C 分段函数是上的减函数，需要保证在各个区间段是减函数，并且满足在分段点处，断点左边在断点处的函数值要不小于右支函数在断点处的极限值． 因为是上的严格减函数，故 当时，必须严格单调递减，故，解得； 当时，，因为，故单调递减； 分段点为，，当时，， 故，解得； 综上，实数的取值范围是． 6．D 当时，，求导得， 在上单调递增； 当时，，函数单调递增，则， 当时，，当时，， 则，解得， ，即． 7．D 由题得或，解得，故选项D正确． 8．B 根据对称性将问题转化为在上有两个不同的零点，进而利用方程的根进行求解. 由于函数是偶函数，且其图像与轴恰有4个公共点，因此，在上有两个不同的零点， 当时，令，则，共有两个实数根， 由于函数和均为定义域内的单调函数， 因此有一个实数根，有一个实数根， 故时，， 时，， 因此当时，. 9．BCD 根据给定条件，求出函数，分段求出值域判断A；确定单调性判断B；求出方程的解判断C；转化为一元二次方程，并利用其根的分布列式求解判断D. 依题意，当时，； 当时，，则； 当时，，则， 对于A，当时，；当时，；当时， ，函数的值域为，A错误； 对于B，当时，在上单调递减，B正确； 对于C，由选项A及，得或，解得 或，方程有3个不同的解，C正确； 对于D，观察图象，令，方程有10个不同的解， 等价于方程在内各有一个实数根， 因此，解得，D正确. 10．ABD 对A，若为偶函数，则，即，则时，为偶函数，A正确； 对B，当时，， 当时，单调递增，单调递减，因此在上单调递增， 又，由零点存在定理，在时必然存在零点，B正确； 对C时，，故不是单调递增函数，C错误； 对D，设，则，在坐标系中作出和的图象，则的图象是向上和向右分别移动个单位形成． 如图2所示，当与的图象在第二象限相切时，的最小值为零．D正确.    11．BC 因为函数在R上单调递减， 所以. 因为， 所以函数是偶函数，它的图象关于纵轴对称，因此选项D不符合； 对于选项A：由函数的图象可知，不符合，故本选项不符合题意； 当时，当时，函数单调递增，且，所以选项B符合； 当时，当时，函数单调递增，且，所以选项C符合. 12． 利用换元法，将多层复合方程拆解为外层和内层方程，通过分析外层方程根的分布，反推参数的取值范围. 已知，其值域为， 令，则原方程可化为，即：， 设该方程的两根为（），要使有4个不同实根，需满足： 有两个不同的实根，这两个根均大于. 即有两个不同实根，则 设，要使的两根均大于，需满足： 其中. 同时，当时，， 若，则是方程的一个根，此时仅有1个根， 有2个根，总根个数为3，不符合题意. 当时，（二重根），此时有2个不同实根，总根个数为2，不符合题意. 综上，的取值范围为. 13．/ . 14． 分别求出在和的值域，根据集合包含关系可得，解不等式即可求解. 因为当时，，此时，即， 所以在时，的值域为， 函数为，令，则在时为，且增大时减小， 在时单调递增，所以单调递减， 因此在上单调递增， 此时：当时，，当时，， 所以在时，的值域为， 所以要使函数的值域为，则， 解得：，则a的取值范围是 15．（1）；（2）的增区间为，，减区间为，；（3）最小值为-4，无最大值. （1）根据是定义在上的偶函数，且当时，， 设，则，通过求解. （2）每一段都是二次函数，根据二次函数的图象和性质求解. （3）利用（2）的单调性求解. （1）是定义在上的偶函数， 当时，， 当时，设，则， 即时，. 故. （2）如图所示：    当时，，对称轴为， 增区间为，减区间为； 当时，，对称轴为， 增区间为，减区间为. 综上，的增区间为，，减区间为，. （3）由（2）知，当时，， ，无最大值； 当时，， ，无最大值. 综上，函数的最小值为-4，无最大值. 16．(1) (2)① ，；② （1）根据题意得到不等式，计算得到答案. （2）① 解不等式得到，画出函数图像，根据图像得到最值. ② 解不等式，讨论，，三种情况，根据二次函数性质计算最值得到答案. （1）对任意，都有恒成立，即，即， ，即. （2）① 若，，即，解得. 故，画出函数图像，根据图像知. ② ，即，， 当时，，； 当时，； 当时，； 时，； 当时，不等式恒成立，故，； 当时，，. ； 综上所述： 17．(1) (2) （1）根据分段函数单调性列出不等式组求解即可； （2）根据题意得出，即可求解． （1）由题可知，，解得， 所以． （2）若是的充分条件，则， ， 由题可知， 所以或（不合题意舍去） 所以，即，解得． 18．(1). (2) （1）由的解集为，得方程的两根为和，即二次函数的图象与x轴的交点的横坐标为和，且函数图象开口向上，由此设的解析式，代入，可得的解析式； （2）结合（1）求得的解析式，分析其单调性，分和两种情况解，取其并集，即为的取值范围. （1）由的解集为，得方程的两根为和，即二次函数的图象与x轴的交点的横坐标为和，且函数图象开口向上. 由此，可设. 因为，所以，所以. 所以的解析式为. （2）由（1）知，. 当时，单调递减； 若，则，即，解得； 当时，单调递增. 若，则，解得. 由 综上所述，的取值范围是. 19．(1) (2)（i）不满足性质，理由如下： 由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为， 而，即的最小值为5， 所以当时，不满足性质． （ii） （1）结合二次函数求解分段函数的单调递增区间； （2）（i）利用单调性求出的最小值为和的最小值为5，然后根据新定义即可判断；（ii）由题意取最小值时的值在的值域内，然后、、分类讨论，分析单调性求解其值域，进而利用新定义列不等式求解即可． （1）当时， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 易知的图象在处连续不断， 故的单调递增区间为． （2）（i）略 （ii）若满足性质，则取最小值时的值在的值域内． 两段抛物线的对称轴分别为和． ①当时，，在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为， 若满足性质，则，化简得，所以． ②当时，，在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为的最小值为，此时不满足性质． ③当时，，在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为， 若满足性质，则，化简得，所以． 综上，的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $